【数学】0.999… = 1 は実は正しくない？【ずんだもん解説・ゆっくり解説】
Vložit
- čas přidán 20. 08. 2024
- この動画は、セイント女神沢学園 現代社会サバイバル研究会 (現サバ研) のメンバーとヒラリバタフライ男爵が織りなす、真の茶番劇である。
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0.999…は定義として数列の極限値であると言うのでようやくこの問題でスッキリした。
いつもlimで説明された時、極限値と限りなく近づけた物は同じじゃないだろって思ってたけど、定義から極限値と聞いてスッキリ
ただここで言う極限値って、限りなく等しいものは同一として扱うみたいになってるから
言ってみれば四捨五入したら同値なので同じです、って言ってるのと同じなのよな
数学の計算における定義上は同一として扱うってのと数値的に同一ってのが本当に同じなのか？となってくる
@@YukkuriReimu 数値的に同一だよ。多分極限値を誤解してる。極限値は近づく先の数のことを指す言葉で、例えば「1/xのx→∞の極限値が0」というのは、xを限りなく大きくしたとき1/xは0と同一とみなせるという主張ではなく、xを大きくしていったときに1/xが近づく数があってそれが0であるという主張。同様に0.9,0.99,…の極限値というのは末尾に9を並べていくことでやがて1と同一とみなせるという意味ではなく、単に近づく数が1であるということを言ってるだけ。なので0.9,0.99,…の極限値を表す記号として0.999…を定義すれば0.999…=1は厳密に成り立つ。
@@dhvhif1305 うん、だから
0.999…は1として成立するという主張は
極限値の定義によるものでしょ？って言ってる
計算結果とかそういうのじゃなくて
そういう定義になっている、と言ってるに過ぎないよね
@@YukkuriReimu
多分、｢四捨五入｣と言う表現がまずいんだと思う。｢極限値｣は何も切り捨てないし、近似でもないからね。
@@YukkuriReimu
また、極限と言う操作は確かに定義ですが、極限値が取れる事自体が定義ではない事は ε-N論法より証明出来ます。
以下、リンクを貼れないがための受け売りと成ります。
1/10ᴺ < ε
なる実数Nと任意の正実数εを取った時、
⇔log₁₀(1/10ᴺ) < log₁₀ε
⇔-N < log₁₀ε
が成り立つ事より、
n > N を満たす全てのnに対して、
1/10ⁿ < ε
が成り立つ。
よって、1/10ⁿは任意の正実数εよりも小さい事となり、その様な実数は0しか存在しないため、
1 - (1/10ⁿ) = 1
となり、動画の通り
1 - (1/10ⁿ)を改めて0.999...とすれば、
0.999... = 1
が成り立つ。
(詳しくは、ε-δ論法、ε-N論法の詳細を調べて頂ければと思います。
若し間違っていたらすみません…)
よくCZcamsで取り上げられる数学の話題だけど、数学に詳しい人が解説してくれると凄い安心して視聴できる
本当にそう思います
その昔、ネットの2年縛り自動更新の契約をする前に、1.999...年後にリセットされるので
これは２年間の契約期間を全うしたと言えるのだろうか？こんな契約をしてしまっても良いのだろうか？
と疑問に思ったことを思い出しました。
岡潔(1901～1978)とか著名な数学者が「数と表記は異なるもの(別物)」
「数と表記は異なっているのでは？(合っていないのでは？)」などを記してきていて
私は「ちょっとよくわからない」と投げていたが
9:19「1つの数【概念】に対して何通りか表記できる」でかなり納得できた。
「0.999...」は数でなく表記であり数字の1【概念】を示しているのね。
やっぱり岡先生が言うように数学も情緒の学問なのだろう。
『春宵十話』「数学とは自らの情緒を外に表現することによって作り出す...(以下省略)」
数と表記が異なるという話は言語学や記号学でソシュールをかじってると分かりやすいと思う。
例えば、〈リンゴ〉という概念（＝皮が赤くて実は黄色く、大きさはこぶしより少し大きいくらいの、木に実る果実）を意味する表記が「りんご」や「林檎」や「apple」である必然性はなく、この概念と表記の関係性はあくまで恣意的なものである。
ここでいう〈リンゴ〉の概念のような、意味されるもののことをシニフィエ signifié といい、〈リンゴ〉を意味するための「りんご」という表記や「りんご」という発音のような、何かを意味する媒体のことをシニフィアン signifiant といいますが、このシニフィエとシニフィアンの関係は常に恣意的なもので、文脈によりその関係性は変わることも起こりえます。（例えば、日本語では〈リンゴ〉のことを「りんご」と呼びますが、英語では同じ概念を「apple」と呼び、フランス語では「pomme」と呼びます。厳密には呼ぶというより表記ですが…）
この動画の数と表記の話は恐らくこれと同じで、数（というより、一個一個の数それぞれの概念。〈１〉という概念、〈２〉という概念……）というシニフィエに対し、それを表記する手段であるシニフィアンが複数あるという話だと思います。
１−0.9999…=0.0000…なので、が小学生向きかもｗ
結局もし1-0.999>0なら一体どんな実数なんだって話ですよね？
こんだけわかりやすいのに普通に否定派がコメントしてるの泣ける😭
たしかに小数点以下の確率で盗める
ここにコメントするような、「分かりやすい」だとか「詳しい」だとか書き込む人らは、何処でその正しさを規定するのだろう。
そして僕なら空でない零集合にあるアタリを引くう!!
