Eine schöne Gleichung - Kannst du sie lösen?
Vložit
- čas přidán 1. 06. 2024
- Exponentialgleichungen lösen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man eine Exponentialgleichung mit Substitution lösen kann. Wir nutzen das Potenzgesetz, um die Basen gleich zu machen und substituieren 2^x, um die Polynomgleichung mit Polynomdivision zu lösen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Exponentialgleichungen lösen
1:14 Basis anpassen
3:20 Substitution
5:37 Polynomdivision
11:07 Quadratische Gleichung lösen
12:44 Rücksubstitution
14:04 Bis zum nächsten Video :)
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Bist du Lehrer?
Lösungsregel dieser Potenzbeispiels:
3^3 + 3^3 + 3^3
1.Frage: Ist es: a) 3^9 oder b) 3^4
2.Frage: und warum ist es so…?
Danke schön im Voraus und Bg.
was ist das Resultat?
@@dogandd5518 !!! Punktrechnung vor Strichrechnung !!
Warum? Irgendein staatlicher Vorbeter / Römer oder Papst hat ma sog. Arabische Ziffern
nach die damalige Europa eing'führt. Vermutlich auch die Zeichen für Formeln.
Naja, was man einführen kann, kann man auch ausführen oder menstruieren,
wie sieht Europa dann aus? Die Frage wäre mal interessant
@@gaswirt Es gibt mehrere Lösungen... wie so oft... z.B. 2^7+8^0,3333333_ = 130 ... nur als Beispiel.
Kleiner Trick: Wenn man f(z) = z^3 + z - 130 ableitet, erhält man f'(z) = 3z^2 + 1 > 0. Damit ist die Steigung immer positiv, die Funktion als streng monoton steigend. Ganzrationale Funktionen sind außerdem stetig. Also kann die Funktion die z-Achse nur einmal schneiden, so dass es gar keine weiteren Nullstellen geben kann. Damit kann man sich die Polynomdivision sparen.
Wie raffiniert! 😍
Stark!
Jede differenzierbare Funktion ist stetig. 😉 Aber der Trick ist echt gut! Und man kann die Aussage sogar verallgemeinern, denn das sollte ja für alle Polynome der Form
ax³ + bx² + cx + d mit a > 0, b = 0 und c > 0 zutreffen. 🤔
@@teejay7578
Wie genau möchtest du das verallgemeinern? Es reicht jedenfalls nicht, wenn c größer als 0 ist.
@@felixstuber8046 Wo habe ich behauptet, dass das reichen würde? Ich habe Bedingungen für a, b und c genannt. Die erste Ableitung von dem allgemeinen Polynom ist 3ax² + 2bx + c. Mit a > 0, b = 0 und c > 0 ist das für jedes reelle x positiv, weil das 3ax² niemals negativ wird, das 2bx verschwindet und das c eben positiv ist. Desahalb gilt die o. gen. Argumentation für jedes Polynom 3. Grades ohne x²-Term und mit positiven Faktoren vor x³ und x.
Habe mir dieses Video mehrmals angesehen , verstehen kann ich kein Wort was die nette junge Dame hier erzählt , größten Respekt an alle die hier irgendwie etwas verstehen.
cringe
Excuse me, Sir. Vielleicht sind Sie gesünd in the Brain. Genau wegen deshalb. Ein gutes Leben wünsche ich Sie. Konrad de Francheville
Liebe Mathematrick, ich habe diese Woche Montag meine mündliche Prüfung in Mathe und dementsprechend mein Abitur bestanden🎉Deine Videos haben mir die letzten zwei Jahre sehr geholfen. Danke für alles💫
Gratuliere! 🎉
Großartig!Gratuliere 👍🏻!
👍🏻 🏆 👍🏻 Glückwunsch!🎉 🥳
Gratuliere! Aber:
Gratuliere! Aber: Wer braucht schon so was im realen Leben. Nimmt man den Mathematikern die “eins” weg, sind sie nackt. Bei der Autorin möchte ich mir das gar nicht erst vorstellen.
Aber echt jetzt, die aller meisten Mathematiker brauchen doch Lebenshilfe, so link wie sie im echten Leben auftreten. Ich spreche aus Erfahrung (habe selbst mal ein Duzend Mathematiker geführt) Die sind so schräg, dass sie nicht mal einen Nagel in einen Schneeball einschlagen können. Das experimentelle Ich, geprägt von konzeptionellem, einfallsreichem, ganzheitlichem Denken geht ihnen total ab! Zurück bleiben eher Mimosen.
Zudem beherrschen Viele von diesen Oberprimanern nicht mal den Dreisatz. Der wird ihnen in den Gymnasien nicht eingebleut, aber sonst viel Nutzloses, auf das man im Leben verzichten kann.
Souverän und sicher, sehr freundlich und sympatisch. Da schaut man gerne zu. So eine Mathe-Lehrerin hätte meinen alten entenfahrenden lieben Herrn Rhieck glatt noch getoppt 🙂. Es kommen nostalische Gefühle auf, wenn man merkt, dass das für einen alles mal undramatischer, wenn auch nicht unbedingt immer geliebter 🙂 Schulalltag war, den man letztlich immer gemeistert hat, inzwischen leider weitestgehend vergessen, weil nie mehr abgerufen. Ganze neununddreißig Jahre ist mein Mathe-Leistungskurs jetzt her. Vielen lieben Dank! Ich schau gerne wieder vorbei - und lasse gerne ein Like und auch ein Abo da.
OMG! Du erklärst das soooo schön. Da macht Mathe richtig Spass. Solche Aufgaben sind bei mir ja schon 40 Jahre her. Aber ich hoffe, dass mein Sohn mit deiner Hilfe auch noch kapiert, dass die Zahlen nicht böse sondern richtig schön sind.
diese gleichung in dem video ist der größte dümmste stuss den ich in meinem gesamten leben gesehen habe.
sorry aber wenn deinem sohn das spaß macht, dann hat er ganz andere probleme als mathe.
ich erinnere mich auchnoch an gleichungen damals und winkelfunktionen ich habe sie damals schon gehasst, es ist einfach nur raten bis man richtig liegt.
da es nur raten bis man richtig liegt ist war es nie schwer aber mir wird schlecht wenn ich daran denken muss wie dämlich diese vorgehensweiser ist und muss im nachhinein sagen wars die 1 nicht wert diese mathematik überhaupt als relevant anzuerkennen, bah!
Tipp: DIe Zahlen nicht, sondern nur die (ungedulgigen oder zu strengen oder zu schlaffen)Lehrer. Also richtigen Lehrer braucht's schon, oder ein lieber Vater ders fordernd aber geduldig erklärt. PS: Naja nicht zu vergessen, der Wille des Kindes ist natürlich am nützlichsten, aber man kann auch so fördern.
Bei Minute 8:00 liegt der Schmelzpunkt. Hier startete meine Unverständlichkeitsgrenze und ich war verloren. Ich erinnere mich, dass dies parallel zu meiner Schulzeit mit erschreckender Konsistenz ziemlich genau die selbe Grenze darstellt. Irgendwie schön, exakt den Punkt zu erfahren, wo einen das Fach Mathematik für immer verlassen hat, leider auch schmerzhaft, es ein weiteres Mal zu durchleiden. Dennoch danke für das Video!
