Тождественный эндоморфизм. Почему что-то равно себе? // Теория категорий 1.4.
Vložit
- čas přidán 22. 05. 2024
- Что такое эндоморфизм и почему так важно ничего не делать.
См.подсказки ниже ...
Замечание к 01:44 . Вернее говорить, что "эндомофизм" - это отображение не "на", а "В" себя. Слово "на" лучше использовать для сюръекции и эпиморфизмов, а приставка "эндо" обозначает "внутрь".
отблагодарить/поддержать:
boosty.to/molotov_ilya/donate
Дополнительные материалы:
- ncatlab.org/nlab/show/endomor...
- Conceptual Mathematics, A first introduction to categories - 16 стр.
- Sets for Mathematics - cтр. 4
- Голдблатт. Топосы - стр. 35
- An Invitation to Applied Category Theory: Seven Sketches in Compositionality - стр.12
Практические вопросы:
1. Эндоморфизмы переводят элементы множества в самих же себя. При этом задействуются все элементы множества в области определения. Сколько существует таких эндоморфизмов на множестве из 3х элементов? А на множестве из N элементов?
2. представьте множество из трёх элементов. Если мы возьмём композицию тождественных отображений - то получим тождественное отображение. Но есть ли ещё такой эндоморфизм - который при повторном применении даст себя же? Если такие отображения есть - то сколько их?
3. Тождественное отображение ничего не меняет. При этом не всякий эндоморфизм на объекте оставляет его структуру неизменной. Можно ли построить пару нетождественных эндоморфизмов, которые дадут такой же результат, как и единичная стрелка?
4. В определении единичной стрелки через нейтральность к пред и по - следующим отображениям мы использовали диаграмму. Можно ли в определении обратить направление стрелки и как при этом изменятся уравнения?
5. Подумайте о ранее придуманных вами категориях, морфизмах и композициях. Можно ли ввести на вашей категории стрелки от объектов в самих же себя. Существуют ли при этом тождественные стрелки для каждого объекта? Если нет - то в чём проблема? А если можно (т.е. можно ничего не делать с объектами) - то можно ли внести изменения в систему, так чтобы на объектах не было тождественных преобразований и всё было в движении?
---------------------------------------------------------
Подсказки к вопросам:
1. рассмотрите отображения, которые "схлапывают" всё в один элемент
2. рассмотрите отображения которые "не схлапывают" элементы и оберните стрелки (рассматриваем автоморфизмы)
3. 3 в степени 3, либо N^N. Почему?
4. Да, можем. Достаточно немного исказить трапецию в диаграмме или отразить её вертикально.
5. Подумайте о системе, которая находится в постоянном движении, так, чтоб объекты никогда не находятся в покое.
Структура ролика:
00:00 Вступление
01:20 Теория
03:30 Внешняя теория
04:37 Единственность id
06:20 Практика
08:24 Заключение
Ключевые слова:
- композиция
- морфизмы
- внешние диаграммы
- внутренние диаграммы
- теория категорий
В видео использованы материалы:
1. icons8.com/icon/QPMtNJY6smos/...
2. icons8.com/icon/yIgs898MG4Ai/...
3. icons8.com/icon/118377/chat-m...
1. Каждый элемент может перейти в один из N элементов независимо от других, значит для одного количество вариантов N, для двух N*N, а для N - N^N.
2. Такие отображения называются инволюциями вроде. Навскидку это любая перестановка с циклами длины не более 2. Для трёх элементов я насчитал 4 таких перестановки: 123, 213, 321, 132. Общую формулу для N так сходу не нашел :-(
3. Просто любая неинволютивная перестановка и обратная ей, например: 231 и 312.
В 2м вы привели циклы длинны 3, если я правильно помню. По Кострикину, цикл длинны 2 обозначить можно (12). Цикл длинны 3 - (123)
Тогда для 3х элементов это будет 3 перестановки (12), (13),(23).
Также в 2м (213), (321) и (132) эквивалентны. Это можно увидеть по тому, что в что переходит
4:29 красная стрелка - она в одну сторону.
Это что-нибудь означает?
Если про стрелку над функциями - то это обозначение порядка слева направо. Как правило композицию функций пишут наоборот.
@@molotov_ilya
Нет, я про красную стрелку между А и А. Пом
чему она односторонняя?
@@khachaturmaghakyan3980 стрелки всегда односторонние. В практике я предложил рассмотреть как раз - можно ли её обернуть в противоположную сторону.
@@molotov_ilya
ок, спс.
27 эндоморфизмов?
на 3х элементном мн-ве. И n^n эндоморфизмов на n-элементном множестве