Analyse Complexe et Surfaces de Riemann
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- čas přidán 24. 05. 2024
- L'analyse complexe concerne les fonctions dérivables au sens des nombres complexes, et cette condition donne lieu à une flopée de propriétés de rigidité assez surprenantes, qui ont des applications nombreuses. La meilleure façon de se rendre compte de cette rigidité est de regarder ce qui se passe lorsqu'on essaye de "replier" le plan complexe sur lui-même, formant ainsi une surface de Riemann. L'analyse et la géométrie interagissent alors dans un balai d'une grande beauté.
Nous parlerons donc de fonctions holomorphes, de formule de Cauchy, de théorème de Liouville, de géométrie hyperbolique, de topologie, et si le temps le permet de fonctions sur les surfaces de Riemann!
Les notes prises pendant la vidéo sont disponibles au lien suivant :
www.antoinebourget.org/attachm...
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee
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Références :
Serge Lang, Complex Analysis.
Les différentes illustrations sont faites avec Mathematica 13.
Pour le programme dessinant les fonctions sur la sphère de Riemann, j'ai utilisé le code de Jan Mangaldan disponible ici : resources.wolframcloud.com/Fu...
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Plan de la vidéo :
00:00 Début
4:55 Rappels d'analyse réelle
11:40 Le principe de l'analyse complexe
13:43 Illustrations : transformations conformes
22:25 Fonctions de R² dans R²
39:52 Annonce du plan du reste de la vidéo
51:25 Fonctions holomorphes
57:20 Relations de Cauchy-Riemann
1:06:28 Fermeture de la forme f dz
1:11:04 Théorème de Cauchy local
1:27:45 Existence d'une primitive ; logarithme
1:39:50 Fonctions analytiques, formule intégrale de Cauchy
1:54:00 Équivalence holomorphe analytique
2:10:30 Séries de Laurent et sphère de Riemann
2:23:11 Fonctions méromorphes
2:26:00 Théorème des résidus
2:44:10 Théorème de Liouville
2:49:50 Théorème de d'Alembert-Gauss
3:00:00 Illustrations sur la sphère de Riemann
3:08:40 Fonctions elliptiques
3:18:30 Fonction P de Weierstrass
3:28:55 Équation différentielle pour P
3:37:20 Courbes elliptiques
3:48:45 Graphe de la fonction P
3:52:20 Conclusion et résumé - Věda a technologie
Le fait d'avoir représenté la sphère de Riemann pour montrer l'image des fonctions complexes et les propriétés qu'elles manifestent est une idée de génie, j'ai surkiffé cette vidéo !
Merci beaucoup !!
Quelle pédagogie... Je ne veux pas paraître emphatique mais tu es un de mes modèles d'enseignement! Bravo et merci pour tout ce que tu fais
Merci, ça me fait bien plaisir !
Commencer l'holomorphie par la fin (la conformalité), c'est beau... c'est la plus belle façon de présenter la dérivée complexe que j'ai déjà vu. La plus naturelle.
Les cours classiques passent complètement à côté de cela, la propriété géométrique de la dérivée complexe.
Merci, en effet j'essaye le plus souvent possible d'adopter des points de vue un peu différents ou originaux !
Je viens de finir la vidéo, chapitre par chapitre pour prendre mon temps. Toujours aussi excellent!
Merci pour cette vidéo que je découvre! 4h, tu te lances dans le marathon!
Oui, j'avais encore prévu trop de choses... La prochaine fois je vais vraiment essayer de me limiter, car là la fin était un peu bâclée !
@@antoinebrgt C'est du darwinisme intellectuel, mais après tout, n'est pas le principe de la recherche internationale?
Les petites conclusions sont vraiment utiles !
Tant mieux alors, je ne sais jamais si c'est utile ou si ça ennuie le spectateur, c'est bien d'avoir un retour!
C'est très utile pour avoir une vue d'ensemble pour mémoriser les liens logiques et lorsque l'on ne peut pas regarder la vidéo d'un trait :)
Bravo pour les 10k 👏👏
En effet !! Merci !!
Superbe !
N'y a t il pas une intention inavouable de faire converger la géométrie complexe et les émissions précédentes vers une initiation à la théorie des cordes? ce serait un enchainement superbe!