Zum einen steckt drin, dass z^3 + z- 130 = (z-z_1)(z-z_2)(z-z_3) zerlegbar sein muss, wobei z_1, z_2, z_3 reelle Nullstellen oder auch Paare komplexer Zahlen sein können. Egal wie, wenn man das ausmultipliziert, dann ist z^3 + z- 130 = z^3 + .... + z_1z_2z_3 . Wenn es eine ganzzahlige Lösung gibt, dann muss diese ganze Zahl Teiler des Absolutglieds = -130 = - 2*5*13 sein. Man müsste also -1, 1, -2, 2, -5, 5, -13, 13 durchprobieren. Ziemlich klar ist, dass negative Zahlen keine Lösungen sind und weder 1 noch 2, aber 5 die Gleichung erfüllt. Dann lässt sich z^3+z-130 = (z-5)(z^2 +az+b) zerlegen oder einfach (z-5) mal Polynom vom Grad 2. Dieses Polynom 2. Grades findet man durch Polynomdivision (geht wie schriftliches Dividieren).
Same here 😅
Satz von Vieta. Rückführung der kubischen Gleichung auf eine quadratische Gleichung.
Wenn man es schon früher nicht verstanden hat, dann kann man nicht erwarten, dass es jetzt - nur aufgrund der ins Land gegangenen Zeit - verständlicher ist. Die gedanklichen Stolperstellen sind immer noch die gleichen, wenn man sie nie aus dem Weg geräumt hat. Sprich: wenn man sich nicht nochmal damit befasst hat. Hat man seit der Schulzeit falsche Konzepte in Synapsenverbindungen gespeichert, muss man die erst mal umbauen. Das ist bei jeglichem Lernstoff, bei dem man Konzepte verstehen muss, so. Mir ging/e es bei Mathe genauso. Mir war da in der Schule vieles zu abstrakt und zu trocken, der Sinnbezug hat gefehlt. Man schummelt sich dann so durch und korrigiert es doch nie.
Damals in Mathe war man dem Ganzen hilflos ausgeliefert, jetzt kann man wenigstens schön Kommentare lesen gehen. 😅 Irgendwie beruhigend!
Das Suchen von Lösung... Die linke Seite ist total wichtig. Voll angenehm dargestellt und gesprochen.
Du hast das so einleuchtend erklärt. Fröhlich, wie immer.❤ ich hätte es allein nicht geschafft.
Vielen Dank für Ihre hilfreichen Erklärvideos, für mich waren sie eine 1A Ergänzung zum Mathe Unterricht in der Schule am Ende hats sogar für 15 Punkte greicht.
ich bin schon sehr lange aus der Schule draußen (in Pension), aber ich liebe Deine Art und Weise,wie Du den Schülern Mathematik erklärst und SCHMACKHAFT machst!
Peter
Es ist immer ein Vergnügen, Probleme in Mathematik zu lösen und besonders, wenn ich Ihren Kanal sehe! Aus Bewunderung! Viel Erfolg weiterhin!😊
Schon eine Weile her,aber es hat viel Freude gemacht, mal wieder davon zu hören. Hätte ich nicht mehr alleine hinbekommen, deswegen interessant, was man schon alles wusste vor dem Abi!😅
Und was man hinterher vergisst😂😂😂
Das stimmt. Ich habe seit dem Abi auch keine Diskussion mit einer Kurve mehr gehabt 😉
32 Jahre is et her... aber das hatten wir in der Mittelstufe...
ln(x)/ln(y) = log_y(x) Dementsprechend kann man das Ergebnis auch als log_2(5) schreiben. Der Logarithmus mit Basis 2 wäre ab dem Punkt 5 = 2^x auch direkt intuitiv anwendbar.
👍🏻 Wie immer: didaktisch wertvoll!
„Mal völlig im Zusammenhang“ auch sehr interessant: dein techn. Equipment. Nehme ich als Anregung. Auch hierzu: merci. 😊
Hammer. Einfach beeindruckend, wie kompakt und anschaulich man so knifflige Aufgaben gut verständlich rüberbringen kann. Bin wieder mal beeindruckt.
Wie die Sendung mit der Maus nur "auf Mathematik".
Ist immer schön, Deine Videos zu sehen. Du erklärte toll und vieles kommt unglaublich schnell zurück. Dank Dir! Übrigens auch eine sehr schöne Schrift.
Wie immer schön erklärt! Es war angenehm und hat Spaß gemacht zu folgen und es war eine schöne Auffrischung, speziell die Polynomdivision und das logarithmieren. Danke dafür.
Super nett und fantastisch erklärt. Zur Erklärung der Polynomdivision hätten vielleicht noch zwei Sätze gefehlt, aber wer sie mal kannte (so wie ich) wird wunderbar abgeholt. Für die anderen wäre ein Hinweis auf ein passendes Erklärvideo gut gewesen.
Ich fand es toll, wow!
Ich hab vorher nicht gewusst, wie Polynomdivision ging, habs nie gelernt und durch das Video hab ichs trotzdem verstanden ^^
War in der Schule damals genau in der Woche krank wo's drankam und hatte das nie nachgeholt
Ganz ehrlich, als Nachhilfelehrer feier ich das hart.
Schön erklärt und auch nochmal für mich en super Reminder, dass Substitution en vollkommen valides Mittel is, danke dafür.👍
Ich könnte ihr geradezu dauerhaft zuhören und zusehen. Sie überspringt nichts, nichts ist trivial, und kommt doch ohne Umwege zur Sache. Wäre eine gute Lehrerin!
Es ist 00:16 an einem Freitag morgen und ich guck dein Video zum einschlafen und lernen, ich danke dir, du bist toll ❤
Ich schaue es manchmal zum Aufwachen. 😂
super, danke. dieses thema habe ich am gymnasium verpasst, weil ich rausgefallen bin. bringt mich im leben auch nicht weiter, da meine arbeit nur sehr ansatzmässig mit mathematik zu tun hat, aber wenigstens poliert es mein ego etwas auf, dass ich dies nun auch weiss...oder einfach weiss, wo meine wissenslücken liegen
Ich finde es sehr umständlich geht viel einfacher
Die Erinnerung mit Susanne an meine Schulzeit ist - wie immer - einfach Super. Danke für das kleine Nachmittagstutorial bei Kaffee und Eis.
Tolle Sache. Ich bin jetzt jenseits der Mitte 50😂. Habe einen qualifizierten Hauptschulabschluss und eine ungefähre😅fünf in Mathe. Vielleicht schlägt der Algorhytmus mir deshalb diesen Content vor?
Doch ich bin ruhig und mein Herz ist voller Freude, dass tief in meinem innern eine Stimme sagt: "Ich habe dich getragen, dein ganzes Leben, ohne dich über den Dreisatz hinaus noch einmal mit Mathe zu belästigen."
Und zurück bleibt dann meine Dankbarkeit.
