Wie löse ich eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung? | reelle homogene Lösung
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- čas přidán 26. 07. 2020
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Differentialgleichungen lassen sich in homogene und inhomogene Differentialgleichungen unterscheiden.
Die Lösung einer inhomogenen GDGL besteht aus der allgemeinen Lösung der homogenen GDGL und einer speziellen Lösung (partikuläre Lösung) der inhomogenen GDGL. Deshalb erfolgt das Lösungsverfahren der inhomogenen GDGL, unabhängig von der Ordnung, in zwei Stufen. Die Gesamtlösung ist die Summe der beiden Lösungen:
Die homogene Lösung der GDGL ist Null, wenn alle Anfangsbedingungen und deren Ableitungen Null sind.
Die partikuläre Lösung der GDGL beschreibt das Übertragungsverhalten von als erzwungene Bewegung. Je nach Systemordnung müssen alle Anfangsbedingungen y und deren Ableitungen Null sein.
bei Anwendung der inversen Laplace-Transformation immer eine partikuläre Lösung. Die partikuläre Lösung der GDGL ist in der Regelungstechnik meist von hauptsächlichem Interesse.
Mit Hilfe des Exponentialansatzes und der sich daraus ergebenden charakteristischen Gleichung lassen sich auch GDGL höherer Ordnung lösen. Dieser Exponentialansatz gilt als universelles Lösungsverfahren für homogene GDGL beliebiger Ordnungen mit konstanten Koeffizienten.
Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren aus der Theorie linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zur Bestimmung einer speziellen Lösung eines inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems erster Ordnung bzw. einer inhomogenen linearen Differentialgleichung beliebiger Ordnung. Vorausgesetzt wird hierfür eine vollständige Lösung (Fundamentalsystem) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
Wenn du eine inhomogene Differentialgleichung vor dir hast, bestimmst du die Lösung in zwei Schritten: Du berechnest die homogene Lösung und die sogenannte partikuläre Lösung, auch spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung genannt. Zusammen ergeben sie die Gesamtlösung.
Eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung lässt sich durch Variation der Konstanten auf folgende Weise lösen. Zuerst wird die entsprechende homogene Differentialgleichung durch Trennung der Variablen gelöst.
Um die inhomogene DGL zu lösen, wird die Integrationskonstante C durch
eine unbekannte Funktion C (x) ersetzt. Die Funktionsterme für y und y' setzen wir in die inhomogene DGL ein. Diesen Ausdruck für C (x) setzen wir in die Formel für y ein und erhalten die allgemeine Lösung der inhomogenen DGLDiese Methode ist als Methode der Variation der Konstanten bekannt. Die Integrationskonstante C wird variiert, d.h. durch eine Funktion C(x) ersetzt.
Das Lösen einer Differentialgleichung höherer Ordnung ist äquivalent zum Lösen eines geeigneten Differentialgleichungssystems erster Ordnung. Auf diese Weise kann man obiges Verfahren nutzen, um eine spezielle Lösung für eine Differentialgleichung höherer Ordnung zu konstruieren.
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Ehrenmann. Hast meine Angewandte Mathematik Übung auf der Uni gerettet
Danke für dein Feedback. Freut mich, dass ich dir helfen konnte. Danke auch für dein ABO. LG lernflix
Super erklärt, mit allen Zwischenschritten, danke!
VIELEN DANK! Prüfung bestanden
BITTE, sehr gerne! Freut mich, dass ich dir helfen konnte. Freue mich auch über dein ABO. LG lernflix
Top Erklärung!👍
Super!!! Vielen Dank
Hi, kann man lineare DGL höherer Ordnung per Variation der Konstanten lösen?
Hi, gibt es Richtungsfelder bei DGL höherer Ordnung?
Wie sieht es eigentlich aus wenn Lambda 1 und Lambda 2 gleich sind, ich also eine Doppelte Nullstelle habe. Sieht die Charakteristische Lösung dann anders aus?
Danke für deine Frage. Schau mal hier:
czcams.com/video/d8DJ4UkQMnQ/video.html
Danke auch für dein ABO
LG lernflix
@@lernflix Danke habe ich garnicht gesehen bzw. gefunden da ich immer nach doppelter nustelle gesucht habe. Vielen dank für deine schnelle Antwort und dein Video hat mich wunschlos glücklich gemacht. Mal schauen wie oft ich in meinen Physik noch auf dich stoße. Freundliche grüße
Danke! Wo kommen denn bei 3:35 die Annahmen zu y(0) und y'(0) her? Wurde das einfach vorausgesetzt?
Ja genau, das war Teil der Angabe. Du kannst es dir aber auch so vorstellen, dass es sich beispielsweise um eine Schwingung aus der Ruhe heraus handelt, bei der der Anfangsweg y(0) und die Anfangsgeschwindigkeit y´(0) ist. OK? LG lernflix 😄
Die Werte bei 4:03 wählt man einfach komplett frei oder wo kommen die her?
