Lineare Differentialgleichung (DGL) 1. Ordnung | Beispiel + Anfangswertproblem (AWP)
Vložit
- čas přidán 9. 07. 2024
- Jede Gleichung, in der eine Ableitung enthalten ist, heißt "Differentialgleichung" (DGL). Solche Gleichungen werden vor allem in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften zur Darstellung von Prozessen genutzt. In diesem Video lernst du Lineare DGL 1. Ordnung und zugehörige Anfangswertprobleme (AWP) am Beispiel zu lösen.
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Inhalt:
0:00 Verschiedene Variationen der Aufgabe
0:57 Homogene Lösung
2:32 Partikuläre Lösung
3:51 Was ist ein Anfangswertproblem (AWP)?
4:34 Lösung des Anfangswertproblems
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Mit großem Abstand der beste "Mathe CZcamsr" jedes deiner Videos verständlich erklärt und Aufgaben von vorn bis zum Ende gerechnet. Einfach nur geile Videos, nur leider viel zu wenige bis jetzt (-: Dich als Professor und selbst ich würde die Prüfung bestehen.
Demnächst werden 2 Vids pro Woche erscheinen! :)
Matheprof wär mal was interessantes haha
daniel jung ist besser
@@dominik7551 nein
Verstehe Daniel Jung seine Art Sätze zu bilden nicht :D und finde das oft verwirrend. Bei dir, ist alles klar und deutlich. Danke!!
@Kas Mas Es gibt nun mal mehr als einen CZcamsr der Mathe Erklärvideos dreht. Diese fair zu vergleichen ist absolut ok und MrXandies Kommentar hat nichts mit "runter machen" zu tun.
Beide Boss!!
True
daniel jung videos sind eher für grobe übersicht da, nicht um genaue lösungswege zu verstehen
Unglaublich toll erklärt! 6:06 > 3h Vorlesung
Vielen Dank
Ich schreib halt eigentlich nie Kommentare, aber ich musste das echt mal erwähnen wie Spitze du das alles machst. Hut ab und vielen Dank, dass du dir das antust!
Deine Videos zu den DGL sind einfach spitze!
Bitte mehr aus dem Bereich UNI Mathe :).
Du hast bei weitem die besten praktischen Analysis Videos die ich kenne und hast mir damit im Studium sehr geholfen, danke dafür!
Jedes weitere Video was ich von dir schaue erfüllt mein Leben ein Stück mehr hehe :D Einfach Klasse, die Art und Weise wie du trockene Themen interessant und einfach vermittelst !
Einfach unfassbar gut erklärt! Solch komplexes Thema auf so eine verständliche Art dargestellt. Ich danke Dir vom Herzen, lieber MathePeter! Klausur kann kommen
Sehr gut erklärt bitte mehr Differentialgleichungen ( auch gerne partielle DGL)
zum ersten Mal DGL verstanden, auch wenn es nur ein Bruchteil ist. VIELEN DANK für dieses tolle Video bzw für alle anderen auch!
ich kann es nur noch mal betonen: du hilfst mir sehr viel weiter und ich bin froh das du das so leidenschaftlich machst
Wer Begeisterung für die Mathematik in seinem Studium braucht der muss nur MathePeter schauen :)!! Deine Videos sind mega hilfreich und super erklärt, danke
Danke für das Lob!
@@MathePeter Deine Art die Sachen zu vermitteln mit der Begeisterung ist einfach nur genial. Es macht einfach Spaß Dinge von dir erklärt zu bekommen
Freut mich wirklich sehr zu hören, das motiviert mich weiter zu machen! :)
Ich saß den ganzen tag an dem problem und es wollte einfach nicht in meinen kopf rein. Dann hab ich nachts müde und frustriert noch einmal danach geschaut, dein video gefunden und es sofort verstanden! Grosse klasse du machst das echt super!
Du hast bist jetzt mein ganzes Jahr bei Maschinenbau bei mir gerettet. Ohne dich würde ich bei jeder Klausur total durchfallen. Ich finde deine Videos super! Mach weiter so!!!
Wie immer super erklärt!
das gibt'n fetten Daumen!
ich bereite mich gerade wieder auf ein Physik Semester vor und muss grad nochmal die Differentialgleichungen und ihre Lösungsansätze durchgehen.
deine Videos waren bisher sehr hilfreich.
Sie sind der Beste in CZcams
Wow, mega Erklärung! Vielen Dank.
Kollege bist der beste. dank dir bestehe ich jetzt Mathe 2
komm vorbei gebe dir Döner aus
Haha danke dir gern! 😄
Sehr gut, dass du das ganze allgemein angehst. Bei den meisten anderen Videos auf CZcams wird ein gewisses Basiswissen vorausgesetzt. Das Step für Step erklären von dir machts um einiges einfacher um schnell ins Thema reinzukommen und irgendwie doch noch die Klausur die in zwei Tagen ansteht zu bestehen :D
Hey cool! Das Video ist echt gut erklärt und endlich mal richtige Beispiele 🤤
du bist klasse nur krasss ! besser als dieser Mann der an der Uni lehrt ! Hauptsache mach weiter !
