Il difetto fondamentale della Matematica
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- čas přidán 16. 06. 2024
- 🔮La matematica è davvero quella scienza esatta che si crede? 🚀
🧙♂️🌟 La matematica non sarà la stessa dopo questo video!
Guarda anche questo video ➡️➡️ • Il più semplice proble...
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Il video nasce, quasi di getto, dopo aver visto Math’s Fundamental Flaw di Veritasium. Da cui ho attinto e a cui sono grato!
0:00 la matematica non è esatta
0:22 in questo video
0:35 l'inizio di tutto
1:25 gli infiniti di Cantor
02:08 la diagonalizzazione di Cantor
03:29 la mente umana penetra l'infinito
03:51 i matematici si dividono in due fazioni
04:00 gli intuizionisti
04:33 i formalisti
04:53 il barbiere di Russell
06:15 la prima affermazione di Goedel
07:00 la dimostrazione di Goedel
10:09 il numero g
10:44 la seconda affermazione di Goedel
11:27 il colpo finale di Alan Turing
12:19 ricapitolando
12:54 la bellezza della matematica
13:35 fuori onda
Precisazione: "la matematica è incoerente" è un'affermazione imprecisa, usata per accentuare l'aspetto narrativo del video, in quanto non vuole minimamente avere la pretese di essere un corso esaustivo di logica matematica.
Guardando i tuoi video , ho l'impressione che vuoi mettere insieme , la Matematica , cioè il "Reale" , con la Religione cioè lo "Spirituale" ...Non so se è così per te , ma per me l'elemento che uniscè i 2 mondi è l' Uguale (=) perchè , indica l'Equilibrio , che la realtà anela a raggiungere ed è l'essenza stessa della Religione
@@pan4gopan4life75 hahahahaha smettila di farmi ridere che poi mi rinchiudono nella camera imbottita
@@SimoneBuralli assolutamente no, se ci metti anche tartufi + funghi porcini e cominci a mangiarle dall'esterno, con una o due bottiglie di Pomerol AOC Chateau Petrus 2019 l'unica cosa che tende a zeo sarà il tuo conto in banca
c'è un vero proliferare sul web di video su materie scientifiche. Il più delle volte sono dei semplici promemoria di studenti che ripetono più o meno didascalicamente una lezione di cui loro per primi non hanno compreso i concetti essenziali. Per converso, trovo i tuoi video molto ben fatti anzitutto perchè sono , visibilmente, il naturale risultato di una lunga preparazione che è andata ben oltre l'elementare apprendimento della materia. La dimensione nella quale ti muovi è affascinante . Spero che continuierai a trovare nuovi spunti per i tuoi video. Grazie !
Pensiamo che sei kaloskaiagathos Antonio. Il tuo entusiasmo, per la conoscenza e per la sua condivisione con gli altri e per il loro incoraggiamento, è veramente bello. Bravo, grazie, ti auguro ogni bene.
vi racconto una barzelletta:
n logici entrano in un bar. il barista fa “n caffè?”. il primo logico risponde “non lo so”, il secondo “non lo so”, … , l’(n-1)esimo “non lo so” e l’n-esimo “sì”
Gran contenuto, sono contento di aver scoperto questo canale, continua così!!
Mmh quindi se l'informatica è un evoluzione della Matematica siamo nella me*da 😅
Bravo! Finalmente ancora video interessanti, che valgono la pena di essere guardati su youtube! ...e che non sono i soliti video di gattini... hehehe
Un po' di tempo fa, di ritorno da un open dey universitario, mi sono fermato a parlare con un professore di filosofia. Una delle cose che mi disse, che ricordo piuttosto chiaramente era "La Matematica è molto importante per la filosofia". Lì sul momento non avevo colto appieno il senso di questa frase. Adesso credo di averlo fatto. Questo video mi ha fatto spaccare la testa a metà, ma è stato alquanto piacevole. Seppur io non abbia, e forse non avro mai, le conoscenze formalistiche matematiche per comprendere del tutto e da solo tutto ciò di cui hai parlato qui.
Ma hai comunque tirato in ballo la curiosità. Oltre ad avermi reso ancora più chiaro come l'iperspecializzazione possa essere limitante. Grazie per gli spunti, comunque.
Bravo.... Uno che (finalmente) comincia presentandosi...
Ne penso che è gradevolissimo lasciarsi trasportare dal tuo entusiasmo e dal fascino della matematica.
Grande Antonio! Uno dei tuoi video più belli, si nota la passione, l'approfondimento e la volontà di rendere comprensibili argomenti complessi.
Complimenti, continua così :))
Non sono complessi ma vere paranoie
Ma Gödel non ha mai dimostrato che la matematica non è coerente. Ha detto che un sistema di assiomi coerenti non può dimostrare la sua coerenza. Non significa che non lo sia.
È più complesso di come lo dici.
In matematica se non puoi dimostrare un'affermazione partendo dagli assiomi non la puoi dimostrare e basta.
Non è che sotto sotto potrebbe anche essere vera.
Non potrebbe essere nulla, non è dimostrabile e quindi la matematica che produce quell'affermazione è incompleta.
Se ipotizzi invece una matematica completa, allora dev'esserci almeno una contraddizione.
Quindi se la matematica fosse completa, allora sarebbe incoerente su almeno un'affermazione (cioè dimostrerebbe che tale affermazione e la sua negazione sono vere entrambe).
Capito mi hai?
@@protoccher non ho parlato di completezza. Ho parlato di affermazioni che non si possono dimostrare, ma non significa che allora la matematica sia incoerente. Altrimenti avresti dimostrato l'incoerenza.
@@dna2.041Giusto, non l'avevo scritto.
Godel dimostra che i suoi teoremi sono validi solo per un sistema matematico che possa contenere tutta l'aritmetica.
A sistemi più limitati non si applica il suo teorema
@@Rorhin95 secondo me metti insieme le due conclusioni del teorema come se fossero una, per questo non ci capiamo.
