Topologie Algébrique I : le groupe fondamental (et un peu de théorie des nœuds)
Vložit
- čas přidán 9. 06. 2024
- Dans cette vidéo, j'introduis le concept de base de la topologie algébrique qu'est le groupe fondamental, ou premier groupe d'homotopie. Après avoir donné les définitions, je liste des outils de calcul, dont le théorème de van Kampen. Enfin, les notions sont illustrées par des exemples tirés de la théorie des nœuds.
00:00 Début
08:18 Plan
12:30 I) Définitions
22:35 Exemple fondamental : sphères
II) Outils de calcul
28:45 A) Rétractation par déformation
34:50 B) Produit
37:40 C) Bouquet
41:00 D) Théorème de van Kampen
III) Applications à la théorie des nœuds
56:00 Définitions
59:44 Nœud trivial
1:06:10 Enlacement ou pas ?
1:13:00 Nœud de trèfle, l'exemple ultime
1:35:00 Conclusion
Autres vidéos de la série :
- Partie I : • Topologie Algébrique I...
- Partie IIa : • Topologie Algébrique I...
- Partie IIB : • Topologie Algébrique I...
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J'ai oublié de mentionner des références dans la vidéo. La plupart des choses que j'ai racontées ici sont assez standard et se trouvent dans tout livre de topologie algébrique. On pourra se référer par exemple à :
Topologie algébrique. Une introduction, et au delà, de Christian Leruste
Algebraic Topology, de Allen Hatcher
Superbe vidéo ! N'ayant pas poursuivit en master de mathématiques pour poursuivre des études de philosophie, toutes vos vidéos me permettent de poursuivre mon apprentissage des maths de manière plus légère. Merci à vous, et bonne continuation.
Merci !
Videos toujours excellentes, la mise en page et le fait d'expliquer en écrivant rend le contenu vivant je trouve.
Merci !
Je comprends mieux pourquoi les concepts de groupe libre et de présentations de groupes ont été introduit en topologie algébrique c'est hyper utile
Cool ! J’ai hâte d’avoir le temps de visionner !
Top ! je viens de finir ! Super, ça fait longtemps que je voulais avoir ce cours !
Merci !
Bon retour et merci beaucoup pour cette série de vidéo. Un cours indispensable sur la cohomologie et celle de De Rham et les fibrés -;)
Merci ! Oui dans la prochaine vidéo je parlerai d'homologie, et juste après la cohomologie
@@antoinebrgt Merci. Est Yang-Mills est t-elle dans le menu -;) ?
Excellent videos! It helps me learn French while also learning mathematics.
That's cool!! I should make videos in English at some point, but I feel more comfortable in French and I like to produce content in French :)
Cool vraiment ! !
Il est de retour !
Oui, j'espère que tu n'auras pas à attendre aussi longtemps la prochaine fois :D
Merci beaucoup!
Bonjour, merci beaucoup à vous pour cette vidéo magnifique ! Juste une question: à 1'23''00, la RPD du tore, est-ce que ce n'est pas plutôt Z^2 ?
Non c'est bien une rétractation sur le cercle, dont le groupe fondamental est Z, T est un tore *solide*.
Ca faisait longtemps. Tes vidéos sont un vrai régal. Car tu prends le temps d'expliquer les choses. La topologie algébrique n'est pas une matière facile.
Ceci dit j'ai quelques questions :
1) Concernant le chemin inverse, pourquoi tu dis que composer g et g-1 c'est comme si on n'avait rien fait? Parce que en général, composer g1 avec g2 on revient toujours sur x0 ?
2) A plusieurs reprises, tu fais des quotients de groupes. Peut-on démontrer que le sous-groupe "dénominateur" est normal ?
3) Peut-on faire de la topologie algébrique sans avoir fait auparavant de topologie générale ? Dans mon cursus on fait d'abord la générale. La topologie algébrique est en option. Pourtant historiquement c'est la topologie algébrique qui est apparue en premier, non ? Mais les concepts d'ouverts, de connexes, de compacts, servent-ils vraiment dans les démonstrations ?
4) Sur le chapitre III), j'ai pas tout compris aux rétractations par déformation que tu appliques pour les différents nœuds. J'essaierai d'y revenir, car je comprends que ma question soit vague si je ne te dis pas où je n'ai pas compris. C'est pourquoi la figure se RPD en la nouvelle figure que je ne comprends pas.
5) Enfin pour démontrer que deux lacets sont homotopes, on dit souvent "ça se voit sur la figure". Mais peut-on le démontrer rigoureusement ?
Mais continue, c'est vraiment du beau boulot que tu nous offres.
Déjà en géométrie différentielle j'avais été ébahi que les moindres formules que tu balances aient du sens, permettent de faire des calculs effectifs.
En tout cas, chapeau, continue !
