Logistische Differentialgleichung lösen (separierbare DGL), Trennung der Veränderlichen y'=k*y*(M-y)
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- čas přidán 27. 07. 2024
- Jede Gleichung, in der eine Ableitung enthalten ist, heißt "Differentialgleichung" (DGL). Mit diesen Gleichungen werden z.B. in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften Änderungsverhalten ausgedrückt. Die Logistische Differentialgleichung beschreibt dabei Wachstumsprozesse mit einer natürlichen Obergrenze, wie bei der Population von Menschen, der Ausbreitung von Gerüchten oder dem Lebenszyklus eines Produktes am Markt. Wie die logistische DGL mit Trennung der Veränderlichen gelöst werden kann, erfährst du in diesem Video!
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Inhalt:
0:00 Was dich erwartet
0:34 Schritt 1: y'=dy/dx
1:30 Schritt 2: Trennung der Veränderlichen
3:07 Nebenrechnung: Partialbruchzerlegung
8:37 Schritt 3: Integrieren
11:10 Nach der Funktion umstellen
19:17 #WERBUNG
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Wow! Unterbewertet! Ich dachte nicht, dass ich so eine gute Erklärung finde! Mein größtes Lob! Danke!
Dankeschön für diese super Videos!!! Sehr ausführlich und einfach erklärt! Einfach nur klasse!!!!!!
Du rettest mir Mathe 3, hab unfassbar vielen Dank :D
Danke dass du dir so viel Mühe gibst mit deinen Videos. Haben mir oft geholfen in bestimmte Themengebiete einzusteigen, hab auch deswegen ingmathe 1-3 mit guten bis sehr guten Leistungen bestanden mittlerweile 😄 hoffe du bekommst endlich Mal die Abo und Viewzahlen die du verdienst. Mach weiter so!
Vielen Dank! Freut mich, dass du Mathe 1-3 gepackt hast! Gebe mein bestes den Kanal voran zu treiben :)
Perfektes bsp ist zurzeit die impfanzahl nach zeit in deutschland :)
Bei 2:20 hast du |:y und |:(M-y) gemacht. Ich hätte jetzt dazu eine Frage. Nachdem man :y gemacht hat, bleibt auf der rechten Seite ja nur noch k(M-y) übrig. Könnte man bzw. sollte man hier nicht ausmultiplizieren zu kM und -ky und dann nur die -ky mit |+ky auf die andere (linke) Seite bringen und kM auf der rechten Seite lassen (ist ja kein y). Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen :).
Das ist eine schöne Idee, nur funktioniert sie nicht, weil dann das dy nicht mit an den Term "ky" dran multipliziert wird und deshalb auch nicht einfach integriert werden darf. Eine sehr gute alternative ist allerdings am Anfang schon auszumultiplizieren und dann die logistische DGL als Bernoulli DGL zu behandeln: czcams.com/video/x9Xnc9IccT0/video.html
Durch eine einfach Substitution erhältst du dann eine lineare DGL 1. Ordnung, die du wieder mit der Lösungsformel für lineare DGL 1. Ordnung lösen kannst: czcams.com/video/qwJPZHmNcIs/video.html
Könnten wir uns den Betrag beim ln(y) nicht eigentlich sparen? Natürlich macht es schon Sinn, immer auf Nummer sicher zu gehen, aber zumindest nur beim y, wissen wir ja, dass es auf jeden Fall positiv ist, das folgt ja aus der Ungleichung in der Voraussetzung.
Ja stimmt! Bei beiden sogar, denn auch M-y ist immer positiv für y zwischen 0 und M. Und das wiederum bedeutet, dass die Konstante c immer positiv ist. Genial, fällt mir erst jetzt auf :)
Hab das Problem, dass es bei meiner Dgl hier noch etwas in abhängigkeit von y abgezogen wird.(Gordon-Schäfer-Model). Somit ist die Gleichung nicht separierbar. Wie könnte man dann fortfahren?
Das kann ich dir leider allgemein nicht beantworten.
Kleiner Hinweis: Substitution funktioniert, wenn man y^2 im Nenner ausklammert. Anschließend einfach (M/y - 1) mit z substituieren und das y^2 vor der Klammer fliegt raus 🙃
Kleiner Hinweis: Die Logistische DGL als Bernoulli DGL habe ich in diesem Video hier gelöst czcams.com/video/x9Xnc9IccT0/video.html
@@MathePeter Oh okay, danke^^
soweit verständlich, aber woher weiß man bei y' dass damit dy/dx gemeint ist und nicht dy/d(was anderes) also woher weiß man da das x?
gilt allgemein,
Stimmt, das kann man nicht wissen, das muss vorgegeben sein. Fun Fact: Wenn man es nicht weiß, weil eben grad die Variable t oder x nicht in der DGL drin vorkommt, heißt die DGL autonom. Dann ist die DGL immer mit dem Separationsansatz zu lösen.
@@MathePeter Bei den Spearationsansatz bin ich noch nicht, muss ich erst noch schauen.
Rein aus Interesse, würdest du dem zustimmen dass man für zB NRLA und Analysis mit der Zeit so eine Art gefühl entwickelt? Dass man da irgendwie ohne jetzt genau die "Fakten" zu lernen intuitiv immer bessser weiß was man tun muss?
und die zusammenhänge erkennt, zb auch von determinante und kreuzprodukt, oder was die kurventintegral angeht dass man eh nur die strammfunktion braucht und anfang und ende einsetzt wie sonst beim integrieren auch uswusf
Ja genau so seh ich das auch! Die Intuition wird immer besser und die "Fakten" kommen dann automatisch Stück für Stück mit rein.
wieso finden wir am ende der Formel keinen therm mit f(0)? ich dachte das gehört zu der Funktion der logistischen gleichung
Steckt in der Konstanten c drin.
@@MathePeter Wie hängen die beiden den zusammen? Ich habe ja wenn man die ganzen Vereinfachungen bei c nicht macht statt c e^Mc. Wie komm ich damit auf die Form f(t) = M / [1+ ((M/f(0)) - 1) * e^(-cMx)]
muss man auch nicht Existenzintervalle für y angeben? Sprich wir haben ja ln(|y/M-y|) y darf ja nicht 0 und M sein ?
Man kann auch nach dem maximalen Existenzintervall fragen, war aber nicht Ziel des Videos. Es ging hier nur darum die logistische DGL mit der Methode "Trennung der Veränderlichen" zu lösen.
@@MathePeter vielen Dank!