Topologie Algébrique II : Homologie, la théorie
Vložit
- čas přidán 1. 02. 2020
- Cette vidéo présente les bases de l'homologie simpliciale, en se concentrant sur la théorie. Elle est complétée par une seconde vidéo qui contient des exemples.
Plan:
4:30 Introduction, homologie et homotopie
11:40 Un exemple fondamental
Définitions pour l'homologie simpliciale :
23:30 Simplexe
30:52 Complexe simplicial
40:16 Chaîne
44:20 Frontière et théorème fondamental
1:00:00 Groupes d'homologie
1:03:30 Nombres de Betti
1:04:20 Polynôme de Poincaré et Caractéristique d'Euler
1:09:10 Résumé
Autres vidéos de la série :
- Partie I : • Topologie Algébrique I...
- Partie IIa : • Topologie Algébrique I...
- Partie IIB : • Topologie Algébrique I...
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Références : Le contenu est assez standard, j'ai adopté ici des notations proches de celles de Hatcher (Algebraic topology). On pourra aussi consulter l'ouvrage en français de Christian Leruste (Topologie algébrique).
Très bonne vidéo parfaitement claire et super intéressante merci beaucoup ! À 25:08 je me demandais si par hasard ce ne serait pas plutôt un hyperplan de dimension n-1 ?
Ah oui bien vu ! Je vais mettre un Errata en description. Merci pour ce visionnage très attentif !
Vidéo absolument enrichissante et bien construite, un vrai plaisir à suivre
Merci ! La deuxième partie arrive demain !
Merci pour cette nouvelle vidéo très attendue !!
Merci pour toutes vos vidéos très bien faites ! :) il ne manque plus qu'une vidéo sur la Cohomologie :)
Oui, je vais essayer de faire ça cette année!
Merci beaucoup vidéo tant attendu, Vivement la Cohomologie et la Cohomologie de De Rham, espace fibré.
Merci ! La suite viendra :)
Très bon vidéo!
Thanks Peter ! One day I'll make one in English, I promise :)
C'est parfaitement expliqué, merci beaucoup. J'espère que tu feras une vidéo traitant le penchant plus algébrique de la chose.
Une petite question: les nombres de Betti ne devraient-ils pas dépendre du complexe simplicial choisi ?
Merci ! Oui je ferai un jour une vidéo plus algébrique, en parlant des complexes de chaînes, de l'homologie générale, etc.
Pour ta question, non les groupes d'homologie ne dépendent pas du complexe simplicial choisi (heureusement !), et donc les nombres de Betti non plus (heureusement aussi !), ce sont des invariants topologiques.
Je n'ai sans doute pas été assez clair là-dessus, c'est en partie parce que je comptais faire une autre partie sur l'homologie singulière où j'aurais expliqué que tout ça est équivalent, mais j'ai estimé par la suite que la vidéo serait trop longue...
Voilà une question essentielle
Vidéo fort bien expliquée et très intéressante.
Tu as un don pour rendre claires des choses ardues.
Notamment tu expliques le pourquoi des définitions là où d'autres profs les parachutent sans expliquer leurs motivations.
J'ai comme d'habitude quelques questions:
1) Concernant l'abélianisé, je m'attendais à ce que tu quotientes un groupe par son groupe dérivé, or dans la suite exacte, tu quotientes le noyau par l'image. Est-ce la même chose ?
2) De plus pour le groupe d'homologie, tu quotientes le noyau par l'image là où tu pourrais prendre le complémentaire de l'image dans le noyau. Evidemment ça ne donnerait plus un groupe.
3) Tu as réussi dans ton cours à ne pas parler de catégories. Là où les profs actuellement semblent avoir opté pour cette nouvelle approche. Mais peut-être que les catégories permettent de voir les choses plus en profondeur, comme par exemple quand tu fais le lien avec d²=0 en cohomologie ?
4) Peut-on parler de base quand le module est pris sur un anneau et non plus sur un corps ? Notamment les applications epsilon forment-elles vraiment une base ?
5) Quand tu orientes le triangle ABC, le côté AC tu ne l'as pas orienté de sorte à ce que les flèches forment un cycle. Est-ce voulu ? Est-ce que ça donnerait les mêmes résultats si ça avait été le cas ? Notamment pour la formule "frontière de la frontière=0" ?
6) Enfin, quand tu définis le simplexe standard, y a-t-il un lien avec les coordonnées barycentriques ?