Merci beaucoup pour ton intérêt et tes questions ! Je vais essayer de répondre dans l'ordre. En tout cas ça donne de la motivation pour continuer !
1) Concernant le chemin inverse, pourquoi tu dis que composer g et g-1 c'est comme si on n'avait rien fait? Parce que en général, composer g1 avec g2 on revient toujours sur x0 ?
Oui c'est ça, si tu fais une certaine route puis qu'arrivé à la fin tu reviens sur tes pas, tu peux simplement déformer ce chemin en faisant demi-tour un peu plus tôt, puis de plus en plus tôt, etc, jusqu'à ne plus bouger du tout. Donc le chemin est homotope au chemin trivial (immobile).
2) A plusieurs reprises, tu fais des quotients de groupes. Peut-on démontrer que le sous-groupe "dénominateur" est normal ?
En effet ce sous-groupe est toujours normal (d'où la lettre N !), j'aurais dû le dire peut-être. C'est assez facile à démontrer, je te laisse essayer.
3) Peut-on faire de la topologie algébrique sans avoir fait auparavant de topologie générale ? Dans mon cursus on fait d'abord la générale. La topologie algébrique est en option. Pourtant historiquement c'est la topologie algébrique qui est apparue en premier, non ? Mais les concepts d'ouverts, de connexes, de compacts, servent-ils vraiment dans les démonstrations ?
Je pense qu'on peut faire de la topologie algébrique en ne connaissant que les bases de la topologie (savoir ce qu'est un ouvert, un espace connexe, etc), pas besoin d'aller extrêmement loin. Historiquement, en effet je pense qu'on peut dire que l'analysis situs (selon la terminologie de Poincaré, c'est-à-dire la topo algébrique) prédate la topologie générale (définition abstraite d'un espace topologique, compacité, etc).
Je crois aussi qu'en pratique, pour l'étude de la physique par exemple, les concepts de topologie algébrique sont plus importants, car c'est ça qu'on peut calculer dans de nombreux cas.
4) Sur la chapitre III), j'ai pas tout compris aux rétractations par déformation que tu appliques pour les différents nœuds. J'essaierai d'y revenir, car je comprends que ma question soit vague si je ne te dis pas où je n'ai pas compris. C'est pourquoi la figure se RPD en la nouvelle figure que je ne comprends pas.
5) Enfin pour démontrer que deux lacets sont homotopes, on dit souvent "ça se voit sur la figure". Mais peut-on le démontrer rigoureusement ?
En effet toutes ces affirmations dont je dis qu'elles sont claires sur le dessin peuvent se démontrer proprement, mais c'est souvent assez pénible. Tu peux regarder comment c'est fait dans les livres. Dans ces vidéos je préfère passer sur ces détails techniques et finalement peu intéressants, pour me focaliser sur les aspects vraiment non-triviaux.
Ceci est particulièrement vrai pour les RPD que j'utilise dans les calculs sur les noeuds, mais vraiment dans chaque cas particulier tu peux le faire.
Par exemple prenons le nœud trivial, vu comme un cercle dans R^3. Alors tu peux prendre la sphère dont il est un grand cercle, et faire une sorte de projection centrale de tout l'espace qui est extérieur sur cette sphère. Puis pour les points à l'intérieur de la boule, tu les rétracte sur le diamètre de la sphère perpendiculaire au cercle (disons en faisant une projection à latitude constante, si le nœud est vu comme l'équateur de la sphère). Et tu peux aussi rétracter de la même façon les points de la sphère qui ne sont pas sur l'équateur. Voilà, j'ai démontré la RPD la plus simple :)
Salut monsieur .Mr j'ai une question la topologie algébriques c'est l'algèbre topologie ?ou non le thème est différent
Bonjour
Pourrais tu un de ces jours faire le pont avec les TQFT? en particulier, même un esquisse sur le polynôme de Jones. J'en demande peut-être trop...
Je verrai, c'est pas prévu pour le futur récent mais oui dans l'idée pourquoi pas ! Je n'exclus aucun sujet !
Thanks
Excellente pédagogie. Merci beaucoup et bravo. Mais pourriez-vous donner un plan permettant de se former à la topologie en suivant les vidéos selon un ordre chronologique logique ? Autre question : comment passe-t-on (si c'est possible) de la topologie des voisinages à la topologie des variétés. Merci de vos aimables réponses. Drouet Eric
Merci! Les vidéos que j'ai faites traitent des premiers concepts de la topologie algébrique, dans l'ordre de parution (il n'y en a que quelques unes pour le moment), malheureusement ce n'est pas du tout un cours complet pour le moment. Je ne comprends pas bien la question sur la topologie des voisinages est variétés.
Bonjour ou Bonsoir…. pouvons nous discutez sur la notion 'évolution "temporelle"...'...merci...
