Scientia Egregia
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Le théorème de Riemann-Roch (Vers La Géométrie Algébrique -- Épisode V)
Voici l'épisode V de ma série "Vers la géométrie algébrique", les autres épisodes sont disponibles ici :
- Episode I -- Les courbes planes : czcams.com/video/u6JifYbXQNI/video.html
- Episode II -- La géométrie projective : czcams.com/video/tfNPRK3d5VY/video.html
- Episode III -- Les complexes entrent en scène : czcams.com/video/vpwdvwas3uM/video.html
- Episode IV -- Genre et différentielles : czcams.com/video/7zYcCqR3wuQ/video.html
- Episode V -- Théorème de Riemann-Roch : czcams.com/video/wzWJX_ZQVxM/video.html
- Episode VI -- :
Dans cet épisode, je présente le théorème de Riemann-Roch, qui est central en géométrie algébrique. On regarde comment compter le nombre de fonctions sur les surfaces de Riemann ou les courbes algébriques, avec des zéros et des pôles donnés. Les applications sont nombreuses, et on en verra dans la prochaine vidéo. En attendant, on trouvera ici une preuve presque complète du théorème.
Lien vers les notes : A venir
-------------------------------------------------------------------
Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Utip.
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Plan
00:00 Début
3:50 Introduction sur les polynômes de degré n
17:30 Théorème de Riemann-Roch sur la sphère
51:40 Vers la généralisation : Surfaces de Riemann
1:01:35 Courbes algébriques
1:10:10 FAQ sur les courbes
1:20:31 Zéros et pôles des fonctions et des formes
1:27:20 Diviseurs et groupe de Picard
1:50:55 Espaces L(D) et inégalité de Riemann
1:58:11 Formes et Diviseurs canoniques
2:08:11 Théorème de Riemann-Roch
2:20:50 Application : unicité de la courbe de genre 0
2:25:40 Idée de la preuve
2:52:00 Conclusion
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Références :
- Un bon cours assez élémentaire sur le sujet est le livre "Algebraic Curves" de Maxim E. Kazaryan · Sergei K. Lando Victor V. Prasolov
- Un autre dans le même style est "An Introduction to Riemann Surfaces, Algebraic Curves and Moduli Spaces" de Martin Schlichenmaier.
- Une référence avec une preuve intuitive de Riemann-Roch est "Baby's first Riemann-Roch" par R. Gregoric.
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Komentáře

  • @gabrielghislain3504

    Parfois je vais dormir avec mon ordinateur allumé sur une émission type au coeur de l'histoire ou bien rendez vous avec x,... et je me réveille à chaque fois sur une vidéo traitant de mathématiques ou bien d'espace. Voila voila.

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před dnem

      Je vous garantis que c'est au moins aussi intéressant que au cœur de l'histoire !

  • @user-dc2pr3cw1o
    @user-dc2pr3cw1o Před dnem

    relativite consevation de la vitesse

  • @sofianehammou6219
    @sofianehammou6219 Před dnem

    Je ne peux plus vous écouter avec les écouteurs. Please drink Water

  • @sofianehammou6219
    @sofianehammou6219 Před dnem

    Sujet passionnant et superbe présentation mais par pitié bois de l’eau 😮‍💨

  • @heliosgbz4372
    @heliosgbz4372 Před 2 dny

    0 van, j'étais en train d'écouter des histoires d'enquêtes criminelles pour dormir, je me réveille à 6h du matin sur ta vidéo . youtube et rempli de surprise 🤣

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před dnem

      Les maths c'est un peu comme une enquête criminelle, le but c'est de trouver une solution enfouie qui est souvent très astucieuse !

