大学入試だけど、中学生も解ける！！（東京理科大）
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- čas přidán 2. 07. 2022
- 数学を数楽にする高校入試問題81
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川端哲平の自己紹介
学校は、明大明治、本郷、洗足学園、山手学院、かえつ有明、法政二などで教えていました。
塾は、大学時代から、個別指導のトーマスで指導を始め、２０歳から早稲田アカデミー、Z会進学教室で教えていました。（高校受験 大学受験）現在は塚本数学クラブで指導しています。
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＃数学を数楽に
数学を数楽にする高校入試問題81
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m^2-36=(m+6)(m-6)が100の倍数で
m+6とm-6の偶奇は一致し、どちらかが5のときもう片方は5の倍数にならないことから
m+6=50もしくは100の時とm-6=50の時と場合分けすると思ってました。
川端先生お得意の和と差の積にしての解法、とても美しいです。
mが奇数の場合は2乗しても奇数なのでこの時点でmは偶数が確定。
従って(m+6)も(m-6)もどちらも偶数となる。
mは2桁の整数なので、(m+6)×(m-6)が100の倍数となるためには、(m+6)が50又は100、又は(m-6)が50。
先生の部活動の話とても良かったです。私は他大学ですが、応用化学科で教員免許が数学しか取れなかったので、中学校で数学を教えています。数学科でなくて数学を教える先生に親近感を覚えました。いつも興味深い問題を扱って頂きありがとうございます。
私は中学校数学教員で、東京理科大出身です。最近は中学校現場はブラック業界で志願者が減っていますが、理科大出身に恥じないよう、数学が数が苦ではなく、数楽と感じてもらえるよう、何年経っても日々探求を続けています❗️
今日も勉強になりました。工夫して絞り込んだら整数問題は地道に探さないと。授業中の先生のちょっとした雑談は好きだったなあ。厳しい学校だったからほとんどなかったけど。
まさかの先生と学歴一緒だったとは。
自分も野田の経営工学科出身です。
都内からの野田への通学大変でしたね。
これからも応援します。
いつも解説ありがとうございます。
私は働きながら、東京理科大学理学部第二部数学科で学び、関門科目にも何とか合格し、4年間で卒業出来ました。
卒業翌年の1981年4月お陰様で、中学校数学教師の端くれとなりました。
定年後も、毎日独学で学んでいます。
先生のご活躍とご健勝を、陰ながら祈っています。2022.8.19
動画終盤の小話面白かったです笑
機会があれば川端さんを深堀する動画見てみたいです！！！
（もう出してたらすみません）
初めて学生時代のお話を聞けて、良かったです！ご苦労されたんですね。。。
私はもう還暦ですが、受験生の皆さんは、先生の学生時代のお話を聞いて、さらに奮起するのではないでしょうか！
また、ぜひほかのお話も聞かせてください、楽しみにしております。
いつも動画楽しく拝見してます。
同じ野田だったのですね、驚きです。
私は理工の物理学科でしたが、野田キャンパスの話題は懐かしく思いました。あの頃からもうかなり変わりましたね。
この宝石のような素晴らしいチャンネルを発見し、毎日少しずつ拝見しています。
数学の問題を解いていくのは、ゲームなどより遥かに面白いと思います。私は、学生時代は
理学部で物理をやり、数学のようなものも少しはかじりましたが、その後は実業の世界に入り、
すっかり忘れていました。数学とはこんなに面白いものだと、改めて気づかされました。
上がっている動画を全部見ようと思っています。素晴らしいチャンネルです。今後も楽しみに
しています。
ありがとうございます！
文字は一切使わずに、1の位が4の2桁の数の2乗は下2桁が20ずつ減っていくことと、1の位が6の2桁の数の2乗は下2桁が20ずつ増えることに気づいたので、それで考えました
当たって嬉しかったです
法政大学出身です。外堀挟んだ反対側に理科大があってよくメシ食いに行ってたなぁ...