Je ne comprends pas la question, de quelle évolution temporelle parlez-vous ?
A 27:00 : je ne comprends pas pourquoi, sur la sphère, tous les lacets sont homotopes. Si on prend un lacet, et que l'on fait plusieurs tours, ou que l'on fait le tour en sens inverse, pourquoi sont-ils homotopes, contrairement à ce qui se passe sur le cercle ? Merci si quelqu'un peut m'éclairer :-)
On peut toujours déformer un lacet en un point (il suffit de transformer le lacet en bougeant le long des méridiens jusqu'à ce qu'il soit rétracté en le pôle). Du coup tous les lacets sont homotopes.
@@antoinebrgt Et donc peu importe le nombre de tours et le sens (contrairement au cercle). Merci :-)
@@philippe3721 Oui exactement ! Alors que pour le cercle, impossible de déformer puisqu'il n'y a pas "d'intérieur" !
Salut, peut-on décrire le produit libre du groupe des entiers relatifs par lui-même en le rendant isomorphe à un groupe bien connu ?
Tout dépend de ce qu'on appelle bien connu, tu peux le décrire en utilisant des arbres par exemple (je crois que le livre de Hatcher, que je mentionne en référence, continent une telle Illustration). Mais je dirais que Z*Z est là description la plus élémentaire.
Z*Z ne serait il pas isomorphe (ou quasi isomorphe) a R. En tout cas is sont tous les 2 de cardinal 2^N
Bonjour, super vidéo ! J'arrive un peu tard, mais une sphère, ce serait pas aussi un enroulement de disque autour d'un disque de même rayon (de la même façon qu'un tor sauf que les deux disques sont de même rayon) ? Si c'était vrai, alors on pourrait dire que pi1(S2)=pi(S1)xpi(S1)=Z² ce qui est faux donc j'imagine que ma définition de la sphère est fausse ? Peut être que ce que j'ai dis c'est plutot une ellispoide ?
Merci!
Non on ne peut pas dire qu'une sphère est un "enroulement" d'un disque sur un disque, ce qu'on peut dire c'est que c'est une famille de cercles (les parallèle sur la terre), de taille croissante puis décroissante. Mais évidemment il n'y a pas de contradiction avec le groupe fondamental!
@@antoinebrgt Merci beaucoup ! :)
Bonjour,
Merci pour votre précieux travail.
Une question naïve: à la fin de la vidéo vous présentez un résultat :
" Tout groupe est le Pi(1) de quelque chose".
Je suppose que par quelque chose il faut entendre espace topologique ?
Si oui comment trouver l'espace topologique dont on connait le groupe fondamental ?
Par exemple quel est l'espace topologique dont le Pi(1) est un groupe fini du type Z/nZ ?
(J'espère que ma question n'est pas ridicule).
Merci pour votre réponse.
C'est une très bonne question, en effet on peut construire un espace topologique ayant un groupe fondamental G pour n'importe quel groupe G donné. On peut le construire explicitement à partir d'une présentation de G en termes de générateurs et relations (l'idée est de mettre une boucle pour chaque générateur et un disque pour chaque relation). Par exemple pour le groupe cyclique d'ordre n on peut prendre la surface de Riemann de la fonction z^n.
@@antoinebrgt Merci beaucoup.
Juste je n'ai pas bien compris où était le chocolat, C'est un nappage d'épaisseur inférieure à celle du noeud ? De sorte que c'est un peu T-N ? C'est à dire comme le tore mais où on a retiré tout ce qui était couvert par le noeud ?
Ca me semble un peu flou
Oui c'est une couche d'épaisseur non nulle (c'est pour ça que je ne veux pas dire que c'est une partie du tore, car celui-ci n'a pas d'épaisseur), mais inférieure à celle du nœud épaissi (de sorte que ce nœud découpe bien la couche de chocolat).
Après attention, ce que j'appelle T dans la vidéo (T calligraphique) c'est le tore solide, c'est-à-dire l'intérieur (3d) du tore. Du coup du point de vue topologique, T ou T union le chocolat, c'est la même chose.
@@antoinebrgt merci
Merci beaucoup pour toutes tes videos. Je l'ai presque toutes suivies car je m'interesse beaucoup sur la algebraic geometry. J'aimerai que si c'est possible bien sûr, je veux en privé discussed with you. Thank you!
@27:00 qourpoi n'aurait-on pas le droit de considérer les boucles ou enroulement dans S2 comme dans S1?
On a le droit, mais c'est topologiquement trivial, tu peux déformer la boucle en un point si tu es sur S2.
28:25 peut-on faire la preuve pr récurrence?
Oui, c'est une bonne idée (il faut utiliser la construction topologique des sphères par récurrence)
Est ce que tu peux faire un vidéo sur les états cohérent
C'est un peu spécifique comme sujet, j'en parlerai peut-être à l'occasion dans une vidéo sur les états quantiques...