Secondo il teorema di Godel un sistema matematico abbastanza complesso da contenere tutta l'aritmetica ha due possibilità:
1. È incompleto, quindi c'è almeno un'affermazione scritta nel suo linguaggio che il sistema non è in grado di dimostrare.
Ma il sistema è coerente, non genera contraddizioni.
2. È incoerente, quindi c'è almeno un'affermazione per la quale il sistema dimostra che sia essa sia la sua negazione sono vere.
Ma il sistema è completo perché è in grado di dimostrare tutte le affermazioni scritte nel suo linguaggio.
@@protoccher non è assolutamente completo. Si sceglie l'incompletezza.
Bravo .... bella scoperta il tuo canale..... sei proprio forte....sto facendo una scorpacciata dei tuoi video.... il mio divulgatore preferito è Odifreddi.... cosa ne pensi di Lui .?... avete molto in comune secondo me.....
Bellissimo, il migliore video su godel che ho mai visto, finalmente ho capito qualcosa sulla godelizzazione e sulla diagonalizzazione di Cantor❤
Grazie mille per questo video sulla dimostrazione più strabiliante che ci possa essere! Il primo teorema di Gödel!!!!
Mi piacciono un sacco i tuoi video continua così 🙂
per il momento non ci ho capito niente , ma sono sicuro che prima o poi capirò. basta rivedere il video all'infinito
grazie Antonio, mi hai dato qualcosa da fare nella clinica psichiatrica di villa Igea
Bel video come sempre!
Ti andrebbe di fare un approfondimento su Ramanujan ?
Senza dubbio!
La matematica è un linguaggio impenetrabile per me. Grazie a te e per la prima volta, i numeri riescono a comunicare qualcosa anche a me.
Continua !!
anche io penso che sia un linguaggio e non una scienza. Comunque tutta la fisica moderna e l'astrofisica si basano su questo linguaggio . Quello che funziona in un equazione diventa automaticamente una legge universale. Ma la natura non risolve equazioni e la realtà è molto lontana da ciò che è scritto su un pezzo di carta da un matematico. Russel era un grande filosofo e pensatore , era anche un matematico , ma come è noto nessuno è perfetto.
@@dna2.041 grazie per i chiarimenti, però come in tutte le cose ci sono elementi che non quadrano, contraddizioni. in questo video si asserisce che esistono infiniti infiniti uno più infinito dell'altro. Già questo ragionamento mi puzza lontano un chilometro, comunque è in grado di spiegarmi perchè le teorie in astrofisica escludono a priori l'infinito? nella fisica quantistica la posizione di una particella non può essere calcolata quindi non si può descrivere matematicamente una particella . Vale a dire che è una scienza insufficiente per spiegare la natura delle particelle. IO ritengo che la cosa sia valida anche per le principali teorie attuali che riguardano la natura dell'universo . penso che la matematica non sia lo strumento migliore , che rimane la logica che è la sola vera scienza a disposizione dell'uomo. per farla semplice un filosofo è uno scienziato, un matematico quasi.
@@marcomalpassi7655 La logica ha gli stessi limiti della matematica, tant'è vero che si avvale anche lei di assiomi indimostrabili su cui erigere i sistemi logici. A dirla tutta, la logica è matematica fatta con le parole, il logos, e la matematica è logica fatta con i numeri. Due facce della stessa medaglia. Io la penso così. Forse ci è impossibile dimostrare rigorosamente le fondamenta della realtà, perché farlo sarebbe come riuscire a toccare Dio con la punta delle nostre dita.
@@claudiofacchi7971 hai ragione , ma io porto acqua al mio mulino nel senso che non ho attitudine in campo matematico mentre nel ragionamento logico me la cavo.
@@marcomalpassi7655 Ahahahah 😁
Giusto, come detto servono entrambe. Forse un giorno saremo in grado di creare una sorta di scienza unificata, ma penso che l'ultimo tassello, quello più importante, ci rimarrà comunque precluso.
Storia pazzesca e raccontata con passione. Questo e' quello che ci vuole :)
Non è pazzesca... è quello che c'è potenzialmente nella mente di ognuno di noi e che morirà con noi
davvero bello, iscritto...
Bravo!
Ciao Antonio complimenti e un chiarimento.. per il famoso numero "g" che hai citato che deve rappresentare l'affermazione " questa affermazione non può essere distratta usando i numeri che abbiamo a disposizione..." Mi chiedo anche le lettere della frase hanno quindi un numero corrispondente che poi sarà usato come esponente dei vari numeri primi?? Help
se sostituiamo la parola assioma con principio, possiamo per analogia dire che data una teoria matematica completa ,che si basa su un numero finito di principi da noi formulati, che abbia come scopo descrivere e spiegare ogni possibile processo osservabile sarà in realtà una teoria che non potrà spiegare tutti i possibili processi e non sarà possibile provarne la sua coerenza?
Perdonami, ma non sono mai riuscito ad andare oltre a quanto Russell “non capiva” dell’incompletezza, credendola “aggirabile” come fece lui ad es. con la teoria dei tipi per il suo paradosso. Mi consola che se non la capiva Russell, potrei benissimo non capirla anch’io, sebbene sia passato oltre un secolo di pensiero matematico.
Anche oggi si parla di “super teoria dei tipi” per aggirare tale ostacolo, così come si è parlato di generalizzare la gerarchizzazione alla base della teoria dei tipi per aggirare quei paradossi che a me francamente, data la mia ignoranza, sembrano quasi tutti riconducibili al fenomeno dell’autoreferenza, proprio per come vi ricondurrei i loop infiniti che si creano nei complessi linguaggi di programmazione, e quindi il teorema di Turing.
Dopotutto lo stesso Godel finì col credere che il suo teorema non ponesse limiti a ciò che può essere riconosciuto come vero dalla nostra umana modalità intuitiva e non solo computazionale per arrivare alla verità (cosa che aggiungerei al tuo finale molto ricco di energia dove dici “è proprio la lotta per comprendere che ci rende più umani …”).
