Bernoulli Differentialgleichungen erkennen&lösen + Beispiel mit AWP
Vložit
- čas přidán 25. 07. 2024
- Jede Gleichung, in der eine Ableitung enthalten ist, heißt "Differentialgleichung" (DGL). Mit diesen Gleichungen werden z.B. in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften Änderungsverhalten ausgedrückt. Die Bernoulli DGL ist dabei einer Linearen DGL 1. Ordnung sehr ähnlich. Wie sie aussieht, welche Zusammenhänge bestehen und wie du sie lösen kannst, lernst du in diesem Video!
✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄
Wenn du dich auf eine Mathe Prüfung vorbereiten musst, dann schau dich auf meiner eigenen Online Plattform um: champcademy.com. Dort findest du Kurse, individuellen Support und alles, was du benötigst um deine Prüfung zu bestehen.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ONLINE KURSE 🤓
25% Rabatt auf alle meine Kurse. Gutscheincode "2023"
Statistik- und Wahrscheinlichkeitsrechnung
champcademy.teachable.com/p/s...
Komplexe Zahlen
champcademy.teachable.com/p/k...
Folgen, Reihen und Differenzengleichungen
champcademy.teachable.com/p/f...
Differentialrechnung
champcademy.teachable.com/p/d...
Grenzwerte von Funktionen
champcademy.teachable.com/p/g...
Integralrechnung
champcademy.teachable.com/p/i...
Mehrdimensionale Integralrechnung
champcademy.teachable.com/p/m...
Funktionen mit mehreren Variablen
champcademy.teachable.com/p/f...
Extremwertrechnung
champcademy.teachable.com/p/e...
INDIVIDUELLE KURSE
Mathe 1 Crashkurs (angepasst an HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/m...
Mathe 2 LIVE Crash Kurs (für HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/m...
Statistik 1 LIVE Crash Kurs (für HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/s...
Analysis 2 LIVE Crash Kurs (für TU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/a...
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SOCIAL MEDIA
linktr.ee/mathepeter
/ mathepeter.tv
/ discord
LIVESTREAM-KALENDER
kalender.digital/831bcc564b24...
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
AFFILIATE LINKS
Für jeden Kauf bekomme ich eine kleine Provision. Für dich bleibt der Preis gleich:
Mein Taschenrechner
amzn.to/2RbhKKj
Mein Tafelwerk
amzn.to/2WdVUtd
♥♥♥ ♜♞♝♛♚♝♞♜ ♥♥♥
♟♟♟♟♟♟♟♟
---------------------------------------------------------------------
Möchtest du mich unterstützen?
Patreon: / mathepeter
PayPal: paypal.me/peterlehe1?locale.x...
---------------------------------------------------------------------
♙♙♙♙♙♙♙♙
♥♥♥ ♖♘♗♕♔♗♘♖ ♥♥♥
✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄
Inhalt:
0:00 Was dich erwartet
0:40 Bernoulli DGL erkennen
3:43 Allgemeine Lösung einer Bernoulli DGL
4:57 Warum ist alpha nicht 0 oder 1?
5:54 Beispiel
7:29 Schritt 1: Substitution
9:19 Schritt 2: Lineare DGL 1. Ordnung lösen
12:32 Schritt 3: AWP + Rücksubstitution
15:27 #WERBUNG
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
der Saschau Huber der Mathematik. Viel gelernt und gute Laune mitgenommen. Danke
Hammer Typ! Bin Biotechnologie Student und du kannst das so einfach und verständlich erklären, der Wahnsinn!
Vor 30-40 Jahren hatte ich an der Uni-Wien eine 1-Semester-Vorlesung zu DGL-n. Der Stoff des Semesters war ungefähr das was Du hier in ca. 1,5 Std. erklärst :)
EhrenPeter! Danke für die super Erklärung!
Unfassbar bist du! Mathe 1 und 2 habe ich dank dir ohne eine einzige Vorlesung zu besuchen bestanden. Hoffentlich klappts jetzt noch zuletzt mit Mathe 3. Vielen Dank für deine unglaubliche Arbeit und dafür dass du uns immer wieder zeigst dass Mathe auch Spaß machen kann!
