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Schwierige Integrale lösen - Partielle Integration Integral
Vložit
- čas přidán 16. 08. 2024
- Schwierige Integrale
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) die partielle Integration und wie man damit ein Integral mit der ln Funktion lösen kann. Die Produktintegration von ln(x)^2/x^2 der Integralrechnung. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Schwierige Integrale lösen
2:14 Partielle Integration
8:20 Partielle Integration doppelt
13:55 Integral lösen
15:27 Bis zum nächsten Video :)
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Wäre es nicht aufgrund der Faktor-Regel möglich gewesen die 2 aus dem zweiten Integral zu ziehen?
Ich hätte nie gedacht dass ein Mathe-Kanal mal so beliebt werden kann, bitte hör nie auf coole Mathe-Videos zu machen😁
Dankeschön, ich gebe weiter Vollgas! 🥰
Ich habe keinen blassen Schimmer, was da gerade passiert ist. Habe großen Respekt an alle, die das auch nur ansatzweise begreifen.
@@S..K_ In der Uni sind das die entspanntesten Aufgaben xD
Mit einem guten Lehrer könnte man dir auch Differential- und Integralrechnung beibringen. Das haben wir alle nicht im Kindergarten gelernt.
Wie immer klasse erklärt. Einen besseren Mathe-Kanal hab ich bis jetzt noch nicht gefunden! Weiter so ;)
Dankeschön! 🥰
Sehr schön erklärt. Schritt für Schritt. Alles super nachvollziehbar.
Wirklich gut erklärt, erinnert mich thematisch an meine Mathe - Grundlagenvorlesung für Ingenieure an der Uni. Hat mir wieder Spaß gemacht, zuzusehen und zuzuhören. Merci!
Es ist sehr schlau sich die Mathe-Videos von der Susanne anzuschauen, weil man dadurch immer etwas klüger wird. Zum Glück waren und sind viele bis heute so schlau gewesen und haben sich ihre nach meiner persönlichen Meinung, sehr empfehlenswerten Mathematik Lernvideos angeguckt. 🤗💝👍
Wenn der Ln wieder am Start ist... 😂 Ich danke dir so sehr für dieses Video, weil es so besser erklärt ist als in meinem Mathebuch. Ich hoffe so sehr, dass ich die Klausur bestehen werde
Ich drücke fest die Daumen 👍🏼🙋🏻♀️
Klar, schaffst du.
Viel Erfolg 🍀
Hast du bestanden
@@osurrukbocek7713 Nein.
Tolles Video, ich starte nächste Woche mit meinem Bauingenieurstudium in Zürich. Da helfen solche Videos sehr, um noch einmal Stoff zu repetieren bzw. sich vorzubereiten. LG
Hallo Susanne. Toll erklärt, man merkt, dass du da richtig "drauf abfährst" (ist bei mir schon ein paar Jahrzehnte her, ich hab es aber anschließend noch mal langsam "nachgeturnt").
😀 Super toll erklärt. Ein fettes Danke dafür. 👍
I don't speak german but i watch your videos... Maybe the math is the common language :-)
Eigentlich müste man für jede einzelne Integration sofort das c mitnehmen, natürlich kann man alle einzelne c dann hinterher in ein einziges c umwandeln. Wenn man es aber immer sofort mitnimmt, dann kann man es später nicht vergessen.... aber ich verstehe, dass es aus Gründen der Einfachheit erst am Ende hinzugefügt wird. Top Kanal!
