Séries divergentes, mécanique quantique et intégrales de chemin
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- čas přidán 4. 05. 2024
- Séance en direct sur les séries divergentes et asymptotiques, la mécanique quantique, et le formalisme de l'intégrale de chemin. Sur le plan mathématique, on s'intéressera au comportement des séries infinies, en particulier des séries entières, et on verra que dans certains cas on peut donner du sens à des séries dont le rayon de convergence est nul. On verra ensuite comment la mécanique quantique dans son formalisme traditionnel, suivant l'équation de Schrödinger, peut être reformulée en terme de somme sur toutes les histoires possibles. Cela nous conduira aux concepts fondamentaux de Lagrangien et d'action. On verra alors que les séries divergentes refont une apparition.
La partie 1 devrait être accessible avec un bon niveau lycée, la partie 2 est plutôt de niveau L1/L2 et la partie 3 plutôt de niveau L3/Master.
Cette vidéo fait suite à la "discussion sur la théorie quantique des champs" : • Live : discussions aut...
Pour compléter la discussion, j'ai réalisé d'autres vidéos sur des sujets connexes:
- La notion de champ quantique est développée ici : • Qu'est-ce qu'un champ ...
- Les diagrammes de Feynman apparaissent en détail ici : • Electrodynamique quant...
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee
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Plan
00:00 Début
06:50 Annonce du plan
I) Deux petites histoires
10:40 Histoire numéro 1 : La notion de série
26:13 Histoire numéro 2 : Feynman
II) Séries divergentes, séries asymptotiques
39:10 Une série divergente et une entourloupe
53:10 Comment faire parler une série divergente ?
1:03:00 La solution : les séries asymptotiques
1:10:50 Vérification par le calcul
III) L'intégrale de chemin en mécanique quantique
1:30:00 Annonce du menu
1:35:50 Rappels de mécanique quantique
1:55:40 Intégrales de chemins
2:30:00 Formule finale, action et Lagrangien
2:38:30 Retour à la physique classique
2:52:00 Particule libre
2:58:30 Oscillateur harmonique
3:03:45 Oscillateur anharmonique
3:08:00 Conclusion et questions
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Références
- Field Theory : A Path Integral Approach par Ashok Das
- Quantum Field Theory in a Nutshell par Antony Zee
Un véritable maître, qui allie donc maîtrise du sujet, humilité et donc pédagogie intelligente et efficace. Merci et bonne continuation !
Merci !!
Je n'ai jamais vu une vidéo aussi belle qui apprend autant de choses avec un bagage mathématique minimum.
Merci ! Je vais essayer de battre ce record :D
J'apprends le français parce que je vais faire un stage à CERN. J'ai cherché 'géométrie algébrique' sûr CZcams et j'ai trouvé cette chaîne.... C'est juste PARFAIT! Je peux améliorer mon français en apprenant les sujets dans les maths et la physique qui m'intéresse le plus! Merci beaucoup, je vais regarder tous tes vidéos et j'espère que tu continues à les faire!
Merci pour le commentaire, ça me fait plaisir que des gens en profitent pour apprendre le français :)
Bon stage au CERN !
Merci c'était super clair et intéressant. J'avais du aller dormir hier au milieu du live mais j'ai bien tout regardé jusqu'à la fin et c'est vraiment chouette.
Ca me rassure pas mal tes vidéos car pendant mes études j'avais toujours l'impression que les physiciens étaient des brêles en maths et ça m'inquiétait pour les theories de physique. Mais je vois que à haut niveau on ne se moque pas du monde.
Vivement la suite
Haha oui parfois l'enseignement de la physique peut laisser penser qu'on fait des approximations sans trop justifier, ou qu'on ne maîtrise pas trop les outils mathématiques, mais heureusement il y a quand même, le plus souvent, des trucs solides derrière. En physique théorique il y a même souvent énormément de formalisme mathématique.
Content que ça t'ait plu !
Franchement merci de tout cœur pour ton temps
Bientôt on va découvrir qu'on peut calculer les propagateurs de Feynman sans utiliser aucune notion "d'intégrales de chemin" et alors on conclura que cette notion est superflue!
