Determinante berechnen (Entwicklungssatz von Laplace)
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- čas přidán 9. 07. 2024
- Die Determinante ordnet einer quadratischen Matrix eine Kennzahl zu, die sehr viele Anwendungen hat. Lerne mit diesem Video, wie du die Determinante jeder Matrix einfach und schnell berechnen kannst.
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Inhalt:
0:00 Vorteil des Entwicklungssatzes gegenüber Sarrus
0:21 Erster Schritt: Schachbrettmuster aus +/-
0:55 Entwicklung nach Zeile oder Spalte (am Beispiel)
3:57 Determinante der verbleibenden 3x3
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Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Wählt diesen Mann zum Präsidenten.
Bitte nicht sonst hat er keine Zeit mehr für Mathe-Videos...
Wenn Daniel Jung der Mathekönig ist ist der Mathepeter der Mathegott.
Deine Erklärungen sind echt der Hammer!
Ich finde Daniel Jung einen Ticken lustiger muss ich sagen. Das Grinsen am Ende ist einfach nicht ersetzbar.
@@Akira-ho9mf Mathepeter hat aber was extrem symphatisches an sich. Er erklärt auch besser und auf eher für universitäres-niveau als Daniel Jung
@@Akira-ho9mf Ich mag Daniel Jung, aber für die Uni ist er leider nur soweit ausreichend, dass man sich bei ihm einen SEHR groben Überblick über ein Thema machen kann. Die extreme Breite, die er abdeckt, ist natürlich super cool, aber wenn ich wirklich wissen will, wie etwas geht, dann bete ich immer, dass MathePeter ein Video darüber hat. Leute, die an seine Erklärungen rankommen, findet man selbst im englischsprachigen Raum so gut wie gar nicht. Außerdem antwortet er auf Fragen in den Kommentaren mit mehr als nur nem Link zu irgendeiner Seite, auf der man sich doch anmelden soll. :)
In 5min Video besser erklärt als Prof in 30 Seiten Skript...
Vielen Dank dir!
Hätte ich deinen Kanal früher entdeckt, hätte ich mir ein Semester qualvoll unverständliche Mathe Vorlesungen sparen können... Weiter so!
Mein erster und wahrscheinlich auch einer meiner wenigen folgenden Kommentare auf CZcams, aber ich muss dir von ganzen Herzen für deine Arbeit und Art und Weise deiner Präsentation danken. Im vergleich zu ähnlichen Videos zu diesem Kapitel und dem anfangs "verschlüsseltem" Skript der Uni , stellst du die Thematik(en) mit Abstand am besten dar. Ich wünsche dir viel Erfolg und ferner ein fettes danke aus Bayern ;)!
Danke dir! Ich bleibe dran, versprochen :)
Holy shit kannst du gut erklären! Gleich mal abonniert 😍
Ich muss sagen, dass deine Videos wirklich top sind. Weiter so!!!
in 5 minuten besser erklärt als die uni professorin. vielen Dank !
Vielen lieben Dank Peter für deine strukturierte Erklärungsart , was uns viel in den Unis bedauerlicherweise fehlt.
DANKE MATHEPETER ❤️❤️❤️🙏🏽🙏🏽🙏🏽 du bist der beste
Was hätte ich ohne dich getan..
Kenne dich seit 2 Tagen, wieso bist du so eine Legende?
Liebe es wie er jedes Mal seinen Stift wirft
Du machst so wundervolle Videos!!! Ich finde, dass sie immer genau so gestaltet sind, dass einem nicht der Kopf explodiert und trotzdem nichts wichtiges ausgelassen wird.
In der Schule habe ich immer sehr gerne alle Videos von The Simple Club geguckt. In der Uni müssen wir aber Sachen können, die von den Jungs häufig nicht erklärt werden, da der Großteil der Zuschauer wahrscheinlich Schüler sind :D Und bei unserem Freund und Helfer Daniel Jung lerne ich immer viel, jedoch vermisse ich die Leichtigkeit, die ich bei dir spüre. Ich will niemandem etwas Böses. Ihr alle seid eine große Hilfe!! Ich würde niemanden von diesem Kanal-Trio vermissen wollen :D
Also gerne weiter so! Ich freue mich auf die ganze Hilfe, die du mir für mein Studium noch bereit hältst :P Und dafür schonmal ein riesiges Dankeschön im Voraus. Es ist alles Andere als selbstverständlich, dass du dir so viel Mühe für uns gibst. LG
Deine Videos sind immer wieder eine gute Ergänzung, um den Vorlesungsstoff noch besser zu verinnerlichen :)
Sehr gut erklärt und die Stelle mit dem Cut sehr gut eingebaut, weiter so! :D
Wirklich sehr gut und detailliert erklärt. Danke dir vielmals.
