[Eng Sub] d/dx is an Infinite Matrix
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- čas přidán 18. 03. 2024
- English subtitles available!
Zundamon encountered a strange problem: "Express d/dx as a matrix."
Differentiation and matrices seem to be completely different things, but they are actually closely related.
From a linear algebra perspective, the differential operator d/dx is linear, so it is natural to consider its representation matrix. However, it is important to note that the space of functions is usually infinite dimensional, so the size of the matrix representing d/dx is also infinite.
[BGM]
かえるのピアノ
ほのぼのワルツ【リコーダー】(commons.nicovideo.jp/)
[Materials]
VOICEVOX:ずんだもん
VOICEVOX:四国めたん
立ち絵(坂本アヒル様)
効果音ラボ
みんちりえ
pixabay
#math
#differential
#differentiation - Věda a technologie
![[Eng Sub] Something Like Differentiation | Half Derivative](http://i.ytimg.com/vi/kwpQ5B0lI3M/mqdefault.jpg)
![THE Hardest Problem in Competitive Programming [English Subtitles]](/img/n.gif)
[Q&A] よくある質問等の回答をこちらに記載します。長文注意！
6:56
Q. 三角関数をベクトルで表現するためにマクローリン展開を使用していますが、マクローリン展開では係数の計算に微分を使用するため、行列 D で三角関数を微分できるという主張は循環論法ではありませんか？
A. 動画内にて「D で微分できる」といった直感的な説明が誤解を招いてしまいました。正確には「D は微分の表現行列である」、つまり「D を関数に対応するベクトルと掛けた結果は、元の関数を微分した結果と対応する」となります。この場合、「関数に対応するベクトル」を計算するためにマクローリン展開において微分を使用しても循環論法にはなりません。
8:41
Q. 微分に対応する行列 D を定義するために多項式を微分し、sin x, cos x に対応するベクトル s, c を定義するためにマクローリン展開でも微分を用いています。このため、「関数と微分」に対応する「ベクトルと行列」を、本来の微分と独立に定義することは不可能ではありませんか？
A. 「独立に定義する」の意味について説明が不十分でした。動画前半では、「関数と微分」に対応する「ベクトルと行列」としてどのようなものが考えられるか考察するために微分を用いています。しかし、ベクトルと行列は単に数字を縦横に並べたものであるため、動画後半でこれらは天下り的に定義できることを主張しています。なおベクトルに関しては、無限次元の列ベクトル（≒形式的冪級数）全体の集合をまとめて定義することで、実はその中に三角関数と対応する列ベクトルが存在していたという流れで話を進めることができ、天下りの印象が軽減されます。
man i just love chibi's teaching me matrix calculus
I'm not sure what to be more impressed by, the quality of the explanations and visuals, or the fact that the subtitles are all in perfect English.
線形な作用素ならとりあえず行列に対応できるの、世界のバグ技っぽくて好き
マップがつながっていたらとりあえずケツワープできる的な
コンピュータでゴリ押し計算できるからニッコリ
非可算次元な空間上の線型写像ならそうとも言えないんじゃないかな？
しかしハメル基底というバグ回避みたいなのもあるし結構考え応えはあるか...
@@user-uk9gs3le5b何言っとるかわからん
@@user-hf8mu2ti4t
本当にわからんのか、(教授みたいに)本当は僕より圧倒的につよつよなのにわからんフリをしてるのかわかんなくて怖えっす😱
that's the most funny yet interesting, random and informative thing I've seen in a long time lmao gj!
