Differentialgleichung | DGL 2. Ordnung | Sinus in der Störfunktion | homogene & partikuläre Lösung
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- čas přidán 27. 07. 2024
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00:00 Einleitung
00:45 Charakteristische Gleichung
01:55 Partikuläre Lösung
04:30 Koeffizientenvergleich
11:00 allgemeine Lösung
Differentialgleichungen lassen sich in homogene und inhomogene Differentialgleichungen unterscheiden.
Die Lösung einer inhomogenen GDGL besteht aus der allgemeinen Lösung der homogenen GDGL und einer speziellen Lösung (partikuläre Lösung) der inhomogenen GDGL. Deshalb erfolgt das Lösungsverfahren der inhomogenen GDGL, unabhängig von der Ordnung, in zwei Stufen. Die Gesamtlösung ist die Summe der beiden Lösungen:
Die homogene Lösung der GDGL ist Null, wenn alle Anfangsbedingungen und deren Ableitungen Null sind.
Die partikuläre Lösung der GDGL beschreibt das Übertragungsverhalten von als erzwungene Bewegung. Je nach Systemordnung müssen alle Anfangsbedingungen y und deren Ableitungen Null sein.
bei Anwendung der inversen Laplace-Transformation immer eine partikuläre Lösung. Die partikuläre Lösung der GDGL ist in der Regelungstechnik meist von hauptsächlichem Interesse.
Mit Hilfe des Exponentialansatzes und der sich daraus ergebenden charakteristischen Gleichung lassen sich auch GDGL höherer Ordnung lösen. Dieser Exponentialansatz gilt als universelles Lösungsverfahren für homogene GDGL beliebiger Ordnungen mit konstanten Koeffizienten.
Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren aus der Theorie linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zur Bestimmung einer speziellen Lösung eines inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems erster Ordnung bzw. einer inhomogenen linearen Differentialgleichung beliebiger Ordnung. Vorausgesetzt wird hierfür eine vollständige Lösung (Fundamentalsystem) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
Wenn du eine inhomogene Differentialgleichung vor dir hast, bestimmst du die Lösung in zwei Schritten: Du berechnest die homogene Lösung und die sogenannte partikuläre Lösung, auch spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung genannt. Zusammen ergeben sie die Gesamtlösung.
Eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung lässt sich durch Variation der Konstanten auf folgende Weise lösen. Zuerst wird die entsprechende homogene Differentialgleichung durch Trennung der Variablen gelöst.
Um die inhomogene DGL zu lösen, wird die Integrationskonstante C durch
eine unbekannte Funktion C (x) ersetzt. Die Funktionsterme für y und y' setzen wir in die inhomogene DGL ein. Diesen Ausdruck für C (x) setzen wir in die Formel für y ein und erhalten die allgemeine Lösung der inhomogenen DGLDiese Methode ist als Methode der Variation der Konstanten bekannt. Die Integrationskonstante C wird variiert, d.h. durch eine Funktion C(x) ersetzt.
Das Lösen einer Differentialgleichung höherer Ordnung ist äquivalent zum Lösen eines geeigneten Differentialgleichungssystems erster Ordnung. Auf diese Weise kann man obiges Verfahren nutzen, um eine spezielle Lösung für eine Differentialgleichung höherer Ordnung zu konstruieren.
Mathematik Nachhilfe in Villach
"5 mal 169 ist natürlich 845" xD
Sehr stark und präzise erklärt. Du hast mir sehr geholfen! Mein Abo hast du
Hey Andrej, vielen Dank für dein Feedback und dein ABO.Freut mich, dass ich dir helfen konnte. LG lernflix 😄
Sehr überzeugendes Video! Danke!
Großartige Erklärung, vielen Dank!
Hey, bitte sehr gerne. Freut mich, wenn ich helfen kann. 😄 Danke dir für dein ABO. LG lernflix
Vielen Dank, das Video hat mir wirklich geholfen.
Bitte sehr gerne. Freut mich, dass ich dir helfen konnte. LG lernflix
Vielen Dank!
Mega gutes Video! Auf Anhieb alles verstanden.
Hey, danke für dein nettes Feedback. Freut mich, dass ich helfen konnte.
LG lernflix 😃
PS: Danke auch für dein ABO
Sehr gute Videoreihe ! Hab auch noch eine Frage und zwar wieso ist mein Ansatz dass ich für yp= a sin(wx) + b cos(wx) nehme ? Woher kommt das b(cos(wx) ?
*Hat sich erledigt, habe gerade gesehen dass man den Ansatz einfach hernimmt hinterfrage ich vorerst nicht weiter :-)
Sehr gut erklärt, wobei das bei mir eine Auffrischung der "Höheren Mathematik" eines ingenieurwissenschaftlichen Studiums an der TU München ist. Lang, lang ist es her. Damals gab es kein YT. Die Aufzeichnungen und Mitschriften der Vorlesungen/Übungen habe ich alle noch.
Hierzu zwei allgemeine Fragen:
1. Das Video stammt aus 2021. Was ist das heute für ein mathemtischer Lehrstoff an welcher Lehranstalt? Ist das heute der Stoff bereits an einem Gymnasium? Das kann mir nicht vorstellen.
Für einen damaligen Dipl.-Ing (Univ.) war der Stoff DGL 2. O. (homogene + partikuläre Lösung) fast schon die Spitze der Mathematik.
2. Der Vortragende klingt nach dem Slang sehr nach Unterallgäu rund um Memminen. Liege ich da seh falsch?
Danke für dein Feedback und deine Frage ;-) Antwort 1: Zum Teil wird dies heute schon in der HTL und auch Uni in Mathematik 2 unterrichtet.
Antwort 2: Weit daneben. Ich stamme ursprünglich aus Hamburg, lebe aber bereits seit über 40 Jahren in Kärnten (Österreich).
