Wie man den Kern einer Matrix berechnet
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- čas přidán 26. 07. 2024
- Wie bestimmt man den Kern einer Matrix bzw. einer linearen Abbildung? Und was hat der Gauß-Algorithmus damit zu tun?
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Inhalt:
0:00 - Intro
0:33 - Kern einer Matrix / linearen Abbildung
1:59 - Anschauung
4:05 - Bestimmen des Kerns aus dem Eingangsbeispiel
9:02 - Zweites Beispiel
10:38 - Hilfe von der Determinante
11:53 - Drittes Beispiel
15:23 - Outro
Über welches Themen soll ich mal ein Video machen?
Lasst es mich in den Kommentaren wissen! ▼▼▼
Fantastisch erklärt und vor allem ordentlich und sauber hingeschrieben. Ihre Webseite ist einfach genial!
Der Schritt mit der -1 ist ja mal mega. Danke dafür, habe das so noch nirgends sonst gesehen! Daumen hoch
Ich war damals auch total fasziniert als ich den das erste Mal gesehen habe 😉
Das ist ja geil. Vielen Dank!
gutes Video, danke
Hey echt gutes Video auch wenn ich leider nicht genau weiß wie du auf die roten Markierungen gekommen bist. Ein ausführliche Erklärung wäre noch gut gewesen. Aber danke für den Tipp mit der Sarrus Regel. Diese find ich sogar noch besser als das Gauß-Verfahren. Wie würde es bei einer 3x4 Matrix aussehen oder kann man dann einfach eine weitere Reihe mit Nullen hinzufügen um den Kern zu erhalten?
Super, das freut mich wenn es gefällt!
Welche roten Markierungen meinst du genau? Vielleicht wird das noch klarer, wenn ich noch ein paar Worte mit dazu schreibe...
Genau. Bei einer 3x4 Matrix kann man einfach eine Nullzeile ergänzen, erhält somit eine 4x4 Matrix und kann dann genauso den Kern berechnen. (Man kann an dieser Nullzeile dann auch schon wunderbar erkennen, dass eine 3x4 Matrix keinen ein-elementigen Kern besitzen kann, sondern dieser damit automatisch schon mindestens 1-dimensional ist)
was mach ich denn, wenn ich zwei nullzeilen hab? hab ich dann zwei vektoren im span?
Hi, ja genau. Die Anzahl der Nullzeilen entspricht der Anzahl der (linear unabhängigen) Vektoren im Span. Beim Ablesen der Lösung kann man dann auch diesen Trick mit der -1 machen. Wie der geht wenn man mehr als eine Nullzeile hat, hab ich hier schon mal erklärt: czcams.com/video/bowJtP2Ra-I/video.htmlsi=yp0_zE8ipnInoju2
@@brainpi vielen lieben Dank ! :)
Das ist ja schön und gut, aber warum kann man die 0 mit einer -1 ersetzen?
Wir gehen da anscheinend eine Abkürzung die ich mir nicht wirklich erklären kann
Genau. Das ist ein kleiner Trick den ich irgendwie immer beim Ablesen einer Lösung verwende. Man könnte auch anders vorgehen und die Lösungen ganz klassisch ablesen:
Als erstes würde man (jetzt zum Beispiel mal anhand der Lösung bei 7:42 ) das Koeffizientenschema das man dort hat wieder zu Gleichungen mit x,y und z umschreiben:
x - z = 0
y + 2z = 0
z = z
(die letzte Zeile entsteht nun, weil z aufgrund der Unterbestimmtheit des Gleichungssystems frei wählbar ist). Das formt man dann um zu:
x = 1 * z
y = -2 * z
z = 1 * z
Man würde damit als Lösungsmenge des Gleichungssystems die Menge:
span{(1, -2, 1)^T}
bekommen. Wie du siehts unterscheidet sich der Vektor der hier im span steht von dem Vektor der im Video im span steht um den Faktor -1. Das macht aber überhaupt nichts, da der span ja die Menge aller Linearkombinationen der angegebenen Vektoren ist. Daher ist in span{(1, -2, 1)^T} sowohl der Vektor (1, -2, 1)^T, als auch der Vektor (-1)*(1, -2, 1)^T enthalten.
