Dimension und Basis von Bild und Kern einer Matrix bestimmen
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- čas přidán 26. 07. 2024
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#LineareAlgebra
0:00 Einführung
0:36 Zeilenstufenform berechnen
1:38 Zeilenstufenform
2:10 Dimensionen ablesen
4:21 Kern bestimmen
5:00 Bild bestimmen
7:30 Basis des Bildes aufschreiben
7:50 Basis des Kerns aufschreiben
Hier erzähle ich etwas über eine typische Aufgabe in den ersten Linearen Algebra Vorlesungen. Man muss das Bild und den Kern untersuchen und sowohl Dimension als auch Basen angegeben. Wenn man den Gaußalgorithmus verstanden hat, ist es aber überhaupt nicht schwer :)
(Aufgabe passt zur Vorlesungen wie Mathematik für Ingenieure, Mathematik für Physiker, Mathematik für Naturwissenschaftler, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler und natürlich auch für Mathematik-Vorlesungen für Mathematiker)
Besser kann man es für mich kaum machen. Vielen Dank. Ich musste die tiefsten Tiefen des Internets danach durchforsten, aber endlich konnte mir jemand gezielt die Zusammenhänge erklären und die ewige redundante Rechnerei hat ein Ende.
Das beste Video zu dem Thema. Das Video rettet mir die Klausur.
mir nicht lol!
Morgen Klausur, das Video vereint einfach alles was bisher absolut unklar war, super gut erklärt, Danke
Dafür bin ich da :) Gerne!
Same, nur 4 Jahre später :D
Vielen vielen Dank für Deine Videos. Bei weitem die besten. Du erklärst nicht nur stumpf die Theorie und rechnest Aufgaben vor. Du zeigst auch noch Zusammenhänge auf, wodurch alles verständlicher wird. Vielen Dank! Du leistest großartige Arbeit!
Du rettest mir meine LinAlg Prüfung heute, danke! ❤
Gerne! Schreib gerne mal wie es gelaufen ist :)
Wie lief es?
@@brightsideofmaths ich habe leider nicht bestanden, aber es lag nicht an den Themen dieses Videos 🥲
@@l.cherryblossom8791 kopf hoch ich bin auch im Zweiten Versuch. Einfach nicht Aufgeben und nächstes semester noch mal 💪
@@l.cherryblossom8791 ein Boxer meinte mal: Es geht nicht darum wie hart du Schläge austeilen kannst oder wie oft du hinfällst,
Sondern darum WIE GUT du einstecken kannst und WIE OFT du wieder aufstehst. Fällst du n Mal hin, stehe einfach n+1 mal wieder auf ✊🙏
Habe mir jetzt ein paar Videos zu dem Thema angeschaut, aber erst durch dieses hat es wirklich Klick gemacht. Zudem ist die Stimme sehr ruhig und entspannend, so dass man einfach gerne zuhört :) Vielen Dank.
Das ist ein tolles Video. Vielen Dank! Ich liebe die Gegenwart gewordenen Zukunft, in der man seine Frage in CZcams eingibt, und ein kompetenter Universitätsdozent sie einem einfach einfach beantwortet.
Das Beste Video über Dimension und Basis von Bild und Kern im Internet. Danke Dir!!
Danke :)
Was ein Glück, dass ich auf dieses Video gestoßen bin! Alles was ich zu dem Themenbereich brauche in einem Video, top!
Vielen lieben Dank, sehr übersichtlich und einleuchtend.
Echt das beste Video zum Theme, gerade püntklich zu meiner Klausurenphase^^
Vielen Dank , du hast wirklich sehr wichtige Elemente in diesem video zusammengeführt .
Sehr gute Erklärung und vorallem erwähnst du auch gute nebenfakten die einem das rechnen weitaus erleichtern!
Du hast es so gut erklärt! Vielen Dank! Kann das safe in der Klausur übermorgen verwenden :D
Hier könnt ihr mich unterstützen: thebrightsideofmathematics.com/support/
Meine deutschen Videos erscheinen nun ausschließlich hier: czcams.com/channels/KXoXdlLPF5uzsLWZ1ke_Uw.html
Das ist ein geniales Video! Hat mir sehr geholfen 😁
Wirklich sehr sehr gut erklärt! Danke!
Das Video habe ich nur 2 Stunden vor der Klausur gefunden, und hat es echt geholfen, vielen Dank!
Danke und gerne :) Du kannst die anderen Videos nun gerne auch ohne Zeitdruck vor Klausuren anschauen ;)
Das Video hat mir mehr gebracht als die ganzen Vorlesungen, danke dafür!! :)
Sehr gerne :)
Meiner Meinung nach verdienst du mehr als 81k Aufrufe, so gut wie du es erklärt hast, ich wünschte du wärst mein Prof👏🏻 seit Wochen hänge ich an diesem Thema, nur weil man mich mit Definitionen voll gelabert hat, die ich nicht verstehe, anstatt solche schönen Beispiele zu geben…
wow! Das war ja mal super einfach erklärt, dass sogar ein alter typ wie ich (29) das verstehen kann! Sofort mal abboniert!