LG lernflix
@@lernflix : Vielen Dank für die Antwort. Ich hatte übersehen, dass die HP aus "Autriche" stammt.
Sie kommen dennoch rüber wie ein Unterallgäuer, wo ich einige Zeit als Teenie lebte und diesen Slang gut kenne.
Es wird immer behauptet, dass Lernniveau der heutigen Schülern/Studenten würde immer tiefer sinken. Das scheint dann nicht der Fall zu sein, wenn man diese Höhere Mathematik schon unterhalb der Uni betreibt.
Zu meiner Zeit hörte der HM-Stoff im Gymnasium 13. Klasse, die Stadt habe ich oben genannt, auf mit Integral-Rechnung (Analysis) und Ebenengleichungen (Geometrie). Von DGL waren wir weit entfernt.
Noch was Mathematisches: Eine Sache wusste ich nicht mehr, dass bei einer Doppellösung der quadr. Gleichung für lambda für die Lösungen der Koeffizienten lambda 1 = lambda 2 ein x eingefügt wird (homogener Anteil) beim Ansatz der allgemeinen homogenen Funktion y.
Sie haben es erläutert.
Schöne Grüße aus Berlin.
danke danke danke sie helfen einen wing studenten sehr
Bitte sehr gerne. Ja die WINGS haben es schwer 😄LG lernflix.
Danke für das ABO
Super Video, aber eine Frage: Woher stammt denn für den homogenen Teil das x in der Klammer? Per Definition hätte ich an dieser Stelle nur C1+C2 erwartet
Hallo Sebastian. Danke für deine Frage. Per Definition ergibt sich ja für eine "Doppellösung" (Diskriminante = 0) genau dieser beschriebene Lösungsansatz für yh. 😉
Vergleiche dazu auch: czcams.com/video/d8DJ4UkQMnQ/video.html
LG lernflix
Danke auch für dein ABO
Super erklärt, danke! Eine Frage habe ich trotzdem noch: Was mache ich, wenn die Störfunktion die Form "sin(x) + 5" oder so ähnlich hat? Kommt dann beim Koeffizietenvergleich "5/sin(x)" raus oder ignoriere ich 5 einfach?
Hi Claude ;-) Danke für dein Feedback. Nein den 5er solltest du nicht ignorieren. Behandle ihn als eigene Funktion. Bei dem Beispiel ist sin(x) eine eigene Funktion und 5 eine eigene Funktion. Beide Funktionen bilden zusammen die Störfunktion. Yp ist dann ebenfalls die Summe der Lösungsansätze für die Einzelglieder. Yp = Yp1 + Yp2. OK? LG lernflix
@@lernflix Ich denke ich habs verstanden. Danke für die schnelle Antwort!
@@claudegable3388 Gerne. Danke auch für dein ABO.
@@lernflix Vielen dank für das Video. Dazu hätte ich allerdings auch eine Frage: geht der Ansatz mit zwei partikulären Lösungen yp = yp1+yp2 auch bei zwei unterschiedlichen Sinus- oder Kosinusfunktionen in der Störfunktion? zB cos(x)+cos(2x) Also beliebiges Omega vor dem x?
@@Deido112 Bei mehreren additiven Störfaktoren erhält man den Lösungsansatz yp als Summe der Lösungsansätze für die einzelnen Störfaktoren. LG lernflix
Finde ich ein Video zu diesen ganzen ansätzen , da man ja immer auf die Funktion angepasste Ansätze braucht?
Hi Marcel, nein leider nicht. Aber du findest die Lösungsansätze in jeder Formelsammlung. LG lernflix
PS: Danke für dein ABO 😁
:O danke
Aber bitte, sehr gerne 😄
wie viele seile hast du schon gehiegt?
Was meinst du?🤔
Woher kommt das *x bei 1:33 ?
Danke für deine Frage. Das ist die allgemein gültige Lösung der homogenen Lösung yh bei einer Doppellösung für Lambda. OK?
LG Lernflix
Schau mal hier:
czcams.com/video/d8DJ4UkQMnQ/video.html
PS: Danke für dein ABO 😃
Wie würden Sie die Aufgabe lösen? y(0)=1 und dy/dt(0)=1 ((d^2y)/(dx^2))-(dy/dt)+2y=sin(wt+Phi) ? Danke
Hi Christian. Danke für deine Frage. Prinzipiell gehst du gleich vor wie in diesem Video beschrieben. Bei der inneren Ableitung (Differentiation) von (wt+phi) bleibt lediglich das w übrig, da das t und das phi (Konstante) wegfallen. In dem Video ist der 2er in der Klammer das w. OK?
LG lernflix.
PS: Danke für dein ABO
@@lernflix können Sie mir nur das eine mal die Aufgabe lösen damit ich es besser verstehe 😅 wenn es möglich wäre? Ich zwinge Sie nicht 😂
@@lernflix bei dem Koeffizientenvergleich hat man dann sozusagen 3 Variablen wie soll man das mit 2 Gleichungen lösen?
@@markodzalto Danke für deine Farge. Aber, wieso 3 Variablen?
Die Unbekannten sind a und b.
Schau das Video bis zum Ende...
Vergleiche auch:
czcams.com/video/YGAqytxINjM/video.html
czcams.com/video/1LXGNL4p-og/video.html
LG lernflix
sorry ich meinte zwei Variablen a und b und eben das w das ist mein problem das sich die therme nicht wegkürzen weil man dann w^2 hat und nur w und ganz ohne w, ich weis einfach nicht wie man da weiter vorgeht
@@lernflix
arsch geiles video
Hey, danke für dein cooles Feedback. Freut mich, dass ich helfen konnte.
LG lernflix
ABO hast du dagelassen? Super! 😄