Mehrdimensionale Integrale (Gebietsintegrale, Kurvenintegrale, Oberflächenintegrale, Integralsätze)
Vložit
- čas přidán 25. 07. 2024
- Die Mehrdimensionale Integralrechnung beschäftigt sich mit Integralen mehrerer räumlicher Komponenten. Beispielsweise können im 3-dimensionalen Raum Kurven, Flächen und Volumen liegen und durch skalare oder vektorielle Felder beeinflusst werden. Auf diese Weise eröffnet sich ein breites Feld an Anwendungsbeispielen für die Integralrechnung. Angefangen bei Längen einer Kurve, Flächeninhalten einer Fläche oder Volumen eines Körpers lassen sich auch Massen oder Trägheitsmomente berechnen. Physikalische Größen wie Kräfte, verrichtete Arbeit, magnetische oder elektrische Flüsse oder Energie sind nur einige Beispiele für Anwendungen in der Realität.
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Inhalt:
0:00 Begrüßung
1:40 Gebietsintegral (Integrationsgrenzen vertauschen, Flächeninhalt, Geometrischer Schwerpunkt)
25:36 Gebietsintegral (Körper zeichnen, Volumen berechnen, Polarkoordinaten)
49:50 Kurvenintegral 1. Art (Länge einer Kardioide/Herzkurve)
1:19:35 Kurvenintegral 2. Art (Arbeitsintegral, konservatives Vektorfeld, Potential berechnen)
1:47:34 Oberflächenintegral 1. Art (Fläche parametrisieren, Flächeninhalt berechnen)
2:16:41 Oberflächenintegral 2. Art (Flussintegral, Kugeloberfläche, Integralsatz Gauß)
2:47:42 Kurvenintegral 2. Art (Zirkulation, Randkurve parametrisieren, Integralsatz Stokes)
3:31:13 Oberflächenintegral 1. Art (Fläche parametrisieren, Flächeninhalt berechnen)
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Bitte weiter so! Bester Mathekanal auf CZcams
Schau seit Wochen deine Videos zur Prüfungsvorbereitung
Du bist so lieb. Danke für das Video und die Zeit, die du dir für uns nimmst 😇
Sehr gern! Kriegen wir schon alle gemeinsam hin 😊
Bildungskanäle wie deiner verdienen weitaus mehr aufmerksamkeit als sie bekommen!
In der tat hätten diese es verdient mehr aufmerksamkeit als Assi-Content zu kriegen.
@@derlibertarefreiheitskampf1603 MathePeter > Leon Machere
@@maxinator80ify ja der leon machere ist eh das Musterbeispiel...
traurig....
Ich habe das Gefühl, dass die üblichen CZcamskanäle mit solchen Mathevideos nach Mathe 2 spätestens aufhören. Du bist der einzige der auch tiefer in die Materie geht. Danke dafür.
Natürlich auch verständlich.. Mathe 1/2 Videos werden deutlich mehr geklickt aber Dir vielen Dank...
Ich kommentiere eigentlich keine Videos auf CZcams, aber lieber Peter: Du bist so sympathisch und ein echt genialer Mathematiker! Wenn du etwas erklärst, macht es einfach Sinn und bleibt hängen! Ich liebe deine Videos! Danke!!! Beste Grüße aus der Technischen Fakultät in Erlangen :-)
Vielen lieben Dank!! ♥
Du rettest mir in meinem Studium so oft das Leben, unfassbar!
Die sin^2/cos^2-Eselsbrücke ist extrem gut. Damit sind beide Zusammenhänge jetzt tatsächlich gespeichert. Ein großes Danke für die Mühe und deine Geduld beim Schritt für Schritt erklären. Didaktisch genau so wie es sein sollte.
Super Livestream - endlich kommen mir Kurvenintegrale, Gauß und Stokes etwas näher. Werde ich mir mehrmals ansehen. Ganz herzlichen Dank.🙂
Sehr sympathisch und voller passion. Ich zieh mir das auf jeden Fall alles bald mal am Stück rein, obwohl ich vieles nicht Blicke. Es ist einfach schön dir zuzuschauen
Bei 2:57:24 bedankst du dich einfach bei uns- wie cute :D Wir müssen uns 100% bei DIIIR!!! bedanken. Dankeschön:))
Hoffe dass du die Zeit die du hier reinsteckst auch Leistungstechnisch wieder zurück bekommst.