Solche Videos hätte ich 2003 im ersten Semester meines Studiums gebraucht. So komprimiert und gut erklärt! Irgendwie hat es damals auch ohne CZcams geklappt, aber mit so auf den Punkt gebrachten Erklärungen wäre es so viel einfacher gewesen:)
Super Videos, wir sind in Mathe von dir abhängig :D Bitte auch noch Videos zur Differentialgleichung höherer Ordnung :)
Dieser Bitte möchte ich mich unbedingt anschließen :)
Ich muss wirklich sagen du bist der king mit deinen videos
ich schreib in ein paar tagen meine Mathe 3 prüfung und du hast einfach die basics 1000 mal besser vermittelt als meine 3 professoren die ich bis jetzt in dem modul hatte
(bei zweien hatte ich so ein schlechten wissensstand dass ich von vornerein gesagt hatte ich geh nicht in die prüfung)
Peter du bist ein Schatz!
So gut gemacht, danke!
danke sehr ,war perfekt
perfekt. gut erklärt wie immer
Ich liebe dich!
desselbe wollt ich auch grad schreiben...
Und ich liebe die Mathematik
Super Video, danke!
Bester Mann! Danke dir!
Vielen Dank für die einfache Erklärung!
Kennst du dich mit dem Lösen von DGL per Substitution aus? Da gibt es doch Polynom- und Quotientzusammenhänge. Vielleicht kannst du darüber ja ein Video machen. (Meine Suche blieb bisher erfolglos)
Kommt noch im nächsten Semester :)
Bester Mann ... ohne dich wäre ich lost. Maschinenbau Student RWTH Aachen
Danke dir! Und liebe Grüße an die Kommilitonen, mit euch haben die Altklausuren Livestreams besonders viel Spaß gemacht :)
Sehr gutes Video,
Ahhh, ich wünschte so sehr, du würdest noch mehr DGL-Erklär-Videos haben. Zu Ricatti oder DGL-Systemem oder, oder...
Du machst das zu gut, ich bin abhängig von deinen Videos D:
Vielen Dank, das freut mich echt zu hören! Wenn ich irgendwann wieder Luft zum atmen bekomme, dann kann ich anfangen das zu planen. Neben diesem Vollzeithobby hier muss ich nur leider auch noch paar Minuten Schlaf opfern, um meine Miete zu verdienen. Ich packs einfach nicht jedes Video in jedem Bereich direkt umzusetzen. Mein Tag hat auch nur 24h 😅
@@MathePeter Kein Problem! Ich freu mich eh immer über neue Videos, egal welches Thema :D
Super Video
echt sehr gut erklärt
danke ,dass du dir so die Mühe gibst ,um es leichter zu machen .
Wir hätten aber gerne Videos über Extakte und Riccati’sche Differentialgleichungen mit allen Details, die dazu gehören .
Einen vollständigen Videokurs zu DGL plane ich noch dieses Jahr. Das sind dann auch alle Infos zu Riccati- und exakten DGL dabei.
MathePeter das wäre dann aber sehr gut , ich bin mal gespannt 😉✌🏻
Hallo! Super Video! Vielen Dank!🤩🤩🤩
Gern geschehen 😊
Irgendwie muss man hier alles dreimal anschauen bis man es kapiert, aber man versteht es auf diese Weise.
Übung macht den Meister. Voll gut, dass du dich so reinkniest! :)
je suis dankbar
Ewig Dankbar!
größter Ehrenmann
danke
Legende
Warum hat dieses Video nur so wenig likes ;D ich würde dir jeden tag einen Daumen hoch geben
Geiles video
hallo Peter am erste danke ich dir für das einfacher erkärung dass finde ich sehrToll zweitens wollte ich gerne wissen ob du den koeffizient (1-alpha) in Zh und Zp vergessen hast ?
Danke dir! Da da alpha = -1 ist, ist der Koeffizient gleich 1-(-1)=2 und den hab ich sowohl an das f(x), als auch an das g(x) dran multipliziert. Der hat sich ja in 8:17 dann jeweils weggekürzt.
Bruh.. ich studiere Physik und ich habe in diesen Video mehr gelernt als im ganzen Semester 💀
uendlich mal besser erklärt als die dozenten
Hi kannst du bitte ein Video zu Folgen machen? Wie man aus der rekursive Darstellung einfach die explizite Darstellung erkennen kann und umgekehrt? Bräuchte das da wir dem nächst eine Überprüfung schreiben und ich es nicht verstehe. Aber nur wenn du Zeit dazu hast.
