I teoremi di incompletezza di Gödel: dimostrazione e implicazioni filosofiche.
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- čas přidán 6. 04. 2023
- I teoremi di incompletezza di Gödel suscitano spesso l'interesse anche di chi non si occupa specificamente di logica e matematica. In questo video li discuto mostrando una loro dimostrazione e ragionando sulle loro effettive implicazioni sia per l'epistemologia della matematica sia per la più generale questione del funzionamento del ragionamento umano e della possibilità di vederlo replicato da una macchina.
Qualcosa a riguardo la si può trovare anche nel mio ultimo libro, FILOSOFUGHE, Colonnese Editore, disponibile tra l'altro a questo link:
www.amazon.it/Filosofughe-Var...
00:00:05 Intro
00:05:23 Sistemi formali
00:41:57 Enunciati autoreferenziali
00:45:15 Dimostrazione del 1° teorema
01:33:00 Esempi di enunciati formalmente indecidibili
01:36:21 Dimostrazione del 2° teorema
01:43:18 Altri teoremi connessi
01:46:07 Equivoci e implicazioni filosofiche
Molto bello (ed opportuno!). Mi chiedevo se ha anche riflettuto/approfondito sul passaggio della IA a sistemi probabilistici/predittivi, sia per superare la mole di capacità computazionale necessaria, che per l'impasse vero e proprio teorizzato a causa della incompletezza (nel senso da lei ottimamente chiarito) del sistema formale utilizzato.
sì, un pochino mi sono formato e ho lavorato specificamente proprio sui modelli probabilistici. visto che sto registrando un certo interesse per questo filone, magari ci tornerò con qualche altro video.
@@gianfrancosavino6366 Grazie. Mi piacerebbe (!!) ci fosse ancora Husserl per dirci cosa pensa di questi problemi.
Gran bel video, mancava su CZcams Italia una trattazione approfondita dell'argomento. Avrei varie domande e rifelssioni: 1) potresti indicare le fonti secondo le quali la teoria dei numeri reali e complessi sono complete e consistenti? 2) a 1:31:32 punto 3 hai sottointeso una riflessione molto interessante: non è detto che se una proposizione p (e la sua negazione notp) non è dimostrabile a partire dalla teoria T allora, preso un qualunque modello M di T, esso è tale che p (e notp) continua a non essere dimostrabile. 3) non sono appieno d'accordo quando dici che i teoremi di incompletezza servono a scegliere quali siano le teorie da utilizzare per non incorrere in problematiche sistematiche di non dimostrabilità di una proposizione. Cambiando teoria stiamo cambiando "sistema di riferimento", il quale è la base di partenza dei nostri ragionamenti. Facendo un esempio se p (e notp) non è dimostrabile all'interno della teoria T1, ma lo è all'interno della teoria T2, questo non vuol dire che scegliendo T2 abbiamo risolto i nostri problemi di dimostrabilità, abbiamo solo cambiato gli assiomi!(era questo che intendevo dire in live). 4)Sono un pò confuso sulla distinzione del livello della teoria da quello del modello. Secondo te, quando in fisica facciamo una teoria(stavolta nel senso fisico del termine), stiamo utilizzando una teoria(nel senso logico-matematico) o stiamo già scegliendo un modello?
5) mi interessava la cosa che dicevi alla fine di logica come funzionamento transculturale del funzionamento del cervello, interessante, sono dubbioso, ma non ne avevo mai sentito parlare. Per quanto riguarda la riflessione finale che fai a fine video è, secondo me, ambigua: che vuol dire davvero interpretare una parola? interpretare, a mio modo di vedere, vuol dire semplicemente associare al suono o al segno della parola delle proprietà osservabili dai sensi. Esempio: interpretare la parola casa vuol dire crearsi "un'immagine mentale" di casa (anche per semplice analogia con altre cose chiamate casa prima) e riuscire a far adattare quelle proprietà osservate in comune alle altre case ad un oggetto non ancora definito come casa e ridefinirlo come tale. In questo senso l'interpretazione è assolutamente un attività che una macchina può svolgere, si pensi al machine learning per appunto "l'interpretazione" di immagini.
Ne possiamo discutere insieme in un altro video, se vuoi. Nel frattempo approfondisci lo studio della logica e della sua storia perché ti assicuro, alcune delle tue perplessità nascono solo da una comprensione troppo parziale della materia. Grazie della tua attenzione.
per la domanda 1) è un risultato di Tarski. basta anche questo come fonte: en.wikipedia.org/wiki/Real_closed_field#Decidability_and_quantifier_elimination
Spieghi male.
Odifreddi lo spiega molto meglio!!!