明らかに説明うまい人が作ってるよな。応援してます。
非常にinterestingな講義でありました
"表現論"(※数学の一分野です)の入り口の一つ
今回のテーマとBGM、妙に合ってますね。
この動画は数学の面白さを思い出させる、本当に良かった
Wow, you have a very good way of explaining, keep doing it! Your videos open my mind to new ideas
初めて聞きました。勉強になりました。
めっちゃおもろい動画だった
綺麗な数学を見て久しぶりにシビれるって感覚だったわ
試験を前提にしない楽しむ数学ってめちゃ楽しいね
すごく面白かったです
動画ありがとうございます。目からうろこでした。面白いです。
Thank you for helping me with my studies
行列力学でもそうだけど毎回行と列が分かんなくなるんだよな
行→列↓
漢字にしたとき2本線がある方向が行→→列↓↓
かけ方は分かるんだけど行列力学になるとどっちのベクトルに演算子をかけるべきか迷うんだよな
すべての行を走査するときの方向は→ではなく↓だからそれも頭を混乱させる
すでにあるコメントと半分同じだけど。
2本線が方向。行→ 列↓(英語の書き方で行は横って覚えてもいい。)
掛け算は行→列↓の順で掛ける。(左側が横向きのベクトル、右側が縦向きのベクトルで演算結果がスカラーになる)
why is this so great? i've watched so many videos in a row
現在入手可能かどうか不明ですが、みすず書房「量子力学3」(朝永振一郎著)で水素原子問題をHeisenberg表示で解く、という項があったのを思い出します。本当に「量子力学の異なる表示形式同士は対等(
勉強になりました。ありがとう。化学系で量子力学に苦しめられたけど、行列って奥が深いんですね。
面白すぎる
Thank you!!!
thanks, haven't seen this before
Ah yes, the linear unary operators.
Also the fact that, DD' is not equal to D'D is also an example where some results we always take for granted in case of finite dimensional vector spaces and linear maps - is not true in general for infinite dimensional vector spaces. Linear Algebra is super interesting and really beautiful, and it's not just only solving equations, even if it's main motive is that.
Thank you for existing, your explanations are beautiful.
Primero, agradecer los subtitulos en ingles, la verdad me sorprendio lo sencillo que se puede explicar algo cuando se ve intuitivamente. Y segundo, me agrado el formato de los videos, se deja entender muy bien
Thank you for watching and using Eng sub!
(I spent a lot of time to translate, even though I used auto-translation...😅)
7:38 that was a very astute observation from the green one
incredible video! I think It would be great if the generalisation of the matrix representation of D^n can be expressed, and discussing whether n can be outside of the integer set.
フーリエ無限級数の係数をベクトルにして無限次元行列の演算子を作用させるのは面白いと思った
コンピューターで微分計算するときはこっちの方が使えそうな定義だなと思いました。
7:02 ここで思わず声出た
微分を行列！？なんだそれは……！と思った直後、最初にちらっと「夢」に出てきた行列を見て、その後の展開を予想できてしまった自分が憎いw。
So interesting.
行列のできる微分積分
行列でできる微分積分
おもしろ〜い
線形代数の講義で似たような計算はしたけどここまで考えてなかった……
勉強になります！
1/2ずつ増加するような指数を持つ多項式を考えると、その係数のベクトルを使って半微分に拡張できそうな気がする…違うかな…
試しに字幕を表示したら英語の字幕がでてきた。驚いたのは疑いなくネイティブスピーカーによる訳だったのだ。
Great job on the English subtitles. Not an easy feat.
훌륭한 영상.