Bravo merci infiniment pour vos efforts
Une chaîne très intéressante bravo continue 🖤
formidable comme d'ab ❤
Très admiratif de ton intelligence et de ta capacité à tenir dans le temps un effort intellectuel ! Vers 2:57:00, tu donnes une explication physique pour la particule libre. Très bien. Pour l'oscillateur harmonique, dans le Cohen-Tannoudji 1, il est dit (page 501) qu'on retrouve une caractéristique du mouvement prédit par la mécanique classique : Là où la particule a une vitesse nulle, elle passe plus de temps qu'au centre de l'intervalle. Est-ce qu'avec la formulation Lagrangienne de la mécanique quantique, on retrouve une caractéristique similaire ?
Oui on peut retrouver un comportement similaire, si tu étudies le Cohen-Tannoudji tu peux regarder ce qui est dit sur les "états cohérents" pour l'oscillateur harmonique.
Mais la propriété que tu cites est aussi classique : tu peux le voir en traçant le "portrait de phase", c'est-à-dire la trajectoire dans le plan (x,v). Pour l'oscillateur harmonique on trouve une ellipse centrée sur (0,0), et si je comprends bien la propriété à laquelle tu te réfères, ça devrait découler des propriétés géométriques de l'ellipse.
Erratum, je voulais dire Itzykson Drouffe, il y a aussi de Le Bellac "des phénomènes critiques aux champs de jauge"
Super vidéo encore. Je me répète mais c'est vrai, et puis pour le référencement aussi :)
Merci pour tous ces messages, ça fait plaisir !
Bravo !
2:36:30 on est censé intégrer sur toutes les fonctions possibles mais avec une quantité qui dépend de la derivee. Avec un -1 à la place du i ça donne le mouvement brownien qui n'est pas derivable mais quand même continu. Très étrange...
très interessant
Vivement la suite 😁
Ca viendra assez rapidement j'espère !
Sur la liaison avec le principe de moindre action dans le cas classique, je ne comprends pas l'argument sur les contributions qui se compensent : 'les chemins qui contribuent sont ceux qui rendent l'action minimale '
Sublime comme d'hab bien que dommage j'ai raté le directe :(
Merci ! Tu peux activer la cloche si tu ne veux pas rater les directs !
Pour ceux qui s'intéressent aux liens entre brownien et intégrales de chemin, il y a le livre difficile de Le Bellac, Théorie Statistique des Champs.
En effet, un bon ouvrage pour rentrer dans les détails !
@@antoinebrgt En tout cas bravo pour votre émission, la partie justement détaillée est particulièrement bien expliquée
@@ducdeblangis3006 Merci ! Oui malheureusement il n'est pas possible de tout détailler, j'essaye de parler en détail de certaines choses et de donner un assez vaste panorama d'autres choses, le compromis n'est pas toujours facile à trouver !
@@antoinebrgt Non, bien sûr, la question est celle du public concerné; perso, le critère que je m'applique est que tant que je ne suis pas capable de refaire les points principaux d'un calcul, il manque quelque chose à ma compréhension;
@@antoinebrgt Sur la question des séries divergentes, je comprends que pour a fixé, plusieurs valeurs de N vont permettre de calculer des proxys de l'intégrale, donc des valeurs différentes; certes du point de vue physique, le degré de précision atteint est satisfaisant, mais il résulte me semble t il que la fonction définie par la série tronquée n'est pas définie de façon univoque; en prolongeant au plan complexe, on se retrouve avec une fonction de C vers des sortes de copies de C; c'est une simple conjecture, mais y a t il une idée de surfaces de Riemann, de fonctions elliptiques ou autres derrière tout ça?
Autre question, mais je n'ai pas eu le temps de creuser, est ce qu'une formule du type Trotter Kato, qui permet en outre de s'affranchir de la non commutation des opérateurs associés à p et V(x), permettrait d'atterrir sur les intégrales de chemin?
merci encore pour votre super vidéo
Bonjour et merci pour toutes vos vidéos qui me permettent d'y voir un peu plus clair ! Question : de quelle façon la géométrie non-commutative d'Alain Connes permet-elle d'éviter le problème des infinitésimaux ? Envisagez-vous de faire une vidéo sur cette approche ? Encore merci !
Merci !
Pour l'instant je ne prévois pas de parler de la géométrie commutative, que je ne connais pas bien, et du coup je ne veux pas trop m'aventurer à répondre à la question :) Peut-être plus tard si je décide d'y consacrer un peu de temps !