Hammer wie alles zu spät für meinen vergangenen Prüfungen kommt... Sind trotzdem erfrischend gut deine Videos!
Ich hing seit 1 Stunde an einer Aufgabe und endlich habe ich es verstanden. Vielen Dank :)
Das freut mich! :)
Sag Bescheid, wenn ich auch bei anderen Aufgaben weiter helfen kann.
Ehrenmann super geholfen
Sehr gut!
Ich danke dir du kriegst direkt ein Abo von mir. Ich war am verzweifeln und gut das ich dich gefunden habe xD
viel zu wenig abonenten. du erzählst den ganzen kram mit einer hingabe und struktur die ihresgleichen sucht. danke! finde daniel jung und den simple club auch ganz gut aber du bringst bei gewissen themen einfach eine größere genauigkeit und geduld mit die es mir ermöglicht den stoff besser zu verstehen. sehr gut gemacht
Danke vom Herzen!!!
Sehr gerne!
Ich studiere Produktionstechnik und ganz ehrlich:
Wir lernen T.d.V. und V.d.K. per hand und ohne Taschenrechner und hätte ich diese Formel gehabt, dann....
So eine krasse Vereinfachung und ich habe es nachgerechnet über den langen und den kurzen Weg und wenn du mal nicht Partialbruchzerlegung machen musst, dann ist das einfach nur heftig. Also wirklich mit Daniel Jung der Beste Mathe CZcamsr(!).
SimpleMath kannst du vergessen.
Kann nur zustimmen. Gutes Video wieder mal!
Wieder mal ein Videovorschlag von mir: Levi-Cita-Tensor, Einstein Summenkonvention und epsilon Tensor 😅
y‘=2/t*y + t^3
Entschuldigung schon wieder!
Ich habe zu früh das Handtuch geworfen!
Nach einigen Stunden der totalen Distanz zur Mathematik, dann y und y‘
eingesetzt in die Ausgangsgleichung:
2t+2t^(3)= 2/t[t^(2)+t^(4)/2]+t^(3)
zeigt das richtige Ergebnis.
Jetzt kann ich in Zukunft beruhigt Ihre Formeln verwenden.
Danke nochmals.
Legende
In einer Woche Prüfung und ich seh den Typ öfter als meinen Vater
Lern weiter Junge!!
super Erklärung! Ich warte auf das DGL 2. Ordnung ( und vor allem mit seinem Ansatz d. rechten Seite) Video :)
Danke dir! Die Videos zu den DGL 2. Ordnung werden aber noch eine Weile dauern. Ich werd sie direkt im Zusammenhang mit dem kompletten Thema "Differentialgleichungen" produzieren, für einen gesamtheitlichen Überblick :)
@@MathePeter :*-/
Du bist der geilste!
Danke, „MathePeter“, ist nicht mehr nötig; jedenfalls für mich.
Habe den Ansatz gefunden,
y= ax+b, und damit kann ich Yp berechnen.
Nochmals danke, werde auch weiterhin ab und zu mir Ihre Vorträge anklicken.
Vielen Dank für die Videos! Sind sehr hilfreich :D
Habe trotzdem eine kleine inhaltliche Frage: warum lässt man bei dem lösen des unbestimmten Integrals das +C (also damit ist jetzt die konstante gemeint) weg?
Schau dir dafür mal die Herleitung der Lösung an: czcams.com/video/q4W6uCqyWSw/video.html
Das "+C" bei der homogenen Lösung steckt mit drin und wird wegen einem Potenzgesetz zu "*C". Die partikuläre Lösung kommt zustande, weil wir die Methode "Variation der Konstanten" verwendet haben, also auch da kam ein "+C" drin vor.
Vielen Dank für das verständliche Video!! Hat mir wirklich geholfen.
Kurze Frage, wieso kürzst du die e-Funktion mit dem ln?
Danke :)
Weil die e^(...) und ln(...) Gegenteile voneinander sind. So wie sich *5 und ÷5 gegenseitig wegkürzen oder Integral und Differential, so machen das auch e und ln. Dabei ist es egal, ob das ln im e steckt oder das e im ln.
Wie süß kann man nur sein
geiles Video
MathePeter=Ehrenmann
Ich habe glaube ich noch nie eine so gute bilanz von likes zu dislikes gesehen
dankeeeeeeeee
kann man bei Minute 3:00 auch die zwei t^2 Wegkürzen?? oder gibt es eine bestimmte Regel, die ich nicht kenne?
Nein das geht leider nicht, weil das Integralzeichen keine x-Funktionen von innen nach außen lässt und keine x-Funktionen von außen nach innen. Vergleich mal: ∫x dx ist was anderes als x* ∫1dx.