  • @Arthur_Armand
    @Arthur_Armand Před 2 dny

    Je ne comprends vraiment pas les écritures de maths qui généralisent un problème. Ici, on dirait une sorte de crypto de suite. Je ne vois aucun rapport arithmétique entre U et V. Division euclidienne de quoi? Toute la démonstration n est jamais illustrée par un ex de nombre. Et meme oe voyageur voit tout les nombres qui l interesse en suivant le plan, il ne verra jamais le contenu derrière. Le fait de connaître 999 999 nombres sur 1000020, les 21 manquants sont choisis dans R. Il y a encore pas mal de possibilités. Sans parler du côté pratique, il faut des mémoires d ordinateur xD

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 2 dny

      Il faut bien garder à l'esprit que cette énigme ne peut pas être réalisée dans le monde réel, ne serait-ce parce qu'il y a une infinité de boîtes :)

    • @Arthur_Armand
      @Arthur_Armand Před 2 dny

      @@antoinebrgt ok, jeu maths de raisonnements

  • @ducdeblangis3006
    @ducdeblangis3006 Před 3 dny

    Une dernière question: si par exemple le soleil a un moment cinétique, je crois que les solutions sont de type Kerr; c'est évidemment une question de conditions initiales; pourtant dans le cas Schwartzchild, on ne fait apparaitre aucune condition sur le moment. J'avoue que ça me laisse perplexe, puisque il y a unicité des solutions de Schwartzchild( Birkhoff, je crois). Merci d'avance pour ton aide

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 2 dny

      Oui, c'est vrai qu'en principe il faudrait prendre en compte le moment angulaire, et donc une métrique de Kerr, mais ça n'apporterait que des petites corrections tant qu'on reste à grande distance. On pourrait faire d'autres critiques, par exemple le fait que le soleil n'est pas tout à fait à symétrie sphérique, etc. Mais en première approximation, on a bien ce que je raconte ici, et c'est confirmé par l'observation.

    • @ducdeblangis3006
      @ducdeblangis3006 Před dnem

      @@antoinebrgt Merci pour ta réponse rapide! en fait, ce que je comprends mal, c'est comment la rotation du soleil sur lui-même peut modifier la géométrie de l'espace-temps. Vu de l'extérieur, si le soleil est parfaitement symétrique, un observateur voit toujours la même sphère, sauf si cette rotation fait que le soleil "émet" quelque chose. Sauf erreur, en physique newtonienne, que le soleil tourne ou pas, le champs gravitationnel reste le même. Est ce que l'existence de solutions spécifiques de type Kerr est uniquement propre à la relativité générale?

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před dnem

      @@ducdeblangis3006 Oui je pense que c'est bien spécifique à la RG. Le point fondamental dans la métrique de Kerr est la présence d'un terme non nul en dt dphi où phi est l'angle qui décrit la rotation de l'astre. C'est donc bien une modification de la géométrie de l'espace-temps. Une autre façon de voir la chose est que la métrique de Kerr n'est pas invariante sous le changement t va à -t, autrement dit c'est une solution stationnaire mais pas statique de la RG.

    • @ducdeblangis3006
      @ducdeblangis3006 Před hodinou

      @@antoinebrgt Merci beaucoup, c'est très éclairant, sur ce point je me demande si la non invariance est perdue, autrement dit si on retrouve l'invariance, quand on passe à la limite c->infini. Mais je cesse de te solliciter,je vais essayer de comprendre de mon côté

  • @ducdeblangis3006
    @ducdeblangis3006 Před 3 dny

    Quand à 1h09, tu parles du chemin le plus court pour une planète, tu mesures en fait la longueur en terme purement spatiaux; mais il n'est pas étonnant si on prend une géodésique sur une variété de dimension 4, et qu'on la "projette" sur une sous-variété de dimension 3, à mon avis, il n'y a aucune chance que la projection reste une géodésique pour la métrique induite. Enfin, je vais voir dans le Petersen pour le cas purement Riemannien. Mais même sans entrer sur ce point, quand tu dis que "ça coute " de s'approcher du Soleil (certes!!), ce qui laisse penser à une question de minimisation de l'énergie, ne serait il pas plus simple de dire que la contribution des bouts proches du Soleil dans la longueur géodésique est plus importante. C'est d'ailleurs aussi l'idée quand on trace des géodésiques sur le 1/2 plan hyperbolique

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 2 dny

      Oui, quand tu dis "ne serait il pas plus simple de dire que la contribution des bouts proches du Soleil dans la longueur géodésique est plus importante", c'est exactement ce que je veux dire. Ici j'essayais de faire sentir cela intuitivement, il n'y a rien de très profond dans ce que je dis. (je me rends compte également en revisionnant ces passages que mon style a changé depuis, j'essaye d'être plus précis dans les vidéos plus récentes!)

