Integration durch SUBSTITUTION - Integral lösen
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- čas přidán 27. 07. 2024
- Integralrechnung Integral e Funktion lösen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man das Integral berechnen kann. Wir integrieren mit der Substitution, indem wir die Wurzel ersetzen und die Stammfunktion bilden, um die Grenzen einzusetzen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Integral lösen
2:58 Integration durch Substitution
3:23 Grenzen anpassen
4:30 Ableitung bilden
6:15 nach dx umstellen
7:24 Integral berechnen
8:51 Grenzen einsetzen
9:56 Bis zum nächsten Video :)
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Danke! Hey Susanne, Klasse, da hast Du ein sehr anspruchsvolles Integral präsentiert. Von dir so locker erklärt, als wäre es das kleine Einmaleins. Ich stelle immer wieder fest, dass Du es echt °drauf° hast. Liebe Grüße!
Danke für die Mühe, die du dir immer machst. Es gibt keinen besseren Kanal um das Grundverständnis für ein Thema aufzubauen, du legst immer wieder den Grundstein für das Verständnis das man darauf aufbauen kann, danke! :)
Substition mittlerweile Standartrepertoire, aber sowas schaut man sich doch immer gerne noch mal zur Wiederholung an!
Ich habe meine Matura vor 4 Monaten geschafft und bedanke mich im Nachhinein für die tolle Hilfe ☺️
Mein Prof konnte das so gar nicht erklären. Mit deiner Schritt für Schritt Anleitung habe ich es aber sofort verstanden. Da merkt man mal wieder was ein guter bzw nicht so guter Lehrer ausmacht.
Du schaffst es echt immer wieder, für mich super schwere Inhalte, die ich auch sonst nirgends verstehe so rüberzubringen, dass man sie direkt versteht und anwenden kann. Du hast eine ganz tolle Art zu erklären. Wirklich vielen Dank
Wow, tolles Video! Ich hatte das Thema noch nicht, aber ich schaue deine Videos sooo gerne! Danke 🤍
Es hat mir wieder Freude gemacht, Dir zuzuschauen! Fast unglaublich, was ich vor Zeiten auch alles mal lernen durfte, um es so ziemlich alles wieder zu vergessen, was aber scheinbar für den weiteren Werdegang nicht so schlimm war. Und doch bleibt das Gefühl, als wären irgendwo im Hirn noch Reste und Spuren davon vorhanden! Hat auch etwas "Magisches", so ein verwurzeltes Integral! Vielen Dank! 😊👍🎶👏
Werter Rollkragen,
Sie sprechen mir aus der Seele. 😉
Eine wahrlich schöne und elegante Integralaufgabe! Ästhetik pur!
Danke für die leichte Vermittlung und die hilfreichen Kommentare der aufmerksamen Viewer. Es rockt.🎉
du trägst mich jede Woche durch die Mathe Übungen, vielen Dank!
Sehr elegant. Danke
Liebe Susanne,das hast Du super erklärt. 🙋
Dankeschön! 🥰
Hi, Susanne. wieder ein super Video und sehr verständlich erklärt. Kannst Du mal eine Making-of deiner Mathevideos machen, Von der Themenwahl bis zum End-Schnitt.😉
Immer wieder schön, diese sehr ästhetische Mathematik wieder mal zu wiederholen, ein Genuß! Und das alles mit einem umwerfenden Lächeln...
Kann ich nur zustimmen
@@wolfgangbalu1253 Ich auch😊!!
Danke, macht Spass solche Aufgaben mit dir zu wiederholen:))
Die Rätsel sind auch unterhaltsam, aber Integralrechnungen mag ich besonders als Wiederholung, weil ich da einige Lücken habe:(
Bin zu blöd, das Integral zu lösen, aber ich gucke gerne Ihre Clips. Danke
Danke das du meine Aufgabe so schnell hochgeladen hast 💙💙💙💙 super lieb!
Danke dir. Ich habs endlich gecheckt. Ich bin im ersten Semester meines E-Technik Studiums und schreibe übermorgen die Mathe A Klausur. Damit bin ich dem Bestehen einen Schritt näher. Danke dir!!!
du bist ein Kanal, wo sich Werbung schauen wirklich lohnt. Danke, dass es dich und deinen Kanal gibt!
