La plus difficile de toutes les énigmes ?
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- čas přidán 24. 03. 2022
- Une énigme déroutante !
La solution est disponible ici : • Solution à l'énigme
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Utip.
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Une solution pour deux mathématiciens
Soit (H_n) la suite des réels écrits dans chaque chambre de l'hotels
Soit ~ la relation d’équivalence définie sur les suites par u ~ v ssi u et v sont egales a partir d'un certain rang.
Les mathématiciens se mettent d'accord sur un représentant pour chaque classe d’équivalence de ~. Ils choisissent egalement une bijection f: {0, 1} x N N
Le premier mathématiciens commence par construire une suite (A_n) definie par A_n = H_{f((0, n))}.
Il construit ensuite une suite (B_n) définie par
B_n = H_{f((1, n ))} si n > k
B_n = 0 sinon
ou k est défini ainsi:
Si (A_n) est son représentant convenu a l'avance pour ~, k = 0,
Si non, soit A~ le représentant de A et N le plus grand entier tel que A~_N != A_N. Alors, k = N + 1
Soit B~ le représentant de (B_n) pour ~, le premier mathématicien affirme que dans la chambre f((1, k)) se trouve le reel B~_k
Le deuxième mathématiciens construit une suite (C_n) définie par C_n = H_{f((1, n))} puis une suite D_n définie par
D_n = H_{f(0, n))} si n > k'
D_n = 0 sinon
Ou k' est défini de manière analogue a k.
Soit alors D~ le représentant de D, le deuxième mathématicien affirme que dans la chambre f((0, k')) se trouve le réel D~_k'
Supposons que le premier mathématicien se soit trompe. Alors B~_k != C_k, or B~ est le représentant de C, donc k < k'. On en déduit qu'il n'est pas possible que les deux mathématiciens se trompent
Nos démonstrations se ressemblent assez dans l'idée, je pense que la tienne peut aussi facilement se généraliser à un nombre arbitraire de mathématiciens ^^
Je donne quelques précisions :
- Le fait que toute communication est impossible implique que une façon équivalente de poser le problème est la suivante. Il y a 1000 copies de l'hôtel (avec les mêmes nombres dans les chambres) et les 1000 voyageurs visitent chacun un hôtel, tous en même temps. La solution doit encore fonctionner dans ce cas. En particulier le temps de visite du voyageur 1 ne peut pas contenir d'information pour le voyageur 2, etc.
- Comme observé par plusieurs commentaires, l'infini joue un rôle central ici. Les mathématiciens n'ont aucun scrupule à utiliser l'axiome du choix!
- Les réels qui sont dans les chambres peuvent si vous voulez être remplacés par des entiers, ça ne change en fait pas grand chose. Cela peut aider pour ceux qui se font du souci à propos de réels non calculable, ou non exprimables avec une suite finie de symboles pouvant être contenue dans une chambre.
t avais dis qu ils pouvaient en visiter une infinité de chambre, est ce qu ils ne peuvent pas juste visiter ttes les chambres sauf la premiere, pouvant ainsi chacun savoir quel est le numéro sur la premiere chambre?
@@neburoneub7836 ils peuvent visiter toutes les chambres sauf la première oui, mais comment font-ils pour deviner la première?
@@antoinebrgt si ils ont visiter tout le reste (N*), C la seule qui manque...
(j imagine que R est vraiment necessaire ds ce cas là)
@@neburoneub7836 non imagine que dans la chambre 1 tu trouves le nombre 10, dans la 2 tu trouves 20, dans la 3 tu trouves 30, etc. Qu'est-ce que tu en déduis pour la chambre 0?
@@antoinebrgt imagine que la personne numéro 1 ne sais pas quel est le nombre sur la chambre 0, cela veux dire qu il y a au moins deux nombres possible auxquels peux penser le premier joueur comme possibles.
cependant, puisque les numéros attribués aux chambres sont dans N, et que de même pour la numérotation des chambres, alors qu il y ai au moins deux possibilités impliquerai qu au moins deux chambres n aient pas été visités, alors que celui-ci a visité toutes les chambres sauf la premiere (une infinités, N*)
N-N* = {0}
après, c'est peut etre juste moi qui ait pas vraiment compris le probleme (ce qui a l air d'être le cas...)...
Mon intuition, sans trop de réflexion j'avoue, c'est que si tous se mettent d'accord avant le commencement en choisissant la chambre une, et même s'il y avait une infinité de voyageurs, alors ils ne pourraient pas répondre correctement au problème. Même que l'un d'eux ait la bonne réponse me semble impossible.
Mais vu comment le problème est posé, j'imagine qu'il y a une solution/stratégie pour réussir à s'en sortir...
Oui clairement cette stratégie ne suffirait pas ! Et en effet ça semble impossible... toute la question est de savoir si ça l'est réellement :)
Ne sachant pas comment les nombres ont été choisi, j'essaye de résoudre dans le cas qui me semble le plus difficile où les nombres dans les chambres forment une suite aléatoire indépendante identiquement distribué avec le loi continue. Dans ce cas, les nombres étant indépendant, pour deviner le nombre devant la chambre numéro i, les nombres dans les autres chambres sont inutiles, donc il n'y a pas besoin de regarder dans d'autres pièces. Ce qui fait qu'il faut deviner un nombre tiré au hasard avec une loi continue sans aucune information, la probabilité d'y arriver est 0 pour chaque personne. Dans la mesure où il n'y a pas de communication, la seule stratégie dans mon scenario serait que la personne numéro a prédirait que dans la chambre numéro i, il y ait le nombre x(a;i). Donc sauf si je n'ai pas compris l’énigme cela me semble impossible.
Et pourtant, le simple fait que cette énigme existe me laisse penser qu'il y a une solution, j'en reste pantois.
C'est une bonne analyse, j'avais un peu raisonné comme ça la première fois que j'ai été confronté à l'énigme :)
Mais en y réfléchissant un peu plus, l'implication "Ce qui fait qu'il faut deviner un nombre tiré au hasard avec une loi continue sans aucune information" n'est pas si évidente que ça, en tout cas pas facile à démontrer formellement, n'est-ce pas ?
Je donne une indication : il ne faut pas hésiter à utiliser l'axiome du choix !
R n est aps contable, et comme les chambres sont associés a des nombres naturels, il est impossible de savoir si un nombre reel est reelement associé a une chambre (puisqu ils ne peuvent pas tous etre assignés)?
Mmm vu que chaque visiteur de l’hotel peut prendre autant de temps qu’il veut, il y a surement possibilité de communiquer par ce moyen aux visiteurs suivants de l’information quant au contenu des chambres. La difficulté est alors de communiquer à la fois le numero et le contenu de la chambre choisie, et de compter sur le fait que nos mathematiciens ont des montres bien synchronisees et ont eu le temps de se mettre d’accord sur leur strategie avant de demarrer.
Par exemple le 1er visiteur prend 1 journee pour parcourir les chambres jusqu’a tomber (enfin!) sur une (la chambre numero K) contenant un nombre entier (le nombre N), avec K et N pas trop eleves si possible (mais c’est bcp demander) . Le visiteur n’a alors plus qu’a attendre K jours et N millisecondes precisement a compter de minuit du 2eme jour pour annoncer la fin de sa visite (peut importe la chambre et le nombre que lui meme choisit). Les visiteurs suivant peuvent deduire du temps ecoulé la chambre a selectionner et le nombre a annoncer.
