LINEARE ALGEBRA KLAUSUR Beweis Polynomgrad definiert durch Determinante, Leibniz-Formel
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- čas přidán 27. 07. 2024
- Klausuraufgabe Lineare Algebra, 2022 Frühjahr Teil 2 Aufgabe 2, Staatsexamen Lehramt Bayern. In dieser Aufgabe soll der Grad eines Polynoms nachgewiesen werden, das durch eine Determinante definiert ist.
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Inhalt:
0:00 Aufgabenstellung
1:26 Fall n=2 und Multilinearität Determinantenfunktion
6:53 Allgemein n∈ℕ
10:12 Beweis mit Leibniz-Formel
19:56 Outro
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Ich kenne das Symbol "𝟙" nur im Zusammenhang mit der Einheitsmatrix und wusste gar nicht, dass es auch für eine Matrix mit Einsen in allen Einträgen benutzt wird.
Für Einheitsmatrix kannte ich bisher nur E und I. Darum find ichs ganz gut, wenn 𝟙 eine andere Bedeutung bekommt 😂
@@MathePeter Stimmt. Ich denke, die 𝟙 für die Einheitsmatrix ist als Schreibweise praktisch, weil sie halt der 1 ähnlich ist und beide bzgl. der Multiplikation eine Identität bilden, wenn man über Gruppen redet und so. :D
Sehr interessant. Falls es irgenwen interessiert. Allgemeiner kann man zeigen, dass das Polynom P(x) = det(A - xB) der Grad die Ungleichung deg(det(A - xB))
Super interessant! :)
Ich kenne einige Anwendungen für Det.
Aber kann man eine allg. Formulierung finden, was denn eine Det. Überhaupt ist bzw. Welche Bedeutung sie allg. hat (evtl physikalisch)
a_mn sind ja Faktoren mal Einheit. Die Einheit ist dabei die Kreuzung von Zeile × Spalte ( zb km und h)
Alle nach Rechenvorschrift zu einem Skalar zusammenrechnen - was soll das Bedeuten?🤔
Ich weiß, man kann Gleichungssysteme mit Matrizen lösen.
Ist die Det. Irgendein Proportionalitätsfaktor für alle a_mn?
Oder vl sowas wie viele kleine Vektoren in einem Gefüge aufaddiert und was raus kommt ist sowas wie eine verbleibende Resultierende (ähnlich Kräftezug)? Aber nachdem es ja ein Skalar ist, wäre es eher sowas wie eine %tuele angabe für Zustandsveränderung ohne Richtung? Das wäre dann vergleichbar mit Innerer Energie im Verhältnis zu Verschiebung oder auch verzerrung. Also alle Komponente mal alle Richtungen (Einheiten + und -) aufsummiert. Wäre dann wiederum sowas wie ein Potenzial um Arbeit zu verichten. Also einen Zustand zu verändern.
Oder bei GLS jede Gl. als Funktion. Jede Funktion so wie Kraftlinien von Kraftfeldern die gleichzeitig auftreten. Und alle zusammen ein gemeinsames Kraftfeld mit Energiepotenzial = Det.
Wenn das so wäre/ist, ließen sich viele neue techn. Formeln finden. Von Grundlagenforschung bis neue Technische Anwendungen.
Tensoren, Ko- & Kontravariante KOS....
Sovieles das mit Det. gerechnet wird. Wie kann man es allgemein auf einen Punkt (Nenner) bringen?
Mir fehlt eine Vorstellung. Als reiner Rechenknecht würden ja Rechengesetze genügen. Aber wenn ich mal selbst was emtwickeln möchte, kann ich es als Werkzeug nur nutzen, wenn ich verstanden habe.
Im web findet man nur konkrete Bsp. Aber keine (für mich) verständliche Verallgemeinerung.
Vl schaffst es ja du mit deiner super einfachen Erklärart, dass ich es verstehe.
LG
Sven
Das aber schon bitter hart oder? Oder können sich die studis drauf vorbereiten? Also nur auf das?
Ist schon härter, aber auch wieder nur ein weiteres Beispiel für die gleichen Eigenschaften wie immer. Wichtig ist, dass man die zur Prüfung drauf hat. Gar nicht unbedingt dieses eine Beispiel hier an sich.
8:40 Wäre korrekt aufgeschrieben P_A(x)=\sum_{k=0}^{n} {\det\left(\begin{cases} a_{jl}\ &j≠k \\ x\ &j=k \end{cases}
ight)_{\substack{1≤j≤n\\1≤l≤n}}} richtig?
Ich find die Schreibweise ehrlich gesagt etwas seltsam 😅
@@MathePeter meinst du die Fallunterscheidung wann x und wann die Matrix einträge oder das man für eine Matrix A=(a_{lj})_{\substack{1\leq l\leq n\\ 1\leq j\leq m}} schreibt, ich finde es recht toll, da man so auch einen Tensor n-ter Stufe darstellen kann: A\in\mathbb{R}^{\prod_{k=1}^{n} n_k}: A=(a_{\vec{j}})_{\substack{1\leq j_k\leq n_k\\1\leq k\leq n}}
ob das mit dem Produkt zeichen im Oberen index von ℝ so richtig is weil da ja normalerweise ein \times is weis ich nicht, allerdings wüsste ich für das \times nicht den grossen Operator auser vllt: \times\limits_{k=1}^{n}{\dots} und \otimes\limits_{k=1}^{n}{\dots} wobei ich dabei eher an das verallgemeinerte Vektorprodukt bzw Kreuzprodukt gedacht hätte, falls du das weißt kannst du es mir ja sagen
18:45 Also ich kenne es so, dass die Menge aller Polynome über dem Körper K K[x] heißt, da das ja eine Matrix über ℝ ist hätte ich das ℝ[x] geschrieben
Ja sowas hab ich auch schon gesehen. Einfach das x in eckige Klammern dahinter. Und unten im Index evtl noch den maximalen Grad des Polynoms.