Vielen dank für die Videos dank dir schaffe ich die HTL noch
Danke für deine Mühe !🙂
Susanne kannst du auch bitte ein Video über den Kreis machen ? 5 Klasse
Du bist die Beste!
DANKE!!! Deine Videos sind besser als jedes Tutorium!
Du rettest mir das Semester damit!
mega gut erklärt, danke
Super danke!!
Irgendwie hat es beim Zuhören Sinn ergeben, doch im Nachhinein bin ich immer noch so ratlos wie zuvor.
@@nneptunn einfach mal durchrechnen
Vielen Dank! :)
Danke für deine Videos!!!!!! Du rettest mir das Lebennnnn!!!!!!!! ♥♥♥♥♥♥
Danke. Schreibe in einer Stunde meine Klausur zum x-ten mal und brauche solche kleinen wiederholungen wie das "einfache" funktioniert ❤
Ich drück dir die Daumen! Du schaffst das! 🥰
Herzlichen Dank für die interessante Frage. Hier habe ich √x als u definiert, also √x=u, (1/2)x^(-1/2)dx=du somit dx=2√xdu = 2udu, dann wäre unser Integral = (e^(u)/u)*2udu = Int (2e^u)= 2*e^(√x) von a=0 bis b=1, somit: 2(e-1) = 2e-2 🙂
Wieder sehr gut erklärt. Klar strukturiert, und sympathische Präsentation. Inzwischen mein bevorzugter Kanal, um mir für meinen Lehrjob Inspirationen zu holen. Ich empfehle den Kanal auch meinen Schülern.
Mach noch viele gute Videos für die Schüler. Das ist sehr hilfreich.
Lustig: Mein Lehrer meckerte schon vor 25 Jahren über den unlogischen Begriff Verkettung, da es sich vielmehr um Verschachtelung handele. Trotzdem wird stur daran festgehalten.🙄
klasse Video!
Bitte mehr Videos zum Thema Stochastik!!
Gute Auffrischung für mich. Danke 😀Vielleicht auch mal was zu DGLen usw? Danke 🙂
Ganz ehrlich? Ich verstehe leider nur Bahnhof...
Aber ich hatte mal einen Integralhelm, als ich noch mit dem Motorrad unterwegs war und bin im Gelände bestimmt X-mal über irgendwelche Wurzeln gefahren
Ich hätte hier gar nicht substituiert, denn mir als Blitzmerker ist sofort aufgefallen, dass die Ableitung von e ^ sqrt(x) mit der Kettenregel dazu führt, dass es zu der von Dir vorgestellten Aufgabe führt - naja, bis auf die zwei, natürlich. Aber das hier ist ja nur eine leichte Aufgabe und es gibt auch kompliziertere Integrale, wo man mit meiner Try-And-Error Methode nicht so schnell zum Ziel kommt.
Deshalb danke für die prima Vorstellung der Substitutionsregel - die hatte ich schon seit Jahrzehnten nicht mehr auf dem Teller! 🙂
Ich muss das mal eben loswerden, weil es mich auch persönlich sehr freut:
Heute hatte ich die 5. Schülerin, die mir sagte, dass Sie jetzt seit einiger Zeit lieber der Susanne zuhört, wenn sie zwischendurch Matheprobleme hat, als jenen coolen Jungs vom "einfachen Verein" 🙂
Das muss ja mal gesagt werden!!!
Hey Queen, you dropped this 👑
Danke, alles schön mal gehört, aber nach 40 Jahren keinen blassen Schimmer mehr. Hat aber unheimlich viel Spaß gemacht. Ich glaube, auf dem Boden liegt sogar noch mein Mathehefter.... 😊
Super, freut mich, dass dir das Video gefallen hat!
Eine Frage : warum ersetzt man, wenn man dx= … hat , und dies wieder in das integral zurückeinsetzt , nicht beide Wurzel X damit , sondern nur das in der e Funktion ? Liebe grüße und tolles Video
so wie ich das sehe, funktioniert diese methode nur bei bestimmten integralen: nach der ersetzung darf kein "x" mehr vorkommen. wenn man jetzt 2 mal das wurzel(x) ersetzt, kommt beim einsetzen von du ja wieder ein x mit rein. ich denke, es muss u' (die ableitung von u) im integral vorkommen. diese idee kann ich aber gerade nicht testen.
