Сумма квадратов натуральных чисел через комбинаторику. Пример от wild mathing!
Vložit
- čas přidán 12. 08. 2022
- Подписываемся на канал Wild Mathing: / wildmathing
Страница МА: id296357255
Телеграм для студентов (ШАД/стажировки): t.me/postypashki_old
Наши курсы:
За анимацию выражаю благодарность: @i9kin
ВК: postypashki
Зачем писать олимпиады: postypashki.ru/
![Совершенно иной подход к математике [Veritasium]](http://i.ytimg.com/vi/6F3iVO01Ul4/mqdefault.jpg)
![Совершенно иной подход к математике [Veritasium]](/img/tr.png)
Радостно видеть синтез юморесок Михаила Абрамовича и качества Wild Mathing! Только чувствуется некоторая поспешность темпа анимации по сравнению с темпом повествования. Спасибо Вам за чудесную совместную работу!
ВООООУУ ЭТО НЕРЕАЛЬНО КРУТО
Спасибо.
Некоторые математики хотят решить не только числовые неравенства, но и классовые.)
У меня дома лежит СССР-овская книга "Повторим математику" (если мне не изменяет память, поскольку я далеко) для самоподготовки школьников в ВУЗ. В ней приведены решения для суммы рядов для четных и нечетных степеней натурального ряда. Насколько мне помнится, я довольно давно упоминал эту задачу в комментариях, поскольку кто-то из моих учеников из спецшколы много много лет назад подкинул мне задачу про сумму квадратов, а я обратил внимание, что в стандартных курсах математики ее никогда не решали. Методом индукции формулу проверяли. Но вот вывода никогда не было. Хотя на семинарах по математике незабвенная Людмила Петровна постоянно показывала нам, как суммировать ряды, включая даже фейнмановские ряды по траекториям (в книге Фейнмана "Интегралы по траекториям" есть задача для самостоятельного решения, когда нужно просуммировать все пути по клеточкам из А в B), которую, разумеется, никто не смог сам решить. Что же касается данного ряда по квадратам, то у него имеется очевидное геометрическое представление. Если начать суммировать кубики, то мы получим пирамидку. Сначала один кубик. Затем добавляем 3 кубика на следующем слое к одному, который сверху. И так далее. Или если рисовать пирамидку сверху на клетчатой бумаге, то для каждого слоя кубиков будет добавляться Г-образная полоска, которая образует ряд:
3, 5. 7, 9, … , 2n-1
Количество кубиков в пирамидке, очевидно, есть n в кубе минус то, что не хватает до куба на каждом ряду. А это
(2n-1)(n-1) + (2n-2)(n-2)+ … + 3.
Дальше остается просто аккуратно записать все суммы и выразить сумму квадратов через суммы по К, вычислить арифметический ряд и написать формулу суммы квадратов. Причем вид формулы можно прямо сразу более или менее точно себе представить, поскольку объем пирамиды есть 1/3 от произведения площади основания на высоту. Т.е. n³/3, что в пределе большого n совпадает с искомой формулой.
И такое решение есть ответ человеку, который подумал, посмотрев видео, что вид формулы был просто угадан. В действительности нет. Но нужно уметь суммировать ряды формально. В данном случае мы имеем выражение вида
sum(k²) = n³ - a*sum(k²) + b·sum(k) + c,
что легко вычисляется.
Это просто замечательное видео!! У меня аж ещё сильнее воспылала душа к математике)
И в таком формате намного удобнее уловить нить решения.
Благодарю вас за ваш труд.
Ура, Михаил Абрамович освоил manim)
вообще это сделал иван девяткин)00
Мне помогали)
Все бы хорошо, но про воспитателя Андрея Колмогорова есть очерк в книге Советские ученые - его воспитанникам детсадовцам было лет по 17 или 18 и сад этот назывался МГУ
Это Просто Красота .Михаил Абрамович Вы как всегда на высоте
Андрей Михайлович Райгородский на своем курсе по комбинаторике рассказывал в разделе про тождества с биномиальными коэффициентами о таком доказательстве. На открытом образовании этот курс вроде еще висит, очень советую всем кому интересна комбинаторика
ставь лайк если хош новый видос по майнкрафту
Каково было раньше образование... Эх, вернуться бы в те времена хоть на миг
езжай в северную корею
Люди с этим образование сеичас делают аудиторию передачам по типу "Битвы экстрасенсов" .
