Das sind komplexe Zahlen und dafür brauchst du sie! (Einführung + Anwendung)
Vložit
- čas přidán 27. 02. 2024
- Was sind diese komplexe Zahlen? Wie entstehen sie und wofür werden sie benötigt? Wie löst man mit komplexen Zahlen Gleichungen, und wo finden sie Anwendung? Hier führen wir die Herleitung der komplexen Zahlen Schritt für Schritt durch. Dabei zeigen wir, dass sie eine sinnvolle Erweiterung der reellen Zahlen darstellen. Wir erklären die Darstellung von komplexen Zahlen mit Realteil und Imaginärteil und erläutern ihren Nutzen in Polar- und Exponentialform. Komplexe Zahlen können grafisch als Punkte oder Vektoren in der Gaußschen Zahlenebene veranschaulicht werden. Als Anwendungsbeispiel demonstrieren wir, wie komplexe Zahlen in Polarform verwendet werden können, um die Überlagerung sinusförmiger Schwingungen zu berechnen, wobei eine Schwingung phasenverschoben zur anderen ist. Dies wird durch Vektoren auf der Gaußschen Zahlenebene illustriert, die die Schwingungen repräsentieren.
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#komplexeZahlen
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Da durchläuft mich ein Glücksgefühl, möchte ich sagen, wenn ich die Herleitungen ansehe. Bin kein „hartgesottener Mathematiker“ (welch schöne Wortwahl!), sondern ein weichgespülter „Geisteswissenschaftler“. Wer das so begreifbar darstellt, muss ein wahrer Meister sein. Chapeau!!!
Vielen Dank für diese lieben Worte:).
Da die Mathematik teilweise in der Philosophie verankert ist, haben wir sicherlich auch eine Gemeinsamkeit, die unsere Bereiche verbindet. Ob hartgesotten oder nicht, es freut mich dass du die Freude der Erkenntnis teilst. Danke dir!
Genau auf diese Weise sollte man die komplexen Zahlen einführen .So habe ich es viele Jahre lang in einer Ingenieur-Vorlesung getan.
Vielen Dank:)
Sehr gut abgeleitet und dargestellt, hoch interessant auch wenn man damit schon gerechnet hat, großes Plus!
Vielen Dank:)
Gratulation zu diesem tollen Video 👍👍👍👊
Vielen Dank👊:)
Ich weiß nicht wer du bist und woher, irgendwie klingt es ein bisschen polnisch.
Aber du hast mir in den ersten 6:30 min schon erstmal genug Werkszeug an die Hand gegeben, das ich mir bisher in Jahren versucht habe zu erarbeiten. Ich kannte keine Regeln und wozu überhaupt, aber damit kann ich sofort was anfangen!
Vielen Dank! Dziękuję!
Ich danke dir für diese Worte. Es freut mich echt, wenn ich damit helfen kann:)
Das hätte ich in den ersten Vorlesungen in Ingenieurmathematik gebrauchen können!
Super erklärt
Ich danke dir:)
Wirklich toll erklärt!💪
👍😎🇦🇹
Vielen Dank:)
Eine Polynomfunktion hat immer so viele Lösungen wie die Zahl der höchsten Potenz entspricht. Allerdings kann ein Teil dieser Lösungen komplex sein (z.B. x² + 1 = 0) oder mehrfach vorkommen (z.B. x² + 2x + 1 = 0).
Das stimmt! Danke für diese Ergänzung:)
Sehr gutes Video zur Einführung komplexer Zahlen
👍👊!
Beim Thema "phasenverschobene Überlagerung von Schwingungen" wird's etwas unübersichtlich (manchmal ist weniger mehr 😉), aber sonst: top!
🙂👻
Vielen Dank👊;)
Die Nummer, die sie gewählt haben, ist imaginär. Bitte drehen sie ihr Telefon um 90 Grad und versuchen sie es erneut.
:D
Jawoll😂😂😂!
Das ist was für Baerbock 😀
Am Anfang habe ich bei Mathe-Faust an den Roman Faust gedacht. Aber jetzt weiss ich: das ist ja der Hammer oder besser gesagt die Faust :).