Ich schreibe nächste Woche Mathe I an der Uni und du rettest mich mit deinen Uni Mathe Videos! 😅
Super, das freut mich sehr! ☺️
Lösung mit partieller Integration:
∫ln²(x)/x²*dx = ∫1/x²*ln²(x)*dx =
Die partielle Integration kann man ableiten von der Produktregel der Differentialrechnung. Die Produktregel der Differentialrechnung lautet:
(u*v)’ = u’*v+u*v’ |-u*v’ ⟹
u’*v = (u*v)’-u*v’| ∫()*dx ⟹
∫u’*v*dx = ∫[(u*v)’-u*v’]*dx = u*v-∫u*v’*dx
Mit u’(x) = x^(-2) ⟹ u(x) = -x^(-1) = -1/x und v = ln²(x) ⟹ v’ = 2*ln(x)*1/x gilt:
∫1/x²*ln²(x)*dx = -ln²(x)/x+∫x^(-1)*2*ln(x)*1/x*dx
= -ln²(x)/x+2*∫1/x*ln(x)*1/x*dx = -ln²(x)/x+2*∫1/x²*ln(x)*dx
Nochmalige partielle Integration:
∫1/x²*ln(x)*dx =
∫u’*v*dx = u*v-∫u*v’*dx
Mit u’(x) = 1/x² = x^(-2) ⟹ u(x) = -x^(-1) = -1/x und v = ln(x) ⟹
v’ = 1/x gilt:
∫1/x²*ln(x)*dx = -x^(-1)*ln(x)+∫x^(-1)*1/x*dx = -x^(-1)*ln(x)+∫x^(-2)*dx
= -x^(-1)*ln(x)-x^(-1)+C1 = -[ln(x)+1/x]/x+C1
Somit lautet das ganze Integral:
∫ln²(x)/x²*dx = -ln²(x)/x+2*{-[ln(x)+1/x]/x+C1}
= -ln²(x)/x-2*[ln(x)+1/x]/x+C2
Schöne Aufgabe, sehr gut erklärt - danke fürs zeigen.
Dankeschön Stef! 🥰
Oh, wie schön ist . . . Integral!
Wieder toll erklärt. Habe auch eine sehr praktische Aufgabe für Sie: Es gibt mehrere Formen für Spiralen. Eine sehr schöne geometrische Form ist die Fibonaccispirale, zumal diese Figur sehr ähnlich der Flora und Fauna ist. Interessant z.b für wirkungsvolle Anordnung von Pflanzen im Garten.
Schöne Grüße aus Brandenburg!
Interessant, aber sie sollten die Aufgabe auch noch stellen.
Sehr gutes Video hilft sehr beim Verständnis dankeschön
top, danke!
Sehr gut, danke das hat sehr geholfen!
schönes video, was mich nur etwas stört: Konstante können vor integrale geschrieben werden also ∫2x=2∫x
In 2 Wochen schreibe ich mathe 2 an der FH (Bauingenieurwesen).
Ich bin so dankbar für diese videos :)
Du findest auch dass man als Ingenieur mehr Möglichkeiten hat als ein Mathematiker oder Physiker? Zumal das Studium zum Ingenieurwesen soweit ich gehört habe auch etwas einfacher als Mathe oder Physik zu studieren ist
Hey ich habe mal ne Frage. Hätte man nicht bei der Vereinfachung der ersten Partiellen Integration die Konstante „2“ aus dem Integral ziehen und davor schreiben können ? Danke schonmal vorab und einfach super coole Videos !!
Solche Aufgaben sind doch auch nur dazu da um Schüler zu quälen (und zu schauen ob die Theorie dahinter verstanden wurde) haha
Im 2. Semester sagte meine Übungsleiterin aus Mathe "Integrale rechnet doch heute kein Mensch mehr aus, denn jedes Integral wurde schon mal vor langer Zeit für uns berechnet. Dafür gibt es doch Tabellen um diese nachschlagen zu können." Ist nach wie vor eines meiner Lieblingszitate
Tolle Auffrischung von längst Vergessenen
Du rettest mein Abi 🙏
Hübscheste Mathelererin die ich kenne🥰
Aber wie kann man wissen dass es ein partielles Integration ist?
Total gut.
10:10 Es ist nicht "egal" wo die 2 steht, denn die Konstante kann vors Integral gezogen werden. 15:06 Noch -1/x ausklammern wäre etwas schöner.
Danke!
Dankeschön!!
dein weiß blendet mich immer 😎
seehr schön!!❤
Dankesehr! ☺️
endlich erklärts jemand normal
Super Erklärung der partiellen Integration. Kleiner Hinweis am Ende evtl noch -(1/x) ausklammern um es zu vereinfachen, sonst hätte es bei uns in Mathe Punktabzüge gegeben. Danke für das Video. Ich lern grad mathematische Probleme lösen mit Python und kann genau sowas dann immer nutzen.