@@antoinebrgt Merci pour votre réponse, c'est dommage. Je dois vous avouer que c'est pour comprendre ce que dit Alain Connes que je suis avec un immense intérêt vos différentes vidéos pour avancer un peu dans mon initiation à la mécanique quantique. J'aimerais beaucoup avoir votre ressenti à cette présentation d'Alain Connes aux physiciens ! www.canal-u.tv/video/iap/geometrie_non_commutative_et_physique.19923. Cordialement.
@@alainsimon2007 Comme je le dis, je n'exclus pas de m'y pencher plus tard ! Cela dit, il y a beaucoup de choses à découvrir avant d'entrer dans les théories plus spéculatives, et je vais continuer à présenter des idées qui sont fondamentales pour les comprendre.
Merci pour le lien, je vais regarder.
Effectivement cette vidéo est vraiment très intéressante, peut-être que j'essaierai de parler de géométrie non commutative plus tôt que je ne l'envisageais auparavant :)
Super vidéo ! Du coup, la QED est si précise parce qu'on regarde "seulement" les premiers ordres de perturbation ? Si on poussait la série perturbative très loin avec des diagrammes de Feynmann avec un tas de vertex (incalculable en pratique évidemment), il arriverait un moment où le reste (que tu expliques dans la vidéo) exploserait et que ça n'irait plus du tout ?
Oui, c'est exactement ça ! Il faudrait aller à plusieurs centaines de vertex mais en effet à partir d'un moment ça va commencer à diverger :)
Merci beaucoup. Vos vidéos sont géniales. J'en profite pour vous poser des questions concernant deux notions qui ne sont pas bien claires dans mon esprit: Il s'agit de l'impulsion et la quantité de mouvement ? Je n'arrive pas à faire la différence entre ces deux notions.
Pourtant, je les rencontre dans beaucoup de formules de physique. Est-ce une différence entre mécanique classique ou mécanique quantique ?
Autrement dit, est-ce que la quantité de mouvement est réservée pour mécanique classique et l'impulsion pour la mécanique quantité ????
Et, encore merci pour vos enseignements car j'ai quitté les études depuis longtemps mais grâce à vous, je continue d'apprendre et de m'intéresser à la physique (-:
Merci !
Pour impulsion et quantité de mouvement, je les considère comme synonymes; je ne sais pas quelle est l'étymologie, il faudrait se renseigner :) L'article Wikipédia prétend que les notions sont différentes (réservant impulsion à la mécanique analytique) mais c'est pas vraiment clair.
@@antoinebrgt Merci, je vais me renseigner. Cordialement.
Peux-tu donner le lien vers la vidéo sur le groupe de Conway ? Merci.
www.twitch.tv/parlons_maths/video/594720476
C'est uniquement sur Twitch par contre :)
Bonjour, Merci pour toutes ces vidéos. C'est passionnant. On a l'impression de comprendre :). Je n'ai encore tout regardé (et pas forcément dans le bon ordre). Une petite question sur le calcul de l'intégrale de chemin. Je n'ai pas compris pourquoi on peut passer à la limite sur N ? Il est dit que cela ne dépend pas de N et qu'on peut donc passer à la limite ('la suite est constante et égale à sa limite'), mais plusieurs choses dont le coefficient A dépendent de N.
Merci pour la vidéo ! Pourriez-vous inclure les sections, afin de la rendre un peu plus accessible ?
Ah oui je me rends compte qu'elles n'apparaissent pas dans la barre de défilement, je vais les ajouter !
Merci pour cette belle vidéo :)
J'aurai deux questions :
1) à 2:13:35 le calcul est dit exact. Mais si on pouvait calculer l'opérateur d'évolution pour epsilon grand alors pourquoi faire une intégrale de chemin ? On aurait déjà ce que l'on cherche. Il me semble que l'application des opérateurs P et V(X) (dans l'exponentielle) sur leurs vecteurs propres ne pourrait se faire que si ces opérateurs commuttaient (sinon on ne peut pas les splitter en deux de l'exponentielle). L'équation est approximative non ? Et devient meilleur quand epsilon tend vers 0 d'où l'intérêt de prendre un nombre d'instants N qui tend verd l'infini, non ?
2) Pour quoi on peut passer de "le chemin qui contribue le plus à l'intégrale de chemin est celui qui minimise l'action" à "la trajectoire de l'objet physique étudiée est celle qui minimise l'action" ??
Encore merci pour toutes tes vidéos, cette chaîne est une véritable mine de beautés mathématiques !