Einfach gut und exakt erklärt! Sehr geil!
Wow- vielen Dank! Du rettest meine Prüfung nächste Woche!
Unglaublich gut gemacht, hilft extrem, vielen Dank!
Mega gut erklärt danke!
Mathe Klausur am Montag ist gerettet ! Vielen Dank !
Wieso kann nur mein Prof das nicht ansatzweise so gut erklären wie du?? Du bist wirklich der beste, rettest mir mein Studium!!
Sehr GUT Peter ! Ich wünsche dir viel Erfolg !!!
Top, perfekt, dass du erwähnst, das man eine Zeile oder Spalte wählen kann das hat mir bei vielen videos auf youtube gefehlt
Du machst die mit Abstand besten Mathe Videos auf ganz CZcams! Vielen Dank
**traurige daniel jung geräusche**
@@a.b.c.d.e... Daniel Jung ist auch mega gut. Allerdings finde ich für Uni Mathematik Mathe Peter besser
Danke für deine Videos!
Super erklärt. Bester Mann
Moin Peter, Ich finde deine Videos sehr hilfreich und danke dir mehrmals für die Mühe und die Arbeit.
danke dir! in zukunft kommen noch viiiiieeel mehr videos!
Ich liebe es wie du immer sagst: "Weil ich deine Geduld nicht überstrapazieren will" :DDD mach weiter so!
Ich bin vor einiger Zeit auf dich gestoßen und bin seitdem nie von einem Video von dir enttäuscht worden. Ich habe ein Problem in Mathe, gehe auf das passende Video und mein Problem löst sich in Luft auf. Danke 👍
MathePeter bester Mann! Weiter so!
Gut erklärt👍
Wieso sind meine Profs nicht so gut .......... Er erklärt es besser, als jeder andere zuvor.
Danke Bruder!!!
Klasse Video!
In 30min Videos schauen mehr gelernt als bei den letzten beiden Mathe Vorlesungen 😂
Ich weiß nicht mal, was eine Determinante überhaupt ist, fand das Video aber trotzdem spannender als jeden Action Thriller 😂
Genau so haben wir das damals im Mathe-LK gelernt, nur die Cramer'sche Regel für die 2x2 und dann gleich das das hier.
Vielen Dank, ich verstehe warum meine Professorin auf dieses Video verwiesen hat. Sehr hilfreich!
Wow stark, das freut mich! Wo und was studierst du? :)
@@MathePeter Ich studiere Internet Computing (Ein Ableger von Informatik) in Passau
Super gut erklärt! Warum kann mein Professor das nicht so gut? XD Ich glaube sogar ich könnte es mit den Videos dieses Kanals schaffen Mathe als Zweitfach in meinem Studium zu wählen :D
Ehrenpeter. Du rettest mein Studium
Top!
Dank dir kann Mathe 2 kommen ❤🎉
der prof hat versucht das in 1 halb stunden zu erklaren und hab nichts verstanden. Vielen Dank
Ehrenmann+Sympatisch=Peter
also mal ein hartes lob von meiner seite, so gute Videos, einfacj nur Top
Klausur kann kommen.
Großes Kino
Bester Mann!! Küsse deine Augen Habibi Peter
Hab mal eine Frage wenn das Schachbrett in der Entwicklungsspalte/zeile das Vorzeichen angibt muss es bei Minute 4:20 nicht eine plus eins sein anstatt einer minus eins als vorfaktor oder Multipliziert man die Entwicklungskoordinate mit dem Vorzeichen? Sonst alles sehr gut erklärt und gerade in den ersten Semesteren eine große Hilfe
Genau wie du sagst: man multipliziert die Entwicklungskoordinate mit dem Vorzeichen.
Wenn ich ein Beispiel habe wo z.B nur 2 Nullen in einer Spalte/Zeile sind kommen am Ende zwei Matrizen raus von welchem man dann jeweils die Determinante berechnen muss. Wenn ich das z.B mit der Regel von Sarrus gemacht habe kommt bei der ersten 3x3 Matrix z.B 3 als Determinante raus und bei der zweiten z.B 4. Was muss ich dann mit einzelnen Determinanten machen? Einfach addieren? Hoffe die Frage war verständlich
Wenn es sich ursprünglich um eine 4x4 Matrix handelt, dann sollte das soweit richtig sein. Und ja: einfach addieren. Allerdings noch auf die Vorzeichen achten von dem Schachbrettmuster aus +/-, die über der entwickelten Spalte/Zeile liegen.