На последнем кадре i9kin????
бро шаришь)
Опиат логарифмович
Привет Кракадила
Михал Абрамыч, нам срочно нужен новый летсплей по майнкрафту!!
Будет!
Подумаешь, бином Ньютона! Умрет он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвертой палате.(с) Булгаков
Конечно, задача классическая, Но я решил ее иначе, не так элегантно: сумма квадратов должна быть кубом (из соображений о первообразной квадрата), значит, искомая функция может быть полиномом 3й степени. Выписываем в общем виде полином, и для n равному 1, 2, 3, 4 ( можно наверно и 0 взять) считаем суммы, составляем СЛУ относительно коэффициентов, решаем, доказываем справедливость формулы по индукции.
классное видео , but надо заметить что рандомные english вставки это довольно strange
Извините могли бы вы помочь понять. Скольким нулями аканчивается число 9^10^11-11^10^9
Девяткин база!
Базированно!
Я буду очень рад, если вы мне скажете, что МА обучился работе с manim
Я сам такое недавно узнал на собственном опыте
Очевидно, что сумма должна быть порядка n^3. Значит, будем ее искать в виде кубического многочлена от n методом неопределенных коэффициентов. Находим коэффициенты, проверяем полученную формулу по индукции.
Объясни, пожалуйста, почему это очевидно. Я ебусь с этой задачей уже два дня, и все это время стою на месте. Не хочу показаться каким - то дауном, но я студент 1 курса и очень сильно хочу научиться мыслить, думать, а не просто делать все по шаблонам и готовым формулам. Если увидишь мой коммент и поймешь, что сможешь обьяснить мне или скинуть ссылку на источник, где это обьясняется, то буду благодарен.
Очень понравилось, Михаил Абрамович, давайте , что то посложнее, и какие-нибудь истории )))
Можно даже опустить, комменты о преобразованиях, ведь восприняв историю тех времён уже можно на ментальном уровне , смочь научиться, как решить))))
Будет!)
лайк
Прошу Вас помагать найти произведение не четных чисел.
MAnim отличная, а Grant Sanderson велик! Радует что Михаил Абрамович прямкнул к когорте.
Жалко только, что ролик не очень зашел, но моть разгонится еще)
@@Postupashki Это инерция, наверное аудитория привыкла к определённому стилю. Время покажет.
Прогресс растет - дед стареет
БАЗА от МА и WM!
БАЗА????
based
Супермегаультракруто.
Три дня в деканате покойник лежал. На теле ньютоновы кольца. Три дня и три ночи профессор рыдал. Читая труды Фихтенгольца. К ногам привязали тройной интеграл. И в матрицу труп завернули. И вместо молитвы декан прочитал над ним теорему Бернулли...
Никаких молитв!
Опять чёртов капиталист решил молиться
@@Postupashki Так теорема же вместо молитвы!
Здравствуйте, Михаил Абрамович, есть одна задачка над которой я долгое время ломаю мозг и так не могу решить, так вот (сама задача): У нас есть первая машинка которая едет со скоростью u1 вверх (мы смотрим сверху) и вторая машинка, которая находится справа от неё на расстоянии S и едет со скорость u2, при это всё время она едет за первой машинкой (можно сказать всегда на неё смотрит) (собственно u2 > u1), вопрос, через какое время эти машинки встретятся..
ну тут наверное придется диффур составлять, ну это на мой дилетантский взгляд
Перейди в со первой машинки и все станет достаточно просто
лиса бежит за зайцем держа курс на него. погугли это по физике задачка известная
Могу предложить идею (до конца не проверял, немного впадлу): давайте разместим на коорд. плоскоти эти машины: 1 на (0;0), а вторую на (S;0) и построим график движения(хз как он выглядит). Для этого графика тогда будет верно следующее: значение ординаты точки пересечения касательной (к опр. точке графика) и оси Oy примет значение, равное длинне графика до этой точки помноженное на отношение скоростей первой и второй машины. Тогда разделим S на t частей, отметим эти разделения на Ox и проведём перпендикуляры в этих точках и соеденим ближайшие точки пересечения графика и перпендикуляров (то есть получим ломанную, которая будет примерно как график), теперь найдём длины этих ломаных и задача решена (ну, почти; надо будет устремить t к бесконечности, и посмотреть к чему стремиться длина ломаной). Найти длинну певой линии ломаной просто: доводим эту линию до Oy обозначаем точку пересечения ломанной до Oy и обозначаем её ординату за x. У нас появилось 2 подобных прямоугольных треугольника с подобными катетами S и S/t, а также x и x/t, но у тр. с катетами S/t и x/t гипотинуза это (x*(u1/u2)), по св построенного графика, далее с помощью теоремы пифагора находим x и длину нашей ломаной. С первой линеей ломаной закончено, со второй сложнее. Если повторить шаг с построением подобных треугольников из точки (S/t;x/t), то они не будут прямоугольным, но мы можем его таким сделать если из точки (S/t; x/t) проведём перпендикуляр к Oy....