Wofür braucht man Mathe, wenn man sich so schön ausdrücken kann wie Du? Sehr schöner Kommentar. Und das auch noch mit sauberer Rechtschreibung und Satzzeichen 😍
Die Jugend sollte sich ein Beispiel an unserer Generation nehmen 😉
ich hätte im letzten schritt mit ld (logarithmus dualis) logarithmiert dann hast du am schluss x = ld(5) stehen das fände ich etwas schöner ☺️
Du bist wirklich ein Genie.🥰Ich weiß noch wie stolz ich war als ich meine erste polinomdivision geschafft habe. Eine Funktion durch eine Andere geteilt das war schon schwer
Diese Aufgabe habe ich in 1970-er in Form X^X^3=3 kennengelernt! Eine tolle, kreative Lösung für eine einfach aussehende Aufgabe.
Danke für die nette Erinnerung.
Hallo Susanne,
klasse wie du dir immer wieder Zeit nimmst, solche mathematischen Aufgaben locker und mit Spaß am Lösen zu knacken! Und schön, wie du dabei auch immer wieder einen Rundgang durch mathematische Lösungsmethoden aber gleichzeitig auch auf Fettnäpfchen auf aufmerksam machst mit einem guten Gespür für nicht zu viel und nicht zu wenig.
Allerdings vermisse ich bei 6:00 schon die Begründung warum die Nullstelle ein (ganzzahliger??) Teiler von 130 sein muss? Natürlich beruht der Nullstellenansatz auf der Tatsache, dass man diese Gleichung auch als (z-a)*(z-b)*(z-c) schreiben kann (mit den Nullstellen a,b,c) und dann muss a*b*c = 130 sein. Aber wer sagt denn, dass sie ganzzahlig sein müssen? Z. B. wären Wurzel(20) * Wurzel(20) * 0,325 auch 3 mögliche Faktoren aber allesamt nicht ganzzahlig. Und so müsste man eigentlich im Universum der reellen Zahlen lange suchen, bis man eine erste Nullstelle findet. Daher finde ich es ein bisschen geschönt, wenn man in seinen Lösungsweg einfach künstlich Annahmen herbei zaubert nur weil man die Lösung bereits kennt.
Ich hätte statt dessen lieber einen einfacheren Lösungsweg gewählt, bei dem man sich keinerlei Polynomdivision oder p-q Formal antun muss.
Mit z=2^x folgt wie auch in deinem Video
2^x + 8^x = 130 => z+z^3 =130
Das lässt sich aber auch schreiben als
z*(1+z^2) =130
Hier kommen negative Lösungen für z nicht in Frage, weil (1+z^2) immer positiv ist und daher z auch positiv sein muss damit das Produkt positiv wird (=130), aber grundsätzlich auch weil z per Definition (z=2^x) sowieso schon nicht negativ sein kann. Also z>0!
Und weil im Bereich z>0 sowohl z also auch (1+z^2) streng monoton steigend sind, ist auch das Produkt aus beidem streng monoton steigend. Damit kann es nur eine einzige Lösung geben, bei der das Produkt den Wert 130 gibt. Also ist schon durch bloßes hinschauen klar, es gibt nur eine Lösung und sie muss positiv sein.
Dann muss man allerdings - wie auch in deinem Video - durch Probieren suchen. Falls man bei ganzen Zahlen nicht so schnell fündig wird, kann man wegen der strengen Monotonie sogar sehr zielgerichtet mit Intervallhalbierung oder Newton Verfahren suchen und kommt schnell auf Z=5 als einzige Lösung.
Wer braucht schon so was im realen Leben. Nimmt man den Mathematikern die “eins” weg, sind sie nackt. Bei der Autorin möchte ich mir das gar nicht erst vorstellen.
Aber echt jetzt, die aller meisten Mathematiker brauchen doch Lebenshilfe, so link wie sie im echten Leben auftreten. Ich spreche aus Erfahrung (habe selbst mal ein Duzend Mathematiker geführt) Die sind so schräg, dass sie nicht mal einen Nagel in einen Schneeball einschlagen können. Das experimentelle Ich, geprägt von konzeptionellem, einfallsreichem, ganzheitlichem Denken geht ihnen total ab! Zurück bleiben eher Mimosen.
Zudem beherrschen Viele von diesen Oberprimanern nicht mal den Dreisatz. Der wird ihnen in den Gymnasien nicht eingebleut, aber sonst viel Nutzloses, auf das man im Leben verzichten kann.
@@gerdlelle8036Ich verstehe deine Antwort nicht? Hat das was mit der Lösung zu tun?
@@frankrichter6949 Ja. er versteht sie nicht, braucht aber erheblich viel mehr Worte um das auszudrücken. Psychologe oder Soziologe? Wer bietet mehr?
Bei dieser Gleichung würde ich beim Raten der Nullstelle zur Ursprungsform, also "z³ + z = 130" zurückkehren. Wegen z³ + z < 0 für alle z < 0 kann es keine negative Lösung geben. Und bei den natürlichen Zahlen genügt es, sich das Kubik anzuschauen: Wenn man diese Reihe (1, 8, 27, 64, 125, 216, ...) ein bisschen im Kopf hat, ist schnell klar, dass als ganzzahlige Lösung nur die 5 in Frage kommt.
Es gibt aber auch eine fertige Formel solche Gleichungen Y³ + Y -130 = 0 zu lösen und du musst nicht mehr raten:
Q=(p/3)³+(q/2)²
A=[-p/2+sqrt(Q)]^(1/3)
B=[-p/2-sqrt(Q)]^(1/3)
Y=A+B
@@maximilianmeyer4133 Würdest du uns bitte einmal vorrechnen, wie man mit dieser Formel auf die Lösung 5 kommt? Danke!
Du bist wunderbar. Ich lerne jeden Tag etwas dazu und erhalte das alte Wissen. Danke dafür.
Ich finde das super interessant auch wenn ich bald 20 Jahre aus dem Abitur raus bin wie die Gehirnzellen reaktiviert werden, manches habe ich echt noch verstanden sogar die Lösung der PQ formel. Aber ohne Vorbereitung wäre ich alleine nicht mehr auf die Lösung gekommen.
Ich weiß zwar nicht wofür ich das brauchen könnte, aber es hat Spaß gemacht und war unterhaltsam.
Braucht kein Mensch... 😀
Zunächst können wir sagen, dass aufgrund der stetig steigenden Funktion 2ˣ + 8ˣ höchstens eine Lösung für 2ˣ + 8ˣ = 130 existiert.
Wenn wir x = 1 setzen, erhalten wir 2ˣ + 8ˣ = 10 < 130. Daher können wir sagen, dass es genau eine reale Lösung gibt, für die 2ˣ + 8ˣ = 130 gilt.
Wenn wir 2ˣ + 8ˣ als 2ˣ + (2ˣ)³ = 130 schreiben, können wir durch Beobachtung feststellen, dass 2ˣ = 5 eine Lösung ist und wie bereits erwähnt, die einzige Lösung.
Daher ist x = log5/log2 die einzige reale Lösung für 2ˣ + 8ˣ = 130.
Aha, durch Beobachtung. Soso
Auf der Uni hat's dann geheißen: "Wie man durch scharfes Hinsehen leicht erkennen kann ..." 😁
@@QuetzalcoatlusNorthropi_
Ja, absolut!