Bien amicalement.
Bonne soirée ^^
Merci pour ces commentaires et questions! Je vais essayer de répondre une par une.
1) Pour l'abélianisé en effet on quotiente par le groupe dérivé. Mais ceci est pour passer du groupe d'homotopie au groupe d'homologie, cela n'a rien à voir avec la construction comme quotient Ker/Im !
En plus, tous les groupes Ker et Im qui apparaissent ici sont abéliens, donc ça n'aurait pas de sens de les abélianiser.
2) Oui c'est pour ça qu'on préfère le quotient. Mais en effet c'est le même esprit, comme traduit par mon petit schéma.
3) Oui j'ai essayé d'éviter de parler de catégories et de choses trop abstraites. Comme je le dis, j'ai adopté ici une approche très géométrique, très visuelle. Dans une autre vidéo je prendrai peut-être l'approche algébrique, où il faudra utiliser un peu de théorie des catégories. Pour les choses assez basiques que j'ai racontées ici, je pense que ça ne vaut pas le coup d'avoir tout cet arsenal.
4) Oui on peut parler de base dans certains cas, par exemple quand le module est libre, comme c'est le cas ici. Mais en effet la théorie des bases sur un module est en général beaucoup plus subtile que celle des bases sur un espace vectoriel, donc tu as raison de te méfier !
5) Tous les résultats importants sont indépendants des orientations choisies, il faut juste rester cohérent dans un calcul donné. En effet tu peux vérifier que si je change l'orientation d'un coté dans le triangle, le résultat d^2=0 reste vrai, les groupes d'homologie ne changent pas, etc.
6) Oui il y a un lien en effet, on peut dire que le simplexe standard est l'ensemble des points ayant toutes ses coordonnées barycentriques (relativement aux points choisis) positives.
J'espère que les réponses te conviennent, on peut continuer à discuter si tu as d'autres question !
Je vais de ce pas regarder ta vidéo sur les exemples. C'est vraiment bien ce que tu fais.
Petite demande: peux-tu faire des vidéos sur la théorie de Galois ?
@@SefJen J'ai pas prévu de faire la théorie de Galois pour le moment, ça viendra peut-être mais dans assez longtemps, j'ai déjà un gros programme (cohomologie et algèbre homologique, algèbres et groupes de Lie, théorie quantique des champs et modèle standard, théories de jauge, théories conformes, finir la relativité avec les trous noirs, ...) J'en ai pour des années à ce rythme ! Après s'il y a une demande générale pour Galois je pourrai y songer aussi -- je l'ai d'ailleurs utilisée dans un article il y a quelques années :)
Waouh, sacré programme !
Jsuis un peu tatillon mais si je dis pas de bêtises, dans la présentation du groupe fondamentale de la surface de genre 2, la relation est plutôt : le produit des commutateurs est trivial, cad : [a, b] [c, d] =1
Ou encore aba^(-1)b^(-1)cdc^(-1)d^(-1)=1
16:20
Excellente vidéo, on ne trouve pas du contenu formel à tous les coins de rue sur ytb.
Tu es peut être le précurseur d'une nouvelle ère ! ^^
Oui, mais c'est équivalent à la relation que je donne (il suffit de faire passer tous les termes c et d de l'autre côté), non ?
Merci pour les compliments !
Justement quand on passe tous les terme du même côté dans ta relation on obtient
aba*b*dcd*c*
Ou x*=x^(-1)
Donc ça donne qqc de visiblement différent.
Après, prouver que deux présentation de groupes différentes ne donnent pas un même groupe est compliqué en général.
@@loloolaf6359 c’est la même si je renomme c en d et d en c, non ?
Ah ok donc tu veux dire que j’ai inversé une des flèches pour c ou d... oui c’est possible, il faudrait que je refasse le dessin pour voir :)
Oui en effet j'ai été trop rapide sur la gâchette ^^
Merci de m'avoir corrigé de t'avoir corrigé.
J'aime beaucoup votre travail.
Je vais me permettre une petite remarque. Il aurait sans doute été utile de définir le bord d'un simplexe (et donc son intérieur).
Si dire que les points qui ne sont pas dans l'intérieur d'un triangle sont ses côtés et si dire que ceux qui ne sont pas dans un segment sont ses extrémités me semblait assez naturel, j'avais l'impression que l'intérieur d'un point était vide.