Hey Super Video, hab es einigermaßen Verstanden aber was mach ich wenn die restlichen zahlen nicht 0 sind und ich von jeder einzelnen die Determinante ausrechnen muss? Addiere ich dann das Ergebnis aller entstehenden Determinanten und muss ich dann bei jeder Determinanten nach der selben Zeile entwickeln, also nach der ersten Zeile wie im Video gezeigt?
LG
Ja leider. Darum ist auch das Berechnen der Determinante bei großen und vollbesetzten Matrizen im Allgemeinen sehr rechenaufwendig. Wichtig aber, dass du bei den Elementen der Zeile/Spalte, nach der du entwickelst auch jeweils die Vorzeichenstruktur von dem +-+-... - "Schachbrett" verwendest. Du kannst allerdings auch mit Zeilen- & Spaltenoperationen noch Nullen erzeugen, wenn du willst. Schau dir mal das Video zu den Rechenregeln für Determinanten an: czcams.com/video/jDerrYHsLcY/video.html
@@MathePeter Vielen Dank!
Mashallah ich küsse deine Augen. Mega erklärt
beim eigenwert/vektoren u diagonalisierungsverfahren, darf man da vorher - nachdem man je "- lampda" an der diagonale hinschreibte darf man da noch zeilenumformungen vornehmen dann? ich meine jetzt dass man viele Nuller in dieser Spalte kriegt dass es wenig Arbeit ist dann den Spaß auszurechnen.
Ja darf man, sogar Spaltenumformungen sind erlaubt. Was alles erlaubt ist, hab ich mal im Video zu den Rechenregeln einer Determinante zusammengefasst: czcams.com/video/jDerrYHsLcY/video.html
Nur werden dir diese Zeilen- und Spaltenumformungen nicht viel bringen wegen dem lambda. Es gibt keinen praktischen Trick, den ich kenne, mit dem du dir Arbeit ersparen kannst, sobald die lambdas erst mal auf der Hauptdiagonale sind.
@@MathePeter ah ok verstehe ich schon, also eh das was man bei determinanten darf , nur halt mit dem lambas auf der diagonale halt schon
Daaaaaanke ❤❤❤
Könnte man theoretisch auch eine 2×2 matrix laplace entwicklen, und ist die det(...) einer 1×1 matrix immer ihr einzigstes element?
Ja genau! :)
Dieses Verfahren kann man ja auch benutzen um eigenwerte zu erhalten (Also davor die hauptdiagonale - lambda nehmen...), darf man aber die Matrix davor noch ein wenig ändern, sodass mehr Nullen entstehen oder muss die so bleiben wie sie ist?
Nein leider nicht. Für die Eigenwertberechnung muss die Matrix unverändert bleiben.
@@MathePeter und für die normale determinanten Berechnung?
Ja dafür ist es erlaubt, aber nur wenn du die Determinantenrechengesetze beachtest:
1) Wenn man das Vielfache einer Zeile/Spalte auf eine andere Zeile/Spalte drauf addiert, ändert sich die Determinante nicht.
2) Das Vertauschen zweier Zeilen/Spalten ändert das Vorzeichen der Determinante.
Wenn du so eine Dreiecksmatrix erzeugst, ist die Determinante das Produkt der Hauptdiagonale.
@@MathePeter okay Dankeschön:)
wenn ich mir zeile oder spalte raus komma also quasi jz a13 oder a11 muss als Determinante immer die selbe zahl raus kommen?
Richtig, egal nach welcher Zeile oder Spalte du entwickelst, es kommt immer das selbe Ergebnis raus! Du musst nur aufpassen mit den Vorzeichen! Das Schachbrettmuster aus + und - Zeichen ergibt ja unterschiedliche Vorzeichen in verschiedenen Zeilen/Spalten. Und nur die + und - Zeichen sind wichtig von der Zeile/Spalte nach der du entwickelst, den Rest einfach ignorieren!
Wenn in der Spalte nach der ich entwickel eine -1 steht und bei dem Schachbrettmuster ein Minus darüber steht, wird dann aus der -1 eine 1 ?