Durch Beobachtung: Per eye scanning ... ;-)
Einfach köstlich fand ich es auch immer, wenn der Prof an der Tafel dann sagte: "Und man kann sofort hinschreiben ..." ;-) @@QuetzalcoatlusNorthropi_
Hi Susanne,
Habe bei der Polynomdivision einen Vorzeichenfehler begangen, da ging es nicht auf. Hatte aber Glück, weil es sowieso keine reellen Lösungen mehr gab.
Mit der einen gefundenen Lösung habe ich dann auch noch die Probe gemacht: hat wunderbar funktioniert!
Schöne Aufgabe!
❤liche Grüße
Ich finde diese Frau genial ❤🎉😊.
Tolle Stimme, super Aussehen und eine tolle Ausstrahlung ❤🎉🎉😊! Ich kann alles verstehen und nachvollziehen. Diese Frau hätte ich sehr gerne als Lehrerin in Mathematik und als Freundin ❤🎉😊! Ich bin der Meinung: Sue sind Spitze ❤❤❤🎉🎉🎉😊😊😊!!!
Lösung:
2^x+8^x = 130 ⟹
2^x+2^(3x) = 130 |mit u=2^x ⟹
u+u³ = 130 = 5+125 = 5+5³ | auf der linken Seite der Gleichung werden mit u die selben Rechenoperationen ausgeführt wie mit 5 auf der rechten Seite der Gleichung. Daraus folgt: u = 5 = 2^x |lb() ⟹
x = lb(5) ≈ 2,3219
Auf 4 Stellen genau, aber nicht vollständig ;)
@@alexanderholzschuster7622 Ich will das nicht abstreiten. Sag mir die anderen Lösungen!
@@gelbkehlchen Schau mal weiter oben. Habe die vollständige Zahl bereits geschrieben, vor ca. 2 Monaten. LG
@@alexanderholzschuster7622 Ich dachte weniger an die vollständige Zahl, ich dachte an mögliche andere Lösungen, die es vielleicht noch gibt. Die vollständige Zahl? Da muss man ja nur einfach mehr Stellen aus dem Taschenrechner übertragen.
kann man bei imaginären Lösungen für z wirklich schon aussteigen? z ist ja substituiert, und bei der Resubstitution könnte eine imaginäre Lösung prinzipiell wieder reell werden (z.B. wenn z=x^(1/2) substituiert wird und z=2i herauskommt wäre x=-2 ja eine Lösung)
Oder man müsste zeigen, dass imaginäre Lösungen bei dieser Substitution *sicher* keine reellen Lösungen für x ergeben.
Sehr schöne Gleichung mit einer klasse Herleitung der Lösungen. Vielen Dank 👍💐
Sieht einfach aus, hat es aber in sich. 👍
Hallo Susanne,
ich hoffe, Dir und Thomas geht es gut.
(und natürlich hoffentlich auch allen anderen)
Ich selbst bin zufrieden.
jetzt zur Aufgabe
2^x + 8^x =130
Zunächst steckt in 8 Gott sei dank einer 2er-Potenz (2^3).
Man kann deshalb auch schreiben 2^x + (2^3)^x =130
Nach den Potenzgesetzen darf man die Exponenten auch tauschen
2^x + (2^x)^3 =130
Jetzt 2^x ersetzen durch u
u+ u^3 =130
Jetzt ein bisschen probieren...
u=4: 4^3 + 4 = 64+6 = 68 ... zu wenig
u=6: 6^3 + 6 = 216+ .. zu viel
u=5: 5^3 + 5 = 125 +5 = 30 ... jippie Lösung für u gefunden..
u=5
jetzt Ersetzung (u=2^x) wieder Rückgängig machen
2^x = 5 | Log
Log(2^x) = Log(5) | Exponent aus dem Log vor den Log ziehen
x * Log(2) = Log (5) | :Log(2)
x= Log(5)/Log(2)
x= rund 2,322
LG auch an Thomas, Sabine und Roger aus dem Schwabenland und allen eine schöne Restwoche
Sorry. Bei Polynom-Division bin ich ausgestiegen. Mathe-Abi vor 40 Jahren hin oder her.... Höchste Anerkennung für dein Können!
Ebenfalls so um den Dreh rum. Ich könnt's wahrscheinlich wieder, dank Magda, aber mir fehlt die Geduld.
Hat mich übrigens sehr erstaunt, wie schnell die Erinnerungen wiederkommen, dank so guter Erklärvideos.
Ich auch. Manchmal geht es mir hier auf dem Kanal zu langsam. Aber hier war ich vollkommen lost und hätte mehr Erläuterung/ Schritte benötigt 😊
Dann hab ich noch 9 Jahre Zeit. 31 Jahre nach Mathe-Abi hätt ich das noch hingekriegt. 😅
@@zaphodbeeblebrox6795Kind 😅
Geht mir auch so ...
Dennoch : Sie erklärt um mehrere Zehnerpotenzen besser als jeder Lehrer in der Schule
hätte es diese Videos vor 20 Jahren gegeben wär mein Mathe Abitur wohl um einige Punkte besser ausgefallen. Habe viel mehr verstanden als unsere Lehrer damals vermitteln konnten. Vielen Dank dafür.
Toll, danke!
Nie hätte ich gedacht, dass Mathematik so fesselnd sein kann.
Einfacher ist es, log zur Basis 2 als ln zu nehmen
Das war einfach.
In Frankreich rechnet man zuerst delta = b*b - 4a*c fur polynôme mit x^2.
Falls delta
Ich habe mal eine ketzerisch anmutende Frage: In welchem für Menschen lebensnotwendigen Beruf werden Exponentialgleichungen gebraucht? Gehören die zur Allgemeinbildung oder eher zu fachspezifischem im universitären Bereich?
Exponentialfunktionen (und daher auch Gleichungen mit selbigen) kommen immer dann vor, wenn es um ungebremstes Wachstum bzw. sich selbst verstärkende Prozesse geht. Sei es nun das ungebremste Vermehren einer Kaninchen-Population (bis entweder die Nahrungsgrundlage aufgebraucht ist, oder ein natürlicher Feind (Fuchs) den Prozess ins Gleichgewicht bringt) oder die Kernspaltung, oder leider auch die Klima-Erwärmung, die inzwischen auch zu einem sich selbst verstärkenden Prozess geworden ist.
War verblüfft. Respekt!
Mein Mathe-Abi stammt schon aus dem letzten Jahrtausend. Duese Aufgabe hätte mir gefallen, da hier ein großes Verständnis abgefagt wird und sich ggf. auch der Kreis der Erkenntnis schließt, wenn man die Lösung verstanden hat. ❤
For your ALGO: Wunderbar obwohl real braucht man diese Zeiträuberei weder im Leben noch in der Job nahen Praxis niemals.
Nach diesen genialen Lösungen, die ich während einer realen Prüfung nie gelöst hätte und somit durchgefallen wäre, betrachte ich mein damaliges DDR-Abitur als wertlos. Und somit vielen Dank an Frau Susanne Scherer.