En effet pour le 1) je crois que tu as raison, il faudrait que je me replonge dans le calcul, ça fait longtemps maontenant !
Pour le 2) une bonne façon de le voir est comme une interférence, si on fait une moyenne sur plein de phases il y a des interférences destructives partout sauf aux extréma.
Oui j'arrive un peu à la bourre ! Mais ce qui est bien, c'est que ça me fait pleins de chouettes vidéos à rattraper ;)
Merci pour ta réponse rapide !
c'est decide , je m'abonne ;) .... tres pedagogique , un peu a la Feynman ... tu utilises quoi pour presenter en mode tableau noir ?
je suis pas completement rouille , apres 30 ans j'avais directement percute sur l'inversion un peu rapide des signes somme et integrale ah ah ah
Merci ! Pour le tableau j’utilise Gimp, j’ai expliqué les détails des réglages dans ma vidéo FAQ !
Bonjour Professeur. En regardant cette vidéo, je viens d'entendre une remarque que la constante de structure fine varie selon la précision des instruments des époques (voir nouvelle valeur en vigueur sur wikipédia) donc alpha ~ 1/137 et pas "=". Merci.
Je suis un grand fan de vos vidéos. Je les revois régulièrement surtout pendant ces vacances. Merci pour tout ce que vous faites. Cordialement.
Oui les différentes constantes sans dimension de la physique sont des résultats de mesures, et donc leur valeur numérique dépend de la précision des instruments, c'est le cas quasiment tout le temps, ce n'est pas propre à la structure fine !
200° pouce bleu :)
Merci !
C'est du caviar ! Merci.
Merci !
pourquoi oscillateur à monique et pas oscillateur à thérèse ?
je suis trèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèès loin
(merci)
2:20:37 pardon mais on a pas 1 * truc - 0.5*truc car il y a (x1-x2) AU CARRÉ !!! ?
En effet, c'est un oubli, je m'en rends compte à 2:24:50 :)
Juste un petit commentaire Antoine, la lettre Grecque c'est ita pas eta je suis presque gêné c'est un détail mais ma belle fille est grecque.
Il y a trois i en Grec iota (petit i) ita (H) et ipsilon (le Y).
@@BernardCapel Celle-là en occurrence c'est bien eta, non ? Voir par exemple fr.wikipedia.org/wiki/%C3%8Ata
Après peut-être que ma prononciation n'est pas correcte, je suis prêt à l'admettre !
Si je comprends bien en effet en grec moderne la prononciation du "e" est proche de "i" :
En grec, la lettre est appelée ήτα (ếta), prononcée /ˈita/. En grec ancien, elle est nommée ἦτα (ễta).
@@antoinebrgt hello Antoine Ἀριάδνη en lettre latines approximatives Ariadni se prononce comme écrit sauf le delta qui se prononce comme le th anglais de the. Il y a deux I iota et ita final.
Pourquoi parle t'on de MQC, la MQ normale avec l'équation de Schrödinger est déjà à propos de champs.
Non l'équation de Schrödinger s'applique à une particule ponctuelle, pas à un champ. Tu confonds sans doute avec la fonction d'onde.
@@antoinebrgt Un champ c'est juste une grandeur définie en tout point. Dans l'équation de la chaleur, T(x, t) est un champ. Pourquoi phi(x, t) n'en est pas un ?
@@Bvic3 Oui c'en est un, en effet, mais ce n'est pas ce qu'on appelle un champ quantique, en théorie quantique des champs. La fonction d'onde c'est une densité complexe de probabilités (son module carré est une densité de probabilités).
Pour un champ (classique), il y a aussi une notion de fonction d'onde (quantique) associée, qui est beaucoup plus compliquée (c'est une fonction qui dépend du champ lui même, donc si ton champ c'est f(x) alors la fonction d'onde pour ce champ c'est phi(f,t))
@@antoinebrgt D'accord.
h bar t'enver à zéro implique l'action S est stationnaire !!!!
La chose la plus importante dans votre projet
Malheureusement, la seule chose que je ne pouvais pas comprendre
Qui sest réveillé ici ? ⬇️
Il fallait, avant tout, dire que ce confinement était une vaste escroquerie !
Ai-je parlé de confinement dans cette vidéo ?!
Confinement à cause d'un potentiel tendant vers l'infini à l'infini?