5:39 killing part
Wahnsinn, wie ein 6 min Video mehr erklärt als 90 min Vorlesung...
Ein Linkshänder, juhuuu :D
Super erklärt, vielleicht bestehe ich Mathe II ja doch :D
Klar das kriegen wir hin :)
Sag Bescheid, wenn du Fragen hast!
@@MathePeter Machst du vielleicht irgendwann ein Video zu Fourier-Reihen? Oder hab ich das einfach nur nicht gefunden?
Ja werd ich machen. Aber das dauert noch eine ganze Weile. Will das Thema von Grund auf ordentlich behandeln und habe noch super viele andere Videos vor mir.
1:30 wieso können wir bei dem Integral von 2/t das +C am Ende weglassen?
Die Konstante steckt schon in dem c, das an das e^... dranmultipliziert wird. Schau dir mal die Herleitung der Lösungsformel an.
Hast du auch Videos wo du euler verwendest oder das runge kutta verfahren mit der butcher Tabelle?
Noch nicht, kommt alles noch in Zukunft.
Klasse Videos! Kannst du auch mal was zu linearen Differentialgleichungssystemen (Stichwort Fundamentallösungen zu mehrfachem Eigenwert...) machen? DANKE MATHE PETER 🙏🏻
Kommt alles in meinem Online Kurs zu "Differentialgleichungen". Bin schon dran den zu planen, dauert aber noch etwas :)
wie ist die regel mit dem betrag von t², wenn man eine aufgabe im komplexen zahlenbereich hat?
Auch im komplexen gilt: |z|² = |z²|
Frage bei 1:38: Ich dachte, dass das ln(|t|) + C ist.
Warum braucht/darf man dort dann auf einmal nicht mehr die Konstante mitschreiben?
Weil laut Potenzgesetz e^(ln(|t|^2 + C) = e^(ln|t|^2) * e^C. Das e^C ist wieder eine Konstante, nennen wir sie der Einfachheit halber wieder C. Für den vollständigen Nachweis schau dir das Video mit der Herleitung der Lösungsformel an, die in der Infobox und der Playlist zu finden ist.
@MathePeter darf man das C einfach durch das Integral kürzen? Normal darf man durch das Integral ja nicht kürzen? Danke =) mega Video sonst! Hilfst mir sehr bei meinem Studium!
Ja das ist erlaubt. Aber nur, weil es konstant ist. Konstanten dürfen jederzeit aus einem Integral rausgezogen oder hereingezogen werden.
Kurze Frage:
Warum habe ich bei dem Auflösen des Integrals in ypart=... bei ca. 3:41 kein C mehr? Müsste das nicht bei einem unbestimmten Integral auch auftauchen?
Eine Begründung: Partikuläre Lösung ist nur eine von unendlich vielen Lösungen. Ich nehm die eine, bei der die Konstante gleich Null ist. Zweite Begründung: Schreib beim Beweis der allgemeinen Formel eine zweite Konstante C2 hin und fasse alles zusammen. Du kommst auf das selbe Ergebnis mit einem anderen Namen für die Konstante.
@@MathePeter also alleine weil du auf Jahre alte Videokommentare noch antwortest verdienst du noch 10x mehr Abonnenten!
Danke für die Erklärung!
Hallo MathePeter, wieso kann man den Exponentialansatz für die DGL y'-x = 1 nicht benutzen?
y =e^(x^2/2) wäre falsch?
Du kannst du Exponentialansatz bei y'-x = 1 nicht benutzen, weil es keine DGL der Form y'=f(x)*y+g(x) ist. Siehst du das? Es kommt kein y in deiner DGL vor, nur das gewohnte y', was auf DGL hinweist. Du könntest allerdings sagen, dass f(x)=0 und g(x)=1+x ist. Aber da ja das y nicht vorkommt, reicht es aus direkt umzustellen und zu integrieren: y'=1+x, also y=x+1/2*x^2.
@@MathePeter Kann man nicht sagen, dass y = 1 ist?
Nein. Setz doch mal y=1 in die DGL ein, dann bekommst du (1)'-x = 1, also 0-x=1 und das ist ja ganz offensichtlich nicht für jede reelle Zahl x erfüllt. Also war y=1 auch keine Lösung der DGL.
@@MathePeter Mit f(x)=0 und g(x)=1+x kann ich den Exponentialansatz auch nicht benutzen, weil das y fehlt?
Doch klar, weil du dann schreiben kannst y' = 0*y + 1+x. Das kommt das selbe raus. Finde ich aber übertrieben lästig, warum willst du es dir so schwer machen? Integrier doch einfach, wenn kein y vorkommt.
Bei yp am ende fehlt doch noch ein +c oder? Denn hier wird ja ein unbestimmtes Integral gelöst also yp= 1/2 t^4 + t^2c oder nicht?