Arbeite grad an einem Online Kurs zu Folgen, Reihen und Differenzengleichungen. Eine Folge in rekursiver Form in eine explizite Form umzuwandeln nennt man auch "eine Differenzengleichung lösen". Problem ist nur, dass viele Folgen nur eine rekursive und keine explizite Form haben oder die Berechnung übertrieben kompliziert ist. Wenn es aber möglich ist, erklär ichs im Online Kurs, wenn er fertig ist :)
Danke für deine super Videos! Das ist soo eine Hilfe. Könntest du auch mal was zur Ricatti-DGL machen?
Na klar! Mach ich demnächst :)
pst... Peter... Auf dem Thumbnail dieses Videos steht ERKENNENEN😂 Aber super Videos, vielen Dank!:)
Vielleicht sollte ich den Titel des Videos anpassen 😂
kann es sein dass du beim berechnen von z(partikulär) im Integral im Zähler des Bruches das (1-alpha) vergessen hast?, denn dann müsste da noch eine 2 in den Zähler
Ist ein klassischer Fehler den Term zu vergessen, hier steckt er aber schon mit drin. Denn (1-alpha)*g(x) = 2*1/2=1.
@@MathePeter achja, danke für die schnelle antwort :) deine videos retten einem die klausur
geil
Hey,
echt ein klasse Video :D
Hab aber noch eine Frage zur Stelle 4:03
Ich verstehe nicht wieso die Funktion "in sich zusammen bricht"
Kann mir da wer helfen?
Oder soll ich das einfach so hinnehmen?
Das Video mit der Herleitung ist als Infobox verlinkt: czcams.com/video/KAXtboYug28/video.html
@@MathePeter Vielen Dank für die Antwort, habs verstanden, echt top!
Hi, ich hab ein Problem. In meiner Beispielaufgabe (2x^2)*y' = x^2 + y^2 gibt es ja nur einen Faktor der mit y multipliziert wird. Dieser wäre ja ''1'', weil vor dem y^2 eine unsichtbare 1 steht. also habe ich ja nur einen Summanden, was nicht einer Bernoulli DGL entpspricht, oder nicht? Denn wenn ich am Anfang umstelle nach y' dann habe ich ja wie gesagt, nur einen Summand, welcher mit y multipliziert wird. Kann ich hier trotzdem dein Rechenschema verwenden?
wäre echt cool wenn du mir antworten würdest
danke im voraus, bist mir echt immer wieder eine große hilfe
Stell deine DGL (2x^2)*y' = x^2 + y^2 nach y'=1/2+1/2*(y/x)^2 um. Das ist keine Bernoulli DGL, weil an dem 1/2 kein y dran multipliziert ist. Das ist eine ÄhnlichkeitsDGL. Die löst man durch die Substitution z=y/x. Leider hab ich dazu noch keine Videos gemacht. Die Idee ist allerdings Folgende: y'=f(y/x). Mit z=y/x bleibt eine DGL z'=1/x*(f(z)-z) über, die man mit Trennung der Veränderlichen lösen kann.
müsste beim integral in der partikulären lösung (integral von x) nicht noch ein c enstehen also 1/2 x^2 +C ?
Kannst du machen, führt am Ende auf das identische Ergebnis mit einer anderen Konstanten. Da aber sowohl C, als auch diese neue Konstante Zahl beliebige reelle Zahlen sind, kannst du es auch einfach sein lassen. Andere Erklärung: Ich nehme einfach die eine partikuläre Lösung, bei der die Konstante gleich Null ist.
Hab es schon erkannt. Nur die Formel oben rechts war irreführend.
hello :)
wieso ist das eine DGL 1.Ordnung, wenn doch ein y^(irgendwas>1) vorkommt?
Die Ordnung bezieht sich auf die höchste vorkommende Ableitungsordnung. Wenn dort was mit y^... steht, dann heißt das nur, dass die DGL NICHT LINEAR ist.
Wohin verschwindet bei der partikulären Lösung das (1-alpha)? Das ist ja in unserem Beispiel dann wenn ich mich nicht irre 2. Das heißt dass man ja das Integral von 2/(1/x) hätte. Ist das Ergebnis das gleiche?
Bei der partikulären Lösung steht doch (1-alpha)*g(x), also (1-(-1))*1/2 = 1. Die 2 kürzt sich mit dem g(x)=1/2 weg.