Très ingénieux! J'avoue que ce n'est pas dans cette direction que je pensais aller, et on pourrait ajouter que chaque visite dure exactement une journée comme contrainte. Mais c'était astucieux de penser au temps de visiter pour encoder la solution, bravo!
Effectivement c est une très bonne idée on peut encoder le numéro de la porte sur les heures et on va ouvrir les porte jusqu' à tomber sur une chambre avec une valeur entière inferieur a 3599 qui correspond au nombre de seconde donc lui ouvrira une porte et se trompera surement mais les autres derriere pourrons savoir quel porte choisir avec le nombre entier derrière
Effectivement ce serait on bon moyen de communiquer la valeur renfermée dans une chambre, mais le problème de savoir quel numéro est renfermé dans quelle chambre reste entier…
@@tourneuxgeoffroy5070 avant midi = négatif après midi = positif (il faudrait changer le 0 du coup…)
@@antoinebrgt
J'ai peut-être une méthode assez primitive encore.
On suppose la contrainte de 24 heures du coup.
On commence par encoder les opérations :
0 → +
1 → -
2 → ×
3 → ÷
4 → ✓
5 → ^
6 → fonction
Ensuite on encode ces lettres
10 → e
15 → phi (le nombre d'or)
20 → π
On encode quelques fonctions, par exemple :
1 → sin
2 → cos
3 → ln
Ensuite voilà comment je comptais procéder.
On note une horaire comme
hh : mm : ss,μ
h étant les heures
m les minutes
s les secondes et on exige que ça soit des secondes virgule quelque chose "μ" qui va jouer un rôle central.
Pour hh on indique le premier nombre qu'on lit
Pour mm on indique le second
Pour ss on indique avec le premier s si le premier nombre est écrit à l'aide de la liste des lettres, pour le deuxième s pareil avec le deuxième nombre ( s = 1 si écrit dans la liste des lettres, s=0 sinon )
Pour μ, c'est là que ça se corse. Il faut faire du cas par cas.
Supposons que dans la liste des opérations, on ait pas besoin d'une fonction.
Alors voici comment on fabrique μ :
1) on place le nombre associé à l'opération du premier nombre
2) on place 1 si le nombre avec lequel on effectue l'opération avec le premier nombre s'écrit à l'aide de lettre. 0 sinon.
3) on place ce nombre soit à l'aide de l'encodage soit tout simplement en l'écrivant selon le cas
4) on place 999 en guise de séparateur
5) on continue d'écrire le nombre a en effectuant encore une fois le même procédé pour le deuxième nombre.
6) une fois qu'on a atteint le dernier nombre et qu'on a fait tout, on écrit 000999 puis le numéro de la chambre
Exemple : imaginons une chambre est associée au nombre e² + π + 1
le premier nombre est e² : on a alors hh = 10
Le deuxième nombre est π : on a alors mm = 20
Comme le premier nombre est écrit à l'aide d'une lettre, le premier s de ss est 1. Idem pour le deuxième. Donc ss = 11
On construit μ :
1) l'opération associée au premier nombre est ^2.
Comme on a dit que 5 → ^, on le premier chiffre de μ est 5.
2) Le nombre avec lequel on effectue l'opération ^ avec le premier nombre est «2» (car on fait e^2), ce n'est pas un nombre écrit à l'aide de lettres, donc le deuxième chiffre de μ est 0.
3) Ce nombre étant 2, le troisième chiffre de μ est 2.
4) on place ensuite 999, ce qui nous donne 6 chiffres de μ.
5) l'opération associée au deuxième nombre est + et on a dit que 0 → + donc 0 est le septième chiffre de μ
6) Le nombre avec lequel on effectue l'opération + avec le deuxième nombre est 1. Ce nombre ne s'écrit pas à l'aide de lettre donc on place 0 pour huitième chiffre de μ
7) ce nombre étant 1, on place 1 comme neuvième chiffre
Comme c'était le dernier nombre on s'arrête là.
Maintenant si la chambre était la 718eme, on place ensuite 000999718
Donc μ = 502999001000999718
On a donc
10 heures
20 minutes
11,502999001000999718 secondes
Ce qui sera le moment où la visite est finie
Si dans les opérations il y a une fonction f, c'est un peu plus complexe.
Pour hh, mm et ss rien ne change.
Pour μ, on procède de la façon suivante.
1) On commence par indiquer 6 vu que ça sera une fonction.
2) On indique ensuite le numéro associé à la fonction
3) -Si y'a juste ça, on arrête là et on passe au nombre suivant (oux on conclu l'algorithme avec 000999Numerochambre si on était au moment du deuxième nombre)
-Si dans la fonction f on effectue une opération avec le nombre (donc on fait une composition de fonction, f composée avec g), on commence par marquer 888 en guise de séparateur.
Ensuite pour g on commence par indiquer son opération. On indique ensuite si le nombre avec lequel on fait l'opération s'écrit avec des lettres (1 si oui 0 sinon), puis on écrit soit le numéro associé à la lettre, soit le nombre lui-même selon le cas.
On fini en mettant 888.
Exemples :
Si le nombre de la chambre est sin(e) + π + 1, on aura donc :
hh = 10
mm = 20
ss = 11
Comme précédemment.
Pour μ
1) l'opération est une fonction donc le premier nombre de μ est 6
2) il s'agit de la fonction sinus et on a dit que 1 → sin donc le deuxième chiffre de μ sera 1.
4) Et c'est tout donc on place les 999 et on passe au suivant
On a déjà fait π+1 plus haut donc en supposant encore que la chambre c'est 718 :
μ = 61999001000999718
Si maintenant on considère le nombre
sin(e²) + π + 1 (et toujours la chambre 718)
hh = 10
mm = 20
ss = 11
Pour μ :
1) l'opération associée au premier nombre est une fonction donc le premier chiffre de μ est 6
2) La fonction est composée. On place alors 888
3) La fonction à l'intérieur du sinus est la fonction carré donc :
Il s'agit de l'opération ^, et 5→^ donc le cinquième chiffre de μ est 5. Comme le nombre avec lequel on fait l'opération ^ sur le premier nombre est 2, (car on fait e²), il ne s'agit pas d'un nombre écrit avec une lettre donc le sixième chiffre de μ est 0. Enfin le septième chiffre est 2 du coup.
On met les 888.
4) on passe au suivant en mettant 999
Vu que là encore on l'a déjà fait, on a donc
μ = 6888502888999001000999718
Merci pour ce chouette problème. Je propose une résolution pour 2 hôtes (merci de signaler les erreurs).
D'après l'axiome du choix, il existe fonction f qui à chaque classe d'équivalence C de la relation définie par : "deux suites réelles sont équivalentes ssi elles diffèrent d'un nombre fini de termes" associe une suite f(C) telle que [f(C)] = C (cf une video de Lê from Science4all sur l'énigme des lapins condamnés par exemple).
Procédure : Avant d'entrer dans l'hôtel, les deux voyageurs se munissent d'une telle fonction commune f.
Le premier voyageur ouvre toutes les portes portant un numero pair. Il découvre ainsi une suite P. Il compare P à f([P]) et détermine le premier indice N(P) à partir duquel P et f([P]) coïncident pour toujours. Il ouvre ensuite les portes 2n+1, pour n \geq N(P). Quitte à compléter par un nombre fini de zeros, il connaît donc la classe [I], où I est la suite des termes d'indice impair. Il propose la prédiction suivante : la porte 2N(P)+1 contient le réel f([I])_N(P).