Nein das "+c" kommt hier nicht vor. Entweder kannst du es ganz formal so aufschreiben, alles zusammenfassen und dann die selbe Form erhalten wie ohne das "+c". Oder du nimmst einfach nur die eine partikuläre Lösung, bei der das c=0 ist. Beide Erklärungen liefern das selbst Ergebnis, nur dass die Konstante einen anderen Namen trägt.
Ehrenmann
Kann mir zufällig jemand folgendes erklären:
Bei 1:28 wird die Konstante bei der Integration weggelassen, weil es nach Umstellen mit in die Kosntante c eingeht => sie spielt also keine Rolle, das verstehe ich. Aber warum wird bei allen anderen Integrationen die Integrationskonstante einfach weggelassen? Man müsste dann ja noch jeweils ausmultiplizieren, besonders bei der partikulären Lösung. Für mich geht das aus der Herleitung der Lösungsformeln auch nicht hervor.
Schau dir mal das Video zur Herleitung der Lösungsformeln an, da hab ich das im Detail erklärt: czcams.com/video/q4W6uCqyWSw/video.html
Einfach gesagt: Füge doch überall eine Konstante hinzu, wenn du willst. Die Lösungsstruktur sieht exakt gleich aus.
Ich habe eine Frage. Bei uns in den Lösungen von solchen DGL wird beim Integrieren in der e-Funktionen oben immer mit den Grenzen x0 - x gerechnet und das C ist automatisch immer y0. Also beispielsweise ist ein Anfangswert y(0)= 1 , dann ist y0=1 und x0=0.
Du rechnest aber mit unbestimmten Integralen und fügst keine (!) Integrationskonstante hinzu? Ist das denn mathematisch richtig? Wann muss ich Grenzen benutzen? Wann kommt eine Integrationskonstante hinzu? Wann kann man diese einfach weglassen? Das verwirrt irgendwie, wenn jeder das anders macht.
Aber mega Video, vielen Dank!
Hier mal das Video zur Herleitung der Lösungsformeln: czcams.com/video/q4W6uCqyWSw/video.html
Die Konstante steckt immer schon mit drin, wurde nur gleich mehrfach mit anderen Konstanten zusammengefasst, bis schließlich dieses knackigen Formeln über bleiben ;)
@@MathePeter Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung! 💪
Bei 3:20 muss man da beim integrieren nicht noch ne konstante anhängen?
Kannst du. Führt aber am Ende zum selben Ergebnis, nur dass die Konstante einen anderen Namen hat. Oder du nimmst einfach die eine partikuläre Lösung, bei der die zugehörige Konstante gleich Null ist. Wir brauchen ja nur eine einzige Lösung des inhomogenen Systems, um nach Superposition auf alle Lösungen zu kommen.
Hey,
tatsächlich hat unser Dozent gar nicht erzählt, was DGL sind, sondern hat einfach losgelegt. Da kam ich dann gar nicht mit. Als ich dein Video gefunden hatte, konnte ich damit noch immer nichts anfangen und deine Lösung nicht verstehen, da du nicht explizit sagst, was DGLen sind. Ich weiß nicht, ob du das in einem anderen Video erklärst (Modularität) oder ob du dich bewusst entschieden hast, diese sehr rudimentäre Erklärung wegzulassen (wer danach sucht, wird's schon wissen). Mir hätte entweder ein Verweis auf ein Video geholfen oder eine Erklärung hier.
So habe ich erst ein anderes Video gesehen und bin danach wieder zu dir zurückgekommen. Ging auch :)
Wie immer ein super Video!
Das stimmt, das kommt auch noch mal als Video. Kurz gesagt sind DGL Gleichungen, in denen Ableitungen drin vor kommen. Damit können Änderungsverhalten beschrieben werden. Klassisches Beispiel ist die Ausbreitung von Viren oder Gerüchten: Je mehr Leute es verbreiten, desto größer auch die Anzahl an Leuten, die es bekommen/ davon hören. Allerdings gibt es eine maximale Obergrenze, weil es nicht unendlich viele Menschen gibt. Das heißt ab einem gewissen Punkt wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit wieder kleiner. Jetzt wird ein geeignetes Modell verwendet, eine Differenzengleichung aufgestellt durch ∆t geteilt und der Grenzübergang ∆t -> 0 durchgeführt. Damit wird ∆y/∆t zu y' und es gibt eine Differentialgleichung. Die zum genannten Beispiel zugehörige DGL ist die logistische Differentialgleichung. Gelöst hab ich die bisher einmal mit der Trennung der Veränderlichen: czcams.com/video/QRzQkE83uGE/video.html und einmal als Bernoulli DGL: czcams.com/video/x9Xnc9IccT0/video.html
@@MathePeter Dank dir für die super schnelle Antwort und verständliche Erklärung :) bin mir sicher, dass das auch anderen helfen wird, die darüber stolpern!