29 und alt ?
Digga alt bist du mit 40 erst.
Lets Go !!!!
Sie Sind der Beste, wer Mathe überhaupt erklären kann, vielen Dank
super erklärt! danke :)
herzlichen Dank. ziemlich gut erklärt
Du bist der Beste, alles super anschaulich erklärt, hast mir wirklich geholfen, danke.
Danke :)
Sehr gut erklärt, vielen Dank ^^ Jetzt habe ich vieles verstanden und weiß zum Rest endlich, was genau ich nicht verstehe!
Danke. Genau dafür ist das Video da :)
Super erklärt!👍
Absolut wunderbar, ausführlich und verständlich erklärt :)
Herzlichen Dank!
Sehr verständlich erklärt dankeeee
wundervoll erkärt. Vielen Dank dafür :)
Gerne!
Absoluter Ehrenmann!!!
Haha Bruder das man dich hier findet aber nices video 😂😂
@@chanelbandit wtff hahah aber zu heftig dem seine vids haha. Morgen mathe haha fuark
bin dir echt dankbar endlich hab ich das auch mal verstanden verdammt :)
sehr gut erklärt :)
Sehr gut erklärt
Bestes Video zum Thema
vielen dank für das tolle video, diese 12 minuten haben mir sehr geholfen
Mein Held!
Supperrr weiter so 👍🏼 👏🏼
Vielen Dank!
Wunderschön
Vielen Dank sehr einfach aber wirksam erklärt, ich benötige auch am besten immer Zahlenbeispiele, da ich es anhand dieser besser nachvollziehen kann. Mir gefällt auch die ruhige Stimme, höre gerne zu!
Danke :)
Du bist der beste
sehr sehr gut!!
Sehr gut erklärt!
Danke:)
Einfach nur wow
unglaublich gut erklärt
Danke! Dann gefallen dir vielleicht auch die weiteren Videos hier :)
Danke, ich war schon dabei zu verzweifeln, weil ich dazu nichts vernünftiges finden konnte :)
so ein gutes video echt
Bist der beste uff
Danke!
endlich konnte jemand das Thema richtig erklären :| vieleeeeeeeeeeeeen Dank
Geeeeeeeeeeeeeerne!
Vielen dank
Vielen Dank, da sieht der HöMa-Übungszettel doch direkt ganz machbar aus :)
danke bruda
Ist die Matrix A die lineare Abbildung als Matrix geschrieben ? :)
Ehrenmann!
Basis des Kerns geht noch viel einfacher, indem man in der reduzierten ZSF (alle vorhandenen Pivot-Elemente = 1) die nicht(!)-vorhandenen Pivot-Elemente ( = 0 ) mit einer -1 ersetzt.
Dazu schiebt man eine Nullzeile ein mit einer -1 an der Stelle, wo das Pivot-Element stehen würde.
Die so geänderten Spalten, die dann diese neue -1 enthalten, ergeben sofort die Basis des Kerns.
Super Trick , leider auch mit der sehr ausführlichen Beschreibung schwer vorstellbar für mich 😢
Eine visuelle Darstellung wäre gold wert :>
Danke! Ich habe meine Matheklausur bestanden!
Super :) Und danke ebenso!
Dienstag LA 1 Prüfung, Danke
Wie bei mir :)
wieso setzst du für x2 2 und für x4 10 ein?
Sehr gutes Video, in Minute 8:33 wird allerdings gesagt das nach den abhängigen Spalten aufgelöst wird("diese werden links hingeschrieben") dabei sind die linear unabhängigen variablen doch die mit den Pivot Elementen und nicht umgekehrt(Pivot=abhängige?)?
Ja, die Variablen *hängen* von den *freien* Variablen *ab* :)
es kann sein dass linear unabhängige Vektoren sind nicht Pivotelemente, kann man die als Basis des Bildes beschreiben?
Top Video. Heißt das der Kern sind die Spalten ohne Pivot Element?
Nein, das heißt es nicht :)
ist basis des bildes immer linear unabhängig? was passiert wenn die alle Vektoren linear abhängig sind?
nice
Gilt das nur für Vektoren? Denn irgendwie, wenn ich eine Matrix habe,die ich in eine Einheitsmatrix umforme kommt dimension=0 raus entsprechend der Gleichung dim= n-RGA was ist der Unterschied bzw benutzt man das eine nur bei Vektoren und das andere bei anderen Matrizen?