Bei mir genauso. Außerdem macht es das einfacher, falls man doch noch damit weiter rechnen muss.
14:09 Ich glaub, hier hat sich ein kleiner Fehler beim Schneiden des Videos eingeschlichen.
Finde ich aber irgendwie charmant. Gibt's eigentlich Outtake-Videos von dir?
Ach du Heiliger, du hast natürlich absolut recht! 🙈 Dankeschön für den Hinweis und freut mich trotzdem, dass du so lange durchgehalten hast! 😅 Ich schau mal ob ich das jetzt im Nachhinein noch korrigieren kann! :)
Hallo, eine Frage , was passiert mit dem Minus im integral bei -x^-1 , danke :) starkes Video !
Kann man die 2 hinter der Integrationsklammer nicht auch als Vorfaktor vor das Integrationszeichen ziehen?
Die Faktoren ohne x kann man doch auch einfach vor das Integral ziehen oder? Hab ich zumindest so gelernt. Zusätzlich als Tipp für etwas weniger Verwirrung bei der v und u Tabelle... Man setzt: u' --- u
v --- v'
Dann stehen in der rechten Spalte die zu verwendenden Funktionen für das neue Integral
ln(x)=z; dz=dx/x; e^z=x; I=int((z^2)*e^(-z)dz) - dann ist partielle Integration viel einfacher.
Kommt in mein Rezeptbuch. 😄
Danke sehr
Gerne Fatima! 🥰
Liebe Susanne, welche Tipps kannst du mir, einem kleinen Mathe-CZcamsr, geben? Wie schafft man einen solch kometenhaft Aufstieg wie du im letzten Jahr?
ich liebe dich danke
gibt es Funktionen, die nicht zu integrieren gehen und wie kriegt man das raus, wenn es der Fall ist.
Ja, die gibt es. Beispielsweise ist sin(x)/x nicht elementar integrierbar. Numerische Integration am Computer löst das Problem. Das können mittlerweile sogar manche Taschenrechner, wie der CASIO fx-991 DEX.
@@petereitzenberger2769 Könnte man diese Funktion nicht partiell integrieren?
@@petereitzenberger2769 also sin(x) als u festlegen und x^(-1) als v'
Am Ende kommt dann etwas mit cos und ln raus
Ist es möglich mit Hilfe der Triangulation die Entfernung von Fixpunkten in der offenen Landschaft zu ermitteln. Wenn ja, würde ich es gerne lernen.
Hätte man das Ergebnis noch kürzen können? Alle •1/x wegkürzen und 2•1/x zu 2/x ändern?
Kommt dann quasi als Stammfunktion: (ln(x))^2•(2ln(x)-2/x)
Wäre es bei 10:10 nicht sinnvoller die 2 gleich vor das Integral zu ziehen?
wenn man grenzen hat muss man die am ende nurnoch in die fertige stammfunktion einsetzten oder?
Ja genau 😊 Zuerst die obere Grenzen und dann „Minus“ die untere Grenze.
könnte man am ende noch das 1 durch x ausklammern und den restlichen term durch x teilen oder geht das wegen des c nicht?
ausklammern ja aber noch irgendwas teilen oder wegmultiplizieren würde ich lassen...
Kann man bei 10:20 die 2 nicht aus dem Integranden ziehen?
Wann kommt die Kooperation mit MathePeter?
Ich finde ihr würdet euch gut ergänzen :)
Ich fänd's cool, nur für ein Video^^
MfG
Eigentlich ganz einfach 🎉
Schau dir mal die d/i Technik an damit geht das viel simpler finde ich
Entweder Mathematica oder im Bronstein nachschauen
❤️❤️
kannst du die bitte versuchen. ich bin ratlos seit tagen (x-1)/(x^2 -2x+4) 0 setzten geht nicht
Passiert dann nix mit v'?
Wieso löst man es hier nicht mit substitution?
