Riccati Differentialgleichungen (DGL) Einfach erklärt | Erkennen, Beispiel lösen + AWP
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- čas přidán 27. 07. 2024
- Jede Gleichung, in der eine Ableitung enthalten ist, heißt "Differentialgleichung" (DGL). Mit diesen Gleichungen werden z.B. in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften Änderungsverhalten ausgedrückt. Die Riccati DGL ist dabei einer Linearen DGL 1. Ordnung und auch einer Bernoulli DGL sehr ähnlich, bzw. lässt sich in solche transformieren. Wie du Riccatische DGL erkennen kannst und wie du sie lösen kannst, erfährst du in diesem Video an einem konkreten Beispiel mit Anfangswerten (AWPs).
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Inhalt:
0:00 Was ist eine Riccati DGL?
0:38 Riccati DGL erkennen (+Beispiele)
3:19 Lösungsverfahren
4:49 Schritt 1: Spezielle Lösung "erraten"
9:49 Schritt 2&3: Substitution & Lineare DGL 1. Ordnung lösen
15:01 Zusammenfassung: Alle Lösungen der Riccati DGL
16:46 Anfangswertprobleme (AWP)
18:43 #WERBUNG
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Hammer, nächstes Semester liegt wieder das Mathe 3 Regelsemester an, wär klasse wenn mehr Videos aus diesem Themenbereich kommen.
i know I am quite off topic but do anyone know of a good website to stream newly released movies online ?
HöMa 3 Klausur ist schon vorbei und habe es bestanden. Danke Peter :D , Deine Videos haben mir sehr geholfen
Freut mich! Und viele Dank :)
Super Video! Schreibe höchstwahrscheinlich meine Bachelorarbeit in Nichtlinearer Dynamik. Da kommen mir Videos in die Richtung sehr entgegen. Danke!
du hast mich das leben gerettet VIELEN DANK!!!!
Sehr gutes Video! Vielen dank:)
super erklärt ! man merkt einfach der Mann brennt für die Mathematik :D
Gut und verständlich erklärt! Bitte noch Videos zu Potenzreihenansatz und Fundamentalsystemen!
Geht klar, kommt noch!
Uiuiui, wir sollten die Lösungsformel in der Übung selbst herleiten :D
Wenn du noch immer Probleme beim Herleiten hast, schau dir gern das Video dazu an: czcams.com/video/QbWlLlMTfQ4/video.html
Ich bedanke mich herzlich für deine perfektes Erklärung❤❤ , was ich mich ganze Zeitfrage , wie wäre es wenn die AWP ein Punkt ist dass die nicht durch beide unsere beide Lösungs läuft . wie sollen wir dann vorgehen? müssen wir ein neue Lösung finden? Mit freundlichen Grüßen MO.
Es kann auch sein, dass das AWP keine Lösung besitzt.
Hallo MathePeter, (ich schon wieder😂) vielen Dank für das Video! Ich struggle etwas mit dem Erraten von yp 🙈 Wie würdest du bei folgender Gleichung vorgehen bzw welche yp würdest du dafür nehmen? y'=1/2*(x^2+y^2)-1
Komme leider auf keine günstige yp 🙈
VG, Josephine
Puh gar nicht so einfach. Gibts dazu irgendwelche Hinweise? Wenn keine erraten werden kann, hilft es manchmal mit Substitutionen ein bisschen hin und her zu transformieren, bis was ansprechenderes bei raus kommt.
Probier mal y_p = -2/x
Das klappt leider nicht nicht. Wolfram Alpha sagt zwar aktuell, dass die Lösung gleich y(x)=2/(c-x) sein soll, aber das ist falsch. Lässt sich durch direktes Einsetzen überprüfen. Meine Vermutung ist, dass die Aufgabe eigentlich y'=1/2*(x^2-y^2)-1 lauten sollte. In dem Fall ist eine partikuläre Lösung leicht zu erraten: y_p=x.
@@MathePeter Warte, Wolfram Alpha... kann Fehler machen??
@@updatedotexe @MathePeter
Danke für Eure Antworten!:-)
Also die Aufgabenstellung habe ich (leider) richtig abgeschrieben und Hinweise dazu gab es leider auch keine :( Aber zur Not lasse ich die Aufgabe aus, das war nur Zusatz. Aber ich sag ja... der Prof hat für Wirtschaftsingenieurwesen 3. Semester vllt etwas zu hohe Ansprüche :-D
PS: Gibt es eig schon ein Video zu (p-)Normen und deren Stetigkeiten? :)
Gibt es Fälle in denen die Formel für Z*(x) nicht gilt? Also -(f(x)+2g(x)-yp)*z-g(x)...
Ich habe nämlich eine Aufgabenstellung inkl. Lösung bei der das eben nicht hin haut. Da wird z*(x) anders bestimmt mit einem anderen Ergebnis.
Die Methode hier funktioniert immer, die Herleitung findet du in diesem Video: czcams.com/video/QbWlLlMTfQ4/video.html
Es kann aber mal sein, dass die Lösungen anders aussehen, obwohl sie identisch sind. Manchmal muss man genauer hinschaue. Überprüfen kannst du deine Lösungen aber jederzeit durch simples Einsetzen in die DGL am Anfang.