@@MathePeter ups 😅😂 jetzt sehe ich das auch vielen Dank, bist der beste Mathe Dozent 🙌🏻
Guten Tag, ich habe die Differentialgleichung y'+e^y = 1 mithilfe von Substitution zu lösen. Leider weiß ich nicht wie ich hier substituieren muss, um auf die richtige Lösung zu kommen. P.s. super Videos
Du könntest u=e^y setzen. Dann wäre ja die Ableitung du/dy=e^y. Wenn du mit dy multiplizierst und durch dx teilst (ich nehme mal an, dass x die Variable ist, von der die Funktion y abhängig ist), dann hast du du/dx = e^y * dy/dx. Also kurz: u'=e^y*y'. Und da ja u=e^y ist, hast du u'=u*y'. Eingesetzt ergibt das u'/u + u = 1. Umgestellt nach u' hast du dann die Bernoulli DGL u'=u -u^2. Ich persönlich würde aber anders ran gehen. Da die Variable x selbst nicht in der DGL vorkommt, nennt man die DGL auch "autonom". Jede autonome DGL ist eine separierbare DGL. Dann musst du zwar beim Integrieren trotzdem noch u=e^y substituieren, sparst du aber einige Zwischenschritte und bist schneller beim Ergebnis.
@@MathePeter Danke für die schnelle Antwort, werde das gleich ausprobieren. Ich habe einfach nicht gesehen, dass die Bernoulli DGL erst nach der Substitution anwendet muss. Du machst dich in meiner Lerngruppe gerade sehr beliebt.
ich liebe dich
Hallo MathePeter,
in Minute 3:52 sagt Du "zum Beispiel"
Ich dachte bisher, z sei die einzige Subtitution. Gibts noch andere?
Ich meinte damit nur, dass man die Variable auch anders nennen kann, wie u. Ist schon die einzige Substitution, die die Bernoulli DGL in eine lineare DGL transformiert.
@@MathePeter Ach sooo. Ich dachte erst du meintest das was rechts vom Gleichheitszeichen steht, also y hoch 1 -alpha, als Beispiel. Danke für die Antwort.
Danke für die Nachfrage, ist manchmal schwer sich in einem Video perfekt auszudrücken :)
@@MathePeter Ich finds super, das Du mit verschiedenen Farben schreibst. So erkennt man schnell, welche Funktionen gemeint sind, also f oder g.
Farbliche Markierungen helfen zum schnelleren Verständnis. Ich wünschte meine Mathebücher wären auch farblich markiert. Klar, der schwarz/weiss- Druck ist billiger, aber für den Leser umso schwieriger.
@@LebenWerden Ich weiß was du meinst, ging mir auch immer so 😄
Bei 11:31 nutzt du bei der homogenen + partikulären Lösung nicht (wie in der Formel oben rechts angegeben) den Faktor (1-alpha). Hat das einen besonderen Grund, oder nur vergessen ????
Mit der Formel gehts alles auf einmal, ich habs noch mal Schritt für Schritt erklärt ;)
Gibt es auch den Fall, dass das AWP keine eindeutige Lösung bzgl der Wurzel liefert, z.B. y(4)=0? Wie würde man da entscheiden oder geht das nicht?
Generell ist nicht jedes AWP eindeutig lösbar, manchmal ist die Lösung auch mehrdeutig. In diesem Fall hier ist aber y(4)=0 nicht möglich, weil y≠0 laut Ausgangsdifferentialgleichung.
4:15 wie kommt diese Substitution genau zustande?
schon ok habs... Man muss einsetzen und umformen
Morgen kommt das Video dazu, wie man mit der Substitution auf eine lineare DGL kommt :)
@@son-gohan2246 ich komm nicht drauf. muss ich setzen z'=(1-a)y^-a und dann jedes y ersetzen mit z hoch 1/1-a?
was mache ich denn, wenn ich keinen Anfangwert vorgegeben habe?
Dann berechnest du die Konstante c am Ende nicht. Es gibt demnach unendlich viele Lösungen für das Problem.
ich verstehe nicht wie man bei 4:00 Min. die Substitution anwendet warum wird z'= die gleichung die du angeschrieben hast
Wenn du wissen möchtest, warum diese Substitution auf eine lineare DGL 1. Ordnung führt, schau dir das Video mit der Herleitung an: czcams.com/video/KAXtboYug28/video.html
ist es immernoch eine Bernoulli Differentialgleichung, wenn f(x) bzw. g(x) = 0 sind?