  • @MickaelDev
    @MickaelDev Před 3 dny

    Jme suis endormi avec youtube allumé, jme reveil à 2h40min mdr j'ai rien compris

  • @ducdeblangis3006
    @ducdeblangis3006 Před 3 dny

    Bonjour Antoine, Il y a un point que je n'ai pas compris. Quand tu écris que le tenseur d'Einstein est nul, à 55 mn, parce que il n'y a que le soleil, d'une part on pourrait dire la même chose si le soleil avait charge électrique monstrueuse puisque la seule hypothèse est que la source puisse être considérée comme ponctuelle. Il y a aussi un autre point, il me semble que ce n'est pas pareil de dire que le tenseur d'Einstein est identiquement nul, et de dire qu'il est nul partout sauf en un point. Enfin une dernière question, je ne sais si tu es familier avec les travaux de Christodoulou Kleinerman Szeftel, où ils montrent (sur plus de mille pages!) la stabilité des solutions des équations d'Einstein. Y a t'il un sens physique exploitable à ces résultats très théoriques? La question elle même a t elle un intérêt pour le physicien. Merci beaucoup pour cette superbe vidéo.

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 2 dny

      Oui, évidemment le tenseur d'Einstein est nul partout sauf à l'origine, où se trouve le soleil. C'est ce que j'écris sur l'écran, "partout hors du Soleil". La question de la charge électrique est intéressante, dans ce cas il faut changer les équations et considérer les équations d'Einstein-Maxwell. On peut alors résoudre de la même façon et on trouve une métrique dite de Reissner-Nordström.

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 2 dny

      Et oui je connais les travaux de Christodoulou Kleinerman Szeftel; je dirais que c'est un résultat attendu mais c'est toujours bon de savoir qu'il y a une preuve rigoureuse, ça évite d'avoir à se demander s'il n'y a pas des choses qui auraient échappé aux physiciens !

  • @yusufhildevert1749
    @yusufhildevert1749 Před 4 dny

    Merci pour ce que tu fais... C'est très "citoyen" f(x, y, z)=0 avec f homogène définit dans R^3 une surface, son intersection avec les plans définis par x=1, y=1 et z=1 ou avec la demi-sphère est la courbe algébrique correspondante dans RP^2. Ainsi un plan passant par l'origine dans R^3 définit une droite dans RP^2. J'ai bon ?😅

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 2 dny

      Hm pas sûr de bien comprendre, en tout cas il ne faut pas confondre la sphère S^2 avec RP^2, ce sont des espaces très différents topologiquement !

  • @ducdeblangis3006
    @ducdeblangis3006 Před 4 dny

    C'est incroyable, comme les formules de Binet et Serret-Frenet, qui nous impressionnaient tant en prépa, paraissent complétement triviales maintenant!

  • @Lunaticjunior
    @Lunaticjunior Před 5 dny

    ques quon parait con en voyant ca

  • @skorpion7319
    @skorpion7319 Před 5 dny

    C'est un champ dans lequel on plante des quantums ! Je viens de vous éviter 3h13 de vidéo ! Si beaucoup de personne comprennent cela, en additionnant je ferais gagner plusieurs années de vie !^^

  • @clovissimard3099
    @clovissimard3099 Před 5 dny

    L'ENSEMBLE DU MONDE UNE SIMPLICITÉ D'ENFANT, La topologie maths du monde dans son ensemble est bien une sphère. / Stephan Hawking.

  • @lsrs5004
    @lsrs5004 Před 5 dny

    J'ai regardé le cours en entier alors que je ne suis même plus à l'école et surtout je n'ai pas compris grand chose, mais ça me fascine les capacités que tu as, bravo !

  • @AH-jt6wc
    @AH-jt6wc Před 6 dny

    Franchement tu expliques tellement bien que tu devrais faire que des videos sur les maths. Personnellement c'est la où je pêche 🍑 et ca pénalise pour la physique évidement...