Das ist ein sehr schönes Video mit einer interessanten Gleichung. Zwei Bemerkungen möchte ich nur dazu machen:
1) Die Polynomdivision und die Lösung der quadratischen Gleichung waren gar nicht nötig. Bei der kubischen Gleichung erkennt man anhand der strengen Monotonie der linken Seite sofort, dass es nicht mehr als eine Lösung geben kann.
2) Es ist bei einem Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten keineswegs klar, dass die Nullstellen Teiler des konstanten Gliedes sein müssen. Das gilt nur, wenn die Nullstellen ganzzahlig sind. Bevor man hier die Lösung 5 gefunden hat, weiß man daher noch nicht, ob es Lösungen unter den Teilern von 130 gibt.
Zu 2: dann hätte man der Vollständigkeit halber noch kommazahlen raten müssen 😅 ein Glück dass es eine ganze Zahl als Lösung gab 😂
Aber jz wo ich drüber nachdenke muss ihre Aussage ja dennoch stimmen dass die Nullstelle ein teiler sein muss, da man das z in diesem Fall ja auch ausklammern kann zu z*(z^2+1)=130 von daher versteh ich den Einwand nicht so wirklich.
@@Bangilnel Der wesentliche Punkt ist, dass man nicht von vornherein sicher sein kann, dass es auch wirklich _ganzzahlige_ Nullstellen gibt. Nur wenn man _voraussetzt_, dass eine Nullstelle ganzzahlig ist, kann man sicher sein, dass sie ein Teiler von 130 ist. (Für Zahlen, die nicht ganz sind, ergibt es eigentlich sogar keinen Sinn, zu sagen, dass sie Teiler von irgendwas sind.)
@Thomas: (1) genau mein Gedanke. :)
Zusätzlich würde ich noch anmerken: Da z³ + z offensichtlich immer etwas negatives ergibt, wenn man negative z einsetzt, kann man es sich sparen, die Möglichkeiten z = -1 und z = -2 überhaupt auszuprobieren.
@@Bangilnel Betrachten Sie die Gleichung x^2+x=1. Durch Ausklammern erhalten Sie x*(x+1)=1. Trotzdem folgt daraus nicht, dass Lösungen Teiler von 1 sein müssen, denn weder 1 noch -1 sind Lösungen.
@@bjornfeuerbacher5514 aber bei 4,8 ist 1,2 ja auch ein teiler. Das ist in dem Fall ja vollkommen egal ob die Zahlen jz ganz sind oder nicht. Hauptsache es ist restlos teilbar.
Ich finde deine Videos unglaublich hilfreich, aber ich möchte trotzdem eine hoffentlich konstruktive Kritik abgeben.
Es kann gut sein, das ich der Einzige mit dieser Meinung bin aber vielleicht auch nicht und mich stört es schon sehr...
Ich bin sehr Nacht-Aktiv und Photosensitiv.
Wenn ich mir abends/nachts deine videos anschaue bekomme ich immer sehr schnell augenschmerzen wegen deinem grell weißen Hintergrund.
Ich weiß nicht ob es möglich währe den schwarz oder wie auf einer Schultafel dunkelgrün zu machen, wenn es möglich sein sollte würde meine Lebensqualität damit einen spitzenwert erreichen.
Wie auch immer, danke für das tolle video❤
Ich wünschte wirklich, man hätte mir das in der Schule irgendwann einmal so schön erklärt. Bei unserem lahmen Lehrer bin ich entweder sofort eingeschlafen oder habe eigentlich gar nichts verstanden. Alle spannenden Sachen wie zB Logarithmen oder trigonometrische Aufgaben gingen mit gedrucktem Tafelwerk ... wo finde ich was.
Mein Kopf tut weh
Das Ergebnis ist Rindenmulch
Mega, liebe solche Videos, macht einfach Spaß zuzuschauen
Schöne Anleitung. Als Informatiker war das aber schnell im Kopf machbar (2er-Potenzen sitzen :D)
Ja sehr schöne Gleichung aber hässliches Ergebnis
Hässliches Ergebnis: Das ist aber die rauhe Praxis! Man hat in der Realität es nicht immer mit glatten Ergebnissen zu tun. Wer in der Technik tätig ist, weiß das.
Das ist richtig diskriminierend der Lösung gegenüber. ALL NUMBERS ARE BEAUTIFUL!! Sie können sich ihre unrealistischen Schönheitsstandards für Zahlen sparen.
Du bist echt die beste 😁 Ein absolutes Ausnahmetalent.
Ich finde es toll, dass mal eine junge Frau zeigt, wie interessant und spannend Mathe ist. Denn in der heutigen Zeit ist ja der Satz "In Mathe war ich immer schlecht" ja gang und gäbe.
Schönes Problem und gutes Video. Dass es nur eine reelle Nullstelle gibt, ist eigentlich klar, da die Funktion z^3 + z streng monoton steigt.
Nice, das hatte ich total vergessen, dabei macht das echt Spaß 😊
Wenn meine Mathelehrer (ich hatte einige, weil jede Klasse ein anderer), SO erklärt hätten, dann hätte ich das in der Schule schon kapiert. Danke!
Ups. Lange her !! Konnte aber folgen und ein Stück weit kam die Erinnerung zurück. Prima erklärt, wie immer !!
Ist zwar schon Äonen her als ich es im Studium hörte - aber es machte Spaß die Lösung hier zu sehen
Wow, ich bin 69 Jahre alt und deshalb schon sehr lange aus der Schule raus. Leider konnte ich das nicht mehr lösen, aber total faszinierend dir zuzusehen.
Ich habe eine Konstante gefunden! Ich konnte es vor 56 Jahren im Abi nicht und habe es auch heute nicht annähernd verstanden! Es hat Spass gemacht Dir zuzuschauen, aber es hat mich noch immer an ein Video was ich neulich angesehen habe erinnert: die Feinheiten der chinesischen Aussprache.
Wie sehr Du das genießt ❤🥹 Toll
Ein schönes, gut gemachtes Video!
Vielleicht könnte man beim Durchprobieren der möglichen Lösungen der kubischen Gleichungen noch ...
- ... das Horner-Schema ins Spiel bringen (mit dem man ja etwas schneller die Werte von Polynomen berechnen kann)
- ... darauf hinweisen, dass es eine Lösung geben MUSS, aber dass man natürlich nicht davon ausgehen kann, dass diese so schön natürlich ist (so gesehen ist die Bemerkung, dass es ein Teiler von 130 sein wird, ein wenig ungenau).
Großartig erklärt! Mega! 👍
Dankeschön Peter!
Super, so hätte mir das damals auch mehr Spass gemacht 😊
Das freut mich 😊
Sehr spannend, und unterhaltsam.
Ich frage mich nur wen das interessiert außer mich jetzt.
Wichtig ist wo ich mein Geld investiere, um dann genug Prozente rauszuholen.
Dafür nehme ich einen Steuerberater, der die Grundrechenarten kennt. Und Elster, das logischste Format welches an der eigenen Logik zerbricht. Bijektiv? Nö, Multiple Choice.
Meisterin-haft erklärt. Bravo !🏆🪷
Gendergaga
Dieses Video ist richtig gut.
Vielen Dank!