Salve, una domandina: se stai affrontando Analisi 1, e non hai ancora un metodo di approccio alla materia, hai qualche consiglio?
PS la clip a 6:22 sui frattali, merita un video a parte. ✌
Sì, ho giusto fatto un video a proposito: czcams.com/video/AbB-u-zo7oA/video.html
@@AntonioDistasoCZcamsr
video interessantissimo , grazie 😊
L'infinito è solo Dio, l'eterno e onnipotente. Colui che è stato, è e sempre sarà! Per conoscerLo serve anche a noi avere la vita eterna, non potendoLo racchiude in una formula matematica, perché la vera sapienza, la saggezza, la scienza arrivano tutte da Lui, Creatore di mondi o dimensioni infiniti 🙏😇
Ciso, riesci ha descrivere matematicamente la teoria della coscienza di Federico Faggin?
Grazie
Video bellissimo, ho i brividi.
Bel video
Sei troppo bravo, continua così.
Spieghi benissimo, ovviamente questo non significa che io capisco tutto quello che dici, ma questo dipende solo da me.
Complimenti.
Video bellissimo
Più video così 🙏🏻
Ci proviamo!
Questo dimostra per caso che non siamo in una simulazione creata al computer (quindi con strumenti che appartengono al nostro mondo?)
La crisi della matematica dei primi del 900, ne avevo letto tempo fa e sapevo che avresti parlato di questo!
💩Purtroppo il video mischia affermazioni corrette a castronerie inenarrabili! Un matematico che avesse studiato correttamente la logica ed i temi riguardanti i fondamenti della matematica non potrebbe affermare stupidaggini come:
"Le scoperte di Gödel et di Turing ci dicono... anche che la matematica è inconsistente, cioè ci saranno sempre delle contraddizioni al suo interno"; NO NOO NNOOOOOO; le scoperte di Gödel e Turing non ci dicono questo!
In effetti il lavoro di Gödel mostra che (all'interno di tutti i sistemi formali aventi caratteristiche da lui ben definite) non sia possibile dimostrarne la coerenza.
Ma la mancanza di una dimostrazione di coerenza non può in nessun caso essere presa come una dimostrazione di incoerenza.
Allo stesso modo che una mancanza di prove di innocenza non può essere considerata una prova di colpevolezza!
È incredibile che un matematico possa proporre tanta poca finezza di pensiero che tutto gli paia uguale.
Non solamente, l'autore dimostra di non aver studiato seriamente l'argomento su libri di alto livello per matematici, ma addirittura sembrerebbe o di aver sorvolato l'argomento male e di sfuggita su qualche librettino divulgativo, oppure di aver sbirciato l'argomento su un librettino divulgativo sbagliato scritto da capre!
Allora, come minimo, l'autore del video farebbe bene a studiare seriamente la logica e la matematica dei fondamenti, che sono argomenti difficili, prima di vomitare sentenze in un video su CZcams!
Vero... video imbarazzante
il tuo entusiasmo è esemplare
E che dire di Cohen e dell'indecidibilità dell'ipotesi del continuo?
Bello !😀
Bellissimo video! E anche un bel lavoro di editing 💯 Continua così 🔥 Sempre più bravo 👏
Volevo un video leggero per migliorare l'inizio della mia pessima giornata lavorativa.
Non lo ho trovato. Son devastato
Complimenti prima d tutto.
Ho apprezzato ma nel contempo mi ha turbato il fatto che lo strumento per “giudicare” la matematica sia la matematica stessa (in particolare la logica), ma alla luce dei risultati espressi, dobbiamo sentirci più fragili? La matematica va “ridimensionata”?
È pensabile un’evoluzione (una matematica 2.0) che possa superare questi problemi?
Grazie e ancora complimenti
@@dna2.041 No, Cantor non ha detto questo, quello che dici era già stato osservato da Galilei. Cantor ha "costruito" ua gerarchia di infiniti, l'uno superiore all'altro, e se accetti che ce ne sia più di uno allora diventano infiniti, ma per dimostrarlo devi accettare l'assioma potenza, ovvero che esista come un oggetto unitario l'insieme delle funzioni da un qualunque insieme in {0,1}: il problema è che le funzioni definibili mediante algoritmi sono numerabili, per cui si dovrebbe accettare l'esistenza di numeri che non si sa cosa siano, non si sa da dove arrivino, non si possono scrivere né approssimare (perché altrimenti esisterebbe un algoritmo) che però dovrebbero poter essere elencati assieme ai numeri "generabili", e la cosa mi lascia alquanto scettico.
Ho apprezzato molto la chiarezza con la quale hai esposto concetti complessi rendendoli semplici. E mi è piaciuto anche il tuo essere così appassionato. Bravissimo.
La mia domanda è molto semplice: perché si è deciso che si conta fino a dieci e formare per esempio una decina e non magari fino a 7 (nunero perfetto) e suoi multipli ? Semplice convenzione come il metro o altro ?
Bel video!
Waaa che figata
Aggiungendo il riferimento a frege e wittgenstein la ricostruzione sarebbe stata perfetta. Ma, anche così, 10.
A parte il fatto che la diagonalizzazione di Cantor si basa sul presupposto che esista in modo attuale una corrispondenza 1 a 1 che non si sa come venga generata, o se si preferisce sull'assioma dell'infinito che è tutt'altro che ovvio, l'affermazione che la matematica sia (sicuramente) inconsistente e che esisteranno sempre delle contraddizioni al suo interno è al pari della Corazzata Kotiomkin: ex falso quodlibet, per cui se è inconsistente buttiamo tutto e cambiamo mestiere. Per fortuna i paradossi alla Russel hanno una soluzione nella formalizzazione logica, per cui questa presunta inconsistenza non si capisce da dove arrivi.