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 6 dny

      Merci ! Par contre pourquoi le fait que j'explique bien devrait me cantonner aux maths ? :D Il faut aussi expliquer la physique!

    • @AH-jt6wc
      @AH-jt6wc Před 6 dny

      ​@@antoinebrgt c'est juste que je trouve que les barrières à la compréhension de la physique viennent d'une mauvaise compréhension des maths... Si les maths vont bien ça roule pour la physique...

  • @Latif2307
    @Latif2307 Před 6 dny

    Bonjour. Les expliquions sont hyper limpides. Merci beaucoup. Question : Quel support vous utilisez pour écrire aussi bien ?

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 6 dny

      Merci beaucoup ! J'utilise le logiciel Gimp et une tablette graphique.

  • @denism.4685
    @denism.4685 Před 7 dny

    Salut. Je crois que tous ça pourrait être résolu en 2 temps, 3 mouvements si seulement vous aviez demandé une assistance à la maison Guerlain, en plus ils sont très bons en jardinage des orchidées... Bonne continuation... 😄😉

  • @xkheooo
    @xkheooo Před 8 dny

    Mais wtf, j'ai les vidéos de ce mec a chaque fois que je termine une vidéo, je suis ni abonné, ni intéressé par ce genre de contenu... expliquez moi svp 😭

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 7 dny

      Il y a une solution, il suffit de s'y intéresser :D

  • @nomindisponible5420

    À chaque fois que je m'endors je me réveille devant cette chaîne, je dois avoir un alter ego qui aime les math

  • @clovissleddogrc
    @clovissleddogrc Před 8 dny

    un champ quantique pour pourquoi appeler cela un sablier ⌛

  • @Lednnar1
    @Lednnar1 Před 9 dny

    Je ne connais pas cette chaine et je n'ai jamais cliqué sur une de tes vidéos mais je sais pas pourquoi à chaque fois que je laisse la lecture automatique je tombe sur tes vidéos et ça fait plusieurs mois maintenant que je me réveil avec des explications mathématique farfelue, sincèrement je pense que l'algorythme m'a fait visionner tout le contenu de ta chaine au moins 5 fois déjà

    • @ZobiLaMouche-vn2uq
      @ZobiLaMouche-vn2uq Před 6 dny

      C'est du à l'algorithme algébrique discret polynomial, la courbure de x carré de téta Opel oméga vous a fait dériver sur la tangente de l'infini Il faut reformuler et renormaliser vos recherches sur youtubes pour sortir du logarithme qui vous a conduit jusqu'ici, de manière matricielle combinatoire pour ne pas revenir à l'origine du cycle

  • @ARACHNEENS
    @ARACHNEENS Před 9 dny

    Bonjour 😊 vous m’avez redonné le goût aux maths à bientôt 49 ans! J’ai lu que beaucoup de personnes se réveillaient dans la nuit en écoutant ( généralement j’écoute des faits historiques, des reportages) et depuis plusieurs matins, vous voilà ! Et bien j’ai pris soin de regarder votre vidéo, de vous écouter ( là je dois me lever , donc impossible de continuer mais je sais où j’ai cessé car j’ai même pris des notes ! ) . Vous êtes tellement passionné et passionnant que je ne dis pas que je veux être maintenant absolument géniale dans le domaine mais je m’intéresse à énormément de sujets que je me suis abonnée ! Merci infiniment car j’ai essayé de comprendre certains modules que ma fille a du étudier et j’étais complètement larguée car c’était la / les seules matières où mes notes étaient justes moyennes . Je ne crois pas au hasard , si je suis tombée sur votre chaîne alors qu’ailleurs je me suis jamais levée pour regarder , prendre des notes c’est que ça devait arriver et que vous êtes pédagogue et passionnez à tous les âges ! Alors encore merci Antoine

  • @oussamabenbouzid6321
    @oussamabenbouzid6321 Před 10 dny

    Je me suis reveillé en plein nuit , et j'ai vu cette video , elle tombe du ciel haha , je n'ai jamais taper ou chercher un truc ni sur youtube ni google , mais c'est magique