Wenn sich eine quadratische Matrix A in eine perfekte Einheitsmatrix umformen lässt, so hat man dadurch gezeigt, dass A invertierbar ist.
Die Inverse lässt sich einfach bestimmen, indem man die gleichen Umformungsschritte in der gleichen Reihenfolge an einer Einheitsmatrix durchführt.
hallo
super erklärt.
wie gehe ich vor wenn matrix nur aus variablen besteht?
bitte um Antwort! herzlichen Dank
Die Variablen in zahlen ändern. Du schreibst als Zahl die Anzahl der Variablen an dem Punkt.
Zb. X 2Y -Z
Daraus kannst du
1 2 -1 machen
Exakt gleich. Kommen eben nur überall Terme raus anstatt Zahlen.
Eine Frage: Eine Sache, die mir immer noch unklar ist, ist der Zusammenhang der Basis mit dem Kern bzw. dem Bild. Die Basis des Bildes haben Sie als Menge des 1. und 3. Vektors ( d.h. (2,4,8) und (3,1,17) ) aufgeschrieben. Was wäre dann das Bild ? Auch ((2,4,8) und (3,1,17)), und wenn ja, was ist der Unterschied zwischen den Beiden (Dasselbe für Kern und Basis). Beste Grüße.
Das Bild ist der aufgespannte Vektorraum der Basis. Ich habe eine Lineare Algebra Videoreihe, aber bisher nur auf Englisch, die weiterhelfen könnte.
Hey, Super informatives Video. Mir ist jedoch nur nicht klar wieso bei Verschiebung der freien Variablen nach rechts aus der ersten Zeile die 3*x3 wegfallen. Würde mich über eine Aufklärung freuen.
Lg
Danke! Die 3*x3 fallen nicht weg, sondern werden durch -9/5 x4 ersetzt, was man ja schon von der zweiten Zeile her weiß.
The Bright Side Of Mathematics danke für die schnelle Rückmeldung 💕
The Bright Side Of Mathematics hey, hätte da noch eine Frage. Ist es möglich, dass keine Nulllzeile auftaucht und es zb 3 pivots in einer 3x4matrix gibt? Wäre die Dimension des Kerns dann 1?
Ich hatte jetzt eine Aufgabe da war die erste spalte eine Null Spalte... das war nicht witzig. Einfach an dein Schema gehalten und die Nullspalte als Pivot Spalte behandelt und dann kam das raus was raus kommen sollte. Danke dir also^^
Ich hab eine frage zu der zeilenstufenform, bei dir sind das ja jetzt Stufen die zwei elemente breit sind und eine hoch ist das auch das Ziel ? Oder "zielt" man darauf ab unterhalb der Hauptdiagonalen nur nullen stehen zu haben und alle anderen Nullen ergeben sich sozusagen als "Bonus".
Ich hoffe die Frage ist verständlich es ist echt schwer zu beschreiben
Have a look here: tbsom.de/s/la
@@brightsideofmathsleider sehe ich meine Frage nicht wirklich beantwortet in dem teil der frei zugänglich ist
@@felixbeutin8105 Der Lineare Algebra Kurs sollte deine Fragen beantworten. Wenn du ein günstigeres Mitgliedspaket buchen willst, schreib mir einfach eine Nachricht.
Ist die Dimension der matrix die Anzahl der spalten der Vektor Familien?
"Dimension einer Matrix" benutzen wir nicht wirklich als Begriff.
Danke! Ich habe nicht verstanden wie man eine 2 Dimensionalen Lösungsmenge heraus bekommen soll.
3×(3/5x4) + 2x4 ist doch 2/10x4 oder nicht?
Danke dir! Diesen Kommentar habe ich gesucht! Ist mir beim Nachrechnen auch aufgefallen
Ich hätte mal eine Frage gleich zu Beginn, wenn du die Matrix auf ZSF bringst. Ist nicht die Matrix bereits nach dem 1. Schritt in ZSF oder irre ich mich? Wozu ist die 2. Zeilenoperation notwendig ?
Kann es sein, dass Sie an der TU Hamburg Professor sind?
baba video mein lieber
was benutzt du zum schreiben?
einen Stift
Hätte man auch die 3. Zeile minus 2x die zweite Zeile rechnen dürfen? Lg :)
ja
Aber was wäre beispielsweise mit einer 3x5 Matrix, kann man da die Basis des Kerns auch so einfach lösen?
Jap!
ne kurze frage: bei kern(a) = x2 * (-1/2 1 0 0) + x4*(-1/10 0 -3/5 1) | x2,x4 e R
warum ist bei x4 nicht x4*(-1/10 2 -3/5 0) ?? ich verstehe nicht wie sie auf die 0 und 1 kommen, weil bei 2 sind doch die 1 0 0 gleich wie bei der Matrix A (also ursprünglich)
Ich verstehe die Frage nicht ganz. Kannst du das nochmal umformulieren?
ich glaub ich studier nurnoch hier xD Das ist ja mal easy danach
wenn ich zeilen tausche verändere ich damit auch das bild des kerns?
