VEKTORRECHNUNG | Bedeutung + Rechengesetze + Skalarproukt + BEISPIELE
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- čas přidán 9. 07. 2024
- "Ein Vektor ist eindeutig bestimmt durch eine Richtung und eine Länge." Was das bedeutet, lernst du schnell und einfach in diesem Video! Außerdem erfährst du wie die Addition, Subtraktion, skalare Multiplikation und das Skalarprodukt funktionieren und was sie geometrisch bedeuten.
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Inhalt:
0:00 Was ist ein Vektor?
0:39 Vektorschreibweise + Bedeutung
1:24 Addition
2:26 Subtraktion
2:54 Vektor zwischen 2 Punkten
3:34 Länge/Betrag
4:36 Streckung/Stauchung
5:50 Normieren
7:13 Skalarprodukt (Bedeutung + Rechnung)
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Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Ich möchte mich bei Ihnen für Ihre Videos bedanken!
Die sind einfach top.
Danke Dir
Peter ich habe an der RWTH in Aachen Maschinenbau studiert. Ich möchte dir wirklich danken. Du erklärst alles immer so gut. So dass wirklich bei Transferaufgaben sich kaum schwierigkeiten ergeben.
Das freut mich wirklich sehr! ❤️
Danke für diese efektive Videos!
Diese Videos sind perfekt, um unabhängig von der Schule und aus Interesse Mathe zu lernen.Alles wichtige wird in Videos perfekter Länge ausführlich behandelt.Ich möchte dir meinen grenzenlosen Dank aussprechen, lieber Peter.
Súper großartig du hast das ganze Thema perfekt in einem kurzen video erklärt
Toller und hilfreicher Kana!
Tolles Video, danke
Super Video, abonniert!
Ich weiß nicht was meine Lehrer und Professoren falsch machen aber eins weiß ich - du bist großartig. Ich sehe das es dir großen Spaß macht Mathe zu thematisieren, danke für die hilfreichen Videos. Bitte weitermachen wir brauchen noch mehr Content
Danke dir! Das kriegen wir hin :)
Daniel Jungs Nachfolger😂👍
besser als Daniel Jung tho
für die Zuschauer wortwörtlich. Früher Daniel jung in der Schule und jetzt MathePeter im Studium
Vielen Dank
Starkes Video. Danke :)
sehr gute Erklaerung.
Danke fürs Feedback!
Ist die Antwort auf die Aufgabe 1 ?
Hi Peter, hast für Lineare Algebra auch einen Udemy-Kurs?
Leider noch nicht. Arbeite grad auf Hochtouren an einem ersten vollständigen Analysis Kurs.
Das passt wahrscheinlich nicht ganz zu dem Video, aber mich würde interessieren, ob es eine Funktion gibt die so lautet: Winkel w berechnen so das gilt: rotiert man Vektor a um Vektor c , so sind Vektor a und Vektor b parallel.
Es gilt also f zu finden : f(a,b,c) = w | a,b,c element R^3.
Kann es im Allgemeinen nicht geben. Denn wenn z.B. b und c parallel sind, aber a nicht parallel ist zu den beiden, dann können wir a solange um c drehen wie wir wollen, es wird nie parallel zu b sein.
Hallo lieber Peter guten Abend nochmal. Ich bin in deinen Videos verliebt. Danke nochmal, dass du mir gestern Abend die Videos geschickt hast. Ich hätte eine Frage. Was bedeutet denn Vektor zu nominieren?
Einen Vektor zu „normieren“ heißt ihn auf die Länge 1 zu bringen. Das geht, indem du durch seine Länge teilst. Dazu hab ich auch Videos, such mal in der Playlist danach :)
@@MathePeter Danke dir! Ja, mathematisch weiß ich, dass man durch die Länge teilt, aber die Idee da hinter verstehe ich nicht. Warum man das macht?
Vielen Dank nochmals und dir natürlich schönes Wochenende!
Wenn du den Vektor mit einem Faktor multiplizierst, dann skalierst du damit die Länge. Wenn du den Vektor z.B. mit 2 multiplizierst, ist der doppelt so lang. Wenn du durch 2 teilst, ist er nur halb so lang. Wenn du einen Vektor durch seine eigene Länge teilst, dann hat er zwangsweise die Länge 1. Eine Einheitslänge sozusagen. Das ist immer dann wichtig, wenn es dir lediglich um die Richtung geht und das Rechenergebnis unabhängig von der Länge des Vektors sein soll. Das hast du z.B. bei der Richtungsableitung, wo der Anstieg in eine bestimmte Richtung berechnet wird. Da ist ja auch nur die Richtung wichtig, aber nicht die Länge des Vektors.
Ich habe noch nicht verstanden, warum man cosa anstatt sina im Skalarprodukt benutzt. Was ist der Unterschied hier?
Stell dir vor von der einen Vektorpfeilspitze gibts eine senkrechte Verbindung (orthogonale Projektion) auf den anderen Vektor dran. Dann hast du ein rechtwinkliges Dreieck. Kosinus = Ankathete durch Hypothenuse, setzt also die beiden Vektoren in Beziehung zueinander. Sinus = Gegenkathete durch Hypothenuse benutzt nicht die beiden Vektoren miteinandern, die den Winkel einschließen.
