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数学を数楽にする高校入試問題81amzn.to/3l91w2Kオンライン個別指導をしています。sites.google.com/view/kawabatateppei数学Tシャツ販売中suzuri.jp/suugaku
四角形の説明がとても分かりやすい。視覚的な説明があるとめちゃくちゃ良いですね。
等比数列の問題を久し振りに見ました。高校生の時は理解していたのですが、社会に出て使わないとどうしても使い方を含めて忘れちゃいますね。😮💨 そのせいで、趣味でプログラムの中に等比数列や等差数列を取り入れようとして、理解できなくて頭を抱えちゃってます。😵💫
川端先生、こんばんは。先生の生まれる産まれる一年前の昭和56年❨1981❩までは、等差数列と等比数列は、数学ⅡBで、数学Ⅲではありませんでした。当時の数学ⅡBは、空間ベクトル、数列、行列、微分積分の基礎から成り立っていて高校2年で、数列を教えていました。そして、数学Ⅲは、微分だけを深掘りする科目だったので、理科系クラスのみで、文科系は選択しなくても卒業できる仕組みでした。 高校3年で文化系と理科系に分かれますが、高校2年の数学ⅡBで、等比数列の公式の導き方を41年ぶりに公式の導き方を見て懐かしく視聴させていただきました。 ちなみに、私立薬学部の試験科目は、英語、数学Ⅰ・数学ⅡB、化学で、数学Ⅲが必要なかったので、私立薬科大クラスが一つあったのを思い出しました。
正方形の面積のやつマジで納得いく綺麗すぎる説明
解説ありがとうございました。凄く勉強になりました。感謝感激です・・
与式を、、(1-1/2)+(1/2-1/4)+(1/4-1/8)+・・・、、と式変形すると 1 の数字以降バサバサバサっと無限に消えると考えたら答えが 1 になると言えないのかな。。
確かに川端先生が数3を教えるとちょっと違和感笑 でもそこがまた好きです笑
数列習ってしまえばまあ当たり前のことになって感動もしないけど、中学生なら魔法のように感じてしまうよな。連立方程式の掃き出し法も中学生向けに解説お願いします。
図の方はパッと思いつきましたが、ちゃんと式を立てて出す方法は頭からすっかり抜け落ちてたので有難かったです。
無限の概念ってつまずく人はめっちゃつまずく(体験談)学生の頃本気で考えて納得できず、最近無限を扱う動画を見てなんとなく飲み込めた、って感じ。
感覚的に答え１はわかるけど、要は数学として計算式で表すことが重要なんだろうな。
結局、そこなんだろうと。「計算式」は万国共通の「言葉（言語）」なんでしょうね。 躓く人は多いけど
等比数列の和を出すとき，項数が「n」だったり「n+1」だったりして，ややこしい場合があるので，その場で公式導くようにするのが間違いが少ないよ．
かけずらしですね
このタイプの問いで、いつも悩ませる問題があります。一辺が1の正方形ABCDがあるとして、対角線の長さは√2ですし、左上AからBを経由して右下Cへ→↓と進めば距離は2になります。一辺が1/10の正方形100個を正方形に並べて、その頂点ABCDとしてAからCへ→↓→↓→↓→↓→↓→↓→↓→↓→↓→↓と進んだ距離はやはり2です。どんどん細かくして一辺が1/nの正方形n^2個を正方形に並べて、同じようにAからCへ→↓をn回繰り返しジグザグに進めた時、その距離も2になります。 そして、この網目を細かくすればする程、その航跡は元の正方形の対角線を結ぶ線(長さが√2)に限りなく近づいていきます。 しかし、細かい正方形をジグザグに進んでいる以上その距離は2であることを私たちは知っています。 (網目をドンドン細かくしても、その数値が√2に近づいていかないのはなぜでしょう？) この30年間、将棋盤を見るたびに気になって仕方がないのです。 川端先生、オジサンにも分かる様に教えて頂けませんか？
znさんありがとうございます。2であることは勿論わかってますけれど。 今回の問題のように「限りなくxに近づくからxだよね」って子供の頃から教えられて。(円の面積とかも細かい扇型を交互に並べてπr^2に行きつくように) …限りなく細かくしても√2に近づかないのは、なんか気持ち悪いんですよ。
知識と直感が違ってる そういう感じ？
nomad kyotoさん、ありがとうございます。そうなんです。 もし小学生に教えるんだったら、川端先生はどう答えるのだろう？ と思った次第です。 図に描くと、細かく書けば書くほど見かけ上は√2に近づくのに、計算上は2のまま。 この気持ち悪さを解消したいのです。