Sull'inconsistenza e sull'ex falso quodlibet hai ragione; però secondo me l'assioma dell'infinito non è così bizzarro: dice in sostanza che esiste un insieme dei numeri naturali (o, meglio, che esiste almeno un insieme induttivo; poi, facendo l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi, si ottiene l'insieme dei numeri naturali). Se uno crede ai numeri naturali e pensa che i numeri naturali formano un insieme, allora crede all'assioma dell'infinito.
@@jofel131 Infatti ho scritto una bischerata. Il problema (a mio avviso) non sta nell'assioma dell'infinito, come giustamente affermi, ma nell'assioma dell'insieme potenza, cioè che esista in senso attuale (cioè che si possano "fare cose" con un _qualunque_ suo elemento) l'insieme delle funzioni dall'insieme dei numeri naturali nell'insieme {0,1}: queste funzioni (ovvero numeri reali tra 0 e 1) formerebbero un insieme di cardinalità superiore al numerabile, ma il problema è che ne possiamo definire algoritmicamente solo una quantità numerabile, le altre resterebbero ipoteticamente esistenti ma non costruibili, cioè non raggiungibili, sarebbero in sostanza dei "veri trascendenti" (non intendo i normali trascendenti come pi o e che invece sono semplicemente non algebrici). Questo secondo me porta a un paradosso: se le funzioni, e quindi i numeri generati, sono numerabili, possiamo metterle in corrispondenza con N: a questo punto la diagonalizzazione di Cantor ci permetterebbe di generare un ulteriore numero, ma il procedimento di Cantor È un algoritmo, e quindi? Secondo me il problema è nel fatto che noi possiamo definire una corrispondenza che ci permetta di trovare una posizione per ogni algoritmo e viceversa (in modo costruttivo) ma l'algoritmo di Cantor si potrebbe applicare solo _dopo_ aver ordinato gli altri _infiniti_ numeri, cioè MAI!
Quando si afferma qualcosa, si puo sempre dimostrare il contrario di tutto, quindi non esistono verita' assolute neanche in matematica, l'uomo non concepisce l'unita' delle cose, deve sempre separare ogni cosa e schierarsi da una parte che lui chiama ragione.
Esponici qualcosa di più! Almeno nella tua autopresentazione qualche sitoweb o libro che consigli! grazie.
Scusa l ignoranza. Secondo il sistema di Godel si usano i numeri primi, che si moltiplicheranno con il numero che corrisponde al simbolo. Con che criterio ha assegnato un certo numero per ogni simbolo?
Ai fini della dimostrazione non è importante sapere che numero è stato assegnato a ciascun simbolo, ma è sufficiente supporre che a ciascun simbolo può essere assegnato un numero specifico, diverso da quello di ogni altro simbolo; però, per fare un esempio, considerando il linguaggio della teoria degli insiemi ZF, alle variabili (che sono infinite: x_1, x_2, x_3, ....) possiamo assegnare tutti i numeri pari (a x_1 assegno 2, a x_2 assegno 4, a x_3 assegno 6,....., a x_i assegno i*2, ...); agli altri simboli, che sono finiti (il simbolo di appartenenza, i simboli logici, i quantificatori, le parentesi), possiamo assegnare in maniera arbitraria i numeri dispari (al simbolo di appartenenza assegno il numero 3, al quantificatore universale il 5, al quantificatore esistenziale il 7, al simbolo di implicazione il 9, etc.). Forse quando il linguaggio è più complesso di quello della teoria degli insiemi le cose diventano più complicate (ad esempio un linguaggio con infiniti simboli di costanti, oltre che infinite variabili, oppure un linguaggio tipato), però penso che non vi siano difficoltà insormontabili e che sia sempre possibile supporre che a ciascun simbolo possa essere assegnato univocamente un numero, anche se effettivamente sarebbe interessante sapere che metodo concreto di assegnazione abbia proposto Goedel.
Interessante, però direi che si può dire che la matematica è sempre in evoluzione.
È anche vero che un sistema è vero fin quando usi le sue regole. Per dimostrate se il sistema è valido ci vuole un sistema più ampio che contenga quello di studio. Credo che questo sia il concetto di infinito in termini insiemistici.
Ma sei un grande.... 🎉
Bravissimo! Il tuo video e‘ passione
Ciao
Sei bravo e si capisce
Non ne capisco nulla di matematica
MA
e se fosse un po’ come x i buchi neri di Einstein?
O il numero periodico ?
Nel senso:
È COSI PROPRIO XCHE ANCHE IL NOSTRO UNIVERSO È COSÌ?
6:06 conoscere e conosceremo
Il più grande segone mentale della storia. Affascinante
E se i cosiddetti "giganti" provenissero da un piano dimensionale maggiore, la teoria degli universi infiniti e sempre più grandi sarebbe una sorta di prova
Video molto interessante, che sicuramente stimola la curiosità e dà un'idea del fascino della matematica del 900. Peccato che per la mania di divulgazione ci siano tante ma tante inesattezze che banalizzano certi risultati che invece hanno una complessità e una profondità ben diverse da quelle che il video suggerisce. Sono abbastanza certo che quelle inesattezze siano volute, sicuramente l'autore del video ha fatto delle scelte ben consapevoli di "semplificazione". Però ogni scelta di semplificazione ha delle conseguenze... Gradita risposta
Cosa la fa essere abbastanza certo che quelle inesattezze siano volute? Forse i farfalloni che il come cazzo si chiama ha al posto degli occhi, come esternamento del suo sbalordimento, o il digrignamento dei denti nella stretta dei quali ha giusto dimenticato di metterci un coltello tipo Indiana Jones, oppure quel tono da terrapiattista con cui fa affermazioni del tipo "La matematica non è esatta, quante volte avete detto 2 + 2 fa 4, non si scappa, è matematico? In realtà c'è un buco in fondo alla matematica, un buco molto profondo!"? Le pongo la domanda perchè, se quelle che lei definisce "inesattezze" sono volute, allora il C.C.S.C. starebbe raccontando menzogne per fare senzionalismo e matematica spettacolo (forse a scopo di lucro?), e dunque sarebbe un malonesto e non meriterebbe stima nè alcuna considerazione, alla stregua dei terrapiattisti, da chiunque ami veramente la conoscenza!