Ja
MathePeter danke ❤️
kann man in jede richtung ( spalte , Zeile) entwickeln? hab alles recht gut verstanden nur dann hast du auf einmal eine Zeile statt eine Spalte genutzt, das hat mich kurz raus gebracht
danke im Voraus für jede antwort
Ja genau, du bist komplett frei in der Wahl. Darum hab ich auch einfach mit einer Zeile weiter gemacht, um das zu zeigen :)
wie würde man das mit der Regel von Sarrus dann machen? müsste man dann die selbe Vorgehensweise anwenden wie man das halt eben bei "Sarrus" macht, also blablabla, und dann transponieren? und wenn ich das gemacht habe, was passiert mit der -1 dann wenn ich die transponierte matrix bzw. die Inverse rausbekommen habe?`Danke im Voraus, bist ein Ehrenmann!
Meinst du die Determinante der 3x3 Matrix ab 3:57? Dafür einfach wieder die erste und zweite Spalte rechts daneben schreiben und die Produkte von links oben nach rechts unten addieren und die Produkte von links unten nach rechts oben subtrahieren. Kommt das selbe Ergebnis raus. Was meinst du mit Inverse?
@@MathePeter Achso und das ergebnis ist dann die Determinante und was passiert mit der -1 dann? multipliziert man die dann mit der resultierten Determinante, und mit Inverse meine ich eigentlich Determinante, sorry^^
Ja richtig! Die -1 einfach mit dran multiplizieren am Ende :)
gutes Video, was mir aufgefallen ist, dass die Vorzeichen vom Schachbrett als auch von der verwendeten Spalte beachtet werden muss. War nicht so klar im Video.
Tatsächlich darf man nur die Schachbrett Vorzeichen der Zeile/Spalte verwenden, nach der man entwickelt. Alle anderen muss man ignorieren. Darum hätte ich die sogar gern einfach weggelassen, damit keiner auf die Idee kommt, die anderen Vorzeichen auch zu verwenden.
kann man auch nach einer Zeile/Spalte entwickeln in der NUR Nullen vorkommen? Danke :)
Ja das geht auch. Das ist der Beweis dafür, dass eine Matrix mit Nullzeile/Nullspalte als Determinante Null hat.
@@MathePeter Perfekt, vielen Dank!
muss man bei der determinante der verbleibenden 3x3 Matrix immer eine Zeile, also waagerecht, wählen?
Nein das ist egal, man kann immer wieder neu wählen :)
@@MathePeter vielen Dank für die Antwort!! :)
Haben nichtquadratische Matrizen auch Eigenwerte und eine Determinante? Zum Beispiel 2 x 3 Matrix oder 3 x 2 oder noch allgemeiner gefragt: warum betrachten wir immer quadratische Matrizen?
Nein, nur quadratische.
Warum geht man bei der 3² Matrix auch nach Laplace, und nicht nach Sarrus? wäre Sarrus hier nicht Schneller?
Kann man machen. Ich persönlich finde, dass es bei einer Null gleich schnell ist. Außerdem gehts ja in dem Video um den Entwicklungssatz.
top
4:50 ich glaube dort hast du die „Nebendiagonale“ mit der „Gegendiagonale“ verwechselt. Aber trotzdem 1A erklärt, danke!:)
Stimmt xD Danke dir :)
wie kommst du auf -3 und 8? hab nicht verstanden war zu schnell
Danke für die Nachfrage. Die 8 ergibt sich als Determinante der hinteren Matrix in der vorletzten Zeile durch 2*(0*1 - 4*(-1)) = 2*4 = 8. Die 8 dann auf die -5 drauf addiert ergibt eine 3. Und davon das Vorzeichen geändert ergibt die -3.
👍🏼👍🏼👍🏼👍🏼👍🏼
Einfach nur ein geiles Video.
Aber mal ehrlich: Wie ist Laplace bitteschön auf dieses weirde Schema gekommen??? Wie komm man auf sowas?
Ich weiß, das ist nur schwer vorstellbar. Das Erfinden von so einem Schema und das Nachvollziehen sind unterschiedliche Komplexitätsklassen. Kann man so vergleichen: Wir kriegen ein fertiges Sudoku Rätsel und müssen es lediglich auf Richtigkeit überprüfen. Laplace hat das verdammte Ding gelöst! xD
Schau dir mal "The essence of linear algebra" von 3blue1brown an. Da wird dir zwar kein Verfahren oder so erklärt, aber man versteht danach einfach so viel mehr davon, was diese Dinge tun, die man da berechnet und beweist. Man kann dann danach sogar nachvollziehen, wie Leute auf sowas kommen können. :D
wie kann man sich so eine 4x4 Matrix grafisch vorstellen?
