Orthogonale Projektion (Vektoren) + Beispiele
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- čas přidán 27. 07. 2024
- Die orthogonale Projektion eines Vektors auf einen anderen entspricht der Streckung oder Stauchung eines Vektors und zwar in der Art, dass der "Schatten" des projizierten Vektors orthogonal (senkrecht) auf ihm steht. In diesem Video wiederholst du die wichtigsten Rechengesetze mit Vektoren und lernst einen Vektor auf einen anderen zu projizieren.
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Inhalt:
0:00 Was ist eine orthogonale Projektion
0:21 Herleitung der Formel für orthogonale Projektion
4:24 Beispiel 1
6:08 Beispiel 2
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Wahnsinn, was mein Mathe Skript und meine Professoren nicht schaffen geht bei dir in 5 Minuten, danke dir!!
Sie schaffen es höchst wahrscheinlich schon... Aber auf eine sehr formelle Art und nicht die Intuitive.
@@Joyexer nein, sie schaffen es echt nicht...
Wofür werden die überhaupt bezahlt Junge
So fucking nervig
Schön n Haufen dummes zeug hinschreiben und nichts erklären
Unfähige Sesselpupser
Du bist der beste mein lieber , deine Methoden sind einfach zu verstehen , ich habe die Vektor Zerlegung in 10 min verstanden , also morgen bei der Klausur 3 Punkten plus ^^
Wie ists gelaufen?!
oof. 😂
@@MathePeter bestanden, danke
@@DonAmine666 Die Antwort kommt so früh an wie die DB
Wie das Internet einem so stark helfen kann! Aufjedenfall danke für diese einfache Erklärung und für das Beispiel hat mir extremst geholfen!!
Du rettest mich immer wieder hahaha. Was du erklärst, fasst einfach so viel Stoff aus der Vorlesung gut zusammen
Wie kann man so cool sein und gleichzeitig das Thema so verständlich erklären?
Vielen Lieben Dank für das Uploaden!! Es bringt mir enorm weiter, da ich mit der Art meines DOzenten nicht zurechtkomme!
Sehr hilfreich und einfach erklärt in meinem Skript hat dieses Thema mehr als 10 Folien und du hast das in 7 Minuten geschafft
Vielen Dank für das Video! Für mein Projekt in OpenGL hast du mir sehr helfen können :)
Weiter so!
Vielen Dank für die gute Erklärung.
Super erklärt. Danke dir dafür.
Prima erklärt, super!👍👍👍🌵
Mega Video sehr anschaulich erklärt
Ich bin dir so dankbar! Ich verstehe die Erklärungen meines Profs nicht und du erklärst so verständlich.
Wir lieben dich, Peter
Ich küss dein Herz musste es schnell verstehen und dein Video hat extrem geholfen
Einfach genial, jetzt ergibt das erst Sinn :D
Wie immer tolles Video!!!👍
Hier eine alternative Herleitung:
p ist der Winkel zwischen a & b.
cos(p)=|a_b|/|a|→|a_b|= |a|*cos(p) auf b : a_b=cos(p)*|a|* (b*) ,b*=/|b| * b→ a_b= |a|/|b| *cos(p)*b .
Da cos(p)=/ |a|*|b| → a_b = /|b|^2 * b .
Mathe Peter, du bist ne geile Sau
Danke !! Super Video!!! Ich hab bald eine Prüfung und durch das Video hab ich’s gecheckt 👍 Freue mich weitere Tolle Videos !!!! Zahlentheorie wäre auch ganz interessant 😉
Ja das ist es! Es gibt noch so viele interessante Themen! :)
SUPER vielen Dank
Weltklasse.
gutes Video Peter! 😃
Wahnsinn, was meine Professoren in 180 min nicht schaffen geht bei dir in 15 Minuten, danke dir!
Kompliment. To the point.
Mein Retter während der Klausurphase!
Danke Peter
Lieb dich Junge
ah nice, danke!
Super!!!!!!
Vielen Dank
Chapeau !
sau gut!
Tach Mathepeter! Danke für das Video. Könntest du uns bitte auch noch zeigen wie man die orthogonale Projektion eines Vektors auf eine Ebene macht?