(但し離散的なクジでないことを仮定する。)
0.99999と続くのは人は1でいい、が、機械は0.99999でしかない。
数学は想像の学問と言われる所以でもあるかもしれませんね。想像できるからこそ人は無限を扱える。
10進数では、1/3 を正確に表現できないからしかたない。2進数で0.1を表現しようとすると、循環小数になるのと同じ。
極限値で表示するように設定すればいいのでは?
@@user-lg1nr2qz9wそんなに難しいに考えんでも。数学１で習う循環小数の単元に当てはめると、どないしても結果が「１」になる。それをこのオッサンはブツクサ言うてるだけちゃう？😮
@@piyashirikozoじゃあ、2進数での1/10はどうなるの？
面倒なので1でヨシ！
キャ〜😮カッコイイ❤❤❤❤❤。ならば、「よし」。😊😊😊😊😊😊
0.999… = 1 で良いのだけれど、この動画には1つ問題があって、序盤のほうで確率の例えを出しており
そこで、確率0だが事象として空集合ではない場合があり得るっていう、この動画の本来の趣旨とは別の問題にぶつかってしまうという・・
統計学で最初に学ぶ「数字は嘘を吐かないが嘘吐きは数字を使う」の出番です。
『確立における表記の0.999...問題』は「0.999...」を「1」や「1.0」と表記すれば解決です。
『確立における数の0.999...問題』は「数の0.999...」で【...】と省略していますが
数なので末尾が存在していて例えば「0.9999999」と「0.0000001」と区切れますね。
貴方が言う『確立における数の0.999...(循環小数)問題』は
自分にはよくわかりませんが「0.000...1」が空集合(?)外れ(?)なのでは？
@@TouituIshinJiminUC1954 0.999… = 1は前提で、動画主と同じ見解で、「確率0だが事象として空集合ではない場合があり得る」（あるいは、確率1だが全事象ではない場合がある）という話ですよ。これ自体は「循環小数の問題」ではないです。
これが、この動画の序盤に出てくることで、本来の趣旨とは異なる問題を想起させ、思考があらぬ方向に行ってしまうのでは？という話です。
動画序盤では、ハズレ率が「99.99…%」と「100%」は同義か？ということを言っていまして、その答えはYESでOK。しかし上記により、「100%」でも、あたりを引く事象は存在し得るのです。
ところがここで、あたりを引く事象は存在し得るという話をすると、「【「99.99…%」が「100%」よりも真に小さいから】、あたりを引くことがあり得る」という意味に誤解されかねないので、ここでこの例えを出すのはノイズになってしまうのではないかという懸念です。私は実際、初見でその辺が気になりました。
＞「0.000...1」が空集合
実数の集合からある1つの実数を引き当てることでもって、くじの当落判断とする、というイメージで捉えていらっしゃるかもしれませんが、少なくとも動画主さんはそのような紐づけは行っていなくて、確率の値であるところの実数値の比較（1より小さいか、等しいか）の話しかしていないと思います。よって、両者にどのような紐づけをしているかという前提が語られない限りは、こちらは意味を持たないように思います。（・・けど微妙に言いたいことは想像できるのですが）
なお、全事象が実数の区間であるとき、1点集合は、空集合ではないが、確率（長さ）0です
@@motton5926
10回コイントスをした時表が7回裏が3回だった。
そのコインで表が出る確率が70%である確率は何%だろうか?
の答えが0%
ってのと同じこと?