(???)負の冪も入れた微分の逆行列を考えるとlogが出てきて、logの微分も考慮に入れると
もしかしてヘヴィサイドの演算子法とかラプラス変換もこういう解釈できたりする？
形式的冪級数って項の数は加算無限に対応すると思っていいのだろうか
あとこの流れでリー群リー環の話が聞きたい
波動力学＝行列力学とも云われているが、その神髄を垣間見た。
微分は線型写像(作用素)なので、関数(空間)を表現する基底を決めれば、それに対応した行列(っぽいもの)としての表現がありますわよ。
DD’=IかつD'D≠Iなんてそんなハズが……と思いましたが、なるほど無限次元の行列ではそのようなことがあり得るのですね。
Dが有限のn×n行列だとDD’は最後のn行n列の要素が0となってしまい単位行列にならない。
有限な行列ではAX=Iならば必ずXA=Iですね。
若「將「D」與「微分」視為等價」且「將「D'」與「積分」視為等價」，則D與D'必須是無限維的矩陣，因為積分是沒有次方數上限的。
可換行列…ｳｯｱﾀﾏｶﾞ
(一階の)微分がそもそも一次近似で、曲がっているところを近似的に上手く真っ直ぐに見立てることだから、微分が線形性を持って行列で表せるのは、ある意味当然と言えそう。
無限次元ベクトルとしての関数間の変換作用素としての線形性の話と、関数の接線の関数の線形性の話を混同していますので、その理解は間違っています。
@@user-zz8jv7vv4w 関数から関数の変換としての作用素の線形性と、接線自体の線形性自体は別のレイヤーの話で、「関係が当然ある」という主張はたしかに誤りですね。どっちも微分に関する話で、線形性について何となく話が似ているように見えるのには、何か数学的な理由があったりしますか？それともそれは単に偶然的なものなのでしょうか？
@@xorcheesecake1492
偶然、でしょう！
一回微分に限らずn回微分の演算子も前者の意味で線形演算なので無限次元の行列だと考えられます。
次は非可換幾何学や非可換行列とかお願い致します
線形代数の先生が講義中にモニョモニョ言っていたのを思い出した。
ずんだもんかわいいですね
高校時代にこのチャンネルが有ったら、すんなり無限の世界に入れてたかも
まだインターネットの無い田舎だったんですけど
線形作用素であれば表現となる行列が存在する
基底のとり方によってDが変化すると思うけどその中でのDについて不変量ってあるのかな？
めちゃくちゃ面白かった。
最後にちらっと話に出てた微分方程式も行列で表現すると、係数についての連立方程式として解けるのかな。
e^xで試してみたけど、手続きの中に積分が出るから、説明されてたように積分定数ぶんの不定さが出そう。
単位行列(仮)を虚数に見立てて、4回掛け算してみるとどうなるのだろう？
11:08
「𝑎を定数として、
(𝑑/𝑑𝑥)∫[𝑎,𝑥]f(𝑡)𝑑𝑡=f(𝑥)(積分の微分=元の関数)だが、
∫[𝑎,𝑥](𝑑/𝑑𝑡)f(𝑡)𝑑𝑡≠f(𝑥)(微分の積分≠元の関数)である」
と言ってることは同じに見えますね。
数学はうまくできてるなあと思いました。
そのカッコいい文字どうやるん
@@user-ux2qp8cd5p
「plainstyle」で検索すると、こういう系の文字などをコピペできるサイトが見つかると思います。
一応、偽サイトに注意です。
UnicodeのU+1D400..U+1D7FFには数学用英数字記号が収録されています
@@user-ux2qp8cd5p
私はよく「プレーンスタイル」というサイトをよく利用しています。
偽サイトには注意が必要ですが、色々な種類の文字(例:𝑥、ₙ、あ゚)がコピペできて非常に面白いです。
@@user-ux2qp8cd5p
「plainstyle(プレーンスタイル)」と検索してみてください。便利なサイトですよ。
画像処理で微分フィルターというのがあって、画像の輪郭を線画みたいにできるやつがあるのですが、微分フィルターの正体が行列だったりします。
全成分が0の(1×n)行ベクトルと任意の(n×1)列ベクトルの積をC(不定積分)と定義すれば完璧やな！
すみません、初歩的な質問だったら申し訳ないのですが、今回のDように「無限乗すると零行列になる」という形の無限次行列はなんというのでしょう？冪零行列とも違うというか……
これ、関数の席の微分とかもできんのかな？
sin^2θ cosθみたいな
家帰ったらやってみよ
これ、シュレディンガー方程式からきたのかな？
12:20 積分定数を加算する操作が逆行列を成り立たせる操作だと定義したらどうなるんですかね？
10：18のところでD^1/2すると半微分になるのかな？
行列の2分の1乗が定義できるかって問題があるけどね。
まあ、MM=Dのとき、
D^1/2=Mとすればいいのかもだけど、そのようなMが常に存在するかは知らん
勉強になりましたありがとう。
微分を行列で表すと言うと、畳み込みというのがあったと思うのですが、関係あるんでしょうか？
行列に無理やり対応させることでPCでの計算をやりやすくするのか。だとすると他に実用的そうなのはラプラス変換フーリエ変換あたりだと思うけどそれらに対応する行列はあるのかな？
fftでちょこっと遅乾行列出たはず
この微分行列、いわゆる上三角行列で、かつ対角成分がどこを取っても0だから行列式が0と分かって逆行列は存在しないって事も分かるのか……。
無限次の行列式ってのが何なのか分からんけどな
Oh! It’s Surprise to me, thanks a lot to all of 😊 on the Earth.