Ja klar, habs mit auf die Liste geschrieben. Das Prinzip versuch ich aber schon mal jetzt zu erklären:
1) Bilde zwei orthogonale Vektoren (q1 und q2) der Ebene. Am einfachsten, indem du den einen Richtungsvektor auf den anderen projizierst und dann voneinander abziehst (das heißt dann "Gram Schmidt Orthogonalisierung": czcams.com/video/l6pr1W3MQoE/video.html )
2) Projiziere deinen Vektor orthogonal auf q1 und auf q2, wie in diesem Video und addiere die Projektionen. Fertig :)
@@MathePeter Danke für die schnelle Antwort! Damit schaffe ich vielleicht noch das Matheblatt, das ich bis morgen brauche!
Sag Bescheid, wie es gelaufen ist! :)
Danke 🙏
Bitte sehr!
ok das ein Vektor gestauch wird habe ich jetzt kapiert, aber was hat es mit der 3-tafelproduktion auf sich? Also wenn ich eine Sichctachse habe, dann stauche/strecke ich die Vektoren entsprechend der sichtachse, aber wie kombiniere ich dann die 3 ebenen (xyz)?
Ehrenmann
Super erklärt danke ❤ich freue mich sehr, haben Sie kurse zum diesen Thema lineare Algebra zum anmelden?ich finde das Thema bei Ihnen super betrachtet ❤vielen Dank
Vielen lieben Dank!! Leider habe ich bisher noch keine Kurse zur linearen Algebra erstellt. Aber ich hoffe, dass ich dazu noch komme :)
Du hast alles auseinandergenommen haha
Ist die Methode auch für ein 2x2 Vektor gültig Bzw kann man dann die Orthogonale Projektion auf die selbe Art errechnen ?:)
Ja das funktioniert für beliebige nxn Vektoren :)
ALS VEREINFACHUNG: solltet ihr bereits eine Orthonormalbasis gegeben haben in der form (u1, u2, u3 ) , bzw. eure Vektoren bereits in eine Orthonormalbasis überführt haben (z.B. mit dem Gram-Schmidt Verfahren) könnt ihr auch einfach folgende Formel anwenden um euren Vektor (a) orthogonal auf die Ebene zu projizieren : v = skalarprodukt(a , u1) * u1 + skalarprodukt (a, u2) * u2 + skalarprodukt (a, u3) * u3 .
Danke für den Beitrag :)
Hey, eine Anfänger -Frage: wenn du den transponierten Vektor mit einen anderen Vektor multiplizierst, müsste dann nicht ein neuer Vektor bei rauskommen? Also ist das nicht etwas anderes als das Skalarprodukt?
Das kannst du leicht mit dem Falkschen Schema überprüfen, indem du die Vektoren als Matrizen auffässt. Die Spalten der ersten Matrix müssen mit den Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmen. Ergebnis ist eine Matrix mit den Zeilen der ersten und den Spalten der zweiten. Bei einem Skalarprodukt (Zeile*Spalte) kommt so am Ende eine 1x1 Matrix raus, also eine Zahl (ein Skalar). Wenn das dyadische Produkt berechnen würde (Spalte*Zeile) kommt eine Matrix raus.
Ach soo, stimmt ! Vielen Dank für diese ausführliche Antwort!
was ist jetzt genau der anteil in Richtung von b (beim 1.Beispiel) und was ist der orthogonale Anteil? Oder ist beides dasselbe?
Vektor a hat einen Anteil in Richtung von b, das ist der Projektionsvektor p, und einen orthogonalen Anteil, das ist a-p. Wenn du diese beiden Vektoren, also a-p und p addierst, kommt wieder a raus. Ist sozusagen eine additive orthogonale Zerlegung, denke aber das ist kein geläufiger Begriff. Finde nur er passt hier ganz gut.
Wie macht man das mit Polynomen? Ich habe hier eine Aufgabe die wie folgt lautet: Berechnen sie die orthogonale Projektion von p_4 = x³ auf P_2(R). Mein P_2(R) ist (Habe ich vorher berechnet:(2,1,2,-1)
Wenn p_4 = x³ ist, dann kannst du das auch als Vektor schreiben: (1,0,0,0). Die Komponenten sind die Vorfaktoren von x^3, x^2, x^1 und x^0.
@@MathePeter Gut dann habe ich es verstanden. Danke dafür. Ich wünsche ihnen einen schönen Tag noch.
Gutes Video habe es verstanden, aber wofür braucht man diese Zerlegung in der Mathematik?