Danke dir :D. Ich bin zwar kein Goethe, aber es freut mich, dass der Inhalt gut ankommt 👊
warum Wurzel aus (-1) auch ein Drehzeiger ist, ergibt sich auch aus folgender Überlegung: 3:30 wenn man bedenkt, dass die negativen Zahlen ja durch eine Multiplikation mit (-1) entstehen, (die es ja "vorher" bei Q+ auch nicht gab) und festlegt, dass die im Schaubild genau 180° nach links liegen, legt man eigentlich schon den Grundstein dafür, dass eine Multiplikation mit einer negativen Zahl auch immer eine Drehung beinhaltet, um das richtige Vorzeichen am Ende zu erhalten (die Beträge verhalten sich genau wie in Q+). Also 5 × (-1) × (-2) = 5 × 1 × 2 mit einem Winkel von 0° + 180° + 180° = 360°. Dann ist dies ebenfalls der Grundstein dafür, dass ich einen Winkel auf dem Zahlenstrahl (also 0 oder 180°) in N Teile zerlegen kann, da ich ja hier z.B. N=3 Zahlen multipliziert habe. Das heißt, wenn ich mehr as 2 gleiche Zahlen miteinander multipliziere, liegt eine Lösung dafür nicht auf der +- Achse. Also nur eine Teildrehung. Das i ist also eher ein "halbes" Minuszeichen was Multiplikation an geht. Also die Wurzel aus der Minusoperation, die man statt "+180°" ebend als "×(-1)" schreibt. Deshalb also Wurzel aus (-1).
Danke für diese gute Ergänzung 👊:)
Danke sehr gut erklärt!
NUR: die Polarform kann ich doch auch ohne i verwenden um die Schwingungen darzustellen und zu addieren, oder nicht?
Wäre auch interessant zu erfahren wie Leibnitz auf diese Gleichung gekommen ist?
Man kann Schwingungen in einer Art Polardarstellung beschreiben ohne direkt komplexe Zahlen zu verwenden. Also im Prinzip Radius (bzw. Amplitude) und Winkel (bzw. Phasenverschiebung) betrachten - und bleibt so im reellen. Allerdings hat die (komplexe) Polarform viele Vorteile insbesondere bei der Vereinfachung von Berechnungen.
Wie Leibnitz auf diese Gleichung gekommen ist, ist leider nicht gut dokumentiert. Man findet lediglich in mehreren Quellen dass er sie "entdeckte".
@@mathe-faust , könntest du ein Beispiel zeigen im dem die komplexe Polarform einen klaren Vorteil hat? Danke!
Hi. Allein schon die Multiplikation und Division zweier komplexer Zahlen in Polarform erleichert einiges. Bei der Multiplikation werden die Radien multipliziert und die Polarwinkel addiert. Bei der Division zweier komplexer Zahlen in Polarform werden die Radien dividiert und die Polarwinkel subtrahiert. Dies ist deutlich einfacher als die entsprechenden Operationen in kartesischer Form.
Darüber hinaus hat sie viele weitere Vorteile insbesondere wenn es um die Analyse von Wellen bzw. wenn es um Phasenverschiebungen geht. Das habe ich aber im Video schon etwas erklärt.
Wo taucht in der Polarform und in dem Beispiel die Gleichung i^2 = -1 auf? Ist sie nicht komplett irrelevant dafür?
Hi. In der Polarform und im gegebenen Beispiel ist die imaginäre Einheit i selbst von grundlegender Bedeutung. Die Gleichung i^2 = -1 ist deshalb relevant, weil sie die imaginäre Einheit überhaupt erst definiert. Entsprechend kann auch nur dann die komplexe Exponentialdarstellung verwendet werden.
Wie du am Schluss dann zu c sin(wt+alpha) kommst, hätte mich schon interessiert.
Das ist doch in der Elektrotechnik wichtig. Letztlich messe oder berechne ich doch immer nur in der Praxis reelle Werte. Ist das Rechnen mit komplexen Zahlen in der z.B. Elektrotechnik nur eine Vereinfachung der Rechenoperationen oder der Zwischenschritte, um aber am Schluss doch immer wieder auf reelle Zahlen zu kommen?
Die Euleridentität und auch andere komplexe Zahlen sind letztlich reelle Zahlen, aber das sind doch nur Ausnahmen. Wie kommt der Elektrotechniker also allgemein wieder am Schluss zu reellen Werten? Er muss doch die Polarkoordinaten in kartesische umrechnen, um i wieder loszuwerden, oder? Erweist sich i da nicht irgendwie als sperrig, um es mal laienhaft auszudrückben?