Ohne Ihre gegebenen Gleichungen für yp und yh
habe ich alles gerechnet und komme zum gleichen Ergebnis!
Wenn ich dann y ableite, gelingt es mir nicht auf die Ausgangsgleichung zu kommen.
Y‘= 2t*y+ 2t^3.
Was mache ich falsch?
Geben Sie mir bitte einen Hinweis, wenn Sie Zeit und Lust haben?!
Die Lösung lautet y(t) = t^2 + 1/2* t^4. Die Ableitung ist y'(t) = 2t + 2t^3. In die DGL eingesetzt steht dann dort 2t + 2t^3 = 2/t * (t^2 + 1/2* t^4) + t^3 und das stimmt überein. Also war die Lösung richtig.
Hallo MathePeter,
wie entstehen DGL? Es gibt viele DGL-Beispiel, aber wie bilden sie sich? Und was könnten in der realen Welt AWP sein?
Ein schönes Beispiel ist der Zerfall radioaktiver Teilchen. Da die Zeit bis zum Zerfall der Hälfte aller Teilchen immer näherungsweise gleich ist, ist die Anzahl der zerfallenden Kerne proportional zur Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne. Ich weiß das klingt komisch, ergibt aber Sinn, wenn man sich die statistische Verteilung des Zerfalls bei einer großen Anzahl von Teilchen anschaut. Als Formel aufgeschrieben ergibt das ∆x/∆t = -k*x. Wenn du die Zeit ∆t gegen Null laufen lässt, steht da die Differentialgleichung x'=k*x. Das ist eine (homogene) lineare DGL 1. Ordnung. Die Lösung ist x=c*e^(k*t). Der Anfangswert y(0)=N wäre dann die Anzahl radioaktiver Teilchen N zum Startzeitpunkt t=0. x'=k*x mit x(0)=N ist ein AWP. Die Lösung davon ist x=N*e^(k*t) und gibt die Anzahl radioaktiver Teilchen zum Zeitpunkt t an. Nahezu jede DGL aus der Realität erzählt solche Geschichten. Um eine DGL allerdings aufzustellen muss man physikalische Zusammenhänge, Eigenschaften aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und anderen Naturwissenschaften mit einbringen. Gravitation, Wärmeleitung, Ausbreitung von Wellen,... Die Anwendung kennt keine Grenzen. In meiner Bachelorarbeit gings z.B. um die Modellierung und numerische Lösung viskoelastischen Verhaltens von Polymeren. Das lässt sich mit fraktionalen DGL beschreiben und ist auch super spannend! :)
Kann mir da bitte jemand helfen und zwar steh ich gerade vor einem Problem, da in meinem Matheskript die Lösung für den Homogenen Teil mit dem Positiven Integral gegeben ist aber in vielen Videos (leider auch in der Lösung von unseren Aufgaben) das negative Integral... Was benutz ich wann oder was ist überhaupt richtig?? Danke
Beides ist richtig. Die Lösungsformel ändert sich, wenn die ursprüngliche DGL anders aussieht. Bei mir heißt die lineare DGL y'=f(x)*y+g(x), darum ist die homogene Lösung c*e^(∫f(x)dx). Wenn die lineare DGL aber lautet y'+f(x)*y=g(x), dann steht das f(x)*y ja auf der anderen Seite. Es wurde rüber subtrahiert und das Minus steckt dann im anderen f(x) drin. Darum hat der Exponent auch ein anderes Vorzeichen.
@@MathePeter Ich liebe dich
@@MathePeter Kommt demnächst was zu DGL 2. Ordnung?
Dauert noch ein bisschen, aber dieses Jahr auf jeden Fall!
heftig
Was passiert denn mit der Konstanten + C im Exponenten der Exp-Funktion
Potenzgesetz: e^(a+c)=e^a*e^c und ein e^c ist wieder nur eine Konstante, nennen wir sie einfach mal... c.
ich glaube es gibt einen Fehler , die homogene Lösung soll c mal e hoch MINUS Stammfunktion F(x) yh(x)=c⋅e−F(x)
sein ,oder? das was in meinem Skript und im Internet auch steht
Dass die Lösung stimmt, kannst du durch einfaches Einsetzen überprüfen. In deinem Skript und auf den Seiten, die du dir im Internet angeschaut hast, ist die DGL gegeben als y'+f(x)*y=g(x). Durch das Umstellen hat dieses f(x) ein anderes Vorzeichen als das im Video. Darum wird auch in der Lösung das Vorzeichen gedreht. Zweimal Vorzeichen ändern, gibt aber auch nur wieder die selbe Lösung :)
@@MathePeter ach ja das stimmt,vielen Dank:)
vielen Dank für die Erklärung. ich weiß aber nich warum du kein c bei der Integration in dem partiellen Lösungsteil. so meine ich: yp = (1/2) * t^4 + c
Die partikuläre Lösung ist eine Teillösung von unendlich vielen. Ich nehme die eine, bei der das c gleich Null ist, also lasse ich es gleich weg. Übrigens ist es im Allgemeinen eine andere Konstante als die von der homogenen Lösung.