フラクタル次元が1ってことじゃないかな？
公式が存在した覚えがあったが、もはや遠い記憶。試しに１つづ足していきました。1/2、3/4、7/8、15/16、31/32・・・、n項の和は、分母＝2^ｎ は間違いない。多分、分子＝2^n-1すると、n項の和：Ｓn＝2^n-１/2^n＝1-1/2^n n→∞ なら 1/2^n→0なので 答えは１このように書けば「分子＝2^n-1」で減点されるだろうけど、答えは出せました。ずらして引くという発想は出なかったのがちょっと悔しいです。
無限や極限の話が発展しなくて、少し安心してしまいました。
なつかしい！！lim (n→∞）は、はるか25年ぐらい前に数Ⅲで習いました。無限等比級数・極限・2階微分・置換積分・部分積分・・・。理系に進んだけど、当時は色々苦戦したな～。数Ⅰ～Ⅲ、数A～Cの教科書は、いまだに捨てずに持ってます。特に数Ⅲ（極限・微積）は、もう一度勉強したいです！（^o^）
【別海...というほど異なることは言っていない。というか証明のやり方は一緒】十進数で 0.99999999... = 1 なのと同様に、二進数で 0.11111111...(2) = 1(2)証明のやり方は(上記両者とも)動画と同じく『公費をかけてずらして引く』ですね。
@@aa-ph2ki ずらして引くとか横領ですねw。失礼しました
形的に、1-(最後の分数)だとわかった。
ユークリッドの互除法知ってたから瞬殺でしたが等比数列勉強できて嬉しかったです‼️ありがとうございました‼️
極限の考え方がこのトシになって初めて理解できた気がします
私は数学も苦手なのであなたの動画は身の丈に合っていて助かります(^^ゞ
解説があるから解けると思ってるだけだと思うゾ
他所ですが、はなおでんがんさんの五月祭の初項1/2、公比1/2の無限等比級数の和の動画思い出しました
最近、中学受験の小学生(行きつけの飲食店の同じ常連さんの娘が来ていた)に教えてあげました。正方形を使用し、次の方法といい、全く同じ説明方法でした(笑)
ケーキを切れない数学者たちだかでケーキを3等分する方法の一つに永遠に4つに切り続けるって答えがあったよね？その際、初項が1/4で公比が1/4でSnの式に入れてn→∞に持って行ってやると1/3になるって言う・・・
最近読んだ本の受け売りですが逆数和が収束する数列は基本的にスカスカで♾に発散する数列はけっこう密なものが多い素数の逆数和は発散するので素数はスカスカではなく密であると
文系だったから数1Aしかならってないんですよね数2Bとか数3Cとか習いたかったなあ
解き方は完全に忘れてたけど、答えはなんとなくで憶えてました。次の問題面積比が1:4:9ということは、長さの比は平方根なので1:2:3よって10÷6=5/3
四角形に依る説明を６０数年前に受けたことを思い出しました。
塵がつもっても山にならないやつですね
確かに(笑)
数学も物理も大嫌いでさっぱり分からないくせに、「苦手やからこそ理系へ行く」と言って案の定テストは1桁。一浪することになりました。先生は確か同い年やったはずですが、当時先生のような友達が教えてくれてたらどれだけ良かっただろう、と思います。当時は等比数列？なんじゃそりゃ？って思ってました。今回の動画はすごく分かりやすいですね。
とても感じのいい先生ですYeah ( ｀ー´)ノ
0.9の循環少数と同じですね。
この問題、ぱくぱく半分という絵本を思い出しました
五条先生の技ですね！
1Lのビールをグラスに【現在の残りの半分ずつ】注いでいくと永遠に1L全てを注ぎきることが出来ないやつ。
川端先生と同じく図で間取りみたいに書いていって限りなく1に近づくっていう方法とS=1/2+1/4+1/8・・・ S/2= 1/4+1/8・・・差し引きするとS/2=1/2S=1としlimitは特に使わず簡単に計算する方法とでやってみました。次の問題は面積比が1:4:9ということは相似比は？って考えれば自ずと答えが出てきますね。
@@bustersdqn1107 さんx=0.999・・・10x=9.999・・・差し引きして9x=9x=1ってやつのことですね。そう、同じ考え方ですね！
２S=1＋S にして S=1 でやりました。図形で表す場合は、昔習ったときは円グラフで教わった記憶があります。円グラフは、（０，１）の数直線に展開しても分かりやすいかも。
数列かぁ。懐かしいなぁ。Σが出たの覚えてる。(^^)
規則性はあるものの、式がずっとエンドレスっぽかったので、答えは『 ∞ 』かと思いました😅ところで、ちょっと違うけど、川端先生が描かれた正方形の図が、黄金比みたいに見えました😆