Hi. Die Verwendung von komplexen Zahlen bietet in der Elektrotechnik (insbesondere bei Wechselstromkreisen) eine einfachere mathematische Behandlung, da dadurch sowohl die Amplitude als auch die Phase eines sinusförmigen Signals in einer Zahl kombiniert wird. Man kann die Phasenverschiebung elegant darstellen und die Eulersche Formel erlaubt es sinusförmige Funktionen in eine exponentielle Form umzuwandeln, was das rechnen stark vereinfacht. Aber du hast Recht. Letztendlich bracht man reelle Komponenten, die man aus den kartesischen Koordinaten erhält.
@@mathe-faust Guten Morgen, danke dir. Hast du eventuell einen Tipp, einen Link, wo ich ein Beispiel finde? Oder magst du dazu ein kurzes Video, um mal gleich frech zu fragen? 😊🙋
@@mathe-faustNun hänge ich doch. Wie kommt man wieder zurück von der komplexen e-Funktion zu dieser c*sin (wt+alpha) Funktion? Konkret: wie bestimme ich hier c und Alpha?
Im Internet finde ich nur die Umrechnung Cosinus und Sinus in komplexe e-Funktion, aber nicht umgekehrt. Aber genau das braucht doch auch z.B. der Elektroingenieur.
Hi.
Die komplexe Funktion lässt sich ja in einen Realteil und einen Imaginärteil zerlegen:
A * e^{i(omega t + alpha)= A(cos(omega t + alpha) + i*sin(omega t + alpha)).
Für messbare physikalische Größen wie Strom und Spannung betrachtet man in der Regel nur den Realteil, das heißt:
Re(A * e^{i(omega t + alpha) = A cos(omega t + alpha).
Wenn du also eine komplexe Zahl in ihrer exponentiellen Form hast und du interessierst dich nur für die messbare physikalische Größe (wie die Spannung oder den Strom), dann ist der Realteil dieser Zahl, das, was du in kartesischen Koordinaten als "x-Wert" betrachten würdest.
@@mathe-faust Danke, das ist mir schon bewusst. Auf der x-Achse lese ich aber dann den Phasenwinkel ab und auf der y-Achse Strom oder Spannung.
Aber dein Beispiel am Schluss ist doch viel komplizierter. Da ist ja der Faktor vor e nicht mehr reell. Wie ich da zu C sin (wt+Alpha) komme, ist mir unverständlich. Aber ich will dich nicht länger Nerven und bin dir nicht böse, wenn du es jetzt sein lässt. 😊🙋
Beim nächsten Mal die Themen Quaternionen, Octonionen und Sedenionen der multidimensionalen Algebra.
Eines Tages bestimmt;)
😳😮
:)
Die letzte Argumentation ab 10:30 ist leider falsch. Aus der Gleichheit der Quadrate zweier Zahlen kann man nicht auf die Gleichheit der beiden Zahlen schließen. Das folgende Beispiel benutze ich gern in einer 9. Klasse. Bekanntlich ist 25 - 45 = 16 - 36. Addiert man auf beiden Seiten 81/4 erhält man 25 - 45 + 81/4 = 16 -36 + 81/4 oder mit binomischer Formel als Quadrat geschrieben: (5 - 9/2)² = (4 - 9/2)². Zieht man die Wurzel und addiert 9/2 erhält man die Gleichung 5 = 4.
Danke für deinen Beitrag.
Die Wurzel aus (4 - 9/2)^2 ist |4 - 9/2|. Da das Quadrat einer Zahl immer nicht-negativ ist. Damit würde es + 9/2 auch gleich 5 ergeben.
Aua. Generell gebe ich dir recht, dass man beim Quadrieren extrem aufpassen muss, da dies keine Äquivalenzumformung ist.
Aber du kommst bei deinem Beispiel lediglich auf den Widerspruch, weil du in der letzten Zeile einen Fehler machst. Die Wurzel einer Quadratzahl ist immer positiv. Somit ist WURZEL((4 - 9/2)²) = +0,5 und nicht -0,5.
Das Beispiel würde ich aus dem Unterricht verbannen... Nicht, dass noch ein Kind das Beispiel stolz seinem Ingenieurvater zeigt...
Welcher Fehler in der letzten Zeile ist hierbei gemeint?
Genau das kann man auch mit 2a=b /(2a=b).. beweisen. Ich war im Krankenhaus, als das Teilen durch Null behandelt wurde und wusste es lange nicht! Erst ein Vertretungslehrer Jahre später, füllte diese Lücke. Zum Glück hatte ich dann in Mathe im echten naturwissenschaftlichen Abi eine 2. Das wäre heute eine 1 mit 5 Sternen 😀Die Kinder können ja gar nichts mehr.