Molto bravo!
Sei partito malissimo con "Hilbert il più grande matematico della storia", non sono frasi da divulgatore serio (era più bravo di Gauss, Eulero, Rienmann, Godel?).
Il resto però è molto interessante.
E finalmente uno che accenna al ragionamento sviluppato da Godel, e non cita solo le sue conclusioni.
Bellissima l'idea di spiegare la matematica anche a chi come me ne è a digiuno. A mio avviso ciò comporta una scelta, o spieghi veloce come in questo video rischiando di far perdere interesse a coloro che sono al mio livello o ti confronti con chi già sa ciò che dici. Spero opterai per rallentare la spiegazione dei concetti. Ad ogni modo complimenti.
La rallenterò sicuramente!
ha ha ha chi come me e te non ha una solida preparazione nella materia, dei concetti trattati nel video non ci ha capito letteralmente una mazza. Questo non è un video divulgativo di matematica è un video che tratta argomenti complessi di filosofia matematica . In questi commenti c'è un insegnante di matematica che conosce benissimo il giochino di affibbiare un numero ad ogni simbolo matematico e conosce il suo autore eppure confessa candidamente che non ne ha mai capito il senso! I matematici come gli scacchisti raggiungono le vette più elevate alla fine dell'adolescenza poi si fermano, non producono più niente di nuovo.
Per il dilemma del barbiere di Russel secondo me la soluzione è la seguente. Per questo barbiere particolare, vi è un primo momento in cui non si rade da solo. Per cui puo radersi da solo, visto che lui può rafere solo coloro che NON si radono da soli. Ma poi, dopo che si è rasato, non può più farlo, purché ora fa parte di coloro che si radono da soli.
Per cui si rade uns volta e una soltanto.
Molto semplice
Ciao. Ti ho scoperto da poco e me ne dispiace, perché sei bravissimo
Ma un altro modo per dimostrarlo non puo essere dire che: se tutto è dimostrato da qualcos'altro interno al sistema, si ha una "dimostrazione circolare" e quindi di fatto non valida? E per questo motivo si devono prendere come basi delle affermazioni evidenti e da li si costruisce il sistema logico
In pratica con la matematica posso affermare che qualsiasi affermazione é vera?
Ma forse non ci ho capito nulla
Magari non ricordo bene ma il teorema di Goedel dice qualcosa di diverso: che dato un insieme di assiomi E di regole di derivazione, è sempre possibile derivare delle proposizioni che non sono dimostrabili nè vere nè false
So che non c'entra nulla in questo contesto ma mi chiedevo se volessi rininziare a studiare matematica quale programma devo seguire? (superiori)
Alla scuola media superiore si può rinunciare a studiare matematica?
Studia sciamanesimo! Uno stile di modi di conoscere non necessariamente cerebrale. Il cervello va bene ma come tutto il corpo... e muore.
Allora il teorema di Gödel a cui ti riferisci nel video, dice esattamente questo:
Preso un sistema A di assiomi abbastanza sviluppato da contenere le regole dell’aritmetica, si può dimostrare che esistono o verrano trovati prima o poi dei teoremi che siano sia veri che falsi.
Questo implica anche che il sistema A stesso non può spiegare la sua coerenza totale per ogni teorema, MA, se si estende il sistema A ad un sistema B più esteso, allora il sistema A si può dimostrare nella sua intera coerenza tramite B, ad esempio l’insieme dei numeri reali è coerente e pure completo.
Non mi sembra giusto portare disinformazione su teoremi così importanti e tanto particolari da poter essere fraintesi con davvero poco.
Comunque il video è molto bello a prescindere da tutto! Complimenti 💪🏼
Grande video, ma ti consiglierei di migliorare il montaggio
che bella passione che hai anche io vorrei investire il mio tempo in qualcosa di produttivo peccato che soffro di depressione e sono sotto benzodiazepine e non riesco a concentrarmi
Leggi fiabe! Io ho incontrato una ex suora di clausura uscita dopo 20 anni dalla clausura. Aveva perso quasi tutti i contatti. Un medico antroposofo, Giuseppe Leonelli (ci sono sue conferenze raccolte in libri della Adel) le consigliò di leggere una fiaba dei Grimm (vera, popolare, non favola artificiale) al giorno. Ella s' indignò, egli le lesse una fiaba, dopo giorni cominciò a leggersene da sé e guarì dalla depressione! Laddove farmaci e altre cure avevano fallito.
Quello che aveva detto Cantor mi fa venire le vertigini !!!!
Hilbert non è stato il più grande tra i matematici, la formula più bella della matematica è di Eulero (e^iπ + 1 = 0). L'ha scoperta mentre riparava un orologio a cucù (era svizzero).
Quindi secondo Goedel 1+1 non fa sempre 2. Ma allora come possiamo presentarci alla cassa per pagare?
Pagare è da abitudine. Il mondo è dominato da forze cieche e caotiche
Sempre molto bravo e interessante complimenti......
Ottimo lavoro.
Una domanda. Supponiamo che ho una Teoria Matematica che si basa sugli assiomi s0,s1,s2,s3 e s4. Supponiamo anche che trovo una proposizione p0 che non sia derivabile dai suddetti assiomi (lo fosse sarebbe vera), ma neppure contraddittoria rispetto a qualcuno di essi (lo fosse sarebbe falsa e quindi confutata). Tale proposizione è indecidibile nell' ambito della mia Teoria Matematica. Cosa mi impedisce di disegnare una nuova Teoria Matematica dove aggiungo un assioma s5=p0? E così procedere iterativamente per ogni proposizione indecidibile, ovvero trasformarla in un assioma? Inoltre a questo punto o l' insieme delle proposizioni indecidibili è finito o è infinito. Se è finito dopo n iterazioni sicuramente arriverò ad una Teoria Matematica completa e consistente, aggiungo un numero finito di assiomi alla mia Teoria originale. Se invece fosse infinito allora non potrò mai arrivare ad una Teoria Matematica completa. Quindi il Teorema di Godel deve essere vero se e solo se le proposizioni indecidibili sono infinite. Dove sbaglio?