Unser Regelungstechnik Professor sagte immer, ein Ingenieur kann ein Jahr nach dem Studium keine Integralrechnung mehr. Genau so ist es und bei mir ist es schon zig Jahre her. Schaue mir das Video aber gleich an. Kann ja nicht schaden.
Ich liebe deinen Kanal. 🙂
Das freut mich
@@MathemaTrick Hast du eigentlich bis zum Master studiert?
Wie immer ein sehr tolles Video :) Ich hätte da aber eine Frage, wieso substituierst du nur das obere wurzel(x)?
Danke!
Dankeschööön Ida! 😍
Leben gerettet 😅 danke
Freut mich! 😜
Du erklärst Mathe immer so einfach 🤩 du hast mir schon ungelogen 50 mal geholfen 🥹😅
Super
Perfektes Timing. Integration durch Substitution kommt am Dienstag in meiner Klausur vor 😅
Na dann wünsche ich dir viel Erfolg dafür, du packst das!! 🥳
@@MathemaTrick vielen Dank😁
Danke für das tolle Video :) Ich verstehe nur noch nicht ganz, wieso sqrt(x) im Nenner nicht auch durch u ersetzt werden muss, da das ja die gleiche Funktion ist. Oder kann man eine substituierte Funktion immer nur einmal "ersetzen", oder geht beides? LG Nico
Müssen die x in den Nennern nie durch u ersetzt werden? Oder nur nicht, wenn man sieht dass es gekürzt werden kann? Danke für die hilfreiche Step by Step erklärung! :)
gute Frage
Schön, dass das mit der Substitution ausführlich erklärt wird. Ich schaue deine Videos gerne und empfehle sie meinen Schülern. Aber ist eine Substitution als vergleichsweise aufwendige Vorgehensweise in diesem Beispiel notwendig? Nehme ich z.B. f(x)=e^√x, dann ist f'(x)=1/(2√x) e^√x. Von da aus ist es nicht mehr schwer zu sehen, dass geringfügig verändert die Funktion g(x) = 2 e^√x zur Ableitung g'(x) = 1/(√x) e^√x führt, was die fragliche Funktion in dieser Aufgabe ist, und damit habe ich die gesuchte Stammfunktion und kann das Integral berechnen - ganz ohne Substitution. Oder denke ich zu simpel?
Wenn u = Wurzel x, warum wird der Nenner nicht ersetzt?
Besser als mein alter Mathe Lehrer
Kann man ein Integral wie x^2*√(1+x) auch mit der Substitution lösen oder besser mit der partiellen Integration ?
❤️❤️
Das dv muss ja allein stehe damit ich integrieren kann, ich hab bei meinem Beispiel aber dv/2=dx, weil meine Funktion von u war 2x, wie gehe ich da dann vor weil ich kann ja nicht einfach mal 2 rechnen oder?
Wie berechnet man es wenn zusätzlich noch Potenzen auftauchen?
Da einige noch Verständnisprobleme hatten versuch ichs mal mit meinen Worten:
im Endeffekt ersetzt du nur einen Ausdruck der schwierig zu integrieren ist mit einer neuen Variable, in der dieser Ausdruck quasi versteckt ist bis man fertig ist. Da du aber deine alte Variable ersetzt hast, musst du natürlich auch über die neue Variable integrieren, heißt: du ersetzt dx und deine alten Grenzen setzt du in den alten, jetzt substituierten Ausdruck ein.
Damit du einen Ausdruck substituieren kannst, muss die Ableitung davon irgendwo als Vorfaktor vorkommen. Das liegt daran, dass das Reziproke (1/...) der inneren Funktion in der integrierten Funktion nicht mehr vorkommt, weil ja so ein u abgeleitet nur den Vorfaktor 1 hätte. Somit verschwindet auch dieser Faktor der Form der Ableitung (Achtung: angenommen x² wird substituiert und es steht nur x als Vorfaktor, kann man diesen zb in 1/2 * 2x umschreiben, das 2x verschwindet und 1/2 bleibt, Umformungen sind also möglich und oft nötig!).
Am Ende kannst du, wenn du das möchtest Rücksubstituieren, also aus dem u wieder deinen alten Ausdruck in deine Integrandenfunktion einsetzen.
