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Omlouváme se.
[Eng Sub] Basel Problem: What is Behind the Famous Proof
Vložit
- čas přidán 8. 04. 2024
- Note: Regarding the partial fraction expansion formula for cotangent, there's an alternative proof called the 'Herglotz trick' that doesn't rely on Fourier expansion. Special thanks to the commenter for pointing this out :)
The famous proof of the Basel problem is mathematically correct. However, the proof about the factorization of sin x (infinite product) is often omitted. This video is intended for those who are curious about the omitted proof (although I wonder if there's a demand for such an explanation.) There are multiple proofs for the infinite product expansion of sin x, and I have chosen a method that does not require knowledge of complex functions.
[BGM]
かえるのピアノ
ほのぼのワルツ【リコーダー】(commons.nicovideo.jp/)
Caravan
[Materials]
VOICEVOX:ずんだもん
VOICEVOX:四国めたん
立ち絵(坂本アヒル様)
効果音ラボ
みんちりえ
pixabay
#math
![[Eng Sub] Reordering from 0 to ∞ | Riemann Rearrangement Theorem](http://i.ytimg.com/vi/VoJEXuc3220/mqdefault.jpg)
![[Eng Sub] Reordering from 0 to ∞ | Riemann Rearrangement Theorem](/img/tr.png)
![THE Hardest Problem in Competitive Programming [English Subtitles]](http://i.ytimg.com/vi/4vxSyqk0jVY/mqdefault.jpg)
![[Eng Sub] What is Distance in Infinite Dimensions?](/img/n.gif)
theres a japanese 3b1b channel what
i love this channel
フーリエ展開やマクローリン展開は「工学的」な印象があるからか、「数学的」な証明に使うとなんとなく後ろめたさを感じてしまう。
数学系チャンネルの中で群を抜いてわかりやすいし見やすい
大好き愛してる❤
厳密性とかそういう話はそんなにわからないですが、数学の面白さに引きずり込まれるのにはちょうどよく、わかりやすい説明でした
本当にわかりやすいです、ありがとうございます
このチャンネル、今一番推せる
大まかな流れを掴む動画なんですね
πが出てくる理由は距離の２乗に反比例するものとして、例えば光や音や引力の強さは球の表面積状に広がるから。
11:50 Actually in that equality, easier proof without fourier series is known as "Herglotz trick" in "Proofs from THE BOOK". It only requires proving the continuity, periodity and simple functional identity of both expression. With continuity and property of odd function, we can prove (LHS) - (RHS) is always zero in its period (thus for all possible x).
Thanks for always providing great videos with cute zundamon!!!!
Thank you for your comment! I have added information about that to the description box :)
途中うぐ・・・となって理解しきれてない箇所もあるけど、面白かった。
高校数学までは理解できてるずんだもんを見られるのはこのチャンネルだけ！
なんかほっこりする
excellent video
the purple one doesn't trust the green one's intelligence :(
冒頭のずんだもんの証明だとx(x-a)(x+a)(x-b)(x+b)...をx(x^2-a^2)(x^2-b^2)...と潰してから3次の係数を比較してるのもモヤモヤ源だなあ
元の式からはx, (x-a), (x-b)のxを選ぶ…みたいな形でもxの3次の項を作れること、それらが正負でキレイに対消滅することに言及してくれないと「無限項からの選び方の検討不十分じゃない？」の疑念でモヤるモヤった
まあどのみち直感的理解の域は出てない不十分な説明には違いないんですけど
先日バーゼル問題のもっと初等的な方法を思いついたのですが、いかがでしょう。
I(a)=∫arctan(ax)dx(積分範囲は0〜∞)とすると、ファインマンの手法、あるいはライプニッツの積分則を用いて、aで偏微分すると、積分の中をaで微分すればよいので、計算していくとI'(a)=-ln(a)/1-a^2となります。
一方で、I(1),I(0)は置換積分などで簡単に計算できて、それぞれπ^2/8,0になります。
ここで、0
=を証明したいのに、証明する前に=で結んで式変形していくの、すごくモヤモヤする…
等式が成り立っている2つの式の係数比較しているから最初から=で結べる、っことかな。
バーゼル問題じゃなくて、動画の後半の話ですね。
sin関数を無限積で表せる事を証明しようとしてるのに、最初から=で結んでるのは矛盾してるように感じます。
示したい式を同値変形して、それを真だと示す、という手法ですね
A=Bを示したい時
A=Bを1式と置いて、それに同値変形をしたA’=B’を真だと示して、よって1式も真であるって論法は割とよく使う気がする
考え方としてはそれであってるけど、最初から=で結んでたら、論法として間違ってるでしょ、といってます
結果的に=なんで何も矛盾起きてないですけど、左辺と右辺が違うものを=で結んだ状態から議論を始めたら、全部間違った結果になりますよ
a_nという表記はlatexのソースでお世話になるけれど、それと全く関係無いクラスタの人も同じ表記を使っているのかちょっと気になった。
ワイエルシュトラスの因数分解定理…懐かしいなぁ…（証明難しくてわからず終わった記憶）
im genuinely impressed. this is so goofy, but the fact that jrs actually educational too is unfathomable to me. i cant stop laughing. incredible stuff! i love math so much
省略した計算のとこもやろうと思えばできる計算で、全部わかると達成感あるなー収束の議論してないから厳密じゃないが
逆に零点を調べれば因数分解できる性質によって、sinは多項式(多項式関数？)の仲間だと見做せる(すなわちマクローリン/テイラー展開できる)とも言えそうな気がしてきた。証明はめんどいからしないけどw
結局フーリエ級数展開なのか
マクローリンてかテイラーは
入試問題の元ネタになってます
よね。試験場で知らないと
「何じゃこれ？」となりますが(笑
最初の頃と比べて結構ずんだもんも賢くなったなぁ...