整数問題は大学入試といっても比較的中学生にも解きやすい問題が多い気がします
(10a+b)^2としてから考えたので
行き詰まりました
解説なるほどでした
解法も先生の学生時代のお話も興味深かったです。先生は数学のエバンジュリストが天職だと信じます。私も苦手な数学が楽しくなった一人です。
16は確定しているので、80aの10の位が2になるもので4と9と考えれば少しは楽ですね
先生、大変な学生時代を送ってたんですね！感服致します😊
夏目漱石の『坊っちゃん』の主人公も理科大(東京物理学校)卒の数学教師だったし、私の高校の数学教師も半分近くが理科大卒だった。
2桁の整数を 10x+y (0
野田校舎なつかしいですね〜！神楽坂校舎はこれから開発して新しくなるみたいですね♪
それとなく，合同式の考え方が出てきてますね．よく出来た概念ですね．
私も東京理科大学出身です。因みに私は、理学部化学科でした。学生時代は、勉強した記憶がありませんでした。
私も理科大、物理学科卒です。
入試の問題で最後の問題を行列を使っても解けるんじゃないと思って解いた。それが功して、現役合格。
同窓です‼️我が家は子ども、も理科大。自分は神楽坂でしたが、学部が野田に移ったので、息子は運河駅近くに今下宿中。先生の時代、つくばエキスプレスはありましたか❓自分の理科大の思い出は、とにかく留年しないように、定期試験やら実習やら、物凄くハード、タイトで大変なキビシイ4年間でしたね。
m^2=100k+36から(m-6)(m+6)=100kにするとどっちかが25の倍数であり、かつ両方とも2の倍数であることがわかるので、あとはmが取りうる範囲で絞る…そんな感じでやりました。
剣道、かっこいいですね。
理科大は、神楽坂か金町か野田なので、うちからだと微妙に通いづらいんですよね。長万部ならあきらめもつくでしょうが。
ある整数を10m+nみたいに考えると、大抵失敗することが多いのですが、今回は計算で押し通せるめずらしい問題だと感じました
野田校舎ですと、最寄り駅が東武野田線の運河駅でしたよね❗
駅を降りて直ぐ利根川が見えて、メッチャ田舎に来た感があった事を、今でもハッキリと覚えています。
私も大学は違うのですが経営工学科出身です!
"経営"とついているとよく理系?文系?と言われることが多いですよね笑
中学入試とかで出てくる覆面算の応用問題として解いてみました。先生の解法の方が断然早いですけど、小学生にもできそうなやり方で解けました。
①2桁の整数がぞろ目のとき：44か66しかないが、44^2＝1,936 66^2=4,356 となり、44は答えの一つ。
➁ぞろ目ではないとき：AB×AB＝CD36(A,B,C,D:各位の数字) という筆算を考える。
この時、B=4，6。また、C＝0となる場合は3桁の整数として扱うことにする。
筆算の仕組みから、計算結果の十の位は以下の(あ)と(い)の合計の下一桁になる
・筆算の1行目：A×Bの1の位に1か3の繰り上がりを考慮したもの・・・(あ)
・筆算の2行目：A×Bの1の位・・・(い)
あとは、シラミつぶしにやると、A=5、B=6のときのみ、成り立つ。
以上より、ｍ＝44，56
筆算をもとにして考えるなら，覆面算よりも虫食い算として考えた方が楽です。①,②のような場合分けをしなくて(44^2や66^2を計算してみなくて)済みます。
「〇〇×〇〇＝□□36」より，〇〇の一の位は４か６。すなわち，〇４×〇４ か 〇６×〇６
[〇４×〇４ のとき] 積の十の位は「１+ (４×〇の一の位)+ (４×〇の一の位)」→「(４×〇の一の位)が１か６」で積の十の位は３になる。
(４×〇の一の位)が１になることはない，(４×〇の一の位)が６になるのは４×４と４×９だから，「４４×４４，９４×９４が□□36になる」
[〇６×〇６ のとき] 積の十の位は「３+ (６×〇の一の位)+ (６×〇の一の位)」→「(６×〇の一の位)が０か５」で積の十の位は３になる。
(６×〇の一の位)が５になることはない，(６×〇の一の位)が０になるのは６×５だから，「５６×５６が□□36になる」
@@user-si1lv8iy4t たしかにそうですね。ありがとうございます。
出身同じだ！しかも学科まで！
(1)ある2桁の正の整数ｍを2乗すると，下2桁が36になるという。このときのｍの値を求めよ。
(2)ある2桁の正の整数ｎを3乗すると，下2桁が36になるという。このときのｎの値を求めよ。