Hoffe das war verständlich :)
Muss für die partielle integration nicht 2 versch. Variablen da sein?
Hallo Susanne,
einmal mehr lieben Dank für die Aufgabe.
Ich wäre (mal wieder) grandios gescheitert.
Substitution Wurzel(x) durch u hätte ich noch hinbekommen, jedoch hatte ich nicht (mehr) präsent, dass zum Einen die Integralgrenzen geprüft und ggf. angepasst werden müssen, noch dass ich das dx noch bearbeiten muss.
Hier hilft dein "Kochrezept' ungemein weiter. Nur merken sollte man sich das auch, wenn man mal es verstanden hat.
Dir, Thomas und allen anderen hier eine tolle Restwoche.
LG aus dem Schwabenland.
danke das es dich gibt kann man dich zur privaten nachhilfe buchen 🥹❤️
Warum ersetzt du hier 7:43 eigentlich nicht das wurzel(x) unterm bruchstrich und bei dem 2*wurzel(x) mit u?
Wieso wird der Nenner nicht zu U, obwohl doch die Substitution Bedingungen u=sqrt(x) ist? Dachte man setzt jetzt überall wo sqrt(x) ist, "U" ein?
Wäre auch möglich, käme im Endeffekt aufs Gleiche heraus. ;) Wobei deine Bemerkung durchaus ihre Berechtigung hat, denn rein intuitiv finde ich es auch schöner, wenn man mit einer einheitlichen Variable rechnet. Man könnte auch Folgendes machen: Aus u=Wurzel(x) folgt x=u^2 und damit dx/du=2*u, bzw. dx=2*u*du. Das dann für dx im Integral einsetzen (parallel zu u für Wurzel(x)) und man hätte alles schön nur von u abhängig. 😉
Das hätte ich auch sauberer gefunden; war hier im Endeffekt egal, weil sich das rauskürzte.
Ich habe dieses Integral in meiner Analyse Klausur , aber das war ein bisschen anders. Das steht keine Wurzel x in dem Nenner . Wie würden Sie dann integrieren
Das sieht nach Substitution 1. Art aus (die leichtere). Und zwar ist die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion e^x bekanntlich wiederum e^x, und die Ableitung der Quadratwurzelfunktion sqrt(x) ist 1/(2sqrt(x)). Mit der Kettenregrl folgt, daß die Ableitungsfunktion von e^sqrt(x) lautet:
e^sqrt(x) * 1/(2*sqrt(x))
Unser gesuchtes Integral ist also
Integral(0, 1, 1/sqrt(x) * e^sqrt(x) dx) =
Integral(0, 1, 2 * 1/2 * 1/sqrt(x) * e^sqrt(x) dx) =
2 * Integral(0, 1, 1/(2*sqrt(x)) * e^sqrt(x) dx) =
2 * [e^sqrt(x)] in de Grenzen von 0 bis 1 =
2 * [e^sqrt(1) - e^sqrt(0)] =
2 * [e^1 - e^0] =
2 * [e - 1] =
2(e - 1) =
2e - 2
In solchen Fällen, wenn man die "innere Ableitung" der Kettenregel bereits im Funktionsterm erkennt, also die Substitution 1. Art anwenden kann, benötigt man übrigens nicht wirklich eine Substitution, wie von mir gezeigt. Da kann man beim x bleiben, ohne auf eine neue Variable wie u umzuschreiben. Das hat zudem noch den Vorteil, daß man direkt die Stammfunktion erhält, die ja auch für andere Integrationsgrenzen gilt. In diesem Beispiel ist es F(x) = 2 * e^sqrt(x). Bei der Substitution 2. Art ist es leider viel komplizierter.
Wir haben immer mit z substituiert und u und v für die partielle Integration verwendet. Und wir haben immer nach dz und nicht nach dx umgestellt:
z = √x => dz/dx = 1/(2√x) => dz = 1/(2√x) dx
=> Int(e^√x/√x dx = Int(2e^√x * 1/(2√x) dx) = Int(2e^z dz) = 2e√x
Anstatt die Grenzen anzupassen kann man sie auch erstmal weglassen und in der Stammfunktion rücksubstituieren. Allerdings sollte man sie erst dann einsetzen, weil sonst die Gleichheit zwischen dem dx- und dem dz-Integral nicht gegeben wäre.
wieso muss man wurzel x aus dem zähler nicht = u setzen?