Dankeschön! 🥰
Alles drin 😆Exponentialgleichung, Potenzgesetze, Substitution, pq, Logarithmus.
Bin 78 und habe mein Abi am 30.06.1963 gemacht.
Habe den rein mathematischen Teil so gelöst, obwohl die Logik zur stetigen Funktion rein überlegungsmäßig bestechend ist; hätte aber viel Text dazu niedergeschrieben werden müssen; ob es der Korrektor anerkannt hätte????
Mein Enkel als Informatikstudent hatte mir im Mai seine Matheklausur vorgelegt. Auf Anhieb war es eine Note vier (ohne Vorbereitung) ........ Prüfung bestanden mit 18 Punkten von 32. Was wollte ich nich mehr. Mathematik macht eben immer noch Spaß.
Geil… hab Mathe Lehramt studiert und soeben neu (oder wieder - vielleicht hab ich’s ja vergessen) gelernt, dass in einem Polynom jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler des Summanden ohne x ist. Kurz nachgedacht, warum das so ist, und es stimmt tatsächlich 😉 Dankeschön
Das geht doch aus dem Fundamentalsatz der Algebra von Gauß heraus. Jedes nicht-konstante Polynom hatte immer mindestens eine (komplexe) Nullstelle. Also kann man ein Polynom n-ten Grades in n viele Linearfaktoren zerlegen in der Form (x-x0)*(x-x1)*...(x-xn) - dann sollte man sehen, dass das absolute Glied das Produkt aller Nullstellen ungleich Null ist.
@@adrianlautenschlaeger8578 "Das geht doch [...]" & "dann sollte man sehen [...]"; durch die Formulierungen kommt bei mir an: "Also das sollten Sie doch wissen" - entscheidend sind hierbei die Worte "doch" und "sollte". Dies befördert eine Kultur, in der ich, wenn ich etwas studiert habe, nicht offen dazu stehen kann, dass ich was vergesse, übersehe oder Fehler mache. Die Kultur haben einige meiner Lehramts-Kommilitonen in unseren Praxissemestern von älteren Mathematiklehrkräften erlebt und kritisiert. Das machte uns allen nicht so Bock aufs Referendariat und wirkte vereinzelt entmutigend, nicht gut genug zu sein. #Lehrkräftemangel
Vielleicht ist es nicht so gemeint. Ich sage es aber, weil es bei mir so ankommt und es vielleicht auch bei anderen so ankommen könnte. Es würde mich freuen, wenn Sie es als Anregung für sich annehmen können :).
Im Studium musste ich nie Nullstellen "raten" - das musste ich zuletzt im Abitur und in unserem Leistungskurs hatten die Mathematiklehrkräfte uns diesen Hinweis alle nicht gegeben. Ich scheine also nicht der einzige studierte Mathematiker zu sein, der das nicht auf dem Schirm hatte ;).
Aber zum inhaltlichen: (nur im Desktop-Browser gut lesbar)
Die Aussage, über deren Beweis wir gerade nachdenken lautet: Sei n ∈ ℕ und n > 0. Gegeben ist das Polynom a_n*x^n + ... + a_0*x^0 mit a_0,...,a_n ∈ ℤ und a_n ≠ 0 mit den ggf. komplexen Nullstellen x_1,...,x_n. Sei nun eine Nullstellen ganzzahlig. Zur einfachen Schreibweise sei diese ganzzahlige Nullstelle obdA x_1.
z.z.: x_1 | a_0 in ℤ (Das bedeutet x_1 ist ein Teiler von a_0, Erklärung der Schreibweise ganz unten bei (*))
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Danke für Ihre Idee des Beweisansatzes mit dem Fundamentalsatz der Algebra. Wenn ich es richtig sehe, funktioniert der Beweisansatz allerdings nur unter folgender Zusatzvorraussetzung (nennen wir sie ZV):
ZV: Für die übrigen (ggf. komplexen) Nullstellen des Polynoms x_2,...,x_n gilt: x_2*...*x_n ∈ ℤ.
Denn wenn ich Ihren Beweisansatz ausformuliere, sieht er so aus:
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra existieren x_1,...,x_n ∈ C, sodass gilt:
a_n*x_n + ... + a_0*x^0 = a_n*(x - x_1)*...*(x - x_n)
Für das absolute Glied gilt dann:
a_0 = x_1*...*x_n,
=> a_0 = x_1*(x_2*...*x_n)
Mithilfe der ZV flogt nun: x_1 | a_0 in ℤ, was zu beweisen wäre.
Allerdings ist die Zusatzvoraussetzung weder gegeben, noch notwenig, um die Aussage zu zeigen. Denn mithilfe des Distributivgesetztes gilt:
a_n*x^n + ... + a_0 = 0 | -a_0
a_n*x^n + ... +a_1*x = - a_0 | Distr.; *(-1)
x*((-1)*(a_n*x^(n-1)+...+a_1)) = a_0
Nach Voraussetzung gilt: x_1 ist eine Lösung der Gleichung, x_1 ∈ ℤ und a_0,...,a_n ∈ ℤ. Folglich ist auch (-1)*a_n*x_1^(n-1)+...+a_1 ∈ ℤ und insgesamt folgt:
x_1 | a_0 in ℤ qed.
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(*) Zur Klärung der Schreibweise: mit a | b in ℤ ist gemeint: Es existiert ein c ∈ ℤ, sodass gilt: b*c = a.
@@sebastianstetter8896 Eine Anregung? Ich bin kein Lehrer sondern habe nur versucht dir einen Hinweis zu geben, warum jede Nullstelle ungleich Null im absoluten Glied vorkommen muss.
@@adrianlautenschlaeger8578 ok - sorry :)... Klang für mich so und war von der Formulierung getriggerd. Aber danke nochmal für die Idee - hat mich zum Nachdenken angeregt
@@sebastianstetter8896 macht doch nix, ich war nicht sauer :-) wie gesagt, das absolute Glied ist das Produkt der Nullstellen (für x ungleich 0). Ich versuch es nochmal mit einem Beispiel:
f(x) = x³+x²-14x-24
Das ist eine Funktion bzw. Polynom, die drei reelle Nullstellen hat: -3, -2 und 4. Da wir wissen, dass ein Produkt immer dann Null ist, wenn mindestens ein Faktor Null ist, lässt sich das also so darstellen (x+3)*(x+2)*(x-4) --> bei der ersten Nullstelle ist der erste Faktor 0, bei der zweiten der zweite und bei der dritten der dritte.
Beim Ausmultiplizieren siehst du, dass das absolute Glied durch 3*2*(-4) = -24 zustande kommt.
Hi Susanne,
Das war schon eine etwas härtere Nuss 🤯, habe es zwar geschafft, aber nicht ohne Hilfsmittel.
In meinem alten Mathe Schüler Duden das Lösungsverfahren für kubische Gleichungen nachgeschlagen nach G. Cardano. War froh, dabei die eine reelle Lösung gefunden zu haben, ohne dass zwischendurch komplexe Zahlen aufgetreten sind.
Kam schließlich auf 2,3219... und habe dann damit die Probe gemacht: geht auf, Lösung stimmt!