Du meinst du man die orthogonale Projektion verwendet? Das nutzt man zum Beispiel bei der QR-Zerlegung von Gram&Schmidt. Wenn du linear unabhängige Vektoren hast, dann kannst du damit die Vektoren so zurecht "biegen", dass sie weiterhin den selben Vektorraum aufspannen, jedoch alle senkrecht zueinander stehen. Es hilft also dabei eine Orthonormalbasis zu erzeugen. Die hat wiederum Vorteile, weil numerische Berechnungen stabiler und weniger fehleranfällig sind. Ist aber nur eine von gefühlt unzählbar vielen Anwendungen.
@@MathePeter stabil danke für deine Antwort!
Im Nenner bei der allgemeinen Formel steht doch Betrag vom Vektor b hoch 2 aber wieso wurde dann beim Beispiel a längs b die 50 im Nenner nicht quadriert?
Weil das hoch 2 die Wurzel der Längenberechnung aufhebt.
Kannst du bitte ein Video zu Kern und Bild machen
Ich habe bereits ein Video gemacht, in dem ich bewiesen habe, dass kern und bild einer linearen Abbildung Untervektorräume sind. Wie genau sich Kern und Bild bestimmen lassen, mache ich aber auch gern noch mal in eigenen Videos.
Warum kann man im Zähler beim Skalarprodukt von a und b den cos vernachlässigen?
Hier die Herleitung: czcams.com/video/wJAniAr6avU/video.html
Vielen Dank, aber was mache ich wenn ich anstatt eines Vektors eine gerade habe?
Dann kannst du aus der Gerade in Form y=y(x) einen Vektor machen mit Hilfe der Parametrisierung x=t und y=y(t).
Hi, Kannst du mal bitte ein Video zum Thema Approximation eines Vektors auf einem Unterraum des R^4 drehen? Dieses Thema konnte ich leider nicht finden...
Was genau soll approximiert werden?
@@MathePeter ein Vektor mit 4 Komponenten des Raums R^4 muss auf einem 3-Dimensionalen Unterraum (W) mit einer bekannten Orthonormalbasis approximiert werden. also die beste Approximation des Vektors auf diesem Unterram ist gesucht. Ist diese beste Approximation dieselbe orthogonale Projektion auf dem Unterram?
Das ist meine Vermutung, weil mir nichts anderes einfällt, was besser passen könnte. Allerdings solltest du noch mal nachfragen. Wenn du wissen willst, wie die Projektion auf einen 2-dimensionalen oder höher dimensionalen Unterraum funktioniert, schau gern mal im Altklausuren Livestream von letzter Woche rein, in dem ich den Fall nicht nur hergeleitet, sondern auch gerechnet und ausführlich erklärt habe: czcams.com/video/5Ql9aDC_-hk/video.html
@@MathePeter Dankeschön, das war Prima.
und wie würde der letzte vektor bei 6:50 in der skizze oben aussehen?
Von der Pfeilspitze von b aus auf den Vektor a drauf, sodass ein rechter Winkel bei a entsteht. Du müsstest dafür den Vektor a etwas länger zeichnen. Es kommt also manchmal zur Streckung und manchmal zur Stauchung der benutzen Vektoren.
Stimmt es, dass durch die Division mit dem Betrag des Vektors^2, der Vektor eigentlich gleichzeitig normalisiert - also auf die Länge 1 gebracht wird?
Wenn du a auf b drauf projizierst, dann steht "geteilt durch Betrag(b)^2" für die Normierung von den beiden b's, die in der Formel vorkommen. Wäre b schon von Anfang an normiert, dann reduziert sich die Formel auf *b. Kannst aber auch jederzeit je einen Betrag in je eines der beiden b reinziehen und dadurch normieren. Also ja: "Die Division mit dem Betrag des Vektors^2" normiert beide Vektoren b.
Wie berechne ich dann den Betrag von der Projektion b auf a ?
Die orthogonale Projektion von b auf a berechnet sich durch /|a|^2 * a. Es bleibt die Richtung vom Vektor a nur die Länge wird verändert. Wenn du rechnest 1/|a| * a, dann ist der Vektor a normiert und hat die Länge 1. Der verbleibende Faktor /|a| gibt dann die Länge der orthogonalen Projektion an.
@@MathePeter Also ist der Grund, weshalb aus dem Divisor nicht die Wurzel gezogen wird, der, dass damit einmal das Skalarprodukt und einmal der Vektor, auf den projiziert wird, jeweils normiert werden und man die Division durch die Länge quasi zweimal braucht?
fasst man die Formel zusammen , so dass man gleich den projezierten vektor bekommt, erhält man a*b/!b!^2 *b. Warum kann man nicht oben im Nenner b*b zu !b!^2 zusammenfassen, so wie du es ja auch gemacht hast? Das Skalarprodukt ist doch kommutativ und assozativ? Es würde sich ja dann wegkürzen und dann stünde dort a auf b ist a. Und noch eine Frage zum Transponiertzeichen: wäre es ohne das nicht auch möglich? Einfach ein Skalarprodukt zwischen Spalten Vektor und Spaltenvektor? danke, tolle videos!