Wieso wird denn Wurzel(x) im Nenner nicht ebenfalls mit u ersetzt?
Geschmackssache. ;) Wichtig ist v.a., dass sich alles "Störende" rauskürzt und man am Ende ein Integral hat, das nur noch von u abhängt. Aber rein intuitiv würde ich tatsächlich auch erst alles von u abhängig schreiben und dann kürzen. Auch wenn's aufs gleiche herauskommt. 😄
Das kann man machen, funktioniert genauso. Hinten kommt ja dann noch einmal Wurzel(x) vor, wenn man das auch noch mit u ersetzt, kürzt sich das u genauso weg wie die Wurzel(x) hier im Video.
🥳👍
Hallihallo! Eigentlich super erklärt, aber ich verstehe nicht, warum ich die Wurzel x im Nenner nicht auch durch u ersetzen muss? Es ist doch der gleiche Term?
Prinzipiell kannst du das auch ersetzen, es zwingt dich aber nichts dazu. Hier hat sich das Wurzel x so schön rausgekürzt, weshalb ein Ersetzen durch u nur mehr Aufwand bedeutet hätte.
Und wenn sich das Wurzel(x) nicht so perfekt rausgekürzt hätte, müsste man noch mit der partiellen Integration weitermachen, oder?
Die Ausgangsfunktion ist für x=0 nicht definiert. Spielt das eine Rolle und wenn ja, wie?
😀
Bist du grade dabei dein Doktortitel zu machen, oder evtl. eine Professur zu ähm erarbeiten und wie lang wären die Wege bei Schnittpunkten von Lernbegeisterung zu berechnen um eine Zielkurve auszudenken die in der Mengenlehre des Bildungsgrades des Winkelobjektes anzupassen wäre? ☺
Ich hätte mal eine Frage zu den neu zu erstellenden Grenzen. Wenn man jetzt z.B. die Original Grenzen von 2 bis 3 hätte. Wären dann die neuen Grenzen in dem Fall von Wurzel-2 bis Wurzel-3 ????
Ja genau, die neuen Grenzen wären dann von √2 bis √3. 😊
@@MathemaTrick Danke Schön 👍
Eine Frage: wenn man Wurzel x im Exponenten durch u ersetzt, warum nicht auch Wurzel x im Nenner? Also (e^u)/u ?
Das geht auch, nur darfst du dann nicht vergessen auch das Wurzel(x), das durch das dx ins Integral kommt, auch noch durch u zu ersetzen. Dann kürzt es sich aber auch raus und man erhält dasselbe Ergebnis wie im Video. 😊
@@MathemaTrick vielen Dank!
Wurzel x hast Du gekürzt, obwohl x=0 Teil der Lösung ist???
Das ist nicht direkt das Problem, aber in jedem Fall ein Hinweis in die richtige Richtung. ;) Durch die 0 im Nenner ergibt sich nämlich an der entsprechenden Stelle eine Polstelle (nicht immer zwingend, aber hier in jedem Fall), was die direkte Anwendung des HDI schwierig macht. Näheres siehe in meinem entsprechenden Kommentar. ;-)
Mutige Mathematiker teilen halt auch durch 0. :D
Muss man denn unbedingt die Grenzen auf u anpassen?
Man kann nach finden der Stammfunktion doch auch rücksubstituieren und die x Grenzen verwenden.
Kann man. Ist aber unnötig, wenn nur das Ergebnis des bestimmten Integrals interessiert. Es kommt aufs gleiche heraus und spart etwas Aufwand. Anders natürlich, wenn man nach der Stammfunktion selbst sucht, da kommt man nicht darum herum. ;)
@@novidsonmychanneljustcomme5753 Danke
@@hans7831 Gerne. ✌
Das kannst du so machen, aber dann musst du die Grenzen beim Integrieren erstmal weglassen. Wenn du sie mitschleppst und beim Substituieren nicht anpasst, ist die Gleichheit zwischen dem dx- und dem du-Integral nicht gegeben, und es gibt Punktabzug. Wenn du also lieber rücksubstituieren anstatt die Grenzen anpassen möchtest, nimm sie erst nach der Rücksubsitution in der Stammfunktion dazu.