Sehr schönes Beispiel! Als Physiker ist mir das intuitiv klar, dass man bei Wurzeln immer auch die negative Lösung beachten muss.
An meine Vorredner: das Produkt aus zwei negativen gleichen Zahlen ist positiv. Daher muss die Wurzel aus einem Quadrat auch negativ sein können. Oder wie man in der Schule lernt: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung! Deswegen habe auch ich beim Schluss des Videos Bauchschmerzen, wenn ich die Äquivalenzpfeile sehe.
Hmmmm, also ich habe in Mathe gelernt, dass man eine Quadrierung (ca. bei Zeitindex 10:10) einer Gleichung KEINE Äquivalenz-Umformung ist, da durch das Quadrieren eine Lösung hinzukommen kann, die in der originalen Gleichung NICHT vorhanden war. Und daher müsste doch eigentlich erst mal bewiesen werden, dass in diesem Fall eine Quadrierung KEINE Erhöhung der Lösungselemente darstellt. Oder habe ich da einen Denkfehler?
Hi.
Du hast Recht, dass man im allgemeinen von dem Quadrat einer Zahl nicht auf die Eindeutigkeit der Zahl selber schließen kann, also dass Informationen verloren gehen können. In diesem Fall ist z.b. die 6 das Quadrat und die Wurzel davon ist eindeutig. Das müsste so also passen:)
Es gibt ja unzählige , auch praktische Anwendungen , von komplexen Zahlen . Leider sind die wirklich interessanten Fälle
meistens auf viel höherem Niveau . Aber es gibt z.B. auch sehr schöne Anwendungen in der Geometrie , wo man oft auf sehr elegante
Weise mit komplexen Zahlen Probleme lösen kann.
Da hast du Recht. Die wirklich interessanten Anwendungen, in denen die Notwendigkeit der komplexen Zahlen wirklich ersichtlich wird (wie z.B der Quantenmechanik) sind nicht so einfach zu beschreiben, aber dafür umso faszinierender. Danke für deinen Beitrag:)
@@mathe-faust Man muss nicht mal die Quantenmechanik betreten, die Elektrotechnik lebt von komplexen Zahlen. Genauso wie auch die Mechanik kommt man bei der Lösung von Differentialgleichungen um Komplexe Zahlen nicht herum.
@@lbgstzockt8493 Stimmt, es wird nur sehr oft in den allgemeinbildenden Schulen vergessen, wie viele (Ausbildung-) Berufe ein hohes mathematische Verständnis erfordern.
@@vortexcortex6817 die da wären? Muss ich als Tischler komplexe Zahlen verstehen?
1:39 Um solche Gleichungen zu lösen, braucht man R noch gar nicht.
Wurzel 2 ist nicht in den vorher erwähnten Mengen enthalten, da es sich hierbei um eine irrationale Zahl handelt wie z.B. die Zahl PI.
@@mathe-faust Ja, aber um solche Polynomgleichungen zu lösen, braucht man die ganzen transzendenten Elemente wie π nicht. Zu R kommt man erst durch Analysis.
Wurzel von 2 ist eine algebraisch irrationale Zahl.
Gut! Wenn Du kannst, versuche bitte Deine Stimme weicher klingen zu lassen (dafür gibt es tools), sie klingt so aggressiv und verschreckt unnötig Zuhörer. Uralter Schulstoff, das Zuhören macht Spaß. 🙂
Naja, gegen meine Stimme (und den Akzent) kann ich nichts. Werde das künstlich allerdings nicht anpassen:D
@@mathe-faust finde ich richtig!
@@arnowaigel2844 wtf? ziemlich respektlos
Toll erklärt, nur unleserlich
Danke:). Hm, bei der Schrift sollte ich mir wohl mehr Mühe geben. Danke für die konstruktive Kritik;)
@@mathe-faust Du kannst es glauben, oder nicht, ich hab es erstmals kapiert!!!!!Danke!!!
Bin 66 Jahre alt
Das freut und motiviert mich sehr:)
hab nur wegen dem anime bild draur geklickt.
Hoffentlich auch Mal wegen dem Mathe-Inhalt;)
hahahahaha fr sogar richtiger clickbait
anime bold drawer meinst du das