Kurze Frage: Wir haben so Aufgabenstellungen, wo der Prof schreibt "Bestimmen Sie die Spezielle Lösung folgender Differentialgleichungen:
a) dy = 2*Wurzel(y) * dx; Bedingung y(x=0) = 1
b) y` = -(y*ln(y))/x; Bedingung y(x=1) = e"
Da ich in diesem Teil der Vorlesung nicht da war, hab ich überhaupt keine Ahung, wie ich das nun angehen muss, weil die Ausgangssituation/-form komplett anders ist, als in Deinem Video.
Über Hilfe wäre ich echt dankbar. :)
Erst mal super, dass du erkannt hast, dass die Ausgangsform komplett anders ist, als in diesem Video. Das heißt also, dass dir dieses Video nicht bei der Lösung helfen kann. Probiers stattdessen besser mit meinem Video zu Separierbaren DGL: czcams.com/video/Oa7a6rP8Zd4/video.html
danke :) könntest du auch ein Video machen wie Anfangswertprobleme mit Laplace löst?
Ja klar, kommt in Zukunft noch alles :)
toll erklärt aber wieso gleich 3/2? wir haben das ganze System gleich 3 gesetzt. wieso?
Den Anfangswert y(1)=3/2 habe ich vorgegeben. Es wird dabei für t=1 und für y=3/2 in die Lösung eingesetzt und nach c umgestellt. Es könnte aber auch ein beliebiger anderer Anfangswert vorgegeben sein.
super. Dankeschön
Bitte als Content Creator bei Brave verifizieren lassen
Wie funktioniert das ganze beider 2. Ordnung?
Mach ich bald mal ein Video dazu :)
Hi
Kannst du bitte mehr Videos zu Differentialgleichungen machen?
Viele haben das an der Uni, im 3 Semester beispielsweise.
Vielen dank
Ja klar, das kommt noch. Bei dem Umfragen wurde bisher allerdings eher für andere Themen gestimmt. Vlt solltest du das nächste Mal mehr deiner Kommilitonen mobilisieren! :)
Uiiii Feini
ILU
Was ist bei nicht linearen DGL? Wie macht man das mit der Störfunktion?
Bei Nicht-Linearen DGL spricht man nicht mehr von Störfunktion. Da gibts verschiedene mögliche Methoden. Z.B. Trennung der Variablen oder Exaktheit oder es ist ein besonderer Typ Nicht-Linearer DGL. Es kann dabei mehrere mögliche Lösungwege geben oder es auch mal unmöglich sein so eine DGL zu lösen. Bei Nicht-Linearen DGL gibts leider kein Geheimzezept, das immer funktioniert.
MathePeter Danke für die schnelle Antwort. Ich hab gerade die Aufgabe die vor mir liegt durch Substitution in eine „lineare Form gebracht“
Es handelte sich dabei um die Gleichung:
x‘(t) = -t*x(t) + e^(-t^2/4)*Wurzel(x(t))
Durch sub. von x = z^2 kam ich auf die Form:
z‘ = -(t/2)*z + 1/2*e^-t^2/4
Also ich weiß nicht ob man das allgemein immer versucht auf eine lineare Form zu bringen, aber hier hat das so funktioniert.
Lg
Ja super Idee! Das funktioniert hier immer, weil es sich um eine Bernoulli DGL handelt. Erkennt man daran, dass sie fast wie eine lineare DGL aussieht, nur dass die Störfunktion noch mit y^a (oder in deinem Fall jetzt x^a) multipliziert wird. Durch die Substitution kriegt man immer direkt eine Lineare DGL raus.
MathePeter Gut dann bin ich ja beruhigt :) morgen ist auch schon die Hm2 Klausur, ich hoffe das wird gut gehen ^^
LG
Klar das wird gut! Viel Erfolg!! Sag dann mal Bescheid, wie es gelaufen ist :)
wo ist da das c der Integration von t? Fällt das einfach weg? 3:13
Erklärung 1: Es handelt sich um eine partikuläre Lösung. Eine von unendlich vielen. Ich nehme die mit c=0.
Erklärung 2: Schreib es mit Integrationskonstante auf und fasse y_h+y_p zusammen. Du kommst auf die selbe Lösungsstruktur, nur dass die Integrationskonstante anders heißt. Anschließend kannst du sie in "c" umbenennen.
Ist 2/t wirklich linear ?
Bezüglich y schon, stell dir t als Konstante vor. Nur das ist entscheidend.
Erstmal Danke Peter! Super Videos! Fehlt hier bei der partikulären Lösung nicht noch die Integrationskonstante?