Wenn man das Lösungsverfahren von Cardano kennt und kann, braucht man halt die Nullstellen nicht zu raten.
War schon etwas knifflig, aber manchmal will man ja auch eine gewisse Herausforderung, ein Erfolgserlebnis.
Danke und ❤liche Grüße
Wird ja immer wirrer, Cardano kenne ich genausowenig wie Polynomdivision und ich hate Mathe LK und war gut. Was habt ihr in der Schule gelernt ?
@@Rorimac67
Abi 87, Polynom division hatten wir in der Schule, Cardano nicht, und komplexe Zahlen hatte ich später beim Studium FH Elektrotechnik.
Wäre schön, wenn Susanne sich vielleicht in komplexe Zahlen reinschaffen könnte und darüber mal was macht
Gruß
Mathe-LK und noch nie von Polynomdivision gehört?? Poldiv macht man normalerweise 9.te Klasse oder so und ist ein Standardverfhren um zB kubische Polynomgleichungen zu lösen.
@@achdetoni5008 Hab gegoogelt nennt man auch Partialdivision. DER Begriff sagt mir was, das Verfahren ist komplett aus meinem Hirn gelöscht, nach 40 Jahren Nichtnutzung.
Ja, es hat mir wirklich Spass gemacht, dir beim Lesen zuzuschauen, und mich wieder zu erinnern an ln und Polynomdivision und so Zeugs 🤣
Sehr schöne Aufgabe, und super gelöst. Vorgabe: reelle Zahlen → z^2 = 130/(z + 1) →
damit kann es nur eine Lösung im 1. Quadranten geben mit z = 5. Das gilt natürlich auch für z^3 = 130 - z
Der Lösungsansatz für z = -(1/2)(5 ± i√79) wäre spannend, aber in der Tat "komplex" 🙂
Ich habe mich nun schon 2 Tage mit der Lösung ohne Dein Video beschäftigt, jedoch gelang es mir nicht wirklich, das Ergebnis auf eine logische Weise zu finden. Ich kam durch Rumprobieren zwar auf das richtige Ergebnis x= 2,322. Nun habe ich Dank Deines Videos verstanden, wie man (sie) substituiert und resubstituiert. Vielen Dank, jetzt kann ich wieder ruhig schlafen!
2,3219280948873623478703194294894
Ich habe in dieser Folge nicht ein Wort verstanden - aber sie hat so eine schöne Stimme und ist sooo hübsch... ich bleib dabei.😊
Die Lösung finde ich schon relativ schön, da man x = ln(5) / ln(2) noch mit folgendem Rechengesetz vereinfachen kann: log_b(r) = log_a(r) / log_a(b). D.h. b ist bei uns die eulersche Zahl e, r = 5 und b = 2. Damit erhalten wir x = ln(5) / ln(2) = log_2(5)
Solche Gleichungen mag ich einfach...Danke
Schönes video for 5 uhr morgens
Ein Freund (Mathe-Prof) wollte mich/uns heute "testen" - genau mit diesen Beispiel (weil wir goschert geplaudert haben) - ich alter Mann habs auch nach x Bier und lauten "Lokal-Drumherum" geschafft - mit Zettel und Kuli.
Stolz drauf 😎
Und ich hab damit auch noch ein Bierchen gewonnen 😅
Hi Susanne, Du hast ein einmaliges Talent, richtige Lösungswege zu erklären ! Fies wie ich bin, hier mal eine kleine Aufgabe von mir: Nimm irgendeine reelle Zahl r, die nicht Null ist: Ich behaupte, dass die Folge e hoch (inr) dicht auf dem Einheitskreis verteilt ist. (i soll die imaginäre Einheit sein.) Ist vielleicht ein bisschen zu fies für Deinen geschätzten Kanal, aber ich bin trotzdem auf Deine Meinung gespannt.
LG Joachim
Alle Werte e hoch (inr) liegen auf dem Einheitskreis, das ist klar. Aber was genau meinst Du mit "dicht verteilt"?
Ich Narr dachte das wäre klar. Nimm ein festes m aus der Menge der Natürlichen Zahlen. Dicht heisst in diesem Zusammenhang: Für jedes (beliebig kleine) r aus der Menge der positiven reellen zahlen gibt es ein n aus der Menge der natürlichen Zahlen so dass der Absolutbetrag der Differenz von e hoch (im) - e hoch (in) kleiner ist als dieses r.
@@joachimbolanz740 Ok, verstehe.
Aber dann kann Deine Behauptung nicht stimmen. Gegenbeispiel: Ich wähle r = pi. Dann besteht die Folge
a_n = e ^ (i*n*pi)
nur aus den zwei Punkten 1 (für gerades n) und -1 (für ungerades n). Eine endliche Menge kann nicht dicht in einer unendlichen Menge sein. Auf ähnliche Weise lassen sich unendlich viele Gegenbeispiele zu Deiner Behauptung konstruieren, z.B. die Folge für r = pi/2, welche aus 4 diskreten Punkten besteht, usw.
Ich glaube, Du mußt die Voraussetzung
"Nimm irgendeine reelle Zahl r, die nicht Null ist"
abschwächen zu
"Nimm irgendeine rationale Zahl q, die nicht Null ist"
Ich kann mir gut vorstellen, daß, wenn man nur rationale q zuläßt, die Folge e ^ (i*n*q) keine Periode hat, und dann tatsächlich dicht auf dem Einheitskreis liegt.
Klasse. Ich denke ich sollte mir das selber noch mal richtig ansehen. Danke für die fachlich qualifizierten Rückfragen. Ich mag das sehr.
@@joachimbolanz740 Keine Ursache! Ich genieße es auch, wenn man auf CZcams sachlich und fachlich mit jemandem diskutieren/Ideen austauschen kann. Das ist leider oft nicht so, auch in Videos, wo es um wissenschaftliche Themen geht... (Erinnere mich noch gut an ein Video zum Thema 50 Jahre Mondlandung, wo man ruckzuck mit Flat-Earthlern, "das wurde in Hollywood gefilmt"-Verschwörungstheoretikern oder "das kann gar nicht sein, weil im Vakuum die Rakete gar nicht fliegen kann"-Verschwörungstheoretikern zu tun bekam. Und wenn dem Gegenüber die sachlichen Argumente ausgehen, werden sie kurzum durch persönliche Beleidigungen ersetzt... 😞)
Die einzigen Themen-Bereiche, wo dies nicht so ist, d.h. wo man durchweg qualitätsvolle Beiträge findet, und auch mal unterschiedlicher Meinung sein kann, ohne beschimpft zu werden, sind mathematische Themen, wie dieses hier, oder Videos zu klassischer Musik. Klar gibt es die einen, die eher Karajan und getragene/epische Tempi bevorzugen, und die anderen, die lieber modernere Interpreten und schnellere Tempi bevorzugen, aber man geht doch mit dem anderen respektvoll um und kommt dann evtl. im gepflegten Diskurs gemeinsam der "absoluten Wahrheit" (so es diese denn gibt) ein Stück näher...