Ich fand den Trick am Ende immer ganz witzig, weil man sich keine Gedanken mehr darum machen muss das Gleichungssystem wieder zu sowas mit x,y und z umzuschreiben (auch wenn man den Schritt nur in Gedanken macht). Speziell bei größeren Gleichungssystemen die mehr als eine 0 auf der Diagonalen habe wird das irgendwann unheimlich praktisch.
@@brainpi Muss eine Matrix immer eine Null auf der Diagonalen haben?
@@thechirs1395 Nein. Nachdem man Gauss angewendet hat kann es auch sein dass keine 0en auf der Diagonalen stehen. In dem Fall besitzt das Gleichungssystem dann eine eindeutige Lösung und das kann nur der 0-Vektor sein. Der Kern ist in dem Fall also gegeben als {0}.
@@brainpi Vielen Dank für die Antwort. Macht für mich nun um einiges mehr Sinn :)
Kann man den Kern auch so ablesen, wenn man z.B. eine 3x4 Matrix hat? Dort hätte man dann ja min 2 Spalten bei denen eine 0 drin ist. Für mindestens 1 liegt die 0 dann ja nicht auf der hauptdiagonalen. Bzw wie bestimmt man den Kern dann?
Wenn du weniger Zeilen als Spalten hast, dann kannst du einfach gleich zu Beginn (oder am Ende vor dem Ablesen der Lösungsmenge) entsprechend viele Nullzeilen hinzufügen (so viele, dass die Matrix dann wieder quadratisch ist). Danach kannst du das genau so mit Gauß machen.
In dem Fall einer 3x4 Matrix also einfach eine Nullzeile anhängen, sodass es eine 4x4 Matrix wird und diese dann während des Gaus Algorithmus an die richtige Stelle sortieren, sodass die restlichen nicht-null Zahlen trotzdem die Dreiecksgestalt bilden
@@brainpi Danke für die schnelle Antwort, das ergibt Sinn :)
Was ist wenn auf der diagonalen 2 Nullen sind? Wie würde so ein vektor aussehen?
Wenn auf der Diagonalen 2 Nullen sind ist der Kern 2-dimensional, heißt also dass man zwei freie Parameter (anstatt nur einen wie bei einer 0) in der Lösungsmenge erhält.
Beim konkrete Ablesen der Lösungsmenge kann man dann so vorgehen dass man auch an die Stelle der zweiten 0 eine -1 setzt. Dann hat man also zwei von solchen Vektoren mit so einer -1. Nennen wir den ersten davon v und den zweiten w, die Vektoren der Lösungsmenge hätten dann die Form sv+tw, wobei s und t die freien Parameter sind.
Ich weiß nicht ob das in der Beschreibung eben so gut rüber kam. Den Trick mit den (-1)-en habe ich ansonsten nochmal genauer hier erklärt: czcams.com/video/bowJtP2Ra-I/video.html
Man kann es natürlich auch ohne diesen Trick machen und die Lösungsmenge des LGS wie sonst auch immer bestimmen.
@@brainpi Danke ! kann man das auch benutzen die berechnung des Spaltenraums ?
Ja, kann man. Hier muss man aber noch aufpassen: Wenn man Gauß so anwendet wie im Video bestimmt man so erstmal den Zeilenraum der Matrix. Um den Spaltenraum zu bestimmen muss man die Matrix vorher noch einmal transponieren
Wieso mussten man die 2 in der 2.Spalte auf 0 kriegen?
Meinst du die 2 über der -3?
Die müsste man theoretisch gar nicht auf 0 kriegen, zumindest nicht während des Gauß Algorithmus. Allerdings musst du irgendwie ja die Lösungsmenge des Systems ablesen und wenn du die Einträge über den Diagonalelementen nicht eliminieren würdest, müsstest du beim Ablesen der Lösungsmenge erst noch Rückwärtssubstituieren. (Im Grunde mach ich hier nichts anderes, ich schreibe die Rückwärtssubstitution nur wie den Gauß Algorithmus selber noch auf)
Ja genau diese 2. Danke! Achso alles klar ist einfach schneller?
@Bananas-Burgees ja, genau. Wenn dir am Ende eine andere Methode zum bestimmen/ablesen der Lösungsmenge besser gefällt, dann nimm die auch 😉