Hallo und Danke für deine Frage. Bei 4:03 bilde ich die erste Ableitung von y. Dadurch ergibt sich diese Zeile. Okay? LG lernflix
Wie kommt man auf den Lambda 1 und 2 oder wie nennt sich das Verfahren hab wohl noch ne Lücke dazwischen und kann dem weiteren nicht folgen
Hi Robin, danke für deine Frage. Für Lambda 1 und 2 musst du die quadratische Gleichung lösen. Siehe auch: czcams.com/video/rjswFNoMdYo/video.html
LG lernflix
Super Video👍 Draf ich fragen auf was du da schreibst
Auf einer schwarzen Tafelfolie. Diese ist auf eine Sperrholzplatte geklebt. LG lernflix
@@lernflix Danke dir! LG
Hi @lernflix,
ich schaue deine Videos wirklich super gerne, sie helfen bei Studium wirklich sehr. Ich habe aber auf deinem Kanal kein Video gefunden, dass erklärt, wie man das Anfangswertproblem lösen würde, gäbe es hier noch eine Störfunktion. Können Sie mir da weiterhelfen, z.B. wie es in Ihrer Rechnung weiterginge, wäre f(x) vll. ein Polynom?
🤗
Danke für deine Frage.
Videos zum Thema Anfangswertproblem habe ich hier:
czcams.com/video/ZYbClrLwDmE/video.html
czcams.com/video/9QuH95_zwjY/video.html
czcams.com/video/jLuSDGtuiZQ/video.html
czcams.com/video/j57PegSC4nc/video.html
Vielleicht ist es das, was du suchst.
LG lernflix
Hi, weiß Du was Störfunktion in Englisch heißt?
Interference function
top
Vielen Dank für dein Feedback. Freue mich, dass ich dir helfen konnte. Freue mich auch über dein ABO. LG lernflix
Mich ärgert dass Sie den Rechnungsgang für y=c*e^(lx) nicht zeigen! Wo kommt denn plötzlich
das Lamda her? Und was ist das? Mindestens ich möchte was lernen,
und nicht fertige Formeln mir anschauen müssen.
Wenn du etwas so Spezielles lernen möchtest, bist du bei mir nicht richtig. 😆 Meine Videos dienen zur Unterstützung und Vertiefung dessen, was du in der Schule gelernt haben solltest. Die Erklärung wo das Lambda herkommt und was es ist, ist für die Berechnung nicht wichtig. LG lernflix
Viel gesagt, aber wenig erklärt.
Wie kommt man denn da drauf, dass y = c * e^(lambda x)
y' = c * lambda * e^(lambda x)
y'' = c * lambda^2 * e^(lambda x) ?
Ohne Herleitung dafür, kann man das ganze schwer nachvollziehen.
Und warum genau ist die charakteristische Lösung y = c1 * e^(lambda1 * x) + c2 * e^(lambda2 * x)
Ich weiß zwar nach dem Video wie man das nun rechnet, aber wirklich verstanden hat man nichts.
Hey Sebastian. Danke für deinen Kommentar. Tut mir leid, dass ich dir nicht helfen konnte. Gewisse Dinge muss ich aber voraussetzen. Wie zum Beispiel den Exponentialansatz und warum die char. Lösung eben so ist, wie ich sie dargestellt habe. Diese Basics findest du prinzipiell in jeder Formelsammlung. Und wenn du das Beispiel jetzt durchrechnen kannst, hast du ja für deine Klausur schon eine As im Ärmel. LG lernflix 😃
@@lernflix Na wow - Die Formelsammlung erklärt mir aber trotzdem nicht die genauere Herleitung bzw. Idee dahinter ... Was bringt's mir wenn ich eine Aufgabe rechnen kann, aber nicht verstehe wieso das funktioniert wie es eben funktioniert.
@@Sebastian-yn6cn 🤷Ich weiß zwar nicht was du vorhast? Uni? Abitur? oder? Mein Job ist es nicht irgendwelche Herleitungen zu zeigen, die ansonsten keinen interessieren. Wenn du das Thema so vertiefen möchtest, gibt es sicherlich andere YT-Kanäle, die dir vielleicht helfen. LG lernflix🙂
@@lernflix Ich weiß nicht was Leute vorhaben, die nur wissen wollen wie man das ausrechnet ohne zu verstehen was man da eigentlich tut. Da kann man's auch ganz sein lassen.
Das ist ungefähr so, als ob man denkt, dass man die Funktionsweise eines Fahrzeugs versteht, obwohl man nur weiß wo Gas, Kupplung und Bremse ist.
Solche Stichpunkte, wie das der Lösungsraum ein Vektorraum auf Grund der Linearität ist und, dass man deswegen problemlos die einzelnen Lösungen y1 = c1 * e^(lambda1 * x) und y2 = c2 * e^(lambda2 * x) addieren kann. Bzw. sogar muss, um den kompletten Vektorraum darstellen zu können (zumindest so wie ich es jetzt verstanden habe) wären von Beginn an ziemlich hilfreich gewesen 😐
@@Sebastian-yn6cn Geht auch ein bisschen freundlicher, du genießt hier gratis Qualitätsmaterial, was dir möglicherweise eine Nachhilfe erspart. Unterstütz deine lokale Wirtschaft und bezahl jemanden, damit es dir erklärt wird oder sei freundlicher zu Wildfremden, die dir Unterstützung anbieten.
Ansonsten verstehe ich dein Problem aber völlig, nur ist dieser Kanal eben nicht für Herleitungen ausgelegt, guck mal bei diesem Ami nach, BrownEyeBlueEye?? Ich glaube, das ist sein Name und der hatte, soweit ich weiß, dazu ein Video
😄
auf quora hat mal jemand geschrieben u=dy/dt, dt=dy/u und damit du/dt=u*du/dy aber weiter komme ich nicht.