Le deuxième voyageur fait la même chose, en échangeant P et I. Sa prédiction : la porte 2N(I) contient le réel f([P])_N(I)
Montrons qu'au plus un des deux se trompe.
Si N(P) \geq N(I).
Par définition de N(I), on a f([I])_N(P) = I_N(P), donc la prédiction du premier voyageur est correcte.
Sinon, c'est au deuxième voyageur qu'on doit la victoire.
Pour 1000 voyageurs, il faut introduire un peu plus de notations, jouer avec les sous-suites et sûrement considérer le N_max (seul le voyageur qui s'occupe de la sous-suite associée au N_max va se tromper). A part ça, je pense que les idées sont similaires.
Autre exercice : l'existence d'une stratégie à ce problème avec 3 voyageurs (où l'on a peut-être remplacé \R par un ensemble quelconque) implique-t-elle l'axiome du choix ? Est-ce que ça change quelque chose avec 2 voyageurs ?
C'est encore un coup de l'axiome du choix !
J'avoue que j'ai du mal a percevoir l'utilité / beauté de cet axiome.
mais bon je suis pret a me laisser convaincre ...
Suis-je en droit de supposer que les nombres inscrit dans les chambres sont produits par un algorithme qui s'écrit en un nombre fini de caractères dans un alphabet de taille finie ? Ou bien ce sont des réels purement aléatoire qui n'ont même pas besoin d'être descriptible en un nombre fini de caractères ?
Non ils peuvent être choisis n'importe comment, mais si le fait de les nommer te gêne, tu peux les remplacer par des entiers, en fait ça ne change pas grand chose !
@@antoinebrgt wouah ça obscure encore l'énigme pour moi, vivement l'explication !
Cela dit pour décrire un nombre dénombrable de réels j'ai besoin d'un nombre dénombrable d'entier ou même de 0 et de 1...
La solution est-elle liée au paradoxe de l’infini de David Hilbert ? A mon avis il faut creuser par rapport au fait que cet hôtel est sans fin
Si on avait que des rationnels (distincts deux à deux) à la place des nombres réels, le problème sera vite fait résolu puisqu'il existe une bijection entre l'ensemble des entiers naturels et celui des nombres rationnels. Chaque mathématicien pourra donc prédire le bon nombre de la première chambre après avoir visité toutes les autres. Mais pour le cas des nombres réels, c'est vraiment difficile puisque l'ensemble R est indénombrable. Je crois même s'il y avait une infinité de mathématiciens à la place de 1000 le problème serait encore difficile (et encore s'il y avait des répétitions). En tout cas, je n'ai pas de réponse pour le moment.
c'est même pire que ça puisque deux chambres distinctes peuvent cacher un même nombre réel.
En effet s'il était garanti qu'on avait une bijection de N dans Q ce serait une solution ! Mais attention, ce n'est pas parce qu'il n'y a pas de répétition qu'il y a une bijection, même si l'ensemble d'arrivée est dénombrable :)
Petite remarque, il existe bien une bijection entre les naturels et les "réels que l'on peut écrire sur un mur". En effet un réel que l'on peut écrire sur un mur est nécessairement écrit en un nombre dénombrable de caractères, et on a donc nécessairement un nombre dénombrables de "réels que l'on peut écrire sur un mur".
@@michelthayse5928 c'est vrai mais il n'est pas indiqué le nombre limite de caractère utilisé non plus , de l'autre il est dit que les mathématiciens peuvent visiter un nombre illimité ou une infinité de chambres. Il manque donc une donnée au problème c'est un peu l'infini sur l'infini, c'est indécidable.
@@GH-li3wj ce sont des bonnes remarques, si vous voulez vous pouvez supposer que les réels sont en effet tirés dans un certain ensemble dénombrable connu à l'avance ! En fait on peut même dire que ce sont des entiers si vous voulez
Ça fait penser à l'épreuve des chapeaux noirs ou blancs, en plus complexe.
Bon si on reformule : soit u(n) une suite à valeurs dans R. On cherche une suite d'extractrices phi_k (toutes différentes de l'identité) et une fonction F qui à toute suite v associe un couple (n, x) d'un entier et d'un réel, telles que F(u(phi_k(n))) retourne (n, u(n)) pour tout k sauf un au plus. Ceci étant dit, je ne suis pas plus avancé et ça me semble totalement impossible sans hypothèse supplémentaire sur la suite u(n).
Yes j'en suis au même point. Peut être peut on supposer que la suite infinie de nombres dans l'hôtel de Hilbert est nécessairement issue d'un algorithme par définition fini.
Si on peut indexer l'ensemble des algorithmes dans un ordre prédéfini on peut les tester tous un par un sur une infinité de valeurs et on pourra isoler l'algo qui a généré cette suite un
@@chainonsmanquants1630 Moui, sauf qu'à priori si il reste au moins un algorithme correspondant aux valeurs tests, et que l'on n'a pas ouvert toutes toutes chambres, il doit nécessairement en rester plus d'un. Soit C le numéro de chambre et ALGO1(n) l'aglorithme restant en lice, on peut créer ALGO2(n) = ALGO1(n) si n est différent de C et ALGO2(C) = ALGO1(C)+1
Le problème reste entier : on ne sait pas si les valeurs dans les chambres sont choisies en fonction d’un algorithme et si oui, on ne sait pas lequel
@@chainonsmanquants1630 Oui !!! J'aime beaucoup l'idée de Chaînons Manquants. En effet, si on adopte une position "constructiviste" alors toute suite qui "existe vraiment" est forcément issue d'un algorithme (fini). Donc, comme on a accès à une sous suite infinie de u(n), je pense qu'on peut montrer qu'il est possible de déterminer de façon unique l'algorithme et donc de prédire tous les termes manquants (sans aucune erreur). Je pense que cela est possible via l'induction de Solomonoff, les algorithmes étant "indexé" par la complexité de Kolmogoroff. C'est en fait un problème d'induction (cf la chaîne science4all).
Néanmoins, d'après les indices sur d'autres commentaires, je pense que la solution attendue n'est pas "constructiviste" puisqu'elle doit faire appel à l'axiome du choix, qui est un axiome polémique précisément parce qu'il n'est pas "constructiviste" (si j'ai bien compris).
@@chemhwa sur un autre com il m'a répondu que ce n'est pas le cas, les réels peuvent être choisis n'importe comment. Et que ça pourrait aussi bien être des entiers que ça ne changerait rien du tout.
D'un autre côté un réel se représente comme une suite dénombrable d'entoers naturels (ou même de 0 et de 1) donc un ensemble dénombrable de réels se représente comme un ensemble dénombrable d'entiers naturels (ou même de 0 et de 1)
Il a par ailleurs dit que la solution utilisé l'axiome du choix
es-ce que si ils choisissent tous la même porte en donnant le même résulta ça compte pour une seul erreur ?