Oben im Zähler steht doch a*b. Wäre es aber b*b, dann hätte man |b|^2 draus machen können, stimmt.
Und für ein Skalarprodukt ist es wirklich wichtig, dass man Zeile*Spalte rechnet! Denn z.B. Spalte*Zeile nennt man Dyadisches Produkt, da kommt eine Matrix bei raus. Zeile*Zeile und Spalte*Spalte sind nicht definiert. Man kann ja einen Vektor als Matrix interpretieren und da müssen ja die Dimensionen bei der Multiplikation passen, siehe Falksches Schema: czcams.com/video/VP3sseZvhKE/video.html
Was ist wenn der Vektor nicht auf einen andere Vektor projeziert wird, sondern z.B. auf eine Gerade die eine Wand darstellt?
Eine Gerade kann auch durch einen Vektor beschrieben werden. Eine Wand kann durch eine Ebene beschrieben werden, die wiederum aus zwei Richtungsvektoren besteht. Also das Prinzip funktioniert auch in diesem Fall.
Wieso wird das transponiert? Dass das Skalarprodukt bei orthogonalen Vektoren 0 ist, weiß ich sogar. Aber das transponiert ist mir ein Rätsel
So ist das Standardskalarprodukt definiert. Es wird ein Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor multipliziert und als Ergebnis kommt ein Skalar raus.
Ah, das erklärt warum das Ergebnis immer nur einen Eintrag hat, auch wenn die beiden Skalare je mehrere Einträge haben.
-1^2+2^2+2^2 ist doch 7 und nicht 9 oder irre ich mich?
Du musst noch die -1 in Klammern setzen. Beim Quadrieren kommen dann immer nur noch positive Summanden raus. Kleiner Trick: Ignorier einfach die negativen Vorzeichen, die fallen ja eh weg ;)
Was wird mit "Schatten eines Vektors" gemeint?
Das ist als Verbildlichung der "Orthogonalprojektion" gedacht. Stell dir vor die Sonne steht im Zenit. Ein Pfeil, den du in der Hand hälst, wirft einen Schatten. Dieser "Schattenpfeil" ist die orthogonale Projektion deines Pfeils.
@@MathePeter ok danke für die schnelle Antwort, bin nur ein bisschen verwirrt weil bei mir eine orthogonale projektion wie folgt definiert wird: ist ein vektor (b-p) Senkrecht auf einen Untervektorraum V von R^n mit p Element von V, dann heißt p eine orthogonale Projektion von b auf V.
@@MathePeter jetzt hab ichs verstanden der Vektor a wirft seinen Schatten auf den Vektor b richtig?
Ganz genau! Der "Schatten" von a, den man auf dem Vektor b sieht, das ist die orthogonale Projektion von a auf b. Und es es deckt sich mit der Definition, die du grad aufgeschrieben hast. Natürlich ist die Definition im Allgemeinen besser, wenn man damit arbeiten will, Aber mit "Schatten" kann man sich besser was drunter vorstellen :)
@@MathePeter vielen dank das hat mich echt weitergebracht
Was ist nochmal ein Skalarprodukt
Die Antwort hängt davon ab, in welchem Zusammenhang du das Skalarprodukt betrachtest. Allgemein würd ich sagen ist das Skalarprodukt (im Reellen) eine positiv definite symmetrische Bilinearform. Damit gehen einige Eigenschaften einher, die das Skalarprodukt definieren. Wenn du dich aber speziell auf reelle Vektorräume beziehst, die man aus der Schule kennt, dann meinst du wahrscheinlich das Standardskalarprodukt. Dazu habe ich hier ein Video: czcams.com/video/wJAniAr6avU/video.html
Gute Qualität aber irgendwie unverständlich.
Was würdest du verbessern?
Cauchy hauptwert bitte !!
Du bist so fucking lustig
ein engel bist du
Nimmst du Koks vor deinen Videos? Wo kommt die Energie her?
Kann ich mir nicht leisten haha. Macht einfach Spaß über die Themen nachzudenken und drüber zu reden :)