@@teejay7578 klingt logisch. Danke
Warum wurde Wurzel x im Nenner und im dx Teil nicht substituiert?
Den Weg hätte man auch gehen können, aber oft steht das u (also hier jetzt dieses Wurzel(x) ) nicht direkt nochmal im Integral und dann ist es einfacher nur an einer Stelle das u einzusetzen und den Rest einfach zu kürzen. Ist aber natürlich Geschmacksache. 😊
@@MathemaTrick Ok danke für die Antwort, dann könnte man es theoretisch auch so machen. Schönen Tag noch!😁
Das funktioniert nicht, das der Graph bei x = 0 einen y-Wert von y = unendlich
gute Frage
Warum wurden im fünften Schritt nicht alle Wurzel x durch u ersetzt sondern nur das überm e? :)
ich liebe dich
Ich weiß et net, da ich diese Woche eher Kopf, als Köpfchen habe! (👂Aua👂)😉
Kann die √1 nicht auch -1 lauten? Warum ist das bei der Neubestimmung der Grenzen nach der Substitution irrelevant?
Eine reelle Quadratwurzel ist per Definition nie negativ (sonst wäre es keine Funktion). Näheres siehe Wikipedia etc.
Die Wurzel ist niemals negativ: 2 = √4 und -2 = -√4. Natürlich ist (-2)² = (-√4)² = (-1)² * (√4)² = 1 * 4 = 4, weswegen beide Zahlen die Gleichung x² = 4 lösen. Das darf man aber nicht verwechseln; √x² ist nicht x oder -x, sondern eindeutig |x|. Wenn's anders wäre, wäre f(x) = √x auch keine Funktion, denn eine Funktion bildet per Definition jedes Element ihrer Definitionsmenge auf genau ein Element ihrer Wertemenge ab ... und niemals auf zwei verschiedene.
Das war nicht meine Frage, sondern: √1= 1 oder -1
Warum gilt hier "nur" der Betrag? Bei der pq-Formel wird oben genanntes doch auch berücksichtigt.
@@peterlustig6279 Das war sehr wohl die Antwort auf deine Frage, sowohl von mir als auch von Tee Jay. Gerne nochmal: Für jedes reelle x gilt Wurzel(x^2)=|x|. Das macht die Wurzel eindeutig und das muss sie als *Funktion* auch sein. Und die p-q-Formel widerlegt das nicht, sondern bestätigt es vielmehr: Wäre die Wurzel zweideutig, müsste das ± nicht extra in der Formel stehen. Dann würde -p/2+Wurzel(D) genügen (D als Diskriminante), da in diesem Fall das ± implizit in der Wurzel bereits enthalten wäre. Dem ist aber eben nicht so: Die Schreibweise -p/2±Wurzel(D) illustriert, dass für die *Lösung der Gleichung* eine *Fallunterscheidung* vorgenommen werden muss bzgl. dem Vorzeichen vor der *eindeutigen* Wurzel. Das ± ist keine Eigenschaft der Wurzel, sondern folgt aus der Gestalt der zu lösenden Gleichung. Beides darf man nicht durcheinander bringen!
Bzw. nochmal an einem konkreten und bewusst einfachen Beispiel: Aus x^2=4 folgt x1,2=±2, was aber *nicht* zu lesen ist als x1,2=Wurzel(4)=±2, sondern x1,2=±Wurzel(4)=±2.
@@peterlustig6279 Deine Frage habe ich vollständig beantwortet: 1 = √1 und -1 = -√1 (ist eigentlich dasselbe, was oben steht, nur mit anderen Zahlen). Natürlich lösen beide Werte die Gleichung x² = 1, denn (-√1)² = (-1)² * (√1)² = 1 * 1 = 1. Daraus folgt aber eben nicht, dass die Wurzel selbst auch negativ sein könnte. Da du die p-q-Formel erwähnst; die lautet x_1,2 = -p/2 ± √(p²/4 - q); ausgeschrieben x_1 = -p/2 + √(p²/4 - q) und x_2 = -p/2 - √(p²/4 - q). Die Wurzel wird also einmal addiert und einmal subtrahiert ... was weder nötig noch sinnvoll wäre, wenn sie selbst sowohl positiv als auch negativ sein könnte.