Es tut mir irgendwie weh das du am Ende das 1/x nicht ausgeklammert hast. Ansonsten super erklärt :)
das schwerste war an die konstante zu denken
Wieso hier keine substitution bei 1?
Es bereitet mir physische Schmerzen, dass du 1/x nicht Ausgeklammert hast am Ende
hier fehlt doch ganz eindeutig die Probe - mal kurz die erhaltene Stammfunktion ableiten um zu prüfen, ob da auch wirklich die Anfangs-Funktion herauskommt...
;-)
(ist aber nicht wirklich schwer, bloß Ketten- und Produktregel)
Hallo Susanne,
kannst du mir bitte bitte bitte dein Pizzateig Rezept geben? 🙂 Der sieht so fluffig aus. Ich selbst bekomme den nie so hin 🥲
Hallo ich wollte dich darauf hinweisen, dass du einen kleinen Vorzeichenfehler gemacht hattest am Ende muss es + 2/x sein
... 0:31: "c"... und "o", oder was auch immer das sonst so darstellen soll. ;-D Kreativ! Unerwartet, aber geil!
Und "u" bei 11:31 ;)
Willst du noch zwei "S", zwei "N", ein "A" und eine "E" dran machen... ? ;)
Fehlt am Schluss der Lösung hinten nicht dx? 🤔
5. Oktober! Strom aus, kein arbeiten, kein tanken!
Was ist mit deinem Video passiert? 1:29m Länge nur..war das vor paar Stunden nicht noch ca. 15 Minuten?
Ja da ist wohl ein Fehler passiert, ich schaue mal was ich tun kann! ☺️
Int [ -2ln (x)÷ x^2] • dx Int [-2ln (x)÷x^2] • dx
Es ist einfach und nachvollziehbar so wie du es erklärst. Das selbständige Lösen hingegen ist meistens komplizierter.
Schade wieso kam das Video nicht früher 🤧 hatte heute in der Uni meine Klausur mit genau dem Integral.
Echt jetzt? 😳 Oh das tut mir leid. Hast du was hinbekommen?
@@MathemaTrick ist doch nicht schlimm, dafür habenmir deine Videos schon sooo oft geholfen. Nein leider habe ich die Aufgabe falsch gelöst😅
Hey, blöde Frage nicht passend zu dem Thema...
kann mir da mal jemand helfen...
(-2) x (-2) = 4
wenn aber bei der ersten -2 keine Klammer ist, also
-2 x (-2)
dann rechne ich eigentlich 2 x (-2) und setze das Minus am Ende wieder davor oder?
-2 x (-2) = -4
verstehe ich das richtig?
Nicht so ganz, da 2x(-2)=-4
Wenn du dann den Minus davor setzst kommst du auf -(-4) also 4.
Ich glaube aber das dein Denkfehler von potenzieren kam, da sind die Klammern wichtig:
-2^2, hier wird nur die 2 potenziert also -(2*2) =-4
Bei (-2)^2 das Minus mit also (-2*-2)
@@Nicola-ny5jn vielen danke!
-2 x (-2) = -[2 x (-2)] = -(-4) = 4
Da bin ich jetzt raus 😂
Stimmt da etwas mit dem Video nicht? Das fängt fast am Ende mitten in nem Wort an und die meiste Arbeit steht schon da? 1 Minute und 29 Sekunden lang? Sorry
Ja, leider ist da ein Fehler bei CZcams passiert. In ein paar Minuten sollte das Originalvideo nochmal in voller Länge da sein. 😊
@@MathemaTrick Ja ok. Alles super! Tolle Videos. Danke :)
Ich kapiers nicht. Wofür könnte man sowas im Alltag/Beruf gebrauchen? Was genau berechnet man mit Integralrechnung? Ich hab das komplett aus dem Hirn gelöscht, habe da null Erinnerung an die Schulzeit.
Wärest du eine (Maschinenbau-)Ingenieurin, wüßtest du wofür....
@@_H__T_ Google spuckt ganz wenig aus, aber es ist ein spannendes Thema.
Mir ist diese Aufgabe zu Hoch, ich kann es nicht!
