Démonstration arctan(1/x) + arctan(x) = π/2 pour x>0 On pose f(x) = arctan(1/x) + arctan(x) sur ]0;+infini[ La dérivée est nulle donc la fonction est constante sur l’intervalle Donc f(x)=f(1)= 2*π/4 sur l’intervalle arctan(1/x) + arctan(x) = π/2 sur R+* De la même manière il est possible de montrer que : arctan(1/x) + arctan(x) = -π/2 sur R-*
@@adrien497 Pour faire la DES de 1/t(t^2+1) on cherche deux fonction u et v tq u(t)/t +v(t)/(1+t^2)=1/t(t^2+1), càd u(t)*(t^2+1)+v(t)*(t)=1 ou encore u(t)* (t^2)+v(t)*t+u(t)=1 Le seul term constant est u(t), on a donc u(t)=1, puis en remplaçant, on obtient v(t)=-t On a donc 1/t(t^2+1)=1/t - t/(t^2+1), ça qui est facile à intégrer.
Sans passer par la relation entre arctan x et arctan 1/x, on pouvait directement faire une IPP en dérivant arctan(1/x), dont la dérivée est la même que celle d'arctan au signe près
Démonstration arctan(1/x) + arctan(x) = π/2 pour x>0
On pose f(x) = arctan(1/x) + arctan(x) sur ]0;+infini[
La dérivée est nulle donc la fonction est constante sur l’intervalle
Donc f(x)=f(1)= 2*π/4 sur l’intervalle
arctan(1/x) + arctan(x) = π/2 sur R+*
De la même manière il est possible de montrer que :
arctan(1/x) + arctan(x) = -π/2 sur R-*
@@SachaGeocaching Félicitation !
C'est exactement ça. On peut avoir un résultat similaire sur R-
T'as repris la DA d'Axel Arno, j'aime bien
@@maximuse2276 Avec son accord !
Et je change les fonds à chaque fois.
Une éducation nationale digne de ce nom devrait permettre à chaque élève de terminale de résoudre au MINIMUM ce genre d'intégrale!
🧙🏼♂️
@@smartsciences Oui, dommage que l'atan soit ne soit pas enseignée, ça aurait peut-être rendu les cours de maths plus intéressant.
J'aime beaucoup toutes les formules qui donnent des constantes autour des fonctions Trigo réciproques !
@@ThetaMaths oui, elles sont vraiment sympas !
Une autre méthode pour cette intégrale ? 👇
u=1/x j'ai essayé mais pas réussi la DES après ( on a du 1/u(u^2+1), jsp comment gérer le u^2+1 ) dans tous les cas c'est plus long et moins élégant
@@adrien497 Pour faire la DES de 1/t(t^2+1) on cherche deux fonction u et v tq u(t)/t +v(t)/(1+t^2)=1/t(t^2+1), càd u(t)*(t^2+1)+v(t)*(t)=1
ou encore u(t)* (t^2)+v(t)*t+u(t)=1
Le seul term constant est u(t), on a donc u(t)=1, puis en remplaçant, on obtient v(t)=-t
On a donc 1/t(t^2+1)=1/t - t/(t^2+1), ça qui est facile à intégrer.
Sans passer par la relation entre arctan x et arctan 1/x, on pouvait directement faire une IPP en dérivant arctan(1/x), dont la dérivée est la même que celle d'arctan au signe près
Le second changement de variable t = u²+1 permet d'intégrer facilement 1/(u(1+u²))
J'investi un polynôme du second degrés sur cette vidéo (n'oublie pas que j'ai bz ta soeur)(et aussi je suis gay)
Où est le hashtag humour?
@@cedricnutsugan4869 tkt