Non ça donnerait 1000 prédictions fausses
@@antoinebrgt ok
Mouai, déjà j'ai un petit souci avec l'Hotel de Hilbert: il mélange le concept des infinis mathématiques avec le 'concept' du monde physique qui est le nôtre. Le seul lien qui existe entre les deux fait intervenir le concept de limite à l'infini: les visiteurs arrivent alors que l'hôtel est en construction (avec un nombre très grand de chambres), et il faut faire intervenir ensuite le temps. Résultat: le nombre de chambres étant fini à chaque recherche, la réussite est de 100%
Si on quitte notre monde physique et qu'on pénètre dans celui des mathématiques avec un nombre infini de chambres, il faut que chaque voyageur garde en mémoire tous les nombres qu'il a découverts avant d'ouvrir la dernière porte. En faisant cette hypothèse, qui n'a rien de physique (notre monde physique est fini), il trouvera le dernier nombre
Merci pour ce problème stimulant ! Voici ma tentative de réponse ^^ (Attention pavé, mais j’ai essayé de tout développer pour être le plus clair possible)
Les chambres de l’hôtel sont numérotées par des entiers naturels donc on peut considérer l’ensemble des nombres cachées derrière les portes comme une suite (u_n), où n entier naturel désignant le numéro de la porte derrière lequel se cache le nombre u_n (par exemple, si l’hôtel renferme une succession alternée de 0 et de 1, on a u_0=0, u_1=1, u_2=0, u3=1 etc.)
Nos 1000 mathématiciens (en réalité leur nombre importe peu, le raisonnement marche autant pour 2 participants ou 10^(150) !) commencent par étudier les configurations possibles de nombres dans l’hôtel et définissent la relation d’équivalence suivante :
Deux configurations de l’hôtel (u_n) et (w_n) sont dites équivalentes (ce qu’on note (u_n) ~ (w_n)) si elles diffèrent par au plus un nombre fini de termes.
Pour illustrer ce concept, les suites
(u_n)= (1,1,0,0,0 …(que des 0)) et (w_n)= (0,1,0,0,0 …(que des 0)) sont équivalentes car ne différant qu’en n=0. Du point de vue de l’hôtel, on trouverait donc les mêmes nombres derrière chaque porte dans les deux cas de figure, sauf pour la porte 0.
On appelle alors classe d’équivalence un ensemble donnée de suites équivalentes. Par exemple, les deux configurations (u_n) et (w_n) ci-dessus sont dans la même classe d’équivalence, avec une infinité d’autres configurations bien sûr, comme (z_n)=(130,3,4,0,0,…(que des 0)).
C’est là que l’axiome du choix rentre en jeu. Il permet aux mathématiciens de choisir un représentant de chaque classe d’équivalence, c’est-à-dire de choisir une configuration déterminée dans chaque classe d’équivalence. La possibilité de ce choix peut paraître évidente, mais ne l’est absolument pas, notamment car nous devons considérer une infinité de classe d’équivalences (ces mathématiciens ont un gros cerveau).
Ceci étant posé, notons [u_n] le représentant choisi pour la classe d’équivalente qui contient la suite (u_n) (cela n’est pas forcément la suite (u_n) en elle-même d’ailleurs, car si (u_n) ~ (w_n), [u_n]=[w_n]).
Quelle est la stratégie à adopter pour trouver la configuration réelle de l’hôtel, et donc deviner les nombres derrière les portes restées fermées ?
Le premier des 1000 mathématiciens rentre dans l’hôtel et va ouvrir toutes les portes à l’exception des portes numérotées 0, 1000, 2000, 3000 etc. Le deuxième mathématicien va lui ouvrir toutes les portes à l’exception des portes numérotées 1, 1001, 2001, 3001 etc. Plus généralement, le mathématicien k va ouvrir toutes les portes à l’exception des portes numérotées k-1, 1000+k-1, 2000+k-1, 3000+k-1 etc, pour k compris entre 1 et 1000.
Notons (s_n) la suite des portes laissées fermées par le mathématicien n. Il est clair que (s_k) n’est pas connu du mathématicien k, mais connu de tous ses collègues. Ainsi, l’ensemble des nombres vus par chacun se divise en 999 sous-suites : par exemple, le premier mathématicien connaît la suite de portes 1, 1001, 2001, 3001, la suite de portes 2, 1002, 2002, 3002 etc. … jusqu’à la suite 999, 1999, 2999, 3999 etc. mais ne connaît pas la suite de portes 0, 1000, 2000, 3000 etc.
À présent, on peut noter que ces 999 sous-suites connues de chaque mathématicien forment elles-mêmes des configurations, et donc peuvent être associées à une classe d’équivalence ! Par l’axiome du choix, on peut alors choisir un représentant pour chacune de ces classes d’équivalence, noté [s_n]. Bien sûr, le représentant [s_n] diffère en général de la sous-suite considérée (parmi les 999 sous-suites) par un nombre fini de termes. Pour chaque sous-suite (s_n) du mathématicien k, définissons T_n comme le plus grand numéro de porte pour lequel la sous-suite et son représentant diffèrent (bien sûr, s_k et donc T_k ne sont pas connus du mathématicien k).
Exemple : Si on considère le mathématicien 3, et qu’il trouve s_7=(pi,pi,2,…, (que des 2)), mais le représentant de s_7, choisi par avance entre tous les mathématiciens, est [s_7]=(pi,pi,40,…, (que des 2)), on a T_7=2 car c’est la porte numéro 2 qui différente entre les deux séries (troisième position).
Dernière définition, appelons M_k le plus grand des 999 nombres T_n trouvés par le mathématicien k. Ce nombre est forcément fini, comme les T_n d’ailleurs, par la définition des classes d’équivalences (les configurations dans une classe ne différent que d’un nombre fini de termes donc cette divergence arrive toujours à des numéros de porte fini).
J’en viens à présent à la partie « déduction » de la méthode. Considérons le mathématicien k, qui vient d’ouvrir toutes les portes sauf celles numérotées par la séquence s_k. S’il s’arrête là, il lui reste donc à deviner les nombres derrière ces portes. Mais rien ne l’empêche de continuer à en ouvrir avant de faire sa proposition (en théorie, il ne pourrait en laisser qu’une d’ouverte à la fin par exemple).
Il va procéder comme suit :
Il détermine le nombre M_k+1 (une addition pas trop violente, vous en conviendrez…) et ne laisse fermé que les ( M_k+1)-ièmes portes de la suite (s_k). Forcément, comme il ne reste qu’un nombre fini de termes inconnus dans la séquence s_k, il détermine ainsi la classe d’équivalence de cette suite et donc son représentant choisi préalablement, [s_k].
A présent, rappelons-nous ce qu’on cherche, c’est-à-dire une porte encore fermée dont on peut déterminer le nombre caché. On va choisir la porte fermée qui a le numéro le plus grand. Voyons pourquoi on est alors sûr de réussir l’énigme :
On a le droit à au plus une erreur. Supposons d’abord que le mathématicien 1 ne se trompe pas sur le nombre derrière la porte considérée. Cela signifie que [s_1] et s_1 ont le même nombre réel au M_1+1. On peut alors passer au mathématicien suivant.
Mais, supposons maintenant que le mathématicien 1 se trompe, c’est-à-dire que [s_1] et s_1 n’ont pas le même nombre réel au rang M_1+1. Par définition, M_1 est le nombre maximal parmi T_2, T_3, T_4 etc. Par ailleurs, T_1, c’est-à-dire le plus le plus grand rang pour lequel la sous-suite s_1 et son représentant [s_1] diffèrent, est forcément supérieur ou égal à M_1+1, sinon le mathématicien connaîtrait le nombre derrière la porte que l’on cherche grâce au représentant !