Einfach weiter üben, dann klappt es irgendwann. Mathe ist oft einfach harte Arbeit.
@@xlr8r171 😂
Ich weiß was ich im Winter schauen werde - wenn ich mir die Strompreise noch leisten kann. Schau ma mol.
Puh 🥵
Mein Gehirn ist am Rauchen
Oh mein Gott!
Pfff - bin fast raus! 27 jahre her!
Puhh, anstrengend, im Alltag haue ich dann doch lieber ein numerisches Verfahren drüber. ,)
gut das von euch sogenannten werden Studenten auch viel durchfallen,lernt lieber ein Handwerksberuf und nicht solchen Schwachsinn aus Strichmännchen und zahlen
Was für ein IQ braucht man für sowas
Ach nö das gefällt mir diesmal überhaupt nicht. Das tu ich mal ausklammern sonst wird mir wieder schwindelig.
diese aufgabe stellt für diesen kanal eine niveaulose unterforderung dar.
wer eine angemessene anregung wünscht, schauhe doch mal hier rein:
czcams.com/video/nzPN4Q4ekO0/video.html
Was angemessen ist, muss meiner Meinung nach jeder selbst entscheiden. Also Hardcore-Nerds bitte zu euch, alle anderen können gerne hier bleiben. 😄
@@tpabstdd thomas, öffne den geist, fasse mut und folge dem link...
@@porkonfork2021 Nö, ich denke gar nicht daran.
Niveaulosigkeit kann man Susanne nun wirklich nicht unterstellen. Dieser Kanal zeichnet sich vielmehr durch ein breitgefächertes Anforderungsspektrum aus und das ist gut so, um der Gesamtheit der User angemessen verteilt gerecht zu werden. Vom Grundschüler bis zum Studenten ist für jeden immer wieder mal etwas dabei. Da sollte man sich das herauspicken, was dem eigenen Niveau entspricht. Jeden permanent genau da abzuholen, wo er steht, ist eher schwierig.
ojeh, ihr mathemuffel. nehmt das leben, wo ihr es trefft, aber nehmt nicht alles so bierernst. wer liebt susannes ausführungen nicht - der sich öfter als ein mal auf diesem kanal einfindet? mathe ist ne todernste sache, susanne bringt sie mit charme rüber, ich versuche bisweilen mit etwas humor noch einen drauf zu setzen. entschuldigung, das erlaub ich mir künftig natürlich nur, wenn es euch auch recht sein sollte! wer geneigt wäre, würde evtl den hauchzarten anflug von ironie in meinem post vernommen haben. traut euch - ich trau euch das zu.
folgt ihr dem link, fangt ihr euch keinen virus ein, landet ihr nicht auf ner pornoseite, sondern bei einem anderen video von susanne, wo sie noch mehr mathe at its best präsentiert. zum gleichen thema, nur extremer.
vielleicht versteht ihr dann, was ich meine.
ansonsten entschuldige ich mich für die unerlaubte und unerwartete abweichung von der gebotenen ernsthaftigkeit, die man der mathematik entgegen zu bringen sich befleißigen sollte!
aber, liebe leute, nicht vergessen: wir sind hier eben nicht in der schule.
Mathe Leistungskurs und ich verstehe nichts^^
Partielle Integration ist nicht in allen Bundesländern im Lehrplan.
@@petereitzenberger2769 oder es könnte daran liegen das meine Schulzeit schon etwas her ist^^
@@Katzenpalme Ja, natürlich kann das sein. Partielle Integration ist aber schon eher ein Thema, das man vielleicht nach langen Jahren verlernt hat, aber nicht gleich komplett vergisst.
Bin ich hier bei Only Fans ? 😂
Wieso? 😂
@@MathemaTrick sorry, habe mich im Video vertan 🤣😝 280.000 Abonnenten. Überlege mal ☺️ spaß 🥴
wth
Das was du machst kőnnen nicht viele. Mann braucht viel űbung. Psycho scheiss.
Da vergisst mann vieles
Kannst du mal ein video zur Tschebyscheff ungleichung machen ?