Le résultat qui m'a fait aimer les maths ! (Avec Taylor et Wallis)
Vložit
- čas přidán 6. 06. 2024
- Merci à tous de votre soutient !
Voici un des résultats qui m'a convaincu que les maths pouvaient être belles !
Dm insta ou discord pour discuter !
#analyse #terminale #mathématiques #maths #parcoursup #calculus #trigonometry #education
Edit: 1) Comme beaucoup me l'ont fait remarquer, il manque un argument de convergence uniforme pour l’interversion série-intégrale, mais qui se fait assez facilement.
2)Le développement de l'arcsinus est indexé en 0 et non en 1( erreur de frappe) ! Mais celane change pas la méthode de la preuve.
3) Veuillez m'excusez de ces erreurs, je prendrai plus de soin dans la relecture de mes vidéos avant de les poster !
Souvenir trés clair pendant un devoir de 4h un samedi matin en math sup en 93 on démontre ce résultat, mon prof de math qui vient me dire ce résultat c'est une preuve de l'exitence de dieu, j'étais son major on s'aimait bien tous les deux 😇
Excellent raisonnement, je ne connaissait pas cette façon de faire 💪
Les séries de Fourier sont une méthode qui marche très bien pour cela et permet même de calculer tout les zêta paires en posant pour zêta(2n) la fonction x^(2n) 2pi-périodique sur ]-pi;pi[ et en calculant les coefs de Fourier associés
C'est absolument magnifique ! Super simple et très efficace ! (Attention juste à la justification de l'inversion série/intégrale qui est très loin d'une simple linéarité)
Merci beaucoup ! La convergence uniforme est cependant presque triviale ici !
C bien mon reuf t’auras l’X en 9/2 comme ça 😉
@@LouisLeCrack (Je suis en terminale, donc les concours sont encore loin...) Et je ne veux pas l'X. Ok, j'ai oublié un argument, on me l'a déjà fait remarquer, pas la peine de venir me tacler.
@@Matherminale mdr je parlais pas à toi tkt, je parlais au commentateur originel donc je reconnais l’identité depuis Twitter 😉
@@LouisLeCrack Wtffff t'es trop vif mon reuf 😳😳😳
Mais c'est incroyable, ça a l'air si simple alors que ça l'est pas du tout ! Continue, tu régale !
Continue comme ça, format très simple, efficace, nous encourage à refaire nous-même les calculs et vérifier les propriétés etc 👌
Merci beaucoup !
Superbe vidéo j’adore !
Merci beaucoup !
Incroyable ! J'en ai vu des méthodes pour zeta de 2 mais celle ci est stylée !
Je l'ai trouvé sur un vieux site qui référence toutes les méthodes pour calculer zêta de 2 !
A 1m10 l'argument pour l'inversion série intégrale n est pas suffisant. Dans ce cas là ça fonctionne mais on a pas toujours l intégrale de la somme qui est la somme des intégrales, il y a un argument de convergence uniforme à donner ici.
Sinon c est une très jolie démonstration, il y en a une autre tout aussi jolie par encadrement avec une somme de cotangente et les formules de viete qui ne demande que des arguments de lycée.
Très juste, c'était pour voir ceux qui suivaient (non). On peut néanmoins le prouver grâce à Weierstrass en trouvant des majorants dont la somme convergera vers asin(1)=pi/2 en prenant x=pi/2. (je ne sais pas si c'est très clair)
Je l'ai fait dans le pdf LLG mais je ne la trouve pas très agréable ni très intuitive, on a un peu l'impression que le résultat est parachuté de nulle part. (on est quasiment obligé de se laisser guider par l'exo)
Je me referais plus à une qui est dans un ancien poly de terminale S de Henry IV, il me semble que les deux démo ont des points communs mais qu'elles sont traitées différemment (je l avais en tout cas trouvée plus naturelle dans ce dernier poly).