Am einfachsten als gerichteten gewichteten Graphen mit 4 Knoten, der einen Pfeil von Knoten [Zeile] nach Knoten [Spalte] hat mit dem Gewicht des Eintrages der Matrix. Hast du z.B. bei Verflechtungsmatrizen oder der Darstellung von Transportplänen.
@@MathePeter A ok
Ja das sagt mir jetzt (bin noch komplett am Anfang) leider noch gar nichts, vielen Dank trotzdem.
Sehr schön erklärt, nur wärs hilfreich noch anzumerken, dass man wenn man eben (noch) keine so saubere Matrix mit so vielen 0 hat, man zunächst mit Gauss Verfahren diese Nullen erzeugen kann. Sonst wirds kompliziert und ich wusst nicht mehr weiter dann..
Vorsicht, nicht einfach Gauß Verfahren! Die Reihenfolge der Rechenoperationen ist hier entscheidend. Die Determinante ändert sich nicht, wenn das Vielfache einer Zeile auf eine andere drauf addiert wird (und diese dadurch ändert). Die wichtigsten Rechenregeln für Determinanten kannst du auch noch mal hier nachschauen: czcams.com/video/jDerrYHsLcY/video.html
und was mache ich wenn unter der 1 keine 0 sondern ne 5 steht?
Dann schreibst du statt der 0 einfach eine 5.
BEster mann kuzeng
warum muss ich am Ende das Vorzeichen ändern ?
Das liegt an der -1, die multipliziert wird.
Einfach ein Jesus
Warte mal wenn 2*3 9 ist, warum ist dann 10*7 40?
Studium + Champcademy = Erfolg
CHAMPCADEMY das würde ich sogar unterschreiben.
Ändert sich was wenn man einen Faktor vor der Matrix hat? z.B. 1/10*[MATRIX]
Danke fürs Video!
Ja, wenn du vor einer Matrix einen Faktor c hast, kannst du ihn für jede Zeile/Spalte rausziehen. Das heißt det(c*A)=c^n*det(A), wobei n=Anzahlen Zeilen/Spalten ist.
Hätte gern gesehen wie die 6x6 Matrix ausgesehen hätte beim ausrechnen
Beschäftigungstherapie 😂
MathePeter > Meine Vorlesungen
Und was macht man jetzt bei ner 7x7 matrix? Klingt absurd aber das ist das erste Beispiel was wir ausrechnen müssen.. Ob eine 7x7 matrix (obere und untere dreiecks matrix mit einer unbekanten x) invertierbar ist und ob sie singulär ist oder nicht. Und dann muss man angeben mit welchen x e R sie dann invertierbar wäre
Das gleiche wie in diesem Video hier nur eben für eine 7x7 Matrix.
@@MathePeteraber das ist dann doch einfach nur ewig langes rumgerechne nur für eine determinante oder nicht 🤔
@@Im_Revenge ganz genau 👍🏼
@@MathePeter well, thanks 👍🏼
ich sage gerne Regel von Saurus, erinnert mich an Dinosaurier
Oder Regel von Sauron, erinnert an Herr der Ringe.
@@MathePeter ehrenmann hahahaha
Du machst den selben Job wie mein Prof. Nur besser. VIEL Besser XD
Haha danke dir. Genauer gesagt macht einfach jeder den Job, den er am besten kann. Ich übernehme die Lehre, damit euer Prof sich auf seine Forschung konzentrieren kann. Win-Win :)
Warum - 4mal - 1? Da steht doch eine 4? Ab 5 min
Ja wird auch gerechnet. Für die Berechnung einer Determinanten müssen die Produkte nur noch voneinander abgezogen werden. 1*1-4*(-1)=5. Und weil noch ein Minus davor steht, wirds zu -5.
Funktioniert bei mir nicht.
Kann dir gern helfen, wenn du willst :)
Boah Danke für dein Angebot aber hat sich schon erledigt :D Ich hatte es so gemacht wie Sie es erklärt haben nur ich hatte kleine Vorzeichen Fehler gemacht.
Kenn ich nur zu gut.. Sag Bescheid, wenn wieder mal ne Aufgabe Stress macht xD
3:08. Ich glaube du hast ein Fehler gemacht bei 4 es sollten -4 stehen. Na ja sowieso ist mal 0
Nein stimmt schon. Du musst aufpassen: Die ± Zeichen sind NUR für die 4 roten Zahlen da. Überall anders werden sie nicht genutzt.
Achso ok. Vielen Dank. Ich verstehe besser bei dir als bei meinem Professor
Nicht verstehen und morgen Prüfung in Mathe
sehr gut