原典は続きの問題がありました。こちらは3乗の展開公式で同様に解けますね。
私の家庭教師だった人も東京理科大学の出身で、埼玉県桶川市からナナハンのバイクで野田キャンパスに通っていました。サッカー部でした。今は高校の教員をやっていてバイク部に所属しています。理科大いいですね。
mの下一桁をa、下二桁をbとする(bは1～9までの整数)
m²の下二桁の値が3だとすると
掛け算の法則から
(2abの下一桁)+(a²の下二桁)=3
と一般化できる
a²の下一桁は6になることが条件だから、a=4,6なので
aのそれぞれを一般化した式に代入し
a=4のとき (8bの下一桁)+1=3 → (8bの下一桁)=2 ...①
a=6のとき (12bの下一桁)+3=3 → (12bの下一桁)=0 ...②
となりこれらを満たすbが解になる
a=4のとき①を満たすbは4と9
a=6のとき②を満たすbは5
よって答えは44,94,56
きょうはやっぱり解けませんでした泣。中学生も解けると言われると人生終わった感を感じてまた涙があふれます。精進します泣。
そうですね。人生終わってください。この問題解けても解けなくても実生活に何ら影響はありません。クイズの答えがわかるかわからないかと同じです。数学なんて大多数の人にはそのくらいの価値しかありませんハハハ
先生と解き方同じだった😍💕
理科大数学科入試のなつかしの感想として、数学科専用の、2回目数学入試問題が、マニアックで超難問だったなぁ、って覚えています。留年も多く、厳しい環境でした…
私の時代は、6割が一留。4割近くが二留。中間試験もあって、大学入試よりも理科大時代の方が勉強漬けの日々でした…
@@user-my8yu8zi4b 私は50代ですが、確かにそうでした。JR飯田
橋改札を出て、左に行く学生は晴れやかな法政大学生、そして右へ行くのが、疲れた表情をした理科大生でした…
理科大の数学科と応用数学科はずっとそうですよね。最後に学科別の数学試験があるっていう独特のスタイル…
@@user-zh4yr8gj9q 理科大生と同じ方向へ出て、パチンコ屋へ行って設定判別してから法政へ通学するか毎日悩んでた。
当時は、林、一戸教授を始め、そうそうたるメンバーが応用数学科で教鞭を取っておりました。今や私の同期の、石渡恵美子さんが、教授となって活躍しております。
【解き方】
まず下1桁が6になるのは4と6のみなのでX6^2とY4^2で確定。
6の方を考える。6は二乗で36なので、6とかけた時下1桁が0になるものは5だけなので56^2
4の方を考える。4は二乗で16なので下1桁が2になれば36になる。Y×（4×2）=A2の形になるのはYが4の時と9の時なので44と94
よって答えは56,44,94
当たって満足
ある程度式を作ったらやっぱり地道に数を入れていく方法になるんですね。
あと全然関係ないけど7:50～8:00くらいのホラー演出みたいな音が気になりました😱
オートバイの通過する音ですね，たぶん。
@@satton5360さん
バイクですか(笑)
数学以外のことにもお答え頂きありがとうございます！
@@hiDEmi_oCHi 救急車の通過音はこのチャンネルあるある（？）ですが，救急車が通るということは公道でしょうからね。
余談ですが，今回の「a」の方，3:35 あたりからですが，
「 80a ＋ 16 」が「 ●36 」（下2桁が36）となるということは，
「 80a 」が「 ●20 」（下2桁が20）となるわけで，「 8a 」が「 ●2 」（下1桁が2）となり，
a が 4（ 80a ＝ 320 ）または9（ 80a ＝ 720 ）
と考えると比較的絞りやすいかもです。
法100では無く，法50を使う手があります。
と言うのも，法100で36に合同な自然数は，半分にした法50でも36に合同なのですから(法も帰着する合同値も偶数であるため。下二桁86も考えられるが，それだとm^2は平方数にならないため無視出来る)。
m^2 ≡ 36 (mod 100) ⇒ m^2 ≡ 36 (mod 50)。
ここで，自然数nについてm＝n±6が成立するものとすると，
m^2＝(n±6)^2＝n^2±12n+36
これが法50について36に合同なので，
n^2±12n＝n(n±12) ≡ 0 (mod 50)
∴ n ≡ 0またはn ≡ ∓12 (いずれもmod 50。ここまで複号同順)