Kannst dir gar nicht vorstellen wie sehr mir dieses Video hilft. Starke Leistung. Danke für dieses ausführliche Video :-)
Ob sich das lohnt, wird sich zeigen. Auf jeden Fall freu ich mich, dass ich weiter helfen kann :)
Bester Mann!! So macht sogar Mathe Spaß! Und das vier Stunden lang!
Wieder der Abend gerettet. Macht jedes Mal Spaß bei dir was zu schauen und dann verstehen. Danke!!!
Ich danke dir!
Ich schaue deine Videos jetzt seit bald einem Jahr, aber dich hier "live" zu sehen mit direkter Interaktion mit dem Chat hat dich nochmal so viel sympathischer gemacht als ich dich sowieso schon fand (was ich in anderen Videos schon mehrmals kommentiert hab). Das ist wie eine Aufwärtsspirale, ich find das Thema auch wenns schwer ist, wirklich interessant, du bringst eine Motivation mit, die mich direkt ansteckt und deine Laune hat sich auch direkt auf mich übertragen. Ich habe jetzt mit pausieren der Stream Wiederholung schon locker über 3 Stunden verbracht und ich habe immer noch ein lächeln im Gesicht, was sonst bei so viel Mathe nicht der Fall wäre (ich habe heute schon vorher mehr als den halben Tag Mathe gelernt) und ich schreibe diesen Kommentar um fast 2 Uhr nachts. Alleine das wäre schon Grund genug, schlecht gelaunt zu sein, weil ich um diese Zeit Mathe lerne. Daran merkst du, wie deine Art die Dinge zu erklären und du selbst als Person gerade zu meiner Laune beitragen! Du bist einfach so unendlich cool (=lim deine Coolness -> unendlich lol)
Haha vielen lieben Dank!! Freut mich wirklich sehr, wenn meine Videos weiterhelfen und die Arbeit einen Wert hat und ich zumindest ein wenig Freude an Mathematik wecken kann! 😊
Ich bin nun positiv durch die Prüfung gekommen.
Vielen Dank an dieser Stelle nochmal für diese Videos, hat mir echt gut geholfen :)
Echt toll dass du dir das antust das alles aufzunehmen
Werde ich auf jeden Fall weiter empfehlen.
Starke Leistung!! Und vielen Dank :)
@@MathePeter Danke :)
Sehr cool, herzlichen Dank für alle Videos!
Ehre, gerade Mathe 3/4 geschrieben und die Videos haben mal wieder total geholfen, ich danke dir!
Perfekt für das Verständnis, danke dir :)
Peter, DANKE für alles!!
Erstes Semester auf keinen Fall :). Ich studiere Physik an der Uni Bayreuth und wir wurden nach Woche 8 damit zugeklatscht ... Der Stream hilft wirklich sehr :D Danke dafür.
Du bist echt geil! Kommt perfekt vor meiner Höma 3 Klausur am Samstag
Einfach Maschine danke!!!!
Danke man. Ich will mehr high level, nicht immer nur absolute Grundlagen
Wow. Einfach Wow. Bin sprachlos
hab mit deinen Videos Mathe1 bestanden. Und morgen kommt Mathe2. Bester Mathe-Kanal auf CZcams, ohne Konkurrenz
Vielen lieben Dank! Mathe 2 packen wir auch noch!! :)
geile erklärungen haben sehr geholfen
vielen dank es war echt hilfreich ☺️
Danke Peti
ich habe hier Alleeees gefunden, was ich wolte. Danke sehr!!!
Irgendwann gibts auf dem Kanal alles, was das Mathe Herz begehrt 😂
du bist richtig gut, bitte weiter so!!
Super livestream👍
Mega geil du bist vorbild .
Peter ist der Ehrenmann^10000
Ehrenpeter
Danke!
Ich danke dir!! 🥰
Das sind fast ausschließlich Aufgaben von den HöMa 3 Klausuren für Maschinenbau von der RWTH 😂
Ps: Super Video! Ich hätte mir Wochen lernen damit sparen können.
Die meisten Fragen kamen auch von euch haha.
Du rettest auch heute noch Menschen!