Unglücklich finde ich diese (leider gängige) Schreibweise beim Lösen von quadratischen Gleichungen:
x² = 1 |√
x = 1 oder x = -1
Das ist es doch, was einige Leute auf die blödsinnige Idee √1 = ±1 bringt - NEIN!!! Eigentlich fehlt da eine Zeile:
x² = 1 |√
|x| = 1
x = 1 oder x = -1
Das "plus oder minus" kommt also nicht durch das Ziehen der Wurzel, sondern durch das anschließende Auflösen der Betragsstriche.
Und noch ein kleiner Denkanstoß: Angenommen du hättest Recht und √1 = ±1 würde gelten, was wäre denn dann -√1? Das müsste ja dann -(±1) = ∓1 = ±1 sein. Also wäre dann √1 = -√1, und das stünde im Widerspruch zu der Tatsache, dass x = -x nur für x = 0 gilt (x = -x |+x 2x = 0 |:2 x = 0).
Ich würde Wurzel von x" als "z" substituieren und dann das Integral nach dz rechnen.
Ich würde sie rot anstreichen und dann trocknen lassen
Frage zur Anpassung der Grenzen bei "Wurzel aus 1": Wieso wird nur die PLUS 1, aber nicht die MINUS 1 bei der finalen Berechnung berücksichtigt, -1 x -1 ergibt doch auch 1? Ansonsten super erklärt, selbige hätte vor 35 Jahren einges einfacher gemacht
Die Wurzel aus einer Zahl ist per Definition positiv, sonst wäre sie nicht eindeutig definiert.
Alternativ kannst du auch die Grenzen lassen, wie sie sind, und am Ende zurücksubstituieren.
@@clemensmuller2543 Danke, das ist für mich eine neue Erkenntnis. Man lernt doch nie aus🙂 Vielleicht wurde es damals in einer Mathevorlesung erwähnt und ich hatte in dem Moment besseres zu tun😎
ich weiß
Susanne, dir ist leider ein Fehler unterlaufen. Da sich im Nenner der Integrandenfunktion Wurzel x befindet, lautet die Definitionsmenge D = IR^+. Das Integral ist dann ein uneigentliches Integral.
Lösung:
Zunächst das unbestimmte Integral:
∫e^(√x)/√x*dx =
----------------
Ich ersetze: z=√x=x^(1/2) ⟹ dz/dx=1/2*x^(-1/2)=1/[2*√x] ⟹ dx=2*√x*dz
----------------
= ∫e^z/√x*√x*dz = 2*∫e^z*dz = 2*e^z+C1 = 2*e^(√x)+C1
Das bestimmte Integral:
1 1
∫e^(√x)/√x*dx = [2*e^(√x)] = 2*e^(√1)-2*e^(√0) = 2e-2
0 0
Sehr leicht nachvollziehbar
Warum stellst du die Funktion mit du/dx= in manchen Videos nach dx um und manchmal nach du. Das wirkt leider etwas verwirrend auf mich grade ^^
Die Quadratwurzel aus 1 kann auch -1 sein.
Nein, eine reelle Quadratwurzel ist per Definition nie negativ (sonst wäre es keine Funktion). Näheres siehe Wikipedia etc.
@@novidsonmychanneljustcomme5753 als Definitionsmenge ja. Denkfehler ...
@@marionmaierphilonatura Bin mir nicht sicher, ob wir das gleiche meinen: Die *Definitionsmenge* der reellen Funktion Wurzel(x), d.h. alle x, für welche Wurzel(x) definiert ist, umfasst in der Tat alle nicht-negativen reellen x. Klar, weil es keine reelle Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert etwas Negatives ergibt. Da dürften wir uns einig sein. Die *Wertemenge* der Wurzel(x)-Funktion, also alle Werte, welche sie selbst annehmen kann, schließt aber ebenfalls die negativen Zahlen aus! (Falls es das war, wo du meinen Denkfehler vermutet hast, ist da keiber.) D.h. es kann nicht beispielsweise Wurzel(4)=-2 gelten und schon gar nicht Wurzel(4)=+/-2 (da eine Funktion eindeutig sein muss). Es ist *eindeutig* Wurzel(4)=2, ebenso (in Bezug auf die Aufgabe hier) Wurzel(1)=1, etc. Allgemein gilt im Übrigen auch für alle reellen Zahlen x (d.h. negative mit eingeschlossen): Wurzel(x^2)=|x|. Das stellt den nicht-negativen Wertebereich sicher. Zu verwechseln ist das nicht mit der Lösung einer quadratischen Gleichung! Die kann in der Tat mehrdeutig sein, aber Vorsicht mit der Formulierung: Aus x^2=4 folgt x=+/-2, was aber *nicht* zu lesen ist als Wurzel(4)=+/-2, sondern +/-Wurzel(4)=+/-2. Das +/- zeigt, dass das durch die Gleichung beschriebene Problem mehr als eine Lösung hat, die Wurzel selbst bleibt aber eindeutig.