Notez qu’on peut toujours inverser série et intégrale quand les termes sont positifs
Seulement pour les sommes infinies non ? Sommes finies on peut toujours changer ? Ou me tompe-je
Il faut aussi justifier qu'on peut séparer la somme zeta(2) en somme des inverses des termes et somme des inverses des termes impairs. La série est à termes positifs, elle est commutativement convergente, donc on peut :)
Mais il faut le dire, et ne pas faire tout impunément ;)
D'autres méthode pour cette somme ? 👇
Je ne sais pas si tu as qqch pour lire le latex, (sinon je te conseille overleaf)
J'avais trouvé cette méthode que je trouve très sympa bien qu'elle ne soit pas vraiment du niveau terminale quoique...
La voici :
\section*{Calcul de $\zeta(2)$}
Le but de cet exercice est de démontrer que : \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}\]
On pose pour tout $n \in \mathbb{N}^*,\: I = \displaystyle\int_0^{\pi}(\alpha t^2 + \beta t)\cos(nt)\text{ d}t$
\\\\1) Exprimer $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $k \in \mathbb{N}^*,\: I = \displaystyle\frac{1}{k^2}$
\\\\2.a) Développer pour tout $k \in \mathbb{N}^*,$ pour tout $t \in ]0,\pi]$ l'expression $\cos(kt)\sin\left(\displaystyle\frac{t}{2}
ight)$ sous la forme d'une somme de sinus.
\\\\2.b) En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}^*,\: \forall t \in ]0,\pi],\: \sum_{k=1}^{n}\cos(kt) = \frac{\sin\left(\frac{(2n+1)t}{2}
ight)}{2\sin\left(\frac{t}{2}
ight)} - \frac{1}{2}\]
3) Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi],$
\\\\ \indent\!\!\!\! Montrer alors que : $\underset{x \to +\infty}{\lim}\displaystyle\int_0^{\pi}f(t)\cos(xt)\text{ d}t = 0$
\\\\4) Montrer que : \[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} + \int_0^{\pi}\left(\frac{t^2}{2\pi}-t
ight)\frac{\sin\left(\frac{(2n+1)t}{2}
ight)}{\sin\left(\frac{t}{2}
ight)}\text{ d}t\]
puis conclure.
La méthode d'Euler est aussi très joli
@@mishivioosygo5885 oui, mais pas assez rigoureuse pour nos standards actuels.
@@Matherminale c'est sûr que ce n'est pas aussi technique que taylor lewis ou celle de parseval
Y a par les séries de Fourier ou analyse complexe avec la cot ;)
à 2:00 suis-je fou ou il y a une erreur ? la somme de droite devrait commencer pour k=0 afin de faire apparaitre le terme en k=1
Tu as tout à fait raison !
1:16
L'integrale de la somme cesr la somme des intégrales n'est vrai qu'à condition que la serie converge uniformément (ce qui est bien le cas ici)
Ne le prend pas mal, car la vidéo est vraiment top ! ❤
Ou utiliser le theoreme de Beppo-levi
Oui, on me l'a déjà fait remarquer une dizaine de fois ! (Et je ne le prend pas mal). La convergence uniforme est assez simple puisqu'en prenant x=pi/2, on obtient des majorants de chaque fonction dont la somme converge vers pi/2
Correction de maths 1 ccp en 2 minutes
Je ne savais même pas 😂 Je suis en terminale !
J'aime tout sauf "l'intégrale d'une somme, c'est la somme des intégrales" qui n'est pas toujours vrai :D
Oui, j'ai oublié de préciser que la série convergait uniformemément.
facile ça, mais pour zeta(3) ya plus personne
Normal, on ne sait pas la calculer 😂
@@Matherminale pour l'instant ;)
@@Matherminale techniquement tu peux t'approcher de sa valeur. C'est juste que c'est un irrationnel. Si ça t'amuse : c'est l'intégrale triple de 1/(1-xyz) entre 0 et 1
Ca ressemble fortement au sujet maths 1 CCP de cette année ça je reconnais 😉
Je ne savais même pas ! J'irai voir le sujet !
C'est quasiment la même chose en vrai ils donnent une autre méthode au verso du sujet avec des intégrales à paramètres@@Matherminale