Non credo che sbagli. Sono infinite
Se una proposizione P è indecidibile allora lo è anche la sua negazione; quindi dovresti aggiungere come assiomi sia P che non-P; ma a questo punto otterresti un sistema incoerente.
Quindi la tua osservazione non contraddice il primo teorema di Goedel; inoltre non dimostra nemmeno che, se un sistema matematico è coerente, allora deve contenere infinite proposizioni indecidibili (ma quest'ultima affermazione è comunque vera, per un diverso motivo: se P è indecidibile, allora la proposizione (P & Q) è indecidibile, per ogni proposizione Q)
Però effettivamente potresti aggiungere come assiomi solo le proposizioni indecidibili P che non sono negazioni ; facendo così otterresti un sistema di assiomi S completo, mi pare. Per il primo teorema di Goedel questo sistema deve essere incoerente, cioè deve generare una contraddizione.
@@jofel131 No. Perché se p è indecidibile e la prendo come assioma, la assumo nel set degli assiomi della mia Teoria Matematica, automaticamente la negazione di p sarebbe falsa per definizione in questa nuova Teoria ottenuta dall' aggiunta dell' assioma p. Quindi ho comunque costruito una Teoria coerente.
Avvolte penso se le teorie stringhe siano state un evoluzione della matematica.
Un esempio di contraddizione (non banale) accettata in matematica?
Ammetto che questa è dura da mandare giù, dato che molte dimostrazioni vengono effettuate per assurdo. Vorrei approfondire questo argomento
"Contraddizione accettata" è contraddittorio.
@@ferruccioveglio8090Allora "Esiste che tu sappia almeno un caso di autocontraddizione nella matematica, riconosciuto da studiosi di matematica che tu reputi degni?".
@@t.me_s_petizioni_2220 Che io sappia no, e se lo si trovasse si cercherebbe di capire da dove nasce e come rimuoverlo, come è successo con l'antinomia di Russel.
@@tDOTmeSLASHpetizioniSLASH2220 vedila come se fosse un trucco di un illusionista: "Il verbo c'è, ma non si vede" 😜
Video bellissimo, grazie 😊 PS - grazie ad esso, ti sei "guadagnato" un iscritto in più 😉🎉
Giusto quello che argomenta Rorhin95. Ad Antonio è sfuggita solo questa parola nell’”insieme” esposto, peraltro benissimo (…poi non più ripetuta e non contenuta negli aggettivi finali dedicati alla Matematica).
Bravo Distaso; ottimo lavoro di divulgazione di temi veramente complessi anche solo da raccontare per essere capiti dagli interessati.
Tutto è una Emanazione dello spirito . Anche la matematica . Lo spirito è ,! Come i numeri sono .
È la volontà umana di ricondurre a leggi comprensibili ciò che per sua "natura" non lo è. Galileo ha dato questa illusione, ha consentito lo sviluppo delle scienze, ma non ha risolto la comprensione intuitiva del concetto di infinito. Né, in fisica, il concetto di "singolarità". D'altra parte concordo sul fatto che la nostra intrinseca limitatezza rende notevole i progressi comunque compiuti della conoscenza.
I teoremi di incompletezza di Godel non dimostrano che la matematica è incoerente, e che quindi come dici tu a 12:32 che ci saranno sempre contraddizioni al suo interno. Sarebbe la rovina della matematica. Piuttosto il teorema dice che la matematica non può sancire la sua stessa coerenza. La amtematica può dunque essere coerente, ma semplicemente non potremo mai provare che è coerente stando all'interno della matematica. E Hilbert voleva proprio fare questo: dimostrare che la matematica fosse coerente impiegando la stessa matematica. In questo senso Godel distrugge il suo sogno.
A parte questo tuo errore, il video non è male, però ti sconsiglio di mettere magari dei sottotitoli in cui correggi l'affermazione di cui sopra.
Interessante. Ora vorrei sapere di più sul problema della macchina di Turing. Se è quello che credo di ricordare, è un problema che non ho mai capito a fondo.
Aspettati un video!
@@AntonioDistasoCZcamsr wow grazie!
Bro o Gauss o Hilbert deciditi, chi è il più grande matematico della storia?
Secondo me quello che tu chiami "buco nero" è all'inizio della fondazione della matematica, con gli enti fondamentali punto, retta e piano, che sono definiti esplicitamente e non implicitamente. Se non erro, Hilbert parlava appunto di questo, cioè dei sistemi assiomatici, i concetti primitivi come punto, retta e piano sono noti per intuizione. Io penso che per definirli dobbiamo cambiare prospettiva, cioè, la retta può essere definita come giustapposizione consequenziale di infiniti punti, il piano altrettanto come giustapposizione di infinite rette; altrettanto vale per il concetto di "infinito"; ora, io non ho letto la teoria di Cantor, ma l'infinito non dovrebbe avere un inizio, dato che non ha una fine, semplicemente esso "emerge" come "oggetto". Anche la retta, essa non "deriva" dalla giustapposizione di punti ma emerge e non è fatta di punti, è un ente indivisibile. Tu cosa ne pensi?
Non si definiscono e basta, conta solo come si relazionano: per esempio in quel modello della geometria euclidea che è il piano cartesiano un punto è una coppia ordinata di numeri reali, una retta è una classe di equazioni lineari in due variabili equivalenti tra loro e il punto appartiene alla retta sse i due numeri reali sono soluzione delle equazioni equivalenti.