Du rettest meinen Arsch für Mathe 2 so übertrieben!!!! Danke für die anschaulichen Erklärungen.
klasse typ
Super für meine anstehende Analysis 3 Klausur
vielen Dank .. das war sehr hilfreich gewesen.
kleine Frage :
Im zweiten Beispiel wo du das Volumen des Körpers berechnet hast , stimmt das Endergebnis obwohl das 3 doppelt multipliziert wurde ?
Danke dir :)
Sollte so stimmen. Was stört dich am Ergebnis?
Hey Peter ich bin extrem dankbar was du für alle Studenten hier mit deine Kanal machst. Du bist sympatisch, verständnisvoll und vor allem geduldig, ein paar profs sollten sich mal ne Scheibe abschneiden!!!!! ;)
Ich hab noch ne Frage zum Kurvenintegral und zwar wie hast du cos(t) in cos^2(t/2)+sin^2(t/2) umgewandelt?
Das freut mich, danke! Kannst du bitte sagen an welcher Stelle? Weil das ist ja nicht das gleiche. cos^2(t/2)+sin^2(t/2) = 1.
@@MathePeter bei 1:11:46 ich arbeite mich grad durchs video :D
Mit einem Minus dazwischen. cos(t) = cos^2(t/2)-sin^2(t/2). Das ist die Formel für den doppelten Winkel im Cosinus. Solltest du dir auswendig einprägen!
Ehre!
kurve ist zu jedem zeitpunkt ein punkt
Über 3 Stunden Mathematik, gibt es etwas Schöneres? Ich glaube nicht.
Ich glaubs auch nicht 😂
Bic Mac bann den weg.
Vier Stunden Mathe vielleicht...
Moin, erstmal danke für die Videos!
Mit dem Integrieren komm ich gut klar ( also denke ich :D ).
Was mir immernoch kummer bereitet ist das selbstständige aufstellen des Normalengebietes. Sprich die Grenzen bzw. das Gebiet selbst aufzustellen. Hat da jemand Tipps?
Hab viele Tricks und verschiedenste Aufgaben in meinem Online Kurs "Mehrdimensionale Integralrechnung" erklärt. Schau mal rein! :)
champcademy.teachable.com/p/mehrdimensionale-integralrechnung
Tolle Video:) Aber hätte eine Frage bezüglich das wenn die Dichte Konstant ist das die Masse das gleiche ist wie die Fläche ist. Mich verwirrt es da man ja trotzdem zb den faktor 2 (als Annahme für eine konstante Dichte) dabei hat und somit der Schwerpunkt das Doppelte wäre wie wenn man es mit dem wert für
die Fläche gerechnet hätte oder verstehe ich da etwas falsch?
Gemeint ist hier mit "konstant" schon die auf 1 normierte Dichte. Klar, wenn sie 2 wäre, dann wäre natürlich die Masse von Zahlenwert her das doppelte der Fläche.
K= {x,y,z) R³ =0 ≤x≤y; 0≤z≤3; 1≤x² +y² ≤4} Ich habe mich an den Vorgaben in deinen Lehrvideos gehalten und die Aufgabe alleine durchgerechnet. Mein Ergebnis lautet 0,241 VE und ist meiner Ansicht nach richtig.
Wie kommst du denn darauf? Überprüf deine Rechnung einfach noch mal.
Finanzmathematik würde mich auch mal interessieren, also das würdde ich mir garantiert auch reinziehen.
Richtig gut, daran hab ich noch gar nicht gedacht! Kommt dann wahrscheinlich mit Statistik Videos zusammen :)
Zuerst mal vielen Dank für deine Arbeit! Müsste man bei 3:44:54 im 2. Schritt nicht mit der Formel dx=du/u' arbeiten? Zumindest ist das was ich bis jetzt überall gesehen und gemacht habe. Vielleicht übersehe ich auch etwas. Beste Grüsse aus der Schweiz :D
Das ist auch richtig. Das würdest du allerdings nur nutzen, wenn du die Substitutionsgleichung nach u=arcsin(x) umgestellt hättest um eben die Funktion u abzuleiten. In diesem Beispiel ist nach x umgestellt, also sieht die Formel hier so aus: dx/du = x' bzw. dx = x' * du.
machst du mal was über statistik und warscheinlichkeitskrechung?