Je me suis ensuite dit que si on posait que le "bord" d'un simplexe était la réunion de ses faces et donc que son intérieur était X-bord(X), alors ça collait. Après quelques recherche, je suis tombé sur un bouquin de Hatcher (Algebraic Topology qui me semble très compréhensible) qui confirme cette intuition.
Si l'intérieur d'un point n'est pas vide, dans ce cas les points sont tous ouverts dans la topologie ( et on ne va pas aller loin avec cette topologie quoi que :) j'aime les fonctions continues comme beaucoup de monde ). Il faudrait juste préciser que pour les objets de dimension 0, on ne prend pas σ_alpha | int(Δ°) mais σ_alpha | Δ°.
Apparemment il y a une petite coquille à 46:13 (rectifiée par la suite) la somme ne va pas jusqu'à n+1 mais jusqu'à n ( en revanche il y a bien n+1 point ouf ! )
Félicitation pour la clarté et d'avoir pris le temps d'expliquer les idées et les concepts au dela des définitions formels. Merci beaucoup !
svp pourriez-vous me donner le nom du logiciel utiliser pour ce cours
Ici le logiciel était Inkscape, je crois
Bonjour,
J'ai une question personnelle :
Pourquoi introduire les groupes d'homologies directement avec les simplex, ce qui amène directement à écrire des expressions assez lourdes, alors qu'il est possible d'introduire le théorème d^2=0 de façon beaucoup plus "intuitive"?
Voir par exemple ici : czcams.com/video/2wn10l9qbJI/video.html
Est-ce parce que vous avez déjà en tête toute la suite, et les p-formes, quis derrière les applications à la physique ?
Il me semble qu'avec les simplexes on peut faire facilement des calculs, et on voit bien ce qui se passe. Je ne sais pas comment le faire de façon plus intuitive.
j'imagine que je me trompe mais à 18min, si je mets un élastique autour d'un hochet, c'est que je peux aussi l'enlever, en passant par le lacet constant=trivial. Du coup je vais rien comprendre au reste de la vidéo ? ;)
Tu vas pouvoir l'enlever mais pas en restant sur la surface du hochet, à un moment tu devras passer par dessus un trou!
On définit l'espace des chaînes comme le Z-module libre des simplexes de même dimension. Pour autant j'ai l'impression que la seule chose dont nous ayons besoin c'est de pouvoir prendre ± un simplexe, quand on définit l'application bord (d rond). Pourquoi donc choisir Z et non F2 (Z/2Z), ou Q, R, C par exemple ?
Oui on pourrait prendre plein d'autres choses, ici pour simplifier j'ai pris ce qui me paraissait le plus naturel / simple. Le but dans ces vidéos est de donner une intuition et les idées principales, je ne vise pas du tout la généralité :)
@Scientia Egregia Oui je viens tout juste de voir la partie IIb où tu mentionnes le choix d'anneau. J'imagine qu'on a plus d'information en utilisant Z car on perd la torsion avec R, et quand on écrit le bord d'une chaîne ce n'est jamais qu'une combinaison entière d'autres chaînes. Merci, super vidéos en tout cas, sur un créneau difficile qui plus est, keep it up!
@@cryme5 Merci pour les encouragements !
Hitomologie l étude du temps est parciel alternatif... temporelle itimolgique. Temporelle etc...
Pour le moment nous somme dans unu topoligie int erne .du a la formation temporelle.
Tempologie interne et tampolgie externe
L infirmation peut et l infiniment grand comme infiniment petit dans le contexte de d
Constante temps-libre
Dons l intérieur du cercle s de diamètre 0 à b 0c0 0d tous ces point en 0 .première 0a etc deuxième territoires rayon e.n 0 a o en a0 en b et a en b
Donc corbe entologique temporelle
001 1 100
"s'il y a des applaudissements, c'est pas à cause de ce que je dis, malheureusement!"
ahahah, . Les applaudissements, ça sert juste à réveiller ceux qui se sont endormi(e)s pendant l'évènement. Ce n'est pas le cas ici!
01 10 01 10 tc...
On ne pas aller plus 345
Faut aller plus vite.
En gros vous avez des tas de propriétés qu'on peut disjoindre en homologie et pas en homotopie.
Il est illusoire de penser qu'on fait un calcul ici. On decoupe des choses en suivant des regles. On tente de reduire ce decoupage à une ligne droite reductible à un segment.
La suite continu des identités de cette regle est incomplète. On met des calques sur des calques quoi
La video est cool merci