@@MathePeter Genau!!! Danke für die Erklärung! Das war auch mein Verdacht! Könnte man auch die Sekante benutzen, solange es Sekante = Hypotenuse/ Ankathete gilt? Ich schätze, dass die Berechnung mit der Sekante schwieriger wäre als mit Kosinus.
Du kannst alles über alles definieren, wenn du die Zusammenhänge findest :)
@@MathePeter Wir haben gelernt, dass der Urprung der Kosinussatz ist. Kann dies auch ein Grund sein? Und wieso rechnet man zwischen zwei Geraden/Ebenen mit dem Kosinus und zwischen einer Ebene und einer Gerade mit dem Sinus den Winkel aus?
@@mariederprivatekafer8165 Ja so kann man auch ran gehen :)
Warum man beim Winkel zwischen einer Ebene und einer Gerade mit dem Sinus arbeitet: Man verwendet ja bei der Berechnung den Normalenvektor der Ebene. Der stehst aber senkrecht auf der Ebene, also im 90°-Winkel. Wenn man jetzt mit dem Kosinus den Winkel zwischen Normalenvektor und der Gerade bestimmt, hat man nicht den gesuchten Winkel alpha zwischen Ebene und Gerade, sondern nur den Winkel beta = 90° - alpha. Also entweder wie gewohnt mit den Kosinus arbeiten und dann das Ergebnis von 90° abziehen oder alternativ wegen cos(x)=sin(90°-x) einfach mit dem Sinus arbeiten. Oder noch verrückter: Den Richtungsvektor der Gerade orthogonal auf die Ebene projizieren und dann den Winkel zwischen Gerade und Projektion wieder mit dem Kosinus ausrechnen. Gibt viele Möglichkeiten 😄
ist Skalarprodukt und inneres Prodkut das gleiche?
Weil irgendwas scheint es da zu geben was anders ist.
irgendeine "weitere Fassung" oder so vom Skalarprodukt , also was nicht die Summe der der beiden Vektoren jeweils gleicher Spalten Produkte ist.
Sagt dir das zufällig was?
"Inneres Produkt" hat mehrere Bedeutungen. Aber für gewöhnlich wird es für das Skalarprodukt verwendet.
79.7 ?
Bei mir ist das Ergebnis etwa 76,6. 2=sqr3*5*cos(alpha), Wie hast du die 79,7 berechnet?
Also ich habe auch ca 79,7
Also es sieht so aus:
2 = Sqrt(2^2 + (-1)^2) * Sqrt(3^2 + 4^2) * cos(a)
2 = Sqrt(5) * Sqrt(25) * cos(a)
2 = Sqrt (5 * 25) * cos(a)
2/Sqrt(125) = cos(a) /arcuscosinus
arccos(2/Sqrt(125) = a
a = 79,7
ist der Winkel 0,18?
Umgestellt ergibt sich cos(α)=2/(5*sqrt(5)). Davon dann den arccos ergibt alpha. Das müssten im Bogenmaß ungefähr 1,39 sein, bzw. im Gradmaß ungefähr 79,7°. Rechne bitte noch mal nach.
@@MathePeter danke für die Antwort ! ich habe es jetzt richtig bekommen
Cooles Video. Aber das Skalarprodukt ist def. nicht so definiert, sondern als Summe von Produkten. Die "Definition" im Video ist der Cosinus-Satz aus der Trigonometrie.
Zur Definition des Skalarprodukts gibts das Video hier: czcams.com/video/wJAniAr6avU/video.html
@@MathePeter Ok, danke. Es scheint mir einfacher, das Skalarprodukt als Billinearform zu definieren. Daraus folgt dann die Winkelformel (für n=3). Für n>3 ist die geometrische Interpretation der Winkelformel nicht mehr so einfach. Daher würde ich sie nicht als Def. verwenden.
Immer abhängig vom Kontext, welche Definition am "praktischsten" ist 😄
Für n=3 vielleicht. Aber allgemein ist das Problem mit Deiner Definition, dass ich vorerst gar nicht weiss, was der "Winkel zwischen zwei Vektoren" ist. Das müsste man zuerst definieren, bevor man es für die Definition vom Skalarprodukt verwenden darf...
Wir können die Diskussion auch beenden und uns drauf einigen das Skalarprodukt axiomatisch zu definieren als positiv definite symmetrische Bilinearform. Das ist so allgemein wie möglich und deckt auch das Skalarprodukt von Funktionen mit ab. Ich versteh nur nicht, was dich am Winkel in mehr als 3 Dimensionen stört und als Summe von Produkten würd ichs einfach nicht definieren, weil das nur ein Spezialfall ist, der sich über den Cosinussatz herleitet.
Abo ist raus
Ob mein goottt. Ich bekomme Kopfschmerzen vom zuhören. Bitte sprich etwas langsamer
Kann ich verstehen, war am Anfang noch ziemlich aufgeregt. Remake kommt bald :)
@@MathePeter vielen Dank.