Si on résume ces deux éléments, on a donc que M_1 >= T_n pour n plus grand que 1 et aussi T_1 >= M_1+1. En combinant ces inégalités, on obtient alors que T_1 est forcément strictement plus grand que les autres T_n.
Pour conclure, il suffit de voir qu’un raisonnement similaire s’applique au mathématicien 2 et suivants, avec une différence fondamentale cependant.
En détail :
Si le mathématicien 1 a juste, on passe au mathématicien 2 et le raisonnement développé ci-dessus conclut que si ce second mathématicien se trompe, T_2 est forcément strictement plus grand que les autres T_n, donc on est revenu à la même situation entre le mathématicien 2 et les autres que la précédente situation entre le mathématicien 1 et les autres. Pour simplifier, on peut donc établir le raisonnement en supposant que le mathématicien 1 se trompe, sans perte de généralité.
La clé du problème est alors de remarquer que tout mathématicien k qui se trompe devra par construction impliquer l’inégalité T_k > T_n pour n différent de k. Mais bien sûr, cette inégalité ne peut pas être vérifiée pour plusieurs k ! Si T_1> T_n pour n différent de 1, il n’est pas ensuite possible d’avoir disons T_7> T_n pour n différent de 7 car cela impliquerait à la fois que T_1 > T_7 et T_7 > T_1. Contradiction ! On en déduit directement qu’une telle situation est impossible, et donc qu’au plus un mathématicien peut se tromper : si l’un se trompe, les autres ont forcément juste dans leur prédiction pour la porte !
Ce raisonnement ne marche bien évidemment pas pour un seul mathématicien, car il n’y a qu’un seul nombre T_1, donc pas de contrainte d’inégalité.
Merci à ceux qui m'auront lu :)
Magistral !!!!! C'est parfait. Et ça me parait être en effet la "bonne" réponse au problème. Evidemment le soucis, c'est que du coup on a montré qu'il existe (au sens des mathématiques classiques) une stratégie mais que cette stratégie est juste totalement inutilisable, car il n'existe pas d'algorithme pour construire l'ensemble des représentants des classes d'équivalence. Merci l'axiome du choix ;-) Un axiome à la fois difficilement dispensable mais détesté par tous les chercheurs de solution algorithmiques.
Ça à l'air de fonctionner, bravo !
@@michelthayse5928 effectivement il faut l'axiome du choix. Mais dans tout les cas les mathaticiens ne pouvaient pas appliquer un véritable "algorithme" pour faire leur prédiction car cet algorithme devrait prendre en entier un nombre potentiellement infini d'observations préalables des chambres
@@nicolaslevy5735 mais du coup une solution non algorithmique est elle vraiment une solution ? (C'est mon côté constructiviste qui parle, sinon la réponse classique est 'oui')
Curieusement j'avais raté ce commentaire hier, mais en tout cas bravo c'est exactement ça !
Je propose de voir le problème sous l'angle de la théorie de l'info. On se place dans le cas où les nombres sont entiers et utilisés qu'une fois sinon ça n'a pas d'intérêt. Pour N nombre placés au hasard dans n chambres (N>n ou = n évidemment) , lorsque le mathématicien ouvre la 1ère porte et qu'il observe la valeur numérique alors il obtient l'info=log(N), la suivante c'est info=log(N-1) et ainsi de suite jusqu'à la nième porte où c'est info=log(N-n+1).
On remarque que si N=n alors info=log(N-N+1)=log(1)=0, le mathématicien n'apprend rien puisqu'il sait quel est le dernier nombre restant , dans le cas où il y a une infinité c'est la même chose on a N=n.
Donc en résumé il suffit que tous les matheux passent leur vie à ouvrir les portes et à récolter des info pour enfin sortir de l'hôtel.
Je sens que l’axiome du choix se cache derrière tout ça 🤔
Cela marche avec deux mathématiciens ?
c'est vrai que je vois pas pourquoi 1000 serait important en soit, ca doit surement marcher avec moins
Bonne question :) C'est souvent un bon réflexe de changer les paramètres du problème. Allez je vais donner un indice, en effet on pourrait faire pareil avec 2 mathématiciens !
il faut sans doute imaginer que le premier mathématicien sacrifie sa courte vie à parcourir l'hotel jusqu'a trouver les numéros des 999 chambres qui contiennent les 999 premiers nombres premiers, ensuite il calcule un nombre code qui permettra au mathématicien n°2 de retrouver le n° de la chambre ou se trouve écrit le nombre 2, au matheux 3 de trouver le n° de la chambre ou se trouve le nombre 3, etc. Ensuite il ouvre la chambre n°0 et il gueule son code quelque soit le nombre inscrit dans la chambre 0. Mais les autres mathématiciens sont sourds et, ne le voyant pas revenir, partent au bistrot faire une belote.
j'y suis : prenons exemple avec 3 matheux. le matheux 0 (M0) entre. Reste 2 matheux dehors, M1 et M2, il cherche donc 2 chambres contenant 2 entiers premiers entre eux. Mettons qu'il trouve P et Q (une fois triés P
ah zut j'ai oublié qu'on remettait tout en l'état (j'ai réécouté l'énoncé) entre deux visites. Je donne donc ma langue au chat.
Bigre, elle est violente, celle-là !
À mon avis, c’est impossible sans concertation entre tous les visiteurs.
Comme une fois le premier d’en eux entré dans l’hôtel, il n’y a plus de communication possible entre eux, la concertation préalable doit pouvoir suffire. L’idée serait donc que le premier ouvre n portes jusqu’à tomber sur le nombre réel préalablement choisi par concertation (chambre c, nombre x), puis se trompe en annonçant le nombre inscrit dans une autre.
Chacun des autres visiteurs pourrait alors faire ce qu’il veut, sauf ouvrir la porte de la chambre c, et annoncerait ensuite « la chambre c contient le nombre x ». Mais comment faire parvenir aux autres l’information qu’il s’agit de la chambre c ?… À moins que les autres puissent entendre ce que le premier annonce, auquel cas, il faudrait qu’il propose : « chambre x, nombre y » (il faut alors que le nombre x choisi soit entier).
Mais le fait que les autres entendent est contraire à l’énoncé, et en plus, il pourrait déjà avoir ouvert la chambre x. Sans compter que tomber sur le nombre x peut ne jamais arriver avant la fin des temps. Grrr.
De toute façon, avec le taulier de cette chaîne, je n’imagine pas que la solution puisse être une simple astuce, ça va forcément faire appel à des mathématiques bien trapues.
Conclusion, soit je ne dors pas jusqu’à la vidéo donnant la solution, soit je pars du principe qu’il est possible de montrer qu’ils ne peuvent pas s’en sortir. Ça doit être difficile, mais moins que trouver une solution. Mais s’il y a une solution, alors, c’est forcément que seul le premier se trompe.
En effet le gros problème ici c'est l'absence de communication, qui rend impossible toutes les solutions de ce genre... Tout se passe donc dans la concertation initiale en effet, et je peux donner comme indication que l'axiome du choix y joue un rôle. Autre indication, ce n'est pas forcément le premier qui donne la mauvaise réponse !
Bizarre ce 1000. Si une stratégie qui résout le problème existe, j'imagine qu'elle doit aussi marcher avec encore moins de protagonistes, voir seulement 2. Ca me convainc encore plus que le problème est insoluble.
Très bonne remarque ! On peut donc remplacer 1000 par 2... maintenant que fait-on ?