  • @NeityYT
    @NeityYT Před 10 dny

    Je passe par hasard et me demandais quel outil vous utilisez ; je pense au "tableau numérique" : pouvoir écrire ainsi en numérique ? avec une bonne qualité je trouve

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 10 dny

      C’est Gimp et une tablette graphique

  • @1992-mars
    @1992-mars Před 11 dny

    Bonjour Cher Ami merci pour la vidéo ...est ce qu'on peut devenir un physicien théoricien en étant autodidacte puisque je suis dans le domaine de traitement du signal et image sachant que je suis plus attiré par la physique je passe beaucoup de temps en l'étudiant? .

  • @hervejunke7572
    @hervejunke7572 Před 12 dny

    Ernest?😊

  • @hervejunke7572
    @hervejunke7572 Před 12 dny

    Prenom de Lagrange svp

  • @josephmathmusic
    @josephmathmusic Před 12 dny

    2:36:30 on est censé intégrer sur toutes les fonctions possibles mais avec une quantité qui dépend de la derivee. Avec un -1 à la place du i ça donne le mouvement brownien qui n'est pas derivable mais quand même continu. Très étrange...

  • @nuage2feu
    @nuage2feu Před 13 dny

    On ressent la passion du bonhomme qui n'est jamais presser, qui prend bien le temps d'expliquer et d'écrire malgré l'outil dessin qui donne chez la plèbe des écritaux pourris. Prend soin de toi et merci pour la vidéo de la part des outre mer

  • @KimEra1984
    @KimEra1984 Před 13 dny

    Et pour les algorithmes 😘 czcams.com/video/5NiVg4DBJrI/video.htmlfeature=shared 1:41:48 ❤ 2:04:34 👻 😉 2:03:03

  • @ElleMaa
    @ElleMaa Před 14 dny

    3h de théorie des cordes mais comment mon algorithmes a eux cette idée pendant que je dormais 😂

  • @m.l.8694
    @m.l.8694 Před 14 dny

    Je regarde une vidéo complètement différente de la vôtre et je me réveille ici sans comprendre. Je ne comprends pas ce que vous dites ni ce que vous écrivez au tableau mais je suis en admiration devant votre travail et votre façon d'enseigner. De mon temps, jadis 😃, si j'avais eu des enseignants aussi patients et calmes que vous, je serais sans doute restée plus longtemps à l'école. Mes professeurs de mathématiques et de sciences se sont tous arraché les cheveux devant mes yeux ronds 😳 pendant leurs cours. 😃 Votre voix est douce et apaisante, elle me détend. Bravo pour votre travail, vraiment je suis admirative.

  • @KimEra1984
    @KimEra1984 Před 15 dny

    ❤ 1:06:07

  • @lyanchouxd8184
    @lyanchouxd8184 Před 17 dny

    Je me suis endormi devant la vidéo et j'ai quand même retenu des trucs

  • @funnyvid-uw8uq
    @funnyvid-uw8uq Před 19 dny

    Bien

  • @francoisperne6824
    @francoisperne6824 Před 21 dnem

    Ca reste de la science fiction la théorie des cordes non ?

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 21 dnem

      Je ne sais pas vraiment quelle est la définition de "science fiction", ce que je peux dire c'est que c'est effectivement de la physique théorique, mais c'est très concret et précis (et qu'il n'y a aucune place pour l'approximation ou pour le bon vouloir du physicien, tout doit résulter de calculs).

  • @raphaelrougeland
    @raphaelrougeland Před 21 dnem

    Suis-je le seul de formation littéraire ici ?

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 21 dnem

      Je suis content qu'il y ait des littéraires sur ma chaîne !

  • @raphaelrougeland
    @raphaelrougeland Před 21 dnem

    Recommandé après un vidéo de vilebrequin 😂 Bon, malheureusement mon cursus me rend incapable de comprendre, mais je laisse un like et un commentaire car la vidéo m'a l'air propre et bien expliquée 👍 Par contre, ça ne parle pas de voiture, mdr

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 21 dnem

      Merci, toute aide est appréciée :)

  • @denisrichard8863
    @denisrichard8863 Před 21 dnem

    Il fallait, avant tout, dire que ce confinement était une vaste escroquerie !

