Чему равна сумма всех натуральных чисел? 1+2+3+4+5+6+...=-1/12
Vložit
- čas přidán 15. 12. 2020
- #Парадоксы
Сегодня мы рассмотрим равенство, согласно которому сумма всех натуральных чисел равна дроби -1/12. Упомянутое равенство получается с помощью нехитрых манипуляций с бесконечными суммами. Парадоксальность равенства является следствием подмены формального определения суммы с бесконечным числом слагаемым интуитивными представлениями о таких суммах.
![Как π чуть не стало 6,283185... [3Blue1Brown]](http://i.ytimg.com/vi/tJZPVIVZ9D4/mqdefault.jpg)
хороший ролик
Спасибо.
Интересно, что в пределе, при n стремящимся в бесконечность, отношение суммы ряда 1+2+3+... к сумме 0+4+0+8+0+12+... стремится к 1. Отсюда следует, что S-S2 не равно 4*S как у вас. Прокомментируете?
Да, конечно. Вы действуете, так скажем, по правилам, рассматривая сумму ряда как предел частичных сумм, в то время как в видео умышленно опускается определение суммы ряда. И действия с рядами проводятся просто по аналогии с конечными суммами. Поэтому и получаются странные в некотором смысле соотношения.
Если же действовать честно, то то все закончится не начавшись: ряд 1-1+1-1+... расходится (в стандартном понимании сходимости как предела частичных сумм)
Тогда почему у вас получилось правильное значение для суммы натуральных чисел -1/12?
С точки зрения стандартного определения ответ -1/12 неверный. Последовательность частичных сумм стремится к бесконечности, т. е. ряд расходится.
Рамануджан в начале прошлого века строго показал, что сумма стремится к -1\12. Показал другим методом...
Так что он доказал? В чём сакральный смысл этого результата?
Хотелось бы узнать ваше мнение.
Рамануджану богиня сообщала результаты. Поэтому сакральный смысл, возможно, известен только Рамануджану.
С другой стороны, кроме стандартного определения суммы ряда существуют и другие, так называемые обобщенные методы суммирования. Например, если рассматривать сумму как предел последовательности средних арифметических частичных сумм (метод Чезаро), то получится, что 1-1+1-1+1-1+...=1/2. Хотя в классическом понимании сумма последнего ряда не существует.
Обобщенные методы суммирования встречаются в физике. Например, в книге Полчински по теории струн используется равенство 1+2+3+...=-1/12. Но я мало что понимаю в этой области и поэтому не готов вдаваться в детали.
Здесь показано как растёт сумма ряда 1+2+3+... (красным) и сумма 0+4+0+8+0+... (синим). Они растут с одинаковой скоростью и их разность осциллирует вблизи 1/4.
Странно, картинка вставилась, но не сохранилась...
Уважаемый. Хочу обратить Ваше внимание, что:
S1=+1-1+1-1 +1-1…
+
S1=-1+1-1 +1-1+1…
___________________
2S1=0+0+0+0 +0+0…
S1=0
Так выглядит гораздо справедливее. Не так ли?
Объясните пожалуйста, почему нельзя, аналогично рассуждая, написать:
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - .... = -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... = -1/2
Ведь от перестановки мест слагаемых сумма не должна измениться? Но результат должен изменить знак по идее.
Если складываются бесконечно много чисел, то перестановка слагаемых может изменить результат. Классический пример из учебников по мат. анализу - ряд 1-1/2+1/3-1/4+.... Сумма этого ряда (как предел частичных сумм) равна ln 2. Но если переставить слагаемые и рассмотреть ряд 1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+1/5-1/10-1/12+..., получится сумма, равная (ln2)/2.
@@ViktorMath ну в этом случае не понятно как рпботает такая теория, потому что в этом случае, когда мы складываем две суммы, мы же всё равно группируем слагаемые, т.е. переставляем их. Тогда надо какое-то вводить (и доказывать) утверждение о том, когда переставлять можно, а когда нельзя. Я верю, что все эти рассуждения Рамануджана имеют право на жизнь, но чувствую, что в реальности чтоб так рассуждать, надо вводить целый пласт теорем, которые позволяли бы такими суммами оперировать.
@@DaddyTorque совершенно верно! О похожих вещах я и говорю в начале видео. Целью этого видео было продемонстиировать опасность небрежного обращения с понятиями, формального переноса свойств с конечных сумм на бесконечные.
@@ViktorMath а как называется тот раздел анализа, в котором эти теоремы вводятся? Хочется почитать поподробней. Как-то это или прошло мимо или выветрилось... вообще, к моему сожалению, мат.анализ и функ.анализ пронеслись, не оставив глубокого следа в памяти... были сданы и забыты... кроме эпсилон-дельта языка, теоремы Больцано-Коши , неравенства Коши-Буняковского-Шварца да интеграла Римана все стёрлось напрочь. Из функана вспоминается только дельта-функция, и то, только потому что на работе периодически встречается :(
@DaddyTorque это в курсе математического анализа обсуждается. У Фихтенгольца, например, в трехтомнике эти вопросы подробно рассматриваются. В том числе и различные методы суммирования.
Когда я работала учителем начальных классов, я воспитывала в учениках математическую грамотность. Поэтому считаю ошибкой автора фразу: " 4 умножаем на скобку, а в скобках 1+2+3+4 и т. д. ". Правильно сказать : " 4 умножить на сумму чисел 1,2,3,4..".
Сумма s1 на самом деле равна нулю, так как бесконечность четна. Это следует из того факта, что число чётных чисел равно числу нечётных. А значит бесконечность делится нацело пополам.
А зачем с S вычитывать S2?
Чтобы получить значение для суммы S.
Дзетта функции Римана отминус единицьі не равна минус одна двенадцатая, потому что у одного китайского математика она не мене чудесньім образом очуилась равной минус одной восьмой (Он просто сумировал по четьіре числа к ряду!). Устранить неразбериху поможет силове решение сриравнять ее равной минус одной десятой (!).
Универсальный подход 😊 А о каком китайском математике Вы говорите? Имя не подскажите?
Я немного отстала, или в вопросе не было ни слова про вычитание?
Нет, всё верно. В самой постановке задачи о вычитании не говорится.
@@ViktorMath S = бесконечность, S1 и S2 не имеет значения
Да, совершенно верно. Ряды, которые обозначены через S1 и S2 расходятся.
Сумма всех натуральных чисел это ℵ⁰
Алеф-ноль - это не сумма натуральных чисел, а мощность множества натуральных чисел.
Обманщик
Да, видно лицемерие и ложь математиков.