@@antoinebrgt Il se passe quoi si on inverse et que les indices deviennent des nombres réels et les nombres à deviner des nombres entiers ? De même, il se passe quoi si le premier mathématicien essaye un nombre infini de fois de deviner un nombre puis de vérifier la réponse ? La n+1ème devinette à-t-elle plus de chance de tomber juste ?
@@tourneuxgeoffroy5070 dans la solution que je connais on ne peut pas inverser réels et entiers. On peut remplacer les réels par des entiers, mais il faut absolument garder la numérotation des chambres par les entiers.
@@antoinebrgt A priori si on remplace par des entiers, on peut supposer que les mathématiciens peuvent construire eux-même l'hôtel en tirant des nombres au pif dans N et en formant un nouvel ensemble (AC). Donc les 2 mathématiciens de départ connaissent d'avance l'hôtel il ne reste plus qu'à l'indicer.
L'idée c'est de déterminer n_0 l'entier qui manque dans N.
Est-ce que par hasard au bout d'un nombre infini de visite de chambre chaque entier dans N a une proba de 1 d'avoir été vu sauf le dernier ? Et dans ce cas là comme l'ensemble construit au départ est dénombrable, on sait exactement lequel il manque ?
@@tourneuxgeoffroy5070 je ne comprends pas comment ils peuvent construire l’hôtel, ils peuvent en construire un similaire mais pas un avec les bons nombres ?
La stratégie consiste à s'entendre avant d'entrer. Ils peuvent penser à construire autour de 0 et 1000 avec un pas multiple de pi. Etc...
L'énigme la plus difficile de toutes les énigmes : 30 étudiants arrivent devant une salle de cours, les uns après les autres, et ne peuvent pas communiquer car ils sont timides. Ils doivent déterminer si la porte est fermée à clé, mais ont droit à une seule erreur. Si ils se trompent, ils sont condamnées à être humiliés par les autres dans le couloir.
Je pose juste une question, comment un mathématicien peut retourner une réponse en un temps fini si il décide de visiter une infinité de chambres? si il décide de visiter une infinité de chambres on peut penser qu'il mettra un temps infini à répondre et donc qu'il ne répondra jamais, à l'inverse si il répond c'est qu'il a mis nécessairement un temps fini et qu'il n'a pas visité une infinité de chambre et donc qu'il a de grande chance de se tromper.
De toute façon, puisqu’il peut y avoir des répétitions dans les nombres et aucune logique mathématique sans l’attribution des numéros, visiter toutes les chambre sauf une ne peut pas l’aider
@@jilano visiter "toutes" les chambres a t il un sens? un sens physique certainement pas, un sens mathématique? je n'en suis pas sûr car le problème implique des notions d'infini avec des êtres finis, c'est incompatible et absurde même mathématiquement, aucun ensemble fini ne peut contenir l'infini.
@@GH-li3wj je pense effectivement qu'à "la régulière" il n'y a pas de solution à cet énigme, mais que la réponse se déduit d'un paradoxe ou d'une règle mathématique discordante, ou qu'il n'y a tout simplement pas de réponse. Ceci étant dit, @Scientia Egregia, je pense que le nom de l'hôtel n'est pas choisit au hasard 😉
@@jilano l'hôtel de Hilbert est juste un hôtel infini comme propose dans l'énoncé. Il porte ce nom car il a été introduit par David Hilbert pour illustrer les comportements étranges de l'infini
Les chiffres en rose sont purement hasardeux si j'ai bien compris. Du coup la "prédiction" de chaque voyageur est aussi purement hasardeuse.
Donc je dirai que oui il peuvent s'en sortir si ils ont tous de la chance (sauf 1) ^^
D'accord, alors je reformule : ont-ils un moyen de s'en sortir à coup sûr ?
J'aurais eu tendance à dire que c'est impossible, mais en réflêchissant un peu plus...
Y aurait peut être moyen de faire 1 algo avant qu'ils rentrent genre : ouvrir les portes dans l'ordre jusqu'à trouver 1 chiffre supérieur au numéro de la chambre. Et chaque voyageur va 1 cran plus loin à chaque fois (vu qu'il sait son n° dans la fil d'attente).
Bonjour
J'aime assez ce genre de problèmes. Cependant vous vous écartez du classique problème de l'hôtel de Hilbert. Vous introduisez des probabilités, et vous acceptez des irrationnels pour numéroter les chambres.
Voici une autre variante du problème de l'hôtel de Hilbert. Il a une infinité de chambres, numérotées par des entiers naturel (N*) et classées par ordre croissant.
Considérons maintenant le suite des nombres premiers. Après quelques recherches rudimentaire j'ai découvert que Jacques Hadamard a démontré qu'il n'existe aucune limite à l'intervalle entre deux nombres premiers successifs. Attention, cela ne signifie pas que cet intervalle puisse être infini. Il est toujours fini car égal à la différence entre deux nombres entiers successifs. On dit que cet intervalle peut être arbitrairement grand.
Or, l'on peut compter les nombres premiers. 2 sera le 1er nombre premier, 3, le second, 5, le troisième.
On peut donc attribuer à chaque nombre premier un ordinal; et par là un ordinal.
Comme l'ensemble N* est infini, on peut attribuer à chaque nombre premier un cardinal entier.
D'un autre côté, il est connu que les nombres premiers sont se plus en plus rares au fur et à mesure que l'on explore leur série.
Hé bien paradoxalement, ces raisonnements montrent qu'il existe autant de nombres premiers que d'entiers naturels appartenant à N*.
Singulier paradoxe qui n'est possible que par la notion d'infini.
Si vous souhaitez me répondre, faites le moi savoir, j'ai quelques autres problème bizarres en besace, mais pas tous démontrés.
NEKO
Oui en effet il y a autant de nombres premiers que de nombres entiers, et autant de rationnels aussi ! Cependant ici j'utilise seulement les entiers pour numéroter les chambres, et il n'y a aucune probabilité dans mon énigme...
Si chaque individu pouvait entendre la réponse donnée par son prédécesseur, et sur un malentendu, on pourrait espérer que le 1er se sacrifie en allant visiter la 1ère chambre, et en devinant les numéros dans la chambre non visitée choisie au hasard, donne volontairement le réel qui était dans la première chambre. Sur un consensus préalable, les visiteurs d'après n'auraient qu'à rentrer dans n'importe quelle pièce autre que la 1ère, avant de demander à deviner le réel dans la première chambre qui n'est autre que le réel donné par le visiteur précédent (une sorte de boucle initiée par une erreur préméditée par le premier voyageur qui rendrait la sortie possible). Mais bien évidemment, j'imagine bien que ce n'est absolument pas la solution étant donné qu'ils ne peuvent communiquer XD Mais bon, ça nécessite sans doute des connaissances que je n'ai toujours pas... Je continuerai à y réfléchir quand même, merci pour l'énigme ! : )
En effet si la communication était permise ce serait une solution ! Malheureusement ce n'est pas le cas et ils vont devoir travailler un peu plus dur...
Est-ce que le temps passé dans l'hôtel est communiqué entre les candidats ?
@@tourneuxgeoffroy5070 non, il n'y a vraiment aucune communication entre les candidats après que le premier est entré dans l'hôtel
ils leur suffient de se mettre d'accord sur une seule chambre à ouvrir et puis ils disent que dans toutes les autres il y a |R\{du nombre de la première} et puis voila, ils ont forcément raison non ?