Quelles différences de restreindre les boucles aux surfaces ? Que ce soit sur une sphère ou un tore on a les mêmes boucles. Celles qui tournent autour du trou central dans le volume du tore ne peuvent pas êtres contractées en un point tandis que les autres et dans la sphères elles le peuvent toutes.
Je ne comprends pas la question, les boucles sur le tore ne sont pas les mêmes que sur la sphères puisque certaines sont indéformables sur le tore, mais toutes le sont sur la sphère, non ?
@@antoinebourget9824 Celles qui ne font pas le tour du trou dans le tore sont comme celles sur les surfaces du tore et de la sphère et dans la sphère.
Excellente vidéo, est ce que vous pouvez m'aider en relativité général, je suis bloquer. Merci pour tout vos vidéo
C'est vaste la relativité générale ! Quel est le problème ?
Lorsque, perdu dans la forêt de ses systèmes, l'homme entrevoit au travers des frondaisons l'étoile résurgente de la pédagogie antonine, le feu d'espérance de la raison renaît sous la cendre la plus noire...
Je m'applique simplement ici, laborieusement, à marcher sur les traces de plus doctes mandarins, et toute clarté dont je serais flatté et heureux de me voir attribuer la diffusion n'est, comme tu le sais plus que tout autre, que la pâle réverbération de la nitescente flamme sacrée que j'ai eu le privilège intime de contempler indivise...
Vu la même présentation par Jp Serre…pratiquement rien compris. Par vous, tout est clair. Mais peut-être que l’avoir vu une fois m’a aidé
Merci pour le compliment, être comparé à Serre est impressionnant :D mais il parlait probablement de choses plus avancées !
Petite coquille : "sur un bol, les lacets vont être tous non triviaux", en fait c'est le contraire
Oui effectivement !
Autre imprécision, gamma à 14m53 n'est pas l'image,sinon, gros problèmes de plongement,etc. c'est vraiment l'application
Peux-tu préciser, je n'ai pas compris où est-ce que je dis que c'est l'image (?)
@@antoinebrgt Bonjour, excuse moi d'avoir tardé à te répondre, c'est à 14 mn 32; clairement, si c'était l'image, π1(cercle) serait trivial
14:35 oui, c'est l'application pas juste l'image, mais c'est ce qu'il écrit
Documentaire guerre froide
Largué à partir du donut et son nappage en chocolat. Faut se faire une représentation en 3D de chaque partie et là, j'ai du mal.
Oui c'est pas forcément facile à dessiner, mais tu peux essayer de le fabriquer toi-même (en prenant un vrai donut par exemple !)
@@antoinebrgt hé hé :-) pourquoi pas... mais déjà, faudrait que j'arrive à me convaincre que tes enroulements sur le donut est bien le nœud de trèfle. Même ça, ça ne me paraît pas trivial. Du coup, j'ai peur pour les vidéos qui suivent...
@@j9dz2sf Tu peux jouer avec le diagramme en appliquant les mouvements de Reidemeister, et le "bon sens" quand c'est plus simple, en faisant gaffe tout de même.
fr.m.wikipedia.org/wiki/Diagramme_d%27un_n%C5%93ud,_d%27un_entrelacs
Deux trois critiques constructives. 12 minutes pour rentrer dans le vif du sujet, sans même un bref rappel historique. Beaucoup de "euh", c'est assez pénible à suivre. Pas certain que l'image de l'intervenant qui écrit sur une tablette soit indispensable. Sur la forme, j'aime beaucoup DrPhysicsA. Sinon contenu très intéressant, et belle écriture, ce qui ne gâche rien, bien au contraire. Et plus généralement bravo pour votre travail.
Merci pour les commentaires !
Oui je suis d'accord que pour l'élocution il faudrait sans doute que j'essaie de moins hésiter (et aussi de parler plus lentement). Pour ce qui est de l'aspect historique, je ne me sens pas vraiment qualifié pour le faire (l'histoire des idées est assez complexe, en maths aussi).
Je ne connais pas DrPhysicsA, je vais regarder !
@@antoinebrgt Je ne suis pas d'accord. L'explication en directe, même si parfois hésitante, est beaucoup plus efficace que ces vidéos hyper bien léchées que l'on trouve à foison sur CZcams. De même, avoir visuel sur le "teacher" aide aussi. Surtout ne rien changer !
@@brossolletpaul5905 Merci :)
Je pense que la critique sur l'élocution n'était pas infondée, mais en effet pour la caméra je compte bien la garder.
Je pense que le visuel de l'enseignant a une importance psychologique, c'est ce qui différencie de la lecture d'un livre. Les hésitations (les euh) permettent aux lents comme moi d'avoir plus de temps pour saisir...
Continuez et ne lésinez pas sur les dessins, surtout en topologie.