Zum eigentlichen Thema: habe auch noch etwas drüber nachgedacht, und ich denke, man kann auch irrationale Faktoren "r" im Exponenten zulassen, z.B. sowas wie Wurzel(2). Man muß nur ausschließen, daß r ein rationales Vielfaches von pi ist, denn dann hat man wegen "e ^ (2*pi*i) = 1" irgendwann eine Periode in der Folge a_n = e ^ (i*n*r), d.h. statt unendlich vielen verschiedenen Werten, nimmt a_n nur endlich viele Werte an, die sich dann immer wiederholen. (In welchem Fall dann a_n nicht dicht auf dem Einheitskreis liegen kann.)
Ich glaube, die Aussage
"Die Wertemenge von a_n ist endlich" genau dann wenn "a_n hat eine Periode" genau dann wenn "r ist ein rationales Vielfaches von pi, r = q*pi, mit q aus Q"
ist relativ leicht zu beweisen. Man muß nur ausnutzen, daß "wenn {a_n | n aus N} endlich ist, dann gibt es ein n und ein m, so daß a_m = a_n". Dann teilt man durch die eine Seite und bekommt am Ende
1 = e ^ (i*(m-n)*r)
Dann kann man ausnutzen, daß die einzigen komplexen z aus C, für welche e ^ z = 1 ist, die ganzzahligen Vielfachen von 2*pi*i sind. Man hat also
i*(m-n)*r = k*2*pi*i
Nach r aufgelöst erhält man
r = 2*k/(m-n) * pi, mit k,m,n aus N
also: r ist ein rationales Vielfaches von pi.
Aus dem Umkehrschluß zu dieser Aussage folgt dann, "wenn r kein rationales Vielfaches von pi ist, dann ist die Menge {a_n} unendlich".
Aber der Beweis, daß diese Menge {a_n} dann auch dicht auf dem Einheitskreis liegt, ist vmtl. nicht mehr ganz so einfach... 🙂 Und ich denke, daß der weit über die Schul-Mathematik hinausgehen dürfte, mit der sich Susannes Videos ja hauptsächlich befassen...
Ehrlich, ich versteh nur Bahnhof😂 da bin ich komplett raus. Hab aber auch nur Realschulabgang (vor 25 Jahren), mit 2. Aber jetzt mit 42 bekomm ich eine Blockade im Kopf
Sicher gut erklärt, für Mathematiker👍
Mir wurde schwindelig , bin umgefallen, als ich wieder wach wurde war mir auch die Lösung erschienen 🤣
Respekt! Tolle Mathematik Videos 👍👍👍
Als ich noch in der Schule war, hab ich sowas lachend gelöst und hätte mich wohl auch beschwert, dass das viel zu einfach ist. Bin danach in den öD und hatte bis auf einfache Addition und Subtraktion nichts mehr mit Mathe zu tun. Jetzt, knapp 33 Jahre später schau ich mir das Video an und denk mir nur "hä?". Damn
Mathe macht Spaß! Danke Dir!
12:00 das geschulte Auge erkennt sofort(um meinen TM Prof zu zitieren) x^2+x+irgendwas positives kann keine reelle Losung haben . Bliebt nur die eine 😂
Ein Graph hätte dies finde ich eindrucksvoll lösen können
Der Rest wie immer: Bombe und danke dafür dass du so gut erklärst 🎉
Naja, ganz so einfach ist es nicht: x^2+x+0,25 hätte z.B. x= - 0,5 als reelle Lösung. Und da in der Gleichung sogar x^2+5x+... steht, könnte das q auch noch größer als 0,5 sein (für q=4 wäre x=-1 eine reelle Lösung). Für q=26 funktioniert das dann in der Tat nicht mehr, weil 26 für den Rest des Terms schlicht zu groß ist, die zugehörige Parabel verläuft dann komplett oberhalb der x-Achse. Aber ob man das, auch mit geschultem Auge, "einfach so " sieht???
ganz schön kompliziert. Hab so viel vergessen ...Aber sehr gut erklärt!! 👍
schön, dass du die p-q Formel2 verwendest, und noch besser, dass du die Brüche leben lässt ;)
Für mich höhrere Mathematik!
Bei mir gehen die grauen Zellen aus Höma 1-4 wieder an. man ist das lange her. Hab die Ordner noch im Schrank. Schöne Erinnerungen.
Sehr gut erklärt. Respekt dafür, dass du nicht in eine Sauklaue nach 5 Zeilen Gleichungen driftest. Der Asi damals in Höma hatte bereits in der 2. Zeile wieder eine Sauklaue.
Gut dass es Excel gibt. Damit kann ich lösen (Zielwertsuche) :)
Herzlichen Dank für diese interessante Aufgabe 🙏
Mein Lösungsvorschlag lautet für x ε ℝ
2ˣ+(2³)ˣ= 130
2ˣ+2³ˣ= 130
2ˣ= u, demnach:
u+u³-130=0
u³+u-130=0, überall +5
u³+u-130+5= 5
u³-125+u-5=0
u³-125= (u-5)*(u²-5u+25)
(u-5)*(u²-5u+25)+(u-5)=0
(u-5)[(u²-5u+25)+1]=0
(u-5)[u²-5u+26]=0
Daraus folgt:
u-5=0
u=5 und
u²-5u+26=0
Δ= 25-4*1*25
Δ= -79, somit keine reele Lösungen !
Somit, u=5
2ˣ=5
xln2= ln5
x= ln5/ln2 ist die Lösung 😎
Für die komplexe Lösungen:
u₂= (-5+i√79)/2
u₃= (-5-i√79)/2
Z₁= (-5/2)+(i√79/2)
φ= 119,36°
= 0,663 π
r= √(25/4)+(79/4)
r= √26
Z₁=√26*eᶦ ⁰,⁶⁶³ π⁺²πᵏ, ergibt:
2ˣ= √26*eᶦ ⁰,⁶⁶³ π⁺²πᵏ
xln2= ln√26+ (i0,663π+2πk)
x₂= [ ln√26+ (i0,663π+2πk)]/ln2
x₂= 2,3502+ i0,9565π+2,8854πk
Z₂= (-5/2)-(i√79/2)
φ= 240,64°
= 1,337 π
r= √(25/4)+(79/4)
r= √26
Z₂=√26*eᶦ ¹,³³⁷ π⁺²πᵏ, ergibt:
2ˣ= √26*eᶦ ¹,³³⁷ π⁺²πᵏ
xln2= ln√26+ (i1,337π+2πk)
x₃= [ ln√26+ (i1,337π+2πk)]/ln2
x₃= 2,3502+ i1,9288π+2,8854πk
Somit, x₁, x₂, x₃ = { ln5/ln2, ( 2,3502+ i0,9565π+2,8854πk), (2,3502+ i1,9288π+2,8854πk)}
Endlich mal jemand, der komplex rechnet!
@@walter_kunz Ich bedanke mich bei Ihnen für die Motivation 🙏
Es gibt aber auch eine fertige Formel solche Gleichungen Y³ + Y -130 = 0 zu lösen:
Q=(p/3)³+(q/2)²
A=[-p/2+sqrt(Q)]^(1/3)
B=[-p/2-sqrt(Q)]^(1/3)
Y=A+B
Vlt. existiert sie nicht, aber ich konnte diese Formel erstellen
Vielen Dank, gefällt mir