良くできるし、
行列を、無限次元
素晴らしい発想ですね。
微分積分を行列で表現できる、凄い
マクローリン展開できる、凄い、
で、独立に定義できる。
指数関数も三角関数も表せる。
フーリエ級数をヤって貰いたい🎉。
ラプラス変換するとどうかなぁ。
グラボは微分が得意だという話を漠然と聞いたこと在るけど
もしかしてグラボがやってるのは、この微分行列をつかった掛け算なのか・・・？
横ベクトルx=[1 x x^2 ...]を導入すれば係数の縦ベクトルfと微分行列Dで、f(x)=xf、f(n)(x)=xD^nfと表記できると思ったんだけど、そうしないのには何か理由があるのかな？
あと無限次元での逆行列の話が面白かったです
実用上のメリットがありそうな、おもしろい考え方ですね！
横ベクトルx=[1 x x^2 ...]は、２つの世界をつなぐものとも考えられますね。
この動画は線形代数の表現行列の考えに沿っているのでこうしたのですが、個人的には行列とベクトルで定義した微分の世界には変数xすら存在する必要がない、ただ数字が縦横に並んでいるだけの世界というのも意外でおもしろいなと思っています。
これは、実は関数の収束性すら考えなくてよい、"形式的冪級数"の世界と考えてもよさそうですね。
ちゃんと理解できてる範囲が高校〜大学初年度レベルのワイでもめちゃおもろいしわかりやすいの凄いな
ありがとうございます！
なるべく高校数学の予備知識で楽しめるような構成にしているので、そう言ってもらえるとうれしいです！
形式的冪級数の集まりに定義された微分が（自然な基底系の下で）動画のような成分表示をもつこと自体は、非自明さ（面白さ）に欠けると感じました。
数多の線型変換の中で、微分を微分たらしめるものは、ライプニッツ則だと理解しています。なので、動画のように行列で微分を定義した場合に、ライプニッツ則が自然に導かれるのかどうか興味があります。
逆に、ライプニッツ則をみたす線形変換を表現する行列は、どのようなものであるべきかを探ってみても面白そうだなあと思いました。
I think D' is the Moore-Penrose/pseudo inverse of D, and can be denoted as D^+ instead of D'
Thank you for the interesting information👍
ちょっとだけプログラミングの世界でどうやって微分を持ち込んでいるのか考えちゃったなこれ
連鎖律を利用した自動微分が主流かと
別の数学の世界が繋がるのっておもしれーなあ。
Dのカーネルを考えると微分方程式が解けます
量子力学でも無限次行列出てくるなあ
マクローリン展開がそもそも微分係数を使って定義されているので、「マクローリン展開するとこう表されるから、行列で微分できる」ってのは変に聞こえる。複素関数論みたいに、それを定義とするなら、まだわかるけど。
コメントありがとうございます！
この件について他の方からもコメントをいただいたため、コメント欄最上部にQ&Aの1つ目として回答を記載しました。
微分積分いい気分
sin,cosの微分でも適用可という箇所は、そもそもマクローリン展開が微分を使用しているので、循環論法にならないのでしょうか。
微分やマクローリン展開について私の理解不足なのかもしれませんが。
コメントありがとうございます！
鋭い指摘ですね。結論から言うと、循環しています。(!?)