Ich habe vollgende Dgl und bin mir unsicher ob es eine Bernoulli Dgl ist:
x^2y'-y^2=0, x > 0
Ja ist es, nur kannst du sie viel einfacher lösen, weil sie auch eine separierbare DGL ist, also mit Hilfe der Trennung der Veränderlichen: czcams.com/video/Oa7a6rP8Zd4/video.html
Hallo MathePeter, ich habe eine Frage zu den Bernoulli-Gleichungen (entschuldige, dass ich Dir so viele individuelle Fragen stelle... Unser Prof lässt uns gerade leider ziemlich hängen). Wie sähe das denn bei der Funktion y'-y=y^2 aus?
Wenn ich das nach dieser Methode berechne komme ich im ersten Schritt auf: z=1/y und z'=z-1, nach Trennung der Variablen und Integration auf z=(c*e^x)+1, mit Rücksubstitution komme ich auf: 1/((c*e^x)+1), die Lösung aber soll sein: (c*e^x)/((c*e^x)+1). Gibt es hier etwas besonderes zu beachten?
Vielen Dank im Voraus, du rettest voraussichtlich meine Prüfung im Februar D:
Hey Josephine, das kriegen wir schon hin im Februar 😁
Wenn du y'=y+y^2 als Bernoulli DGL lösen willst, ist f(x)=1, g(x)=1 und alpha=2. Du hast bei der Formel für z[h] und z[p] den Faktor (1-alpha) vergessen, damit wird die Lösung zu y=1/(c*e^(-x)-1), wenn du hier im Zähler und Nenner mit e^x erweiterst, kommst du auf y=e^x/(c-e^x). Wenn du das c auch oben im Zähler stehen haben willst, wie in der Musterlösung, dann ersetze c durch 1/C (wobei aber C≠0) Und multipliziere jetzt wieder Zähler und Nenner diesmal mit C. Dann bekommst du y=C*e^x/(1-C*e^x). Ich würd aber eher die Variante mit dem einen c aufschreiben. Einfacher, wenns danach mit einem AWP weiter geht.
@@MathePeter tausend Dank 🥺👍👍👍
@@MathePeter habe gerade gesehen dass ich mich verschrieben habe, die Aufgabenstellung müsste lauten "y'-y=-y^2" also noch ein Minus vor y^2. Ändert das etwas an der ganzen Sache?
In dem Fall wird aus der "-1" im Nenner eine "+1", bzw. nach dem Ausklammern: y=e^x/(c+e^x). Zur Probe kannst du deine DGL auch immer mal bei Wolfram Alpha eingeben: www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%3Dy-y%5E2
@@MathePeter danke 🙏🙏🙏
Ehrenmann ♥️
Was passiert bei einer DGL mit 3 Summanden?
Das kommt auf die Summanden an. Brauchst du Hilfe bei einer ganz konkreten DGL?
Oh, das wäre dann ja eine Riccati-DGL nevermind
Schau dir gern meine Videos zu den Riccati-DGL an :)
Verstehe ich etwas falsch oder hast du einen kleinen Fehler bei der homogenen Lösung von z gemacht. Im exponent müsste doch die funktion mit 2 Multipliziert werden, weil (1- alpha) * f(x) und alpha=-1 ist oder nicht? 10:00
Die 2 wurde multipliziert, weshalb sich die 1/2 aus beiden Summanden weggekürzt hat.
x mal y´= y hoch 2 + y + x hoch 2. kann mir jemand damit helfen
Hey Ahmed, die DGL lautet x*y' = y² + y + x²? Für x≠0 kannst du einfach durch x teilen, dann hast du y'= 1/x*y + 1/x*y² + x. Das ist eine Riccati DGL mit f(x)=1/x, g(x)=1/x und h(x)=x, schau mal hier: czcams.com/video/us6A09GWAO4/video.html
Sicher, dass hinten vor dem x² kein Minus steht? In dem Fall wäre das erraten einer Lösung wesentlich einfacher.
@@MathePeter ja ist ein + und -. Danke dir für deine Antwort und deine tolle Arbeit, dein Kanal rettet mir mein Studium!!!!!!!
Kann man die Vorgehensweise auch bei einer Gleichung wie y'=(1-x)y^2+(2x-1)y-x anwenden? Was mache ich dann mit dem x am Ende?
Das x am Ende macht daraus eine Riccati DGL. Schau dir mal die Videos dazu an. Du musst eine Lösung erraten und kannst dann eine Transformation durchführen.
kann alpha 1/3 sein? Also a = 1/3
Ja das geht.