Definitiv!!
@@MathePeter sehr gut freut mich
Hallo,
wenn du der geometrische schwerpunkt berechnet (20:28).
x ,die nach integration steht ,ist eine Vektor ,deshab muss man nach jeden einzelen komponent integrieren, also in diesem Fall x,y , oder?
Die Schwerpunktkomponente x_S ist nur die x-Komponente des Schwerpunktvektors. Würde man sich noch für die y-Komponente interessieren, müsste man im Integranden ein y stehen haben.
@@MathePeter verstanden .Deine Videos sind echt hilfreich .
Danke schön
2:29:35
wieso hier die Grundfläche?
Also mir ist das schon klar später dass da z 0 ist weiles ja nicht hinauf geht, aber wieso nimmt man die grundfläche?
Die Grundfläche gabs ja am Anfang noch nicht. Die haben wir uns nur dazu gedacht, damit der Körper abgeschlossen ist und wir den Integralsatz von Gauß nutzen konnten. Wenn wir sie uns aber einmal dazu denken, müssen wir sie auch wieder abziehen. Darum wird sie einmal ausgerechnet. Um sie wieder abzuziehen.
@@MathePeter Alles klar danke, ja dann ergibt es Sinn.
Bei der Aufgabe bei 3:05:57 war doch eigentlich nur die Randkurve gesucht oder ? also der obere Kreis dieses Paraboloiden meine Überlegung war dann, dass man einfach den Umfang des oberen Kreises berechnet als Durchmesser * pi das wäre dann ja 4*pi aber das stimmt ja offensichtlich nicht (da -20pi rauskommt ... ). Es wäre super wenn mir jemand erklärt wo da mein Denkfehler ist bzw. ob es wirklich nur um die Länge der Kurve geht.
Nein Vorsicht, es war nicht der Umfang des Kreises gesucht, sondern die Zirkulation des Vektorfeldes v entlang des Kreises, also die verrichtete Arbeit, wenn ein Massepunkt entlang der geschlossenen Kurve ∂F bewegt wird. Arbeit wird zB in Joule gemessen und der Umfang zB in Meter. Das sind zwei komplett verschiedene Einheiten.
@@MathePeterok danke habe mein Problem erkannt :D
MIt welcher Literatur eignest du dein WIssen an? Irgendwelche empfehlungen zb zu DGL und für das aktuelle Video,
Ich lese mir alles durch, was ich finde. Bücher gibts ja zu jedem Thema genug und Skripte sind heut zu Tage in der Regel auch recht gut geschrieben, finde ich.
@@MathePeter giga chad, gibts in deinem Onlinekurs ausführlicherere Erklärungen zu den Themen?
In den Online Kursen gibts bisher nur Rechenaufgabe zu jedem Spezialfall. Allerdings noch keine ausführlichen Erklärungen im Sinne eines Skripts. Es geht dabei eher drum den praktischen Teil mit dem Rechnen zu verstehen und Zusammenhänge zu erkennen. Weniger darum Definitionen, Sätze und Beweise auswendig zu lernen.
Eine Frage: In meiner Vorlesung kam der Satz von Fubini, der sagt, wenn alle Integrale existieren, können die Integrale vertauscht werden, also die Integrationsreihenfolge. Ist das dann auch egal, wenn in den Grenzen Funktionen stehen? Oder ist das was anderes?
Die Grenzen müssen konstant sein dafür!
Wie würde man denn bei Aufgabe 2 den Winkel vom "Baumkuchen" als Grenzen (von 45 bis 90 Grad) Rechnerisch, also mathematisch berechnen? Weil man hat ja nicht immer so ein Schaubild. (Minute 39)
Das erkläre ich bei 39:15. Du kannst einfach mit dem Tangens arbeiten.
Was genau machst du? Also studierst du noch oder bist du schon fertig?
Wenn ja, wo genau also BA oder MAster oder Dr
Ich hab erst einen Bachelor in BWL gemacht und parallel mit Mathe angefangen, weil ichs super spannend fand und wir wahnsinnig gute Mathe Profs hatten. Hab dann in beidem jeweils einen Bachelor gemacht und seitdem Videos produziert. Will aber unbedingt noch einen Master in Mathe machen. Werde wahrscheinlich dieses Semester mich in einen neuen Kurs einlesen.