正確には、もし行列Dを使って (sin x)' = cos x を示したいのであれば循環論法です。
一方、行列Dが微分の表現になっていることの例として三角関数の微分 (sin x)' = cos x と対応する等式 Ds = c を示したいのであれば循環論法とまではいえない気もします。Ds = c はそれほど自明ではありませんしね。
(ずんだもんにとっては当たり前だったようですが…)
あと、コメ主さんは分かっているかもしれませんがついでに補足させてください。
この動画の後半で「関数と微分」に対応する「ベクトルと行列」は独立に定義できることを解説しました。
ベクトルと行列はただ数字を並べたものなので、天下りですが先に定義してもいいということですね。
この場合、無限次元の列ベクトル(≒形式的冪級数)全体の集合を定義したら、実はその中に三角関数と対応するベクトルがあった、という流れで考えるのもアリです。
つまり、どこから定義するかの問題になりますね。
ご回答ありがとうございます。
無限次元のベクトルs,cについて、Ds=c,Dc=-sが成り立つのは確かでしょうね。
ベクトルs,cがsin,cosの形式的冪級数を表すことは別の手段で説明がいるということで理解しました。
面白かったです。応援しています。
ありがとうございます！
この件について、実は他の方からコメントをいただいたこともあり、改めて考えを整理して、Q&Aをコメント欄最上部に記載させていただきました。
おかげさまで、私自身も理解を深めることができました。
では長文失礼しました！
GPUくん歓喜
うわあ、びっくり！
これ逆の積分もあるんかな？
複素数も行列で表現できることをリクエストします
Zundamath
三角関数の微分、行列で説明された方が分かりやすいんだな
面白すぎて発狂しそう
ずんだもんラマヌジャン説
はえー
双対数による自動微分を思い出した
原理的には似てるかな？
11:30の上の式、DD'は・・・で誤魔化されていますけど、右下に０が出てくるので単位行列としても良いのですか？
ごまかしていませんよー！
有限のサイズなら右下に０が出てきますが、無限なので１が無限に続き、０は出てきませんね！
@@zunda-theoremご返信ありがとうございます。0.999...=1みたいな話ですかね。無限に続く場合を有限の感覚で考えると間違える的な
재밌고 귀여운 영상이네요 영상 제작 힘내주세요
İnternet is an amazing place 😅
なら半微分も行列で表せますね。
ちなみに、フーリエ変換についての解説動画が欲しいところです。特に、ドをド以外の音階で表現する方法を知りたいです。
行列代数の次は,ブラケット代数をお願いします。
微分を行列で対応させようとした人はどのような動機で検討し始めたのだろうか
コンピュータ系ごり押し計算もしやすそうですよね。多分これが動機ではなさそうですが。
微分演算が線形性を有してるから、ってのがやっぱりモチベーションかなと
詳しい話を極力排除して説明すると、
あるものとあるものを対応させる規則を写像といって、例えば微分はx^2+xという関数に2x+1という関数を対応させる写像だと考えられる。
これを f(x^2+x)=2x+1 みたいに表現する。
ここで、写像が次の性質を満たすとき、その写像を線型写像という。
(1)f(x+y)=f(x)+f(y)
(2)どんな実数aに対してもf(ax)=a•f(x)
微分はこの性質を満たすから線型写像である。
そして、「線型写像は行列で表せる」というすごい定理が知られていて、じゃあ微分も行列で表せるじゃんと思うわけだ。
😮
これって行列式はn!のn→∞になるってことだよな。
それってつまり…
どういうことだってばよ？
1/2乗みたいな整数じゃない乗をあの行列で微分するのは無理ですか？
「定数じゃない」ではなく「整数じゃない」という意味なら実数乗でもマクローリン展開さえすれば出来ます
@@user-ce6kk6tp6f あっ、ありがとうございます。
@@user-ce6kk6tp6f 韓国語では定数も整数もおなじ「정수」なのでミスしました。
@@user-gn3hi8qb4p なるほど、そうだったのですね。私も勉強になりました。
昔悩んで放っておいた疑問なんですが、表現行列ってのはつまり
任意の線形性を持つ写像(∫とかΣとか)は例外無く行列で表現できるってことなんでしょうか？
もしかして積分の行列は微分の行列の逆行列？
積分→微分は同じベクトルになるけど、微分→積分とすると積分定数の項が変わるので、完全には逆演算ではないですね
@@average334 完全ではないけど大体はそうなんですね
積分定数厄介だなぁ…
10:29
ナーマギリ女神のお告げ？
ラマヌジャンなら、行列やベクトルの方を先に定義してしまうかもしれませんねｗ
大学に備えて線形代数やり始めた俺にとって神たる動画