Die ist nicht notwendig. Du kannst sie zwar hinzufügen, allerdings verschmilzt sie am Ende wieder mit der von der homogenen Lösung und und so, dass die Lösung identisch aussieht mit der jetzigen. Andere Begründung wäre: Ich brauche ja nur eine einzelne partikuläre Lösung. Also nehme ich einfach die mit Konstante gleich Null.
Wo ist das +C vom Integral in der partikulären Lösung? Und warum steht in der Formel nicht schon aus Prinzip ein +C? immerhin integriertert man in der Herleitung ja schon Mal C'(x) zu C(x)
Schau dir mal das Video zur Herleitung der Lösungsformeln an: czcams.com/video/q4W6uCqyWSw/video.html
Da hab ich alles im Detail erklärt :)
@@MathePeter ja, dort verstehe ich schon nicht ganz, warum beim integrieren von C'(x) nach dx nicht noch eine von X unabhängige Konstante entsteht. Könnte man natürlich sagen ist eh egal weil die sowieso beim auflösen vom Integral dazu kommt, tut sie aber hier irgendwie nicht
Wenn das Integral aufgelöst wird, dann kommt noch eine Konstante "c1" dazu, keine Frage. Und wenn du dann ausmultiplizierst, weil ja vor dem Integral noch der homogene Lösungsanteil multipliziert wird, dann lassen sich diese Konstante "c1" und die Konstante von der homogenen Lösung "c" zu einer neuen Konstante "c2" zusammen fassen. Und wenn du dann die gesamte Lösung betrachtest, also y = yh + yp, dann lässt sich aus genau diesem Summanden, über den wir gerade geredet haben, und dem yh aus der Gesamtlösung noch ein yh ausklammern. Dann wird 1+c2 zu einer neuen Konstanten "c3". Und wenn du dann noch dieses "c3" mit dem "c" der homogenen Lösung zusammenfasst, hast du "c4". Da das die einzige vorkommende Konstante ist, können wir sie einfach wieder umbenennen in "c".
Und alles ist auf Anfang, nur dass wir viele eklige Zwischenschritte hatten.
Ich kann glaub ich zwar immer noch nicht alle Cs über die beiden videos nachvollziehen, aber mein Prof hat heute gemeint, dass alles, was ich gerechnet hab richtig ist, also wird schon passen. Vielen Dank jedenfalls, tolle videos!
Ist auch nicht ganz so wichtig, deshalb machen Profs das auch so "schlampig" :)
Wenn du aber trotzdem noch mal im Detail verstehen willst, was mit den C's passiert, sag Bescheid, ich kanns auch noch mal ganz ausführlich aufschreiben. Dann siehst du es sofort! Aber schreib dann bitte noch mal in einem extra Kommentar, bald wird mir der hier nicht mehr angezeigt xD
Wieso kürzt man in 3:35 das t² nicht auch weg?
Meinst du das t² vor dem Integral und das t² innerhalb des Integrals?
@@MathePeter ja genau das meine ich
Das Integral nach t ist wie ein Gefängnis für alle t. Kein t darf raus aus dem Integral und keins von draußen darf rein. Darum begegnen die beiden sich nie und können sich auch nicht kürzen.
Aber man kann doch die Methode die du hier nennst bei folg. Aufg. nicht anwenden.
x'(t)=x(t)^2+1
Odee irre ich mich?
Das ist richtig. Liegt daran, dass die Formel nur für lineare DGL gemacht ist. Deine DGL ist nicht linear, weil die Funktion quadriert wird. Du hast eine nicht lineare DGL. Da sie autonom ist (die Variable t kommt selbst nicht vor), kannst du sie definitiv mit der Trennung der Veränderlichen lösen.
Danke für den Vortrag.
Ich würde es sehr begrüssen, wenn Sie mal Yp ableiten würden.
Ich habe da meine Probleme, aber bin nicht sehr glücklich, vorgesetzte Formeln auswendig lernen zu müssen.
Sollten Sie dazu mal Zeit und Lust haben, bitte ich darum dieselbe DGL zu verwenden, damit ich meine Fehler
sehe.
Nochmals: Danke.
denn ich kriege am Ende einen anderen Wert für c und damit am Ende eine andere Lösung
2:06 hätte man nicht auch zu (exp(ln|t|))² umformen können?
Ja das stimmt, nur willst du ja grad das exp(ln|t|) zu |t| umformen, weil sich damit im Folgenden besser weiter arbeiten lässt.
Ich meinte damit eig. ob man so dass logarithmus Gesetz hätte umgehen können.
@@alexanderwurfl2879 achso ja klar! Mit Potenzgesetzen ist es auch möglich darauf zu kommen, man braucht hier nicht das Logarithmus Gesetz.
was ist wenn man seine dgl nicht in diese form kriegt?