@@ferruccioveglio8090 Infatti quello che dici si chiama "definizione implicita", cioè l'uso che se ne fa e come si relazionano ci informa su alcune loro caratteristiche, da cui può partire la definizione che hai dato, che fa parte della matematica e della geometria medesima, un pò come il barone di Munchausen che voleva sollevarsi tirando verso l'alto gli speroni dei suoi stivali. Infatti, tutto il dibattito venuto fuori con Hilbert e poi altri studiosi è proprio derivato dal fatto che la scienza della matematica voleva "auto-fondarsi" e costituirsi come sistema assiomatico completo, senza alcun bisogno di ricorrere a definizioni "esterne".
@@gianlucaurbanelli Vorrei solo precisare che io non ho dato definizioni, ho solo mostrato un esempio di quello che è un modello (piano cartesiano) di una teoria (geometria euclidea).
@@ferruccioveglio8090 sì, sì, la mia era solo una riflessione filosofica, nel senso che la definizione che hai dato asomiglia molto a quello che io ho letto in filosofia sulla "definizione imlpicita".
Dimostrazione che studiare qualcosa di incompleto, indeducibile e inconsistente è totalmente INUTILE.
Bellissimo video, grazie
C'è una cosa che non mi torna. Piú volte dici "quindi ci sará sempre qualche contraddizione", però non è detto. L'unica cosa che si può dire è che non si può dimostrare che non ci siano contraddizioni, ma non è detto che ce ne siano (a partire dagli assiomi che si fissano). Quando studiai informatica teorica la capii cosí, correggetemi se sbaglio.
Questi argomenti sono affascinanti, anche se non ho avuto mai modo di studiarli a dovere. Un libro altamente ispirante che consiglio di leggere per chi vuole divertirsi un po' è "Gödel, Escher, Bach: un'eterna ghirlanda brillante" di Douglas Hofstadter
Me l'hanno consigliato in parecchi
Dice un certo Gian Aldo Antonelli in una pubblicazione su internet del 1996:
Hofstadter offre un interessante e caratteristico rovesciamento di una delle obbiezioni degli anti-meccanicisti. Questi ultimi, proprio a partire da Lucas, indicano il fenomeno per cui sembra che non vi sia limite alla capacità umana di “gödelizzare” sistemi formali a riprova del fatto che i poteri inferenziali umani non possono essere rappresentati da alcuna macchina. Formalmente, questo viene espresso citando un teorema, dovuto a Alonzo Church e Stephen Kleene, secondo cui non vi è alcun sistema ricorsivo di notazioni in grado di assegnare un nome a tutti gli ordinali costruttivi. Il rovesciamento compiuto da Hofstadter consiste nel considerare ciò indicazione del fatto che “qualsiasi essere umano semplicemente raggiungerà a un certo punto i limiti della propria abilità di ‘gödelizzare’. Da tale punto in avanti, i sistemi formali aventi tale complessità, per quanto certamente incompleti per le ragioni indicate da Gödel, avranno altrettanto potere quanto il dato essere umano” (p. 476).
Video bellissimo, mi ricorda quell'odidssea che è stata leggere GEB di Hofstadter! ❤
Un libro che ho provato già due volte a leggere...è una discesa verso un mondo sconosciuto e d affascinante ma richiede tempo e concentrazione
Dice un certo Gian Aldo Antonelli in una pubblicazione su internet del 1996:
Hofstadter offre un interessante e caratteristico rovesciamento di una delle obbiezioni degli anti-meccanicisti. Questi ultimi, proprio a partire da Lucas, indicano il fenomeno per cui sembra che non vi sia limite alla capacità umana di “gödelizzare” sistemi formali a riprova del fatto che i poteri inferenziali umani non possono essere rappresentati da alcuna macchina. Formalmente, questo viene espresso citando un teorema, dovuto a Alonzo Church e Stephen Kleene, secondo cui non vi è alcun sistema ricorsivo di notazioni in grado di assegnare un nome a tutti gli ordinali costruttivi. Il rovesciamento compiuto da Hofstadter consiste nel considerare ciò indicazione del fatto che “qualsiasi essere umano semplicemente raggiungerà a un certo punto i limiti della propria abilità di ‘gödelizzare’. Da tale punto in avanti, i sistemi formali aventi tale complessità, per quanto certamente incompleti per le ragioni indicate da Gödel, avranno altrettanto potere quanto il dato essere umano” (p. 476).
Che mal di testa😂. Torno ad imbiancare!
Bellissimo video storico-epistemologico. Sono un prof. di mate e fisica e lo farò vedere agli studenti
Che bella personcina Kronecker..🤬😮
Parlo da fisico ad un matematico: se le persone si appassionassero alla matematica con lo spirito che hai portato alla fine del video avremmo risolto la maggior parte dei problemi che affliggono l'uomo che si arrovella solo per risolvere i propri problemi personali
Bel video! Ne approfitto per porti una questione.
L'ultima vota che vidi nei dettagli la dimostrazione del teorema di Godel
fu circa 40 anni fa per l'esame di Logica e forse mi sono scordato oppure a quei tempi non mi posi la domanda che vado a farti.
La Godelizzazione ha a disposizione alef zero numeri naturali ma mi viene da dire che le proposizioni che interessano i numeri naturali hanno cardinalità alef uno.
Per esempio i sottoinsiemi di N hanno la cardinalità di R, e per ogni sottoinsieme di N posso costruire una proposizione.
Sto ragionando male oppure ho ragione?
Nel caso avessi ragione, come risolse la questione Godel?
Ciao! I sottoinsiemi di N non hanno cardinalità aleph1. I numeri pari sono un sottoinsieme di N, ed hanno cardinalità aleph0. I numeri reali non sono un sottoinsieme di N. Goedel ha numerato tutte le proposizioni dell'aritmetica. Si muove sempre nel campo dei numeri naturali.