∴ m ≡ ±6 (mod 50。これは複号任意)。
(以下略)
そして予告問題ですが，5√10/4かな？
・平方数を1^2から順に追うとき、下二桁に注目すると、“25ごとに”対称的に行ったり来たりを繰り返す
・平方数で一の位が6になるのは「うん十四」と「うん十六」の平方しか無い
という2つの事実に基づき、この数だけに絞って、4^2=16から24^2=576までの、十の位だけを並べると、「(4)1、(6)3、(14)9、(16)5、(24)7」(カッコ内は平方する前の数)となります
よって、題意を満たす平方数は、44^2=1936、56^2=3136、94^2=8836となります
なお、この解き方を実用する場合には、お察しの通り、1^2から最低限50^2までは元々そらんじることができるうえで、上記2つの事実に気付いていなければ、逆に解答速度が遅くなるおそれがあります
cf．1点目の事実について、実際に書き並べると分かりやすいのですが、
下一桁に注目するなら“5ごとに”、
下二桁なら“25ごとに”、
下三桁なら“250ごとに”、
下四桁なら“2500ごとに”、
対照的に行ったり来たりを繰り返します
数学的なことは分からないけど、問題を見た瞬間に答えが分かってしまいました。
次問
△ABDでBD:AB:AD=1:3:√10→3:9:3√10
EFとADの交点をGとすると
△AGE相似ABDなのでAE=(1/2*AD)*√10/3=5
FからABに垂線を引き交点をHとすると
直角二等辺三角形△AHFと△FHE(ABDと相似)が現れる。
FH:HE=3:1なのでFH=AHより
AH:HE=3:1→HE=AE*1/4=5/4
よってFE=HE*√10=5√10/4
@かおよしお
初歩的なことだと思いますが、AEの長さを求める計算で、×√10/3とするのはなぜですか？
@@TK-blackriver
EFとADの交点をGとすると
△ABDと△AGEは相似で３辺の比は①：③：√⑩です。
AG：AE＝③：√⑩ よってAE＝√10/3×AGです。
@@user-dv6xt9oc1w
２つの三角形の相似比により、AEはAGの√10/3倍、理解しました。ありがとうございました。
歳をとったおじさんですが、頭の体操のためによく拝見させていただいています。
今日の問題はとても面白かったです。年金生活の老人のボケ防止のため楽しみに視聴しています。
朝練お互い大変でしたね
同じ大学で体育会系で部活してました
今日はちょっと字が雑ですね。
4と9だったりbと6だったり判別しにくいです。
中高とこういうところでケアレスミスしまくりました😂
こういうのを無くすコツとかないんですか？丁寧に書くしかないのかな
理科大の理工におられたのですね。実家柏ですが、あの界隈をウロウロされていたわけですね。
飯田橋通ってたなぁ‥‥。
56の答えは問題見た時にパッと見で出せたけどもう一つ答えあったのか
m²-6² is a multiple of 100. This is the core of this question.
小生が教わった算数や数学の先生方はなぜか、１桁（ひとけた）、２桁（ふたけた）、３桁（みけた）、４桁（よけた）と言っていました。そして５桁以上についてはなぜか「いつけた」「むけた」でなく、「ごけた」「ろっけた」と漢数字で読んでいました。
川端先生も学生の頃剣道されてたんですね。😊
ちなみに何段ですか？😃
3段です
「大学入試だけど、中学生も解ける！！ （小学生でも？）」をタイトルにして欲しかったなぁ。
同じ理科大理工学部経営工学科卒です。何だかなつかしい！
ちなみに一人暮らししてたのは運河？柏？
江戸川台です
@@suugakuwosuugakuni 元73で、江戸川台に住んでいました。結構いますね、野田の人。
筆算と方程式で考えるとm＝44,94,56と解けた。一の位は４と６ですぐ確定
パズルみたい
まさか後輩とは思わなかった。剣道部で龍ねしないとは、優秀。
もう直ぐ年金の爺さんですが、いつも通り見ています。因みに、私も剣道二段、高校生のときだけど。
私は55歳になる中学校数学教員です。私の理科大同期生で、今や理科大教授の、石渡恵美子さんが母校で教鞭を取っています。彼女は真面目で素晴らしい人物です。ますますの石渡教授の、リケ女としてのご活躍、期待している次第です❗️
結局下の数をどちらかに固定して、９から順番に２桁目の辺りを付ける事に変わりはない。