@@novidsonmychanneljustcomme5753 ich meinte meinen Denkfehler. 😊
@@marionmaierphilonatura Ach so sorry. 😄 Dann ist's ja gut. ;) Bin da etwas prädestiniert, weil dieses Missverständnis immer noch weit verbreitet ist und in zahlreichen CZcams-Kommentaren kursiert. Ist nicht das erste Mal, dass ich darauf eingehe und habe auch schon öfter erlebt, dass gewisse Leute total auf stur schalten und es einfach nicht glauben wollen. 🙈 Dadurch hab ich mir wohl unbewusst angeeignet, es bei diesem Thema besonders genau zu nehmen. (Liest man hier wohl auch wieder raus. ;P) Aber dann passt ja alles. ✌ (Und vielleicht liest es ja doch noch jemand, der was daraus mitnehmen kann, dann war der Schreibaufwand trotzdem nicht unsonst.^^)
Beim normalen Integrieren wird die 2 doch zur 2x warum bleibt es hier einfach bei der 2
Die 2 ist ein Faktor also es wird Mal 2 gerechnet . Deswegen kann man die 2 einfach vor das integral schreiben . Das was du meinst wäre bei plus oder minus
🙈😂👍👍🌹
Bahnhof 😅😅
Mathematrick>>Daniel Jung (nofront an Daniel)
Genau die Rücksubstitution fehlt.... so ein mist
Diesmal etwas konfus erklärt ... kennt man so gar nicht von Susanne.
Da kann man 27 mal falsch abbiegen. Niemand kann von sich aus wissen, dass man so vorzugehen hat.
Ergebnis stimmt natürlich, aber Vorsicht ☝: Der Integrand besitzt eine Polstelle bei x=0. Es gilt nämlich dort lim x->0+ (f(x)) = Unendlich. D.h. der HDI ist nicht direkt anwendbar, da die Funktion auf dem zu integrierenden Intervall nicht beschränkt ist. Es handelt sich demnach um ein uneigentliches Integral. Stattdessen müsste eigentlich die untere Grenze erstmal variabel gehalten (z.B. a) und beim bestimmten Integral stehen gelassen werden, d.h. 2e-2e^a. Und dann kann der Grenzwert für a->0+ berechnet werden. Es kommt dann auch das selbe heraus, am Ergebnis an sich wollte ich wie gesagt auch gar nicht meckern. 😉 Aber trotzdem wichtig darauf hinzuweisen. (Hier funktioniert es, aber wenn man z.B. sowas wie Integral von -1 bis 2 über 1/x^2 dx ohne diesen Hintergedanken berechnet, tappt man schnell in die Falle...^^)
Ja du hast natürlich vollkommen Recht, dass ich darauf hätte hinweisen sollen. In diesem Fall macht es jetzt keinen Unterschied, aber grundsätzlich kann es da natürlich zu Problemen kommen.
@@MathemaTrick Alles klar, gern geschehen. :) Und danke fürs Pinnen, diese "Ehre" wird mir zum ersten Mal überhaupt auf CZcams zuteil. 👍😄
was
@@joklbauer7974 Division durch 0 ist nicht definiert. Daher ist diese Aufgabe ein uneigentliches Integral.
@@yoshibar2536 nein, das ist falsch. Das spielt nur eine rolle für den definitionsbereich des integrals, der hat mit den intervallgrenzen erstmal keimen direkten Zusammenhang. Die Null setzt du erst beim integrierten Ausdruck ein und nicht in das was da im integral steht.