Bild wird geändert. Kern nicht.
Achtung, Kern ist ein Teil des Startraumes, der definitionsgemäß auf die Null abbildet. Dessen Bild ist quasi immer die Null. Mit Bild einer Abbildung ist genau der Zielraum gemeint, der vom Rest des Startraumes durch die Abbildung gebildet wird.
gut erklaert dange dir digga
Hallo. Kann mir jemand erklären, was ein Pivotelement ist?
Pivot-Element ist nur ein anderer Ausdruck für Kopf, also wie viele Stufen die Zeilenstufenform hat
Das Pivot-Element ist das erste (linke) Nicht-Null-Element jeder Zeile in der Zeilenstufenform.
Hallo, ist die Dimension vom Kern einer Matrix das gleiche wie einfach die Dimension einer Matrix? LG
Nein!
@@brightsideofmaths Alles klar danke für die schnelle antwort, sind der Rang und das Bild einer Matrix das gleiche?
Rang ist Dimension des Bildes :)
@@brightsideofmaths Alles klar danke :)
herrlich
Wenn dim(Kern(A)) = 2 ist und dim (im(A)) = 2, dann wäre ja die Dimension der Matrix gleich 4, nicht?, aber eigentlich ist die Dimension der Matrix gleich 2, da sie nur zwei linearunabhängige Vektoren besitzt.
"Dimension einer Matrix" gibt es eigentlich nicht.. Wenn wir es definieren würden, dann würden wir diese wohl als 2x2 bezeichnen, also 2 Zeilen und 2 Spalten.
Da gehts um die Raumdimension, also die Anzahl der Spalten.
Er sagte "die Dimension des Startraumes" und der war 4.
Stell es dir einfach so vor: du hast einen bel. Vektor v = (x1, x2, x3, x4) auf den die Matrix/Abbildung wirkt, so müssen insgesamt alle 4 Dimensionen "bedient" werden.
Also wenn keine freie variable existiert hat der kern die Dimension 0? Intuitiv hätte ich eigentlich gesagt : Dim von K =1
Wie kommst du darauf?
Entspricht die Dimension einer Matrix nicht der Anzahl der Elemente der Basis? In diesem Fall wäre das doch 2 und nicht 4 und dann geht die Rang-Defekt-Formel nicht mehr auf… bin eindeutig verwirrt, bitte um Hilfe 😢
"Dimension einer Matrix" habe ich noch nie gehört. Was meinst du damit?
Ich hab statt "Pivot" "Pirat" gelesen und war verwirrt xD
macht es einen unterschied ob ich die Matrix in zsf oder in nzsf bringe?
Ich habe immer gedacht , dass die Anzahl der 0-Zeilen die Dimension im Kern angibt
Das ist wohl nur für quadratische Matrizen in der Zeilenstufenform richtig.
Was ist jetzt das Bild (A) ?
Lineare Hülle/Spann der Basis.
Hallo, ich hätte da mal eine Frage. Ich bin etwas verwirrt was die Zeilen, Spaltendeklaration in einer Matrix angeht. Sollten in den Spalten nicht alle selbigen Elemente stehen, wie nur x oder nur y um auf lin Unabhängigkeit zu prüfen? Oder vergleiche ich hier die jeweiligen Einheitsvektoren miteinander? Es wäre sehr nett wenn mich jemand aufklären könnte, diese Sache bringt mich ganz schön durcheinander.
Mir ist nicht so recht klar, was der Unterschied zwischen dem Bild und der Basis eines Bilds ist. Du schreibst zuerst Basis des Kerns und dann aber nur noch Kern (A).
Der Kern ist genau genommen ein Unterraum deines Startraumes, der auf die 0 abbildet. Die Basis des Kerns sagt dir nur, wie dieser Unterraum aufgespannt/konstruiert wird. Du konstruierst dir quasi deinen Kern durch die Basis des Kerns.
Warum wird das nicht immer so erklärt, ist ja anscheinend wirklich garnicht so schwer ...
Die letzte Spalte war auch lin. unabh. Woher können wir wissen ohne den dim zu rechnen, dass wir 2 Spalten nehmen sollen?
Was genau meinst du damit, dass eine Spalte linear unabhängig ist? Die Anzahl der Pivot-Elemente gibt uns doch die Dimensionen.
@@brightsideofmaths Die Spalte (2,1,11) war auch lin unabh. Warum haben wir als Basis von Bild nur 1. Und 3. Spalte geschrieben?