Wenn triggert es noch, dass er A1 = 2 setzt und A2 = 1 9:26
Mich 😂
Hallo Mathe Peter, gibt es einen Trick wie man eine Lösung leichter erraten kann? Ich weiß, du hast gesagt es gibt keine Formel dafür, was ich meine ist ein Trick, wenn es sich um "einfachere" Lösungen handelt. Ich denke da an Koeffizientenvergleich. Leichte Lösungen, wie x, 1, e^x sind an sich kein Problem, aber was ist mit lösungen, wie x/x^2 usw. Also ich rede nicht von solchen Lösungen auf die man nie kommen würde, wie tan(sqrt(x)) sondern solche, die etwas "einfacher" sind, wie Polynome, glatte Funktionen usw. Kommt man wirklich nicht drumherum als zu testen? Weil in der Prüfung könnte man damit viel Zeit verlieren und ich schreibe bald meine Prüfung in DGL ;) LG
Ja leider kommt man da nicht drum herum. Du kannst so rangehen, wie ich es in 4:49 erklärt hab, da hab ich ja auch von "schlau raten" gesprochen. Aber in den meisten Klausuren wird schon eine Lösung vorgegeben, damit man sich einfach nur aufs Rechnen selbst konzentrieren kann :)
Ist dieser Ansatz der simpelste um die spezielle Lösung zu bekommen oder gibt es auch andere ?
Ich habe ein Problem bei folgender Gleichung
y‘ + y/x -(3y^2)/x^3= 3x/4
Leider komme ich mit dieser Methode nicht auf die spezielle Lösung
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte
Meine erste Idee wäre irgendwas mit x^2 zu vermuten, weil dann in jedem Summanden ein x vorkommt. Also Ansatz: y(x)=a*x^2 führt tatsächlich zu einer Lösung, wenn a=1/2 ist. Prüf das noch mal nach, ob ich mich nicht verrechnet habe :)
Könnte mir jemand erklären was es im letzten Schritt mit y=1/x auf sich ? Und wäre es bei einem AWP dann nicht am einfachsten, sich direkt an y = yp auszuprobieren mit jwls A=1 und A=2, und zu schauen ob mein Problem aufgeht? Dann könnte ich mir die Substitution sparen.
Meinst du am Ende das AWP mit y(2)=1/2? Dafür brauchst du natürlich nur die "erratene" Lösung. Aber wenn du alle Lösungen haben willst bzw. ein anderes AWP vorliegt, musst du schon alles berechnen.
wenn Ich dich richtig verstehe dann kann f(x) auc gleich null sein und damit der summand mit y komplett wegfallen ?
Genau.
Eine andere Frage: wir suchen ja immer y von y' also das Integral von y'. Warum wird h(x) was ohne y steht bei der Berechnung von y nie betrachtet? Nehmen wir an wir haben: f(x)= 2x und suchen das Integral, dann erhalten wir: F(x) = x^2. Warum verhält es sich bei den Differentialgleichungen anders? Das was da steht als h(x) ist doch nicht 0 , sondern Funktion, die von x abhängt?
Ja genau, aber das ist doch in Ordnung. Wenn ich y ableite, dann kann es dabei einen Summanden geben, der y selbst enthält, einen anderen, der y^2 enthält und auch einen Summanden, der nur eine Funktion von x enthält. Leite mal die Funktion ab, die am Ende entsteht. Dann hast du genau die Struktur, wie es auch die DGL vorgibt.
@@MathePeter ich hab nochmal darüber nachgedacht und hab noch eine andere Begründung: h(x) hat durchaus Relevanz, denn wenn wir h(x) = 0 hätten, wäre es eine Bernoulli DGL, so aber haben wir eine Riccati bei der wir anfangs die partikuläre Lösung y_p erraten müssen und beim Erraten muss die rechte Seite inkl. h(x) mit der linken übereinstimmen. LG
Hi! Ich habe eine DGL die ich mit Riccati scheinbar nicht gelöst bekomme (zumindest komme ich nicht drauf)
y' = (x - y)^2 mit -1 < x - y < 1
Ideen? :D
y=x+1 ist eine Lösung. Die kannst du verwenden, um die Riccati DGL zu transformieren.
@@MathePeter das dachte ich mir auch zuerst! Aber dann wäre -1 < x - y < 1 doch nicht erfüllt, weil (x - y) = (x - x+1) = 1 und somit nicht echt kleiner als 1 ist.
Kannst du diese Lösung nicht erst mal nutzen, um die Riccati DGL zu transformieren und die DGL zu lösen? Die Einschränkung kannst du ja am Ende wieder dazu nehmen.
@@MathePeter Ach natürlich. Ich hatte mich viel zu sehr auf die bedingung versteift, danke dir!
14:23 wieso wurde hier das "+c" nicht berücksichtigt?
Weil nur eine partikuläre Lösung gebraucht wird, ich nehm die mit c=0. Wenn du das c mitschreibst und homogene und partikuläre Lösung zusammenfasst, sieht die Lösung identisch aus mit der hier, nur hat die Konstante einen anderen Namen.
@@MathePeter Du bist ein King bruder, danke dir!