@@MathePeter Alles klar, klingt spannend.
Was studierst du?
@@MathePeter Informatik, da haben wir das Analysis2 jetzt dazu bekommen.
Aber Mathematik an sich interessiert mich auch, würde ich es schaffen finanziell frei zu sein, das würde ich gleich danach angehen.
Informatik find ich auch mega cool. Wenn ich mal Zeit dafür hab, will ich mit ein bisschen in Kryptographie einlesen. Und für mich immer noch das spannenste von allen Milenniumsproblemen P vs NP 😄
Extremwerte unter Nebenbedingungen bitte auch
Meinst du als Livestream? Gute Idee! Ansonsten hab ich ja schon eine schöne Sammlung an Videos dazu :)
@@MathePeter jaaaaa, aber bitte bis Ende Januar , wenn möglich ist) wir schreiben mathe 3 am 1 Februar)))
@@guhpuh1931 Tut mir Leid, ich bin erst wieder am 10.2. zurück.
@@MathePeter schade) trotzdem danke
@@guhpuh1931 bist du rwth Student?
was ist der Unterschied zwischen Gebiets und Flächenintegral? Sind doch beides Flächen über die man integriert
Ja das stimmt, die Begriffe werden nicht ganz konsistent verwendet. Ich verwende die Begriffe je nach verwendeten Differentialen. Ein skalares dG (dx, dy, dz, oder mehrere gleichzeitig) deutet ein Gebietsintegral an. Ist das Differential ein Wegelement, handelt es sich um ein Kurvenintegral. Ist das Differential ein Oberflächenelemt, handelt es sich um ein (Ober-)Flächenintegral. Sie können jeweils wieder zu Gebietsintegralen transformiert werden.
@@MathePeter wow danke für die schnelle Antwort! aber was berechne ich denn bei den jeweiligen integralen? Bei Gebietsintegral berechne ich ja das Volumen über einem Gebiet begrenzt von einer Fläche oder auch einfach nur den Flächeninhalt des Gebietes. Wie ist das denn beim Flächenintegral, berechne ich da immer eine Fläche? Oder auch ein Volumen zb wenn eine Fläche ein geschlossenen Körper ergibt?
Ich nenne einfach mal drauf los ein paar Beispiele.
Gebietsintegrale: Fläche, Volumen, Masse, Schwerpunkte, ...
Kurvenintegrale: Länge, Masse, Schwerpunkte, Trägheitsmoment, Arbeit, ... Jede physikalische Formel, in der mit einer Länge multipliziert wird.
Oberflächenintegrale: Fläche, Schwerpunkte, Trägheitsmomente, Flüsse (elektrisch, magnetisch, ...), Kraftkomponenten, Energie, Lichtstärke, ... Jede physikalische Formel, in der mit einer Fläche multipliziert wird.
@@MathePeter okay danke!, ich hab mir auch die anderen Videos angeschaut, ist jetzt auch klarer geworden
mischen wischen , alles klar... ich komme fegen mit dem grossen pinsel
probleme degradieren sozusagen
jup, so ist man bestenfalls erzogen, also mit dieser relation gebildet worden
beinhaltet nen krassen gesellschaftlichen mehrwert, wird aber von unserem derzeitigen entwicklungsstand nicht berücksichtigt bzw. sogar verspottet und ausgenutzt, mit nem grinsen in der fresse
lass ma n bissl info drauf los bitte ... da kannste knorke konstruieren mit der erfahrung bzw einer haltung zu wirkweisen von parametrierten verktorgesteuerten matrizen oder och nich ... lach
den tafeldreck drehste zum punkt durch unterschiedlichen kontaktkantendruck ... mit ablösen aufnehmen sozusagen und gleichzeitig treiben ... lach
also vorschub abhängig von voraussichtlicher gesamtdauer
müsste n roboter verstehen und können können
ziel ist bestmögliche konzentration ob das dann sauber ist hängt vom farbauftrag ab aber man kann ja beim besten ergebnis stoppen und neu ansetzen
ne fingerspitze ist ein mass!!!
sofort bauchschmerzen wenn du nen ultra raushaust aus nem anderen fach... andere hirnregion