Estruturas Algébricas - Aula 5: Teoria de Grupos (Potenciação em um grupo e resolução de exercício)
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- čas přidán 4. 09. 2024
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Dúvidas e sugestões podem ser colocadas nos comentários do vídeo. Tentarei responder a todos na medida do possível.
Na Aula 5 de Estruturas Algébricas define-se potenciação em um grupo, ou seja, dado um elemento x do grupo G, como devemos calcular o resultado da potência x elevado a k, sendo k um inteiro maior ou igual a 1. A definição é feita considerando que x elevado a k é a operação de x com ele mesmo, k vezes. Define-se ainda que x elevado a 0 é igual ao elemento neutro e que x elevado a -k é simplesmente o inverso de x elevado a k, ou, em outras palavras, o inverso de x operado com ele mesmo, k vezes.
Após a definição e algumas explicações, um exemplo de potenciação utilizando um elemento de S3 é realizado e, então, um exercício do livro de Álgebra Moderna, dos autores Hygino Domingues e Gelson Iezzi é resolvido detalhada mente. O exercício é o seguinte:
"Seja G um grupo finito. Mostre que, dado x pertencente a G, existe um inteiro n maior ou igual a 1 tal que x elevado a n é igual ao elemento neutro e."
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Contato: mathsolve8@gmail.com
Matsolve
Matsolve com Prof. José Sérgio
Muito obrigado, vc é um dos melhores professores do CZcams.
Desejo muito sucesso e gratificação financeira.
Valeu presado professor!
Olá meu caro Everton, fico satisfeito em receber seu comentário. Ele me deixa muito feliz!
Continue acompanhando o canal!
Desejo sucesso! 👨🏫📚📖🚀
Parabéns pela explicação, professor! O conteúdo fica muito claro.
Obrigado pelo comentário, Daniel! É sempre bom saber que o material que preparo com tanto carinho está ajudando as pessoas! 📚✈️👍🧑🎓🚀
Ótima aula!
Obrigado 😃
Obrigada, professor... perfeito!
Que bom que gostou Gleyce!!
@@josesergiomatsolve Professor, ja estou em grupos cíclicos. Fiquei com duvidas na questão 77.Mostre que os elementos não nulos de Z13formam um grupo multiplicativo cíclico
isomorfo ao grupo aditivo Z12.
Meditando, entendi que ser isomorfo é ser homomorfismo bijetor, mas como vou mostrar isso no (Z13,. ) e (Z12 ,+)? Ou não vou conseguir respoonder por ai? ou to erradaaa... ou ..ou .. ou kkkk perdida !
@@gleycerezende6844 Oi Gleyce, você está certíssima! Ser isomorfo é, por definição, ser um homomorfismo bijetor! Porém, para muitos problemas, ter que criar uma função bijetiva que seja um homomorfismo, pode não ser uma tarefa muito óbvia. Mas, para nossa sorte, existem resultados já demonstrados que nos permitem concluir que dois grupos são isomorfos sem ter que procurarmos tal função. No próprio livro de Álgebra Moderna do Hygino e do Iezzi tem um resultado que permite resolver esse problema de forma muito simples. É a Proposição 18, da página 182. Ela afirma que se G=[a] (ou seja, cíclico e gerado por a) é um grupo finito de ordem h, então a correspondência s^{barra} --> a^s é uma aplicação de Zh em G e que ela é um isomorfismo do grupo (Zh, +) no grupo (G, .). Então, para a questão 77, basta considerar que h=12, para que se tenha Zh=Z12 e que G=Z13, apenas com os elementos não nulos. Será necessário também observar que Z13 é cíclico e determinar seu gerador. Não calculei se existe mais de um, mas sei que o 2^{barra} é um gerador de Z13. Espero ter conseguido de ajudar um pouco com essa dica. Infelizmente não será possível gravar vídeos de estruturas algébricas por esses dias, mas se precisar, pode enviar um email para mathsolve8@gmail.com, que talvez eu possa te informar mais alguns detalhes.
@@josesergiomatsolve entendi agora kkk ficava bugando , pois considerava o Z13 o elemento nulo kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
@@gleycerezende6844 Que ótima notícia! 👏👏👏