これは 1です 式は知りません とあるひとかたまりを考えれば答えが出ます
みんな大好き無糖
高校数学は難しいね
数Ⅲまで教えるようになった先生
次各円の直径はd,2d,3dとおける6d＝10d＝5/3
等比数列の和の公式の出し方を知っていれば解けますね！(^-^)
無限に増えていくんじゃね？↓んあ！？1から越えていかなぁい！？
1の中から永遠に出られない、増えていかないってことですね。
視覚的に見て収束早い
アキレスと亀ですね。
ワン！
はや
マクロでやるやつ
数学を数楽にする高校入試問題81
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高校生の時は理解していたのですが、社会に出て使わないと
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等差数列を取り入れようとして、理解できなくて
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川端先生、こんばんは。先生の生まれる産まれる一年前の昭和56年❨1981❩までは、等差数列と等比数列は、数学ⅡBで、数学Ⅲではありませんでした。当時の数学ⅡBは、空間ベクトル、数列、行列、微分積分の基礎から成り立っていて高校2年で、数列を教えていました。そして、数学Ⅲは、微分だけを深掘りする科目だったので、理科系クラスのみで、文科系は選択しなくても卒業できる仕組みでした。
高校3年で文化系と理科系に分かれますが、高校2年の数学ⅡBで、等比数列の公式の導き方を41年ぶりに公式の導き方を見て懐かしく視聴させていただきました。
ちなみに、私立薬学部の試験科目は、英語、数学Ⅰ・数学ⅡB、化学で、数学Ⅲが必要なかったので、私立薬科大クラスが一つあったのを思い出しました。
正方形の面積のやつマジで納得いく
綺麗すぎる説明
解説ありがとうございました。凄く勉強になりました。感謝感激です・・
与式を、、
(1-1/2)+(1/2-1/4)+(1/4-1/8)+・・・
、、と式変形すると 1 の数字以降バサバサバサっと無限に消えると考えたら答えが 1 になると言えないのかな。。
確かに川端先生が数3を教えるとちょっと違和感笑 でもそこがまた好きです笑
数列習ってしまえばまあ当たり前のことになって感動もしないけど、中学生なら魔法のように感じてしまうよな。連立方程式の掃き出し法も中学生向けに解説お願いします。
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無限の概念ってつまずく人はめっちゃつまずく(体験談)
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躓く人は多いけど
等比数列の和を出すとき，項数が「n」だったり「n+1」だったりして，ややこしい場合があるので，その場で公式導くようにするのが間違いが少ないよ．
かけずらしですね
このタイプの問いで、いつも悩ませる問題があります。
一辺が1の正方形ABCDがあるとして、対角線の長さは√2ですし、左上AからBを経由して右下Cへ→↓と進めば距離は2になります。
一辺が1/10の正方形100個を正方形に並べて、その頂点ABCDとしてAからCへ→↓→↓→↓→↓→↓→↓→↓→↓→↓→↓と進んだ距離はやはり2です。
どんどん細かくして一辺が1/nの正方形n^2個を正方形に並べて、同じようにAからCへ→↓をn回繰り返しジグザグに進めた時、その距離も2になります。 そして、この網目を細かくすればする程、その航跡は元の正方形の対角線を結ぶ線(長さが√2)に限りなく近づいていきます。 しかし、細かい正方形をジグザグに進んでいる以上その距離は2であることを私たちは知っています。 (網目をドンドン細かくしても、その数値が√2に近づいていかないのはなぜでしょう？) この30年間、将棋盤を見るたびに気になって仕方がないのです。 川端先生、オジサンにも分かる様に教えて頂けませんか？
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公式が存在した覚えがあったが、もはや遠い記憶。試しに１つづ足していきました。
1/2、3/4、7/8、15/16、31/32・・・、n項の和は、分母＝2^ｎ は間違いない。多分、分子＝2^n-1
すると、n項の和：Ｓn＝2^n-１/2^n＝1-1/2^n n→∞ なら 1/2^n→0なので 答えは１