@@AntonioDistasoCZcamsr Perdonami mi sono espresso male. Intendevo dire che l'insieme delle parti di N
ha cardinalità alef1.
Poichè per ogni sottoinsieme di N posso creare una proposizione allora avrei alef1 proposizioni. Ti chiedo ancora di dirmi dove cade il mio ragionamento.
Ti preciso che considero il risultato di Godel una delle pietre miliari della Matematica perchè la rende ufficialmente quella che è ovvero una creatura umana e come tale imperfetta.
Ho solo questa mia perplessità riguardante la dimostrazione: tu ribadisci che la Godelizzazione esaurisce tutte le proposizioni di N...ma da qualche anno a questa parte mi chiedo: e l'insieme delle parti di N con tutto quello che c'è dentro?
@@alexveri4166l' errore in questo ragionamento consiste nel fatto che non ogni sottoinsieme di N codifica una proposizione. Ad esempio il sottoinsieme {1,2,3} non codifica nulla di sensato.
@@attiliolesilio55 Ti ringrazio e preciso ancora che essendo un matematico di professione, beh in realtà sono un semplice insegnante di Liceo, non sono qui a discutere la validità della dimostrazione di Godel. Vorrei solo mettere a posto i ricordi.
A riguardo della tua ultima risposta mi viene da dire che "io non sono dimostrabile" non sembra più sensata di " {1,2,3} è un sottoinsieme di N" oppure "{1,2,3}∩{5,4,3}={3}"
Probabilmente i miei problemi nascono dal considerare "The set P(N) of all subsets of N is uncountable" una prop. LEGITTIMA.
Mi sembri un ragazzo in gamba. Io ho ex allievi (pochi) diventati docenti universitari e adesso girano il mondo. Ti auguro la stessa fortuna... e scusa ancora.
@@alexveri4166 sono quello che ha risposto alla sua osservazione e NON sono l'autore del video.
Ho frainteso quello che voleva dire, ma ora ho capito.
La risposta è un po' lunga e ora non posso scriverla, ma lo farò poi, se avrà la pazienza di aspettare.
Appena iscritto!!! Sono un musicista che ama la matematica. Ma sono anche un matematico che ama la musica. Quindi per me la musica è matematica e la matematica è musica 😂😂😂
Bravissimo, continui così 👍🏻👍🏻👍🏻
Ti va di farci ascoltare qualcosa? Hai mai pensato di comporre una monodia o aria basata su rapporti perfetti (non temperati) che si concluda con una differenza di mezzo tono o un tono? o una composizione armonica su rapporti perfetti?
Il tuo entusiasmo per la matematica mi ha fatto interessare a questo argomento...
Ps
Sono una capra in matematica
Non esistono capre in matematica!
@@AntonioDistasoCZcamsr 😍
6:33 manca un pezzo: il sistema di assiomi deve essere sufficientemente potente per esprimere l'aritmetica.
e manca un altro pezzo: gli assiomi non bastano, ci vogliono anche delle regole di derivazione
Bellissimi i numeri transfiniti❤
In molti teoremi ed operazioni matematiche si ottengono identità strane, tipo 0 = 1
La "soluzione" che ne deriva sarebbe che è impossibile, così almeno ci insegnano nelle Università.
Però lo svolgimento FORMALE e COERENTE del problema porta a quella identità; se mi interessa il problema FISICO mi può anche stare bene, ma, se mi interessa il FORMALISMO delle operazioni che ho svolto, non si può negare che l'identità risultante sia ASSOLUTAMENTE VERA. 🤔
succede soltanto quando il processo che conduce a quell’identità è errato sulla base degli assiomi da cui derivano le proprietà che sono state usate per costruire il processo stesso. ecco perché si dice impossibile.
Teoremi e operazioni? Quali? Io conosco un giochino per "dimostrare" che 0=1, ma si basa su un errore nascosto nel procedimento.
@@ferruccioveglio8090 esatto, ERRORE nascosto. ovvero la dimostrazione e' falsa.
"Nascosto" a chi? In tutti questi discorsi manca il soggetto! come se esistesse un linguaggio universale, compresibile da chiunque, da cetacei, umani con i.q. basso, idiot savant, geni in meccanica origettuale, riparatori, terapisti, acrobati, e perché no cuochi e spazzini abilissimi, così come da chi appartiene al gruppo che si racconta "la" matematica o qualche matematica. Di più: come se esistesse un linguaggio universale adatto a macchine che non abbisognino MAI di uomini.
A: esistono conclusioni assurde a cui la matematica ha portato e i cui errori "nascosti" sono ancora nascosti ai più degli stessi matematici?
B: Può darsi che alcune o tutte le verità palesi siano o celino errori (nascosti)! o no?
Premetto che sono un matematico ma che non mi occupo di logica. Alla luce dei commenti qui sotto mi pare di capire:
Il secondo Teorema di Goedel afferma che se un sistema è coerente esso non contiene una dimostrazione della propria coerenza.
Da qui pare che:
1) In sostanza la coerenza è una proprietà indipendente, esterna al sistema.
2) L'indimostrabilitá della coerenza è condizione NECESSARIA alla coerenza stessa. Ripercorrendo l'enunciato del Teorema al contrario: Se un sistema potesse dimostrare la propria coerenza allora sarebbe incoerente.
3) In risposta ad Hilbert potrei dire:
"Non sappiamo e speriamo di non saperlo mai. Beata ignoranza"
4) Se un qualunque sistema afferma che egli dice sempre la cosa giusta allora da qualche parte si sbaglia.
Metto ora in discussione i punti precedenti:
Ma è così spaventosa l'incoerenza? Esiste un modo di limitarla a quesiti come il paradosso di Russell?
Non sarebbe male se al di fuori di questi casi patologici la matematica sia effettivamente completa. In barba alla coerenza, il che non significa abbandonarsi all'incoerenza bensì rinunciare ad una coerenza in senso assoluto.