R n'est pas dénombrable, donc il y a une infinité de réels absents de l'hôtel de toute façon !
Il y a déjà une difficulté pour chaque matheux de donner une réponse à la question, vu que la description d'un nombre réel ne peut généralement se faire qu'en donnant la suite de ses décimales, ce qui prend un temps infini. Mais il faut remarquer qu'après avoir visité un nombre potentiellement infini de chambres (par exemple, toutes celles dont le numéro est pair), on n'est pas à cela près.
On peut cependant noter que le nombre de chambres est dénombrable, alors que le nombre de réels ne l'est pas. Ca signifie qu'il y a "beaucoup" de réels qui ne sont écrits dans aucune chambre. On peut même dire que l'ensemble des réels qui ont été choisis pour apparaître dans une des chambres est de mesure nulle, et que la proba d'en trouver un par hasard est donc nulle.
Bref, je ne sais pas si cette énigme a une solution, mais on sent bien qu'elle sera assez difficile à vérifier en pratique, même en convoquant 1000 matheux dans un hôtel :)
En utilisant l'idée que les nombres réels doivent être écrits avec un nombre fini de symbole, on peut rédiger un dictionnaire de ces nombres et donc se ramener à des entiers naturels. Notons (u_n) la suite d'entiers naturels des numéros des réels dans le dictionnaire inscrit dans la chambre n.
Si absolument aucune information ne peut circuler entre les visiteurs, ils sont tous face au même problème : deviner un terme de cette suite, disons u_0, en connaissant u_n pour tout n>=1.
Le fait qu'il puisse avoir une erreur laisse penser que le 1er visiteur peut "gagner" de l'information, mais s'il ne peut pas en faire profiter le copain, à quoi cela sert-il ?
Un petit indice ?
La plupart des nombres réels ne peuvent pas être écrits avec un nombre fini de symbole
@@alitrux le truc c'est que si il y a un nbre réel dans la chambre et qu'on doit pouvoir le deviner il faut pouvoir l'écrire en un nbre fini de symbole
@@chainonsmanquants1630 Vu la quantitée d'infini et de logique contre intuitive qui intervient dans ce problème, je ne crois pas que le temps pour écrire ou penser à un nombre soit vraiment un gros problème
@@alitrux en effet, d'ailleurs Antoine l'a confirmé
Et bien si le premier voyageur ne visite aucune chambre , il est sur qu' en donnant un nombre au hasard , il y'a forcement une chambre qui y est associer , sans moyen de connaitre son numéro.
A l’inverse si il visite toutes les chambre moins une , étant donné qu'il y'a plus de nombres réels que de naturels , il lui est impossible de deviner quel nombre est associé à celle qu'il n'a pas visité.
Il ni y'a à priori aucun moyen pour les voyageurs de glaner de l'information ni de mètre au point une quelconque stratégie pour résoudre ce problème (dilemme ?).
Le fait d' être 1 , 1000 ou même une infinité de voyageur ne change rien.
Une solution est de ne pas y entré.
Hâte de connaitre la réponse. 🙂🙂
Même en donnant un nombre au hasard il n'est pas sûr qu'une chambre y est associée (car comme tu le dis plus loin il y a plus de réels que d'entiers !)
Intuitivement, je dirais qu’il faut intégrer le fait qu’après une itération avec 1000 voyageurs, si les voyageurs doivent recommencer, c’est que leur algorithme de choix de la chambre i avec le contenu j n’est pas bon ce qui leur donne une information sur la qualité de leur algorithme.
En recommençant autant de fois que l’on veut, ils vont finir par y arriver pour peu que leur algorithme soit judicieusement amélioré entre deux itérations.
Maintenant, quel peut être cet algorithme? Là, avant d’aller plus loin, j’ai besoin de savoir quelle(s) information(s) entre deux itérations ils peuvent garder. Si c’est la liste des liens entre la chambre i et le contenu j, c’est facile… le 1er voyageur ouvre 1 chambre et note le contenu pour l’utiliser à l’étape suivante… donc?
Ce sont des matheux ZFC ou simplement des matheux ZF ?
Parce que je suspecte très fortement que la réponse n'est pas la même dans les deux cas.
Excellent! Ce sont (évidemment ;) ) des matheux ZFC !
@@antoinebrgt Je ne vois pas directement la solution mais je connais une variante dont je soupçonne qu'elle doit être similaire.
On a une infinité dénombrable de matheux qu'on ordonne de telle sorte que le matheux i voit précisément les matheux j>i. On place sur chaque matheux un chapeau sur lequel il y a un nombre réel.
Chaque matheux connait son propre numéro ainsi que la valeur de la suite « chapeau » pour j>i.
On demande aux matheux de deviner le réel inscrit sur leur chapeau. Si tous ont juste sauf un nombre fini, alors tous sont libérés blah blah blah.
L'algo est le suivant.
On dit que deux suites u_n et v_n sont en relation s'il existe un indice à parti duquel elles sont égales. C'est une relation d'équivalence. Les matheux se mettent d'accord sur une fonction de choix f. Maintenant, le matheux i prend le représentant u par f de la classe de la suite des chapeaux qu'il voit (complétée comme il veut pour les valeurs initiales) et il annonce la valeur du chapeau de ce représentant.
@@fredericmazoit1441 en effet c'est très très proche de la solution! Il reste une petite astuce à trouver... Je pense que une fois arrivé là c'est trouvable !
si ils visitent une infinité de chambres moins " une chambre " ça donne quel nombre de chambres ?
Ça reste infini ! Par exemple il peut ouvrir toutes les chambres paires, il en restera une infinité de non ouvertes (les impaires)
vu que l'infini des nombres réel est plus grand que l'infini des nombres naturels il y a comme un problème , non ?
En effet ! C'est pour ça qu'il y a une énigme !
Sous l'hypothèse que ces mathématiciens ont tous une belle montre très précise synchronisée avec les autres ont pourrait utiliser le droit a l'erreur dès le premier. Si on a droit a une erreur elle doit être forcément la clé et propager la solution:
- Le premier entre et va ouvrir la porte 2, voit le nombre et va sortir au temps correspondant a cette valeur. Ils se mettent d'accord si c'est en seconde ou autre unité comme base. Il donne une valeur aléatoire pour la chambre 1 et donc se trompera. L'erreur est utilisée et on en parle plus
- Le second entre et se dirige vers la 3ème porte, l'ouvre voit la valeur et sortira au temps correspondant en donnant la valeur de la chambre 2 (qu'il connait grâce au temps du premier mathematicien).
-Puis la récurrence s'installe avec le n-ème mathematicien qui ouvre la porte n+1 et attend le temps correspondant avant de donner la valeur de la porte n.
J'imagine que ce n'est pas la solution mais elle me plait. Je ne peux pas utiliser la théorie des cycles pour résoudre ce problème donc je n'ai pas d'autre idée.
En effet c'est une bonne idée d'essayer d'encoder de l'information dans les temps de visite, mais dans la version que j'avais en tête ceci compte comme une forme de communication et est donc interdit, cf le commentaire épinglé !
@@antoinebrgt Oui je me doute bien que la solution est mathématiquement satisfaisante. Je n'ai pas la moindre idée. J'avais adoré l'énigme qui partait similaire avec les boites numerotées de 1 a 1000 avec un des numéros des mathématiciens. On avait le droit a 500 erreurs pour trouver sa boite et que sous cette condition tout les mathématiciens trouvent leur boite associée. Mais là une erreur avec des nombres quelconque....je ne vois rien de mathématique qui puisse aider.
la réponse c'est 42 !