Посмотрите Гельфгат 1001 задача по физике, 1.64.
Good
Эту задачу в яслях решали, или ответ угадывали? Я что-то не понял. Учитывая геометрические построения - это скорее похоже на угадывание, когда угадывающему просто повезло, что ему ранее уже показали эту закономерность и предложили решить задачу используя показанное. А если брать суммы рядов и прочее - дадада... вот прям в яслях ))
Ничего не понял, даже вникнуть не успел, хотя обычно получается схватывать на лету:( Посоветуйте сборники или сайты с задачами от простого к сложному (вообще всех типов, даже геометрию).
Начните со сборника Сканави, если совсем бегинер
Если ряд бесконечный, то ответ (-1/12)²
Вводим f = 1 + q + 2q^2 + 3q^2 +... + nq^n = (q^(n+1)-1)/(q-1) + ... + q^n*(q-1)/(q-1) = под одну скобочку
Потом берем производную и слева при q=1 получаем что нужно, а справа будет фигня, у которой неопределенность при q = 1. Тогда ее Лопиталим 2 раза (это можно сделать) и подставляем q = 1
Адольф Гитлер
@@dis5422 да
чзх михал абрамыч черное солнце???
Давайте ещё пару способов накидаю:
1) по индукции
2) через дискретное интегрирование. Пусть х_n нисходящий факториал. Тогда d(x_n) = n*x_n-1. То есть дискретная производная работает как обычная, так же и сумма превращается в интеграл. Sum k^2 = Sum k_2+k_1 = 1/3 * n_3 +1/2 * n_2
3) по Фейнману. Sum k^2 = (d/dx)^2 Sum exp(kx) в точке x=0. Дальше геометрическая прогрессия и нахождение производной в точке.
Ну про индукцию все знают, поэтому ее я решил не включать, а вот 3-ий подход очень хороший, кстати! А 2 - это как раз, по сути, и есть самый первый метод, просто там немного искусственно он вводится)
Михаил Абрамович, а "баба егэ" это не отсылка случаем на сценку во время последнего звонка в одной матшколе?)
P. S. Школа и всякие поступления закончились, а я всё равно сижу, видосы ваши смотрю)
Не, эту фразу я услышал на экскурсии по Троице-Сергиевой лавре)
А потом эти детсадовцы, решающие квадратные уравнения, корни итд, пошли играть в МММ.
Я вам уже писал, что в любом обществе есть сумасшедшие люди) Они и пошли играть в МММ, остальные 98% не пошли и мы говорим про них!
@@Postupashki полстраны играло минимум
@@effectivecitizen2480 Не, это все пропаганда антисоветская
@@Postupashki я не антисоветчик
1 доказательство это по факту дискретная первообразная)
Да-да, именно)
Кстати, а ведь Григорий Перельман вырос в СССР, и при этом он единственный человек, кто решил проблему тысячелетия!!!
Он единственный просто, кто опубликовал свой результат)
А чего МА такой грустный?(
не-не-не, вам кажется)
так это же баян
Ну тут доказательства интересные: через комбинаторику я вообще не видел, чтобы кто-то доказывал. Через треугольную табличку тоже
Смотришь и ничего не понимаешь
Вам грустно?
Конечно нет! Просто вчера закончился 3-ех дневный 18-ти часовой интенсив по матанализу и я отхожу))
В Советском Союзе все были равными.
Но русские были равнее
Всё Вы врёте!!!
Интересно, а почему при таком уровне математики в СССР была такая ужасная сырьевая экономика, упадочное сельское хозяйство и отсутствовало народовластие? Или генсеки сумму рядов не вычисляли?) В Греции был Пифагор, и демократия была, а в союзе что? ))