@@ℯðℊℒℙℱℌℋℛℳℴþℬ 何に対して、「同じ」と言われています？
また、どのような点に着目して「同じ」だと考えられていますか？そのあたりの条件がつかないと、安易に「同じです！」とは言えないですよ。
この問題は、表現方法の問題ではないと思います。
『･･･』を極限値を表す記号と解釈すれば、高校数学の範囲で全部解決します。
『11:38 数学的帰納法は、極限については使えない。』と言うには、ペアノの公理を覆すほどの特大の論拠が必要です。
この動画を見ていると、下記の式で、a=b=1と言っているように聞こえます。
私は、a=0,b=1だと思います。
a=lim_(n→∞)[1-10^(-n)] b=[lim_(n→∞)(1-10^(-n))]
[ ]は、ガウス記号
表現方法(というか、多くの人が"0.999..."なる表記に動的なイメージを持っていることから生じる誤謬)の問題です。
＞『･･･』を極限値を表す記号と解釈すれば、高校数学の範囲で全部解決します。
しません。"0.999…"を収束列の極限値として定めたとして、その"記号"に通常の四則演算を適用できるか、すなわち「収束する数列の各項を定数倍して得られる数列は収束するか」「収束する2数列の和として得られる数列は収束するか」は高校数学では示せません。後者に関しては同チャンネルのε-N論法の動画でも触れられています。
＞この動画を見ていると、下記の式で、a=b=1と言っているように聞こえます。
聞こえません。動画内にもある通り、数学的帰納法によって数列{[1-10^(-n)]}は恒等的に0、すなわち集合として{0}に等しいことが従います。よってこの数列は収束し、その値aは0に等しいです。
「任意の自然数について成り立つ」と「n→∞において成り立つ」を弁別することは大学数学の初歩です。ペアノは前者の基礎づけを与えたにすぎません。そもそも、実数自体が有理数に極限等の解析的な要素(完備性)を追加して得られる体系であることから、ペアノの公理のような離散的な操作のみで実数(極限)を扱えると思う方が無理があります。
@@user-mf2rz3yy7i 数学的帰納法が、『実数の数列に適用できない』というのは、過激な新説だと思います。
ペアノの公理から、実数や複素数を構成できることを理解しておくべきだと思います。
ペアノの公理って実数,複素数構築できるんでしたっけ…？
自然数は構築できて, 自然数の組と解釈して有理数まではできたかと思いますが…あと実数が構築できてもある実数の次の実数って概念が組み込めるのかどうか…
@@usar-xx1uk4pp9h wikiの受け売りだよ。でも、コーシー列を使うと、有理数を実数に拡張できるよ。それに、自然数を使わないで、有理数や実数、複素数等を構築することはできないよ。
私がこのチャンネルに言いたいのは、『数学的帰納法は極限では成り立たない』を『数学的帰納法が証明するものは、漸化式で表せる数だけで、極限値は証明していない』と直してもらいたいだけだよ。安直に公理を否定しないでもらいたいんだ。
ようは、0.99999……………これを高校数学で勉強する循環小数の単元に当てはめるとr＝1になる。つまりこれが納得いかへんてことやろう。東工大の先生に聞きにいけや😮
9÷9=1
これは循環小数だから0.999...=9/9=1じゃないの?
0.9999...はほぼ1ではあるが、1ではない
0.99999な時点で『ほんの少し足りない』からね
ただ、現実的には(プログラムとかの判定に使わないなら)同等に扱っても問題ないね
ドリンクで500mlって書いてる奴の中身が499.999999999mlだって知っても、誰も気にせんだろう？
動画の内容見ましたか…?
極限と無限小数を混同しています。
@@user-lg1nr2qz9w 最初の店のおっさん、無限小数言っとるんですが・・・
で、いつの間にか無限小数が極限値の話に置き換わってるんよ
御言葉ですが、
高校数学の範囲である｢循環小数｣として0.999...と言う値を捉えるのであれば前半の証明で事足りますし、
より厳密に論じるのであれば、0.999...と言う値は極限値を取ってしか得られないものと言う事に成ってしまいます。
そのためこの場合であっても、私達が実生活に於いて｢実数｣を採用している関係上、0.999... = 1と言う等式は、一般の解釈に於いて誤りではありません。
｢無限小数｣に関する詳細を見直して来て下さい。
0.9999＝1の計算式の問題点は、たった二言の指摘で崩壊する
『それ、末尾の桁どうなっとります？ 10倍したら末尾の桁ズレてません？』
ズレません
無限小数に末尾の桁は存在せんのです
無限って知ってます？