AIに証明問題を解かせたらどうなりますかね？
有名な証明問題ならできるけど、まだ人類が到達していない証明問題はできないんじゃないかな？
でも、AIとは少し違うけど、総当たりの問題とかはとけるかもね。
this is just fucking awesome.
πが特別な値であることは判ります
This one's a doozy!
2:26
もやもやするのは、sinxのxは高校までは角度の180℃をπとして、sinπ=0とし
y=sinxのグラフではx軸は角度と想定していた。
しかし、この式でのπは3.14の実数で
sin(3,14)=0のように、sinの中に実数を入れて、展開後に実数が求められるって事だから非常に混乱する
コメ主の論理なら、『x+sinx』のような演算も、成立しないことになるよ。
xは角度だけど、sinxは角度じゃないから、異なる数量の和は計算できない。
どこかで謎解きを作っていた人と雰囲気が似ている気がする…
なぞときらぼですか
どっかのニワトリとヒヨコ…
まあぶっちゃけ教養の解析を死ぬほど極めてるならスラスラわかるだろね
自分は可だったからふわっとしか無理
サムネがナゾトキラボ
Why when you anti-logarithmic-differentiate you take the integral from "0" to x and not from other number?
Thank you for your comment.
The reason we take the integral from "0" when anti-logarithmic-differentiating is that both sides become 1 when x=0 (or x→0):
LHS: (sin πx) / πx → 1 (x→0)
RHS: 1*1*1*... = 1
If this explanation isn't clear enough, actually performing the calculation will make it clearer.
平方数の逆数の和に円周率が出てくる理由の感覚的な説明って難しいのかな？
Geometrical approach for this problem is explained in 3Blue1Brown channel, which you may find helpful for intuitive understandings. Maybe you can find JP subtitle on his main channel.
We can also show that sin(x) = 0 has no complex solutions, confirming that its solutions are all real and thus being equal to the infinite product.
Take sin(a + bi) = 0 for some real numbers an and b. This expands to sin(a) cos(bi) + cos(a) sin(bi) = 0. Recall that sin(z) = (e^iz - e^-iz)/2i and cos(z) = (e^iz + e^-iz)/2, giving sin(iz) = (e^-z - e^z)/2i = -i sinh(-z) = i sinh(z) and cos(iz) = (e^-z + e^z)/2 = cosh(-z) = cosh(z), respectively.
We can say sin(a) cosh(b) - i cos(a) sinh(b) = 0. The solution is non-real if b ≠ 0. For contradiction, suppose that b ≠ 0. This implies that sinh(b) ≠ 0 since sinh(b) = 0 implies b = 0. This must mean cos(a) = 0 since the imaginary part of 0 is 0. cos(a) = 0 implies a = π/2 + πn for some integer n. This solution set is disjoint from that of sin(a) = 0 solving for a, meaning that sin(a) ≠ 0. However, sin(a) = 0 since the real part of 0 is 0, resulting in a contradiction.
そもそもマクローリン展開についての説明が欲しいですね。いきなりこれですと言われても。。。
単位円による定義よりも、マクローリン展開による定義を採用するほうが便利だから、逆に単位円のy座標を『定理』とすることがあるみたい。
証明は至って簡単で、すべての実数xに対して(sinxの級数)²+(cosxの級数)²＝1となることを示すだけ。
a²+b²＝1⇔点(a, b)が単位円上にある。
PEAAAAK (this channel is cool)