La question est "ont-ils un moyen de s'en sortir ?". Elle ne me semble pas entièrement claire. Selon l'interprétation, on peut répondre : Avoir de la chance. Si ils adoptent un comportement donné, mettons tous prennent la chambre 0 et disent 1, ils ont une chance -minime- de s'en sortir. Bref, je ne sais pas si cette énigme est un problème mathématiques ou un jeu de mots...
Il s'agit bien d'un problème mathématique, et la réponse est qu'il y a bien un moyen de s'en sortir à coup sûr!
L’idee Doit être qu’ils se mettent d’accord sur des représentants pour la relation d’équivalence sur R^N « finir pareil ». En visitant toutes les chambres à partir d’un certain rang ils savent dans quelle classe ils sont.
A partir de là faut savoir quelle porte ouvrir ..
Clairement ils peuvent pas juste tous sauter une porte régulièrement jusque l’infini sinon ils perdent l’info sur leur classe dequivalence.
Ils peuvent faire un guess sur l’indice à partir duquel leur représentant et la suite des chambres sera égal mais bon c’est pas hyper satisfaisant j’imagine (ceci dit ça leur laisse déjà une chance de s’en sortir..)
Ceci dit ça sauve tout le monde ou personne et j’utilise pas toutes les hypothèses du coup donc je n’y crois pas ^^’
Il faut savoir quelle porte deviner, pas ouvrir
@@charoox Oui c'est très proche ! Il faut en effet une astuce supplémentaire pour décider quelle porte deviner :)
D'un point de vue Mathématique ca m a l air complique après en passant dans la réalisation rien ne les interdit de prendre une masse et de casser le mur qui les sépare d une chambre voisine du coup sans avoir ouvert la porte de la chambre en question ils peuvent savoir le nombre relatif qui se cache derrière après je vais chercher loin car pour l instant je n ai pas encore le niveau pour résoudre ceci dans le cas où il peuvent sortir mathématiquement
Haha j'aurais dû préciser que les murs sont indestructibles !
Bon les gars, on rentre tous dans l'hôtel, on visite tous toutes les chambres sauf la première, du coup, on va se tromper sur au plus une valeur et on aura toutes les autres justes :-)
Mais du coup il y aura plein de prédictions fausses ! Donc ça ne marche pas :)
Hmmm ça me paraît complètement impossible, qu'ils soient 1000 ou même plus, puisqu'il y a infiniment plus de nombres réels que naturels... mais bon en même temps si l énigme est posée c est qu elle doit avoir une réponse
Ca pourrait être un énorme canular :D
Un canular pour annoncer une vidéo sur les ensembles infinis dénombrables et non dénombrables, pourquoi pas... En tout cas cela justifierait l'appellation de "plus dure des énigmes" (quoi de plus dur que l'impossible ?)
Mais bon au lieu de spéculer sur le titre de l'énigme je ferais mieux s'y réfléchir un peu pour de vrai et proposer une solution 😂
@@RomainPuech J'avoue ne pas savoir très bien si elle est trouvable, moi je n'ai pas eu à la résoudre car on m'a donné la solution rapidement... En tout cas je pense vraiment que c'est très dur.
bah chaque participant visite toutes les chambre sauf la première, par déduction il doit rester plus qu'un chiffre a la fin
Imaginons que toutes les chambres sauf la première contiennent le nombre 45, que déduis-tu pour la première ?
Ce nombre de 1000 voyageurs me semble piégeux au vu de l'infinité en vis à vis. Si l'on ne considère qu'un unique voyageur alors il restera toujours une infinité de nombres réels du fait de l'indenombrabilité du continu. Ma réponse est donc qu'il n'y a aucune chance. Mais il n'est pas question de n'importe quel nombre réel mais seulement de ceux dont on peut en donner une expression avec une liste de symboles (N + #&()/^π÷× etc ) parfaitement dénombrables. Ma réponse est donc finalement que mon vaillant voyageur est certain de deviner la bonne combinaison de symboles 😁
C'est une idée très intéressante ! Mais il reste à dire, dans ce cas, comment deviner la bonne suite de symboles !
@@antoinebrgt s'il on considère que l'écriture de chacun des nombres se fait avec une liste finie de symboles alors il suffit de comparer l'exploration de toutes les chambres sauf une avec un catalogue qui énumère toutes les suites pour déterminer exactement celle qui n'a pas été pointée et voilà 😁
@@lazm6047 Imaginons qu'après avoir fait le tour des chambres sauf la première, le voyageur tombe sur tous les nombres entiers impairs et aucun autre nombre, quel sera le nombre de la première chambre ? Avoir une bijection ne suffit à priori pas à éliminer tous les nombres jusqu'au dernier.
@@michelthayse5928 je pense qu'il y a un souci à penser à la fois en terme de cardinalité et de nombre car on pourrait dire qu'une fois avoir exploré tous les nombres impairs il n'a qu'à poursuivre mais... J'avoue ne pas saisir toutes les subtilités ensemblistes et que mon bluff ne trompe personnes 😁
Je rebondis sur cette idée pour rajouter un élément. Le premier visiteur entre dans la première chambre. Grâce à ton idée d'encodage, il traduit le nombre réel en un entier et visite la chambre avec ce numéro. Il répète l'opération de façon infinie.. Après on a deux cas: soit ça boucle à un moment soit ça part à l'infinie...
Sont-ils immortels ?
Ont t'ils un temps infini ?
La réponse doit résider dans le fait que un seul se trompe pour d'une manière ou d'une autre aider les suivants. Mais en probabilité si ils peuvent ouvrir un nombre infini de porte sauf une, ils peuvent predire le nombre de l'ensemble des nombres reels + 1 sur la porte qui suit celle de l'infini ?
Ca n'a aucun sens ce que j'écris, j'ai mal au crâne.
Mais en probabilité je ne vois pas comment 1000 individu ne se trompent pas plus d'une fois. La réponse doit résider dans la notion d'infini. De toute façon dès que il y a de l'infini dans un problème, ca fout la merde.
En effet c'est l'infini qui est au cœur de l'énigme ! Mais il faut en manipuler les règles avec délicatesse...
@@antoinebrgt ca me rappelle le paradoxe de l'hôtel infini, où un hotel avec un nombre infini de chambre affiche complet, quand un nouveau voyageur arrive, il suffit de décaler les voyageurs dans la chambre d'a côté N+1
Et du coup ya toujours de la place.
Ya même la variante avec un hotel infini et un bus de voyageurs infini, on utilise alors les nombres premiers, où on attribue des numeros de chambre de nombres premiers avec exposant, comme ça on est certain qu'il y a une infinité de resultats et jamais de repetitions. Je ne sais pas si ca sert ici je n'ai pas un grand niveau en mathématiques, mais peut être que ca fera un declic pour quelqu'un qui lit ce commentaire
@@mikebenson9423 en effet, ces paradoxes sont ce qu'on appelle en général l'hôtel de Hilbert, d'où la référence dans la vidéo ! Ici d'une certaine façon il faut utiliser une astuce de ce genre, mais combinée à une ou deux autres...
La loi binomiale sera utilisée.
Je ne sais pas pour vous, mais moi ça me fait penser au problème du suprème fasciste de la chaine sciences4all
C impossible