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 21 dnem

      Ai-je parlé de confinement dans cette vidéo ?!

    • @josephmathmusic
      @josephmathmusic Před 12 dny

      Confinement à cause d'un potentiel tendant vers l'infini à l'infini?

  • @silviafazio1105
    @silviafazio1105 Před 22 dny

    Jolie synthèse! LeJO sont proches, inscrivez vous, Casimir pourrait même être votre mascotte! Ce serait plutôt sympa!

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 21 dnem

      Si la physique théorique devient une discipline olympique... !

    • @silviafazio1105
      @silviafazio1105 Před 21 dnem

      @@antoinebrgt il ne reste plus qu’à mettre la théorie en pratique alors 😉

  • @karimessaifi3346
    @karimessaifi3346 Před 22 dny

    Merci *Antoine Bourget* pour vos explications et vos développements ! Votre chaîne *"Scientia Egregia"* est excellente, remarquable, "awesome" : i.e. *"egregia"* en somme ! Karim Essaifi

  • @user-zm8ly3pm1x
    @user-zm8ly3pm1x Před 23 dny

    Je n'y comprends rien! 🥶💣☠️

  • @killounice
    @killounice Před 23 dny

    Merci Antoine tu donnes l' impression qu' on peut tous comprendre. Je sais que surtout sur les calculs je suis vite dépassé mais j'ai vraiment l' impression de comprendre partiellement les concepts (surtout en debut de video) et c'est déjà énorme..Tu es un genie de la pédagogie Merci Merci. cette video est très réussi en plus.

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 22 dny

      Merci, c'est déjà bien de suivre les grandes lignes, les calculs peuvent suivre en deuxième visionnage :)

  • @ducdeblangis3006
    @ducdeblangis3006 Před 24 dny

    Bonsoir Antoine, à 1h50, quand il est question de [p]-[q], la fonction méromorphe correspondante correspond à un élément de SL2(C) qui agit sur C²; y a t il un lien, ce n'est pas très clair pour moi. Merci et encore bravo

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 24 dny

      Hm je ne suis pas sûr de quelle fonction tu parles, justement ce diviseur n’est pas principal !

  • @PAM2-3
    @PAM2-3 Před 24 dny

    La virologie semble être une grosse arnaque permettant l'acceptation du transhumanisme artificiel criminel et la rich€$$€ de bigpharma. Jamais aucun virus n'a été isolé, voir aussi la controverse Béchamp/Pasteur.

  • @frequency8612
    @frequency8612 Před 25 dny

    J’aime vraiment vos vidéos, cependant je ne pense pas qu’il y ai de rappel qui soit en trop. Ceux qui veulent passer le peuvent mais prendre quelques secondes comme vous le faites parfois pour expliquer certains termes ou les ramener à des réalités physiques universelles, est vraiment bénéfique à la compréhension profonde de toutes et tous ! Encore merci P.S : D’ailleurs j’aimerais vous demander si il est possible de faire une vidéo entièrement constitué de tout ce qui doit être connu comme terminologie et leurs explications pour suivre les videos les plus avancées que vous postez en repassant également par les bases (plus rapidement)

    • @antoinebrgt
      @antoinebrgt Před 24 dny

      Je suis d’accord, les rappels sont rarement superflus ! Pour la vidéo sur les pré-requis, je ne saurais pas trop comment l’aborder, car d’un côté il y a beaucoup de choses, et de l’autre ça ne se prête pas vraiment à un 'scénario' de vidéo...

  • @ouioui88
    @ouioui88 Před 25 dny

    Hamne T sur mu, rroh piche roohhh piche bonne nuit à tous

  • @gillesdagostini3650
    @gillesdagostini3650 Před 25 dny

    Le plan projectif complexe me fait penser en MQ quand les États sont représentés par des combinaisons linéaires a un coefficient multiplicatif près. Par les directions dans l' espace des États