住修さんのコメをベースに，「和と差の積」による解法を答案形式で。
m は 2 桁の整数より，10 ≦ m ≦ 99
m^2 の下 2 桁が 36 になるので，m^2 － 36 は 100 の倍数。これを 100k（ k は正の整数）とおく。
m^2 － 36 ＝ 100k より，( m － 6 )( m ＋ 6 )＝ 2^2・5^2・k
(1) m － 6 ，m ＋ 6 の偶奇
m が偶数であれば，m － 6 ，m ＋ 6 も偶数，したがって，( m － 6 )( m ＋ 6 )も偶数となり矛盾しない。
m が奇数であれば，m － 6 ，m ＋ 6 も奇数，したがって，( m － 6 )( m ＋ 6 )も奇数となるが，( m － 6 )( m ＋ 6 )は偶数なので矛盾。
したがって，m － 6 ，m ＋ 6 はいずれも偶数で，それぞれ 2 を素因数にもつ。
(2) m － 6 ，m ＋ 6 と素因数5
(a) m － 6 が 5 の倍数であれば，m ＋ 6 ＝ ( m － 6 ) ＋ 10 ＋ 2 より，m ＋ 6 は 5 の倍数とならない。
したがって，m ＋ 6 は 5 を素因数としてもたないので，m － 6 は 5^2 を素因数にもつ。
(b) m ＋ 6 が 5 の倍数であれば，m － 6 ＝ ( m ＋ 6 ) － 15 ＋ 2 より，m － 6 は 5 の倍数とならない。
したがって，m － 6 は 5 を素因数としてもたないので，m ＋ 6 は 5^2 を素因数にもつ。
(1)，(2)(a)より，m － 6 が 5 の倍数であれば，m － 6 は 2と5^2 を素因数にもつ。つまり50の倍数となる。
4 ≦ m － 6 ≦ 93 より，m － 6 ＝ 50 よって，m ＝ 56
(1)，(2)(b)より，m ＋ 6 が 5 の倍数であれば，m ＋ 6 は 2と5^2 を素因数にもつ。つまり50の倍数となる。
16 ≦ m ≦ 105 より，m ＋ 6 ＝ 50 ，100 よって，m ＝ 44 ，94
6:24 補足。文字で表しているのでうっかり「 b ＝ 0 のときも 120b は 100 の倍数になるんじゃ？」としそうになりますが，
b ＝ 0 だと，m ＝ 06 ，つまり「 6 」と 1 桁の数になってしまうので，不適となります（ m^2 ＝ 36 は満たしますが）。
文字をおいた時点で 1 ≦ b ≦ 9 ですね。
体育局だったんだぁ、、、わかる人だけわかる、、、はず。
二桁を「にけた」と言われるとすごく違和感を覚える
次回のホントに難問ですか？
私も東京理科大を受験しました。理工学部電気工学科。
和と差の積が出ないと少しガッカリ
ホワイトボードのａと０が一目同じに見えるのですが
下一桁が6の時 6が来るは絶対的後下二桁36になる様に
16 26 36 46 56 66 76 86
96 から検算して選定する❗️
先生剣道部だったんですね！私もです^^
引き面が得意でした
「ふたけた」じゃなくて「にけた」なのか
大学で部活する人少なくはないと思う。
母校の入試問題ですか
長男は理科大落ち東工大現役、次男は理科大蹴り一浪東工大。野田キャンパスに近いが、あまり縁のない大学だ。
2桁で36だから・・・16や！
考えが浅はかすぎた。
動画や他のコメントを拝見せずに考えてみました。
m = 10a + bとおく。1 ≦ a ≦ 9, 0 ≦ b ≦ 9の整数。
m^2 = 100a^2 + 20ab + b^2
100a^2は下2桁に無関係だから、20ab + b^2の下2桁を考えればよい。
ここで、下2桁が36ということはそもそも下1桁は6だから、bの候補は4か6と決まる。
よってaの9とおりとbの2とおり、すなわち18とおりをすべて調べれば答えがわかる。
∴(a, b) = (4, 4), (5, 6), (9, 4)の3とおりとわかるから、
求めるmは44, 56, 94
次問
迷うことなく代数的にやってみたわ。
BCをx軸、ABをy軸とすると、ACはx+y=9
EFは点Aと点Dから等距離だから
(x-3)^2+y^2=x^2+(y-9)^2が成り立って、y=x/3+4が成立。
これをACの式と連立させれば、F(15/4,4+5/4)
Eは(0,4)だから2点間距離の公式から5/4sqr(10)
殆ど同じでした。
変な外人の書き方の真似してて草