このように書けば「分子＝2^n-1」で減点されるだろうけど、答えは出せました。
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無限や極限の話が発展しなくて、少し安心してしまいました。
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理系に進んだけど、当時は色々苦戦したな～。
数Ⅰ～Ⅲ、数A～Cの教科書は、いまだに捨てずに持ってます。
特に数Ⅲ（極限・微積）は、もう一度勉強したいです！（^o^）
【別海...というほど異なることは言っていない。というか証明のやり方は一緒】
十進数で 0.99999999... = 1 なのと同様に、二進数で 0.11111111...(2) = 1(2)
証明のやり方は(上記両者とも)動画と同じく『公費をかけてずらして引く』ですね。
@@aa-ph2ki ずらして引くとか横領ですねw。失礼しました
形的に、
1-(最後の分数)だとわかった。
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極限の考え方がこのトシになって初めて理解できた気がします
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他所ですが、はなおでんがんさんの五月祭の初項1/2、公比1/2の無限等比級数の和の動画思い出しました
最近、中学受験の小学生(行きつけの飲食店の同じ常連さんの娘が来ていた)に教えてあげました。
正方形を使用し、次の方法といい、全く同じ説明方法でした(笑)
ケーキを切れない数学者たちだかでケーキを3等分する方法の一つに
永遠に4つに切り続けるって答えがあったよね？
その際、初項が1/4で公比が1/4でSnの式に入れてn→∞に持って行ってやると1/3になるって言う・・・
最近読んだ本の受け売りですが
逆数和が収束する数列は基本的にスカスカで
♾に発散する数列はけっこう密なものが多い
素数の逆数和は発散するので素数はスカスカではなく密であると
文系だったから数1Aしかならってないんですよね
数2Bとか数3Cとか習いたかったなあ
解き方は完全に忘れてたけど、答えはなんとなくで憶えてました。
次の問題
面積比が1:4:9ということは、長さの比は平方根なので1:2:3
よって10÷6=5/3
四角形に依る説明を６０数年前に受けたことを思い出しました。
塵がつもっても山にならないやつですね
確かに(笑)
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当時は等比数列？なんじゃそりゃ？って思ってました。
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川端先生と同じく図で間取りみたいに書いていって限りなく1に近づくっていう方法と
S=1/2+1/4+1/8・・・
S/2= 1/4+1/8・・・
差し引きすると
S/2=1/2
S=1
としlimitは特に使わず簡単に計算する方法とでやってみました。
次の問題は面積比が1:4:9ということは相似比は？って考えれば自ずと答えが出てきますね。
0.9の循環少数と同じですね。
@@bustersdqn1107 さん
x=0.999・・・
10x=9.999・・・
差し引きして
9x=9
x=1
ってやつのことですね。
そう、同じ考え方ですね！
２S=1＋S にして S=1 でやりました。
図形で表す場合は、昔習ったときは円グラフで教わった記憶があります。
円グラフは、（０，１）の数直線に展開しても分かりやすいかも。
数列かぁ。懐かしいなぁ。Σが出たの覚えてる。(^^)
規則性はあるものの、式がずっとエンドレスっぽかったので、答えは『 ∞ 』かと思いました😅
ところで、ちょっと違うけど、川端先生が描かれた正方形の図が、黄金比みたいに見えました😆
これは 1です 式は知りません とあるひとかたまりを考えれば答えが出ます
みんな大好き無糖
高校数学は難しいね
数Ⅲまで教えるようになった先生
次
各円の直径は
d,2d,3dとおける
6d＝10
d＝5/3
等比数列の和の公式の出し方を知っていれば解けますね！(^-^)
無限に増えていくんじゃね？
↓
んあ！？
1から越えていかなぁい！？
1の中から永遠に出られない、増えていかないってことですね。
視覚的に見て収束早い
アキレスと亀ですね。
ワン！
はや
マクロでやるやつ