Wenn es eine lineare DGL 1. Ordnung ist, kannst du sie so umstellen. Wenn es keine lineare DGL 1. Ordnung ist, dann brauchst du eine andere Strategie zum Lösen.
@@MathePeter aber zb y' = e^x*e^y , wie kann ich die in diese form bringen. ps danke für deine antwort
Das ist nicht möglich, weil e^y nicht linear ist. Du kannst aber die DGL mit der Trennung der Veränderlichen lösen. Schau mal in meine DGL Playlist rein, da wirst du glücklich ;)
@@MathePeter super danke
in der Physik wird auch oft einfach ein x mit einem Punkt drüber benutzt, um eine Ableitung nach der Zeit darzustellen.
In der Physik werden beim Integrieren auch erst die Differentiale geschrieben und dann der Integrand. Ich wehre mich solange wie möglich dagegen haha
@@MathePeter ich wollte es nur in die Liste der Dinge aufnehmen, die manchmal etwas anders gemacht werden, nicht, dass jemand die Schreibweise der Physik sieht und verwirrt ist.
tatsächlich habe ich in meinem Studium die ersten beiden Monate keines der Bücher der Physik verstehen können, einfach wegen mir unbekannter Schreibweise.
und ich habe das mit den Differentialen vor dem Integranden zwar schon mal gesehen, aber bisher eher selten.
Find ich gut, schreib mir jederzeit, wenn dir was auffällt! Hast du Physik studiert? Kumpel hat mir ein paar seltsame Schreibweisen gezeigt, auch das Weglassen des Summenzeichens, das nur noch durch Indizies angedeutet wird 😂
@@MathePeter ja die Indize-Schreibweise verwirrt mich auch noch.
ist wohl der einzige Beitrag den Einstein angeblich zur Mathematik geliefert haben soll^^
ich studiere gerade noch Physik. also alles in der Richtung ist mir auch noch nicht bekannt.
Ziemlich cool, bleib dran! Hab größten Respekt vor Physikern. Ich bin immer noch total geflasht vom Doppelspalt Experiment 😄
mach mal noch mehr DGL Videos bro
ich bin armer student und kann mir deine kurse nicht leisten
Kommt demnächst :D
Was ich nicht kapiere ist wie du auf Y(1)=3/2 kommst
Der Anfangswert ist von der Aufgabe vorgegeben.
meiner oma hab ich tatsächlich schon von dir erzählt XD
Haha sehr gut! Mehr hab ich nie gewollt 😆
Ich habe meinem Prof die Aufgabe gezeigt und er meinte, dass er auf ein anderes Ergebnis kommt
Hier sein Ergebnis:
My solution is c(t)=t^2/2
So, y=yh+yi=Ct^2+t^2/2
Dann hat er sich offensichtlich verschrieben oder verrechnet. Prüf doch mal sein Ergebnis y=Ct^2+t^2/2 nach, indem du es in die DGL y'=3y/t+t^3 einsetzt. Dann müsste y'=2Ct+t sein und 2Ct+t=3(Ct^2+t^2/2)/t + t^3 ist eine falsche Aussage, linke und rechte Seite stimmen nicht überein. Im Zweifelsfall frag immer Wolfram Alpha, da passieren keine menschlichen Fehler: www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%3D2y%2Ft%2Bt%5E3
B A B O
wer ist Daniel Jung? :D
Der traurigste Moment eines Mathestudenten ist, wenn man das Lernvideo versteht, die Lösungsmethode auf seine Aufgabe anwenden will und feststellt, dass man eine Variable mehr in der Gleichung stehen hat
Partielle Differentialgleichung? Schreib mir gern die Aufgabe und ich helf dir weiter :)
Was ich immer noch nicht verstehe, warum schreibt man immer etwas mit y z.B y', und nicht f'. So hat man es doch in der Oberstufe gelernt
In der Oberstufe hat man es auch immer nur mit einer einzigen Funktion zu tun gehabt. Die hat man dann f genannt, wie "function". Und da die y-Werte der Funktion immer die Funktionwerte waren, wurde nachlässiger Weise gesagt y=f(x). Das wurde so oft benutzt, dass die meisten denken, dass y immer gleich f(x) ist. Aber was ist, wenn es mehrere Funktionen gibt? Oder wenn wir, wie in diesem Video, mit mehreren Funktionen arbeiten, die an eine Funktion y dran multipliziert werden? Und was machen wir, wenn wir es mit mehreren Variablen zu tun haben? Das sind alles Erweiterungen, die die meisten in der Oberstufe nie zu Gesicht bekommen. Darum wurde es damals nicht besser erklärt. Vielleicht dachten sie sich: Wer später mit dem wirklich guten Zeug zu tun hat, gewöhnt es sich eh noch an.
Wichtig ist nur, dass du es dir jetzt angewöhnst.
Ich hasse Trennungen
Beim nächsten Mal bitte weniger Verwirrung am Anfang