Haha peut-être bien ! Un grand dessein caché...
string theory is a dead subject
@@epicmorphism2240 why do you say that?
@@epicmorphism2240 Il y a encore des problématiques passionnantes, des articles de recherche sur la mécanique la plus classique ( application moment, angles de Hannay). Ni plus ni moins que la théorie des nombres ou la topologie;
You're really
Bonjour
J'ai passé sur votre site pour l'intérêt de voir qlq TD mécanique quantique malheureusement je n'ai pas trouvé le corrigé de l'effet Zeeman,
Merci infiniment, vous faites un effort énorme, et ne vous en fais pas pour les critiques
qui sait mieux qu'il fasse mieux ou qu'il se taise
Bonjour, merci pour cette vidéo ! Je n'ai regardé que le début (4 heures c'est long !)
Pourrais-je vous demander quelle est la tablette graphique que vous utilisez ainsi que le logiciel sur lequel vous écrivez ?
Merci, j'utilise une tablette XP pen star 03 et le logiciel Gimp pour écrire.
Pour le logiciel c'est GIMP, pour la tablette je ne sais pas, mais j'avais vu un post ou il donnait le modele de la tablette utilisé. Malheureusement je ne sais plus dans quelle video.
Excellente video. Peut-on connaitre le logiciel utilise pour afficher les graphes?
C’est Mathematica
Très bonne présentation, s'il-vous-plaît est ce que le rotationel d'une d'un vecteur (S_(i)rotS_(i)) a une relation avec les invariants de Lifshitz ?
Je ne suis pas sûr de comprendre la question, je ne comprends pas ce qu'est ce vecteur
@Scientia Egregia "L'analyse et la géométrie interagissent alors dans un balai d'une grande beauté. " Hem, c'est vrai que c'est un sujet qui balaie large, mais ne pas confondre Lobatchevski et Tchaïkovski!
Très belle vidéo (bien que peut-être un peu dense). Il y a cependant un point que je n'arrive pas bien à comprendre :
Pour montrer qu'il n'y a pas de fonction holomorphe sur le tore ne possédant qu'un pôle d'ordre 1, l'argument de déformation pour obtenir un lacet n'entourant pas le pôle me pose problème.
Sauf erreur de ma part, si on considère un tore privé d'un point (le pôle en question) c'est un espace topologique homotope à un bouquet de deux cercles et cette correspondance envoie un cercle entourant le pôle sur le lacet aba^{-1}b^{-1} comme dit dans la vidéo. Le problème est que ce lacet n'est pas homotope au lacet trivial dans le bouquet de deux cercles.
Je ne suis pas sur de savoir démontrer cette énoncé sans utiliser le théorème de Riemann-Roch mais je suppose que c'est un peu utiliser un canon pour avoir une mouche.
Encore une fois un très beau cours avec de plus une très belle écriture.
Merci pour la question, en effet je suis d'accord que le tore privé d'un point est homotope au bouquet de deux cercles, et que le lacet aba^{-1}b^{-1} n'est pas homotope au lacet trivial dans cet espace.
Cependant ce lacet est homotope au lacet entourant une fois le point supprimé. D'autre part, on peut montrer que l'intégrale de toute fonction méromorphe sur ce lacet (évidemment, le lacet ne passant pas par un pole) doit être nulle (de façon élémentaire, en la décomposant comme intégrale sur a + intégrale sur b - intégrale sur a - intégrale sur b), et donc le théorème des résidus garantit que le résidu est nul au point supprimé. C'est ceci que j'avais en tête mais je me suis sans doute un peu emmêlé les pinceaux pendant la vidéo. Est-ce que cet argument te convient ?
Dans tous les cas, merci pour ce commentaire très intéressant, il m'a fallu un petit moment pour me convaincre cette équivalence homotopique avec le bouquet de deux cercles, à laquelle je n'avais pas pensé, et qui m'a un peu perturbé :D
@@antoinebrgt Effectivement, je n'avais pas pensé à cet argument élémentaire pour montrer que le résidu est nul. Pour l'équivalence d'homotopie, c'est une réminiscence d'un vieux cours de topologie algébrique mais ça m'avait marqué à l'époque :)
La comparaison avec une fonction réelle définie sur le bord d'un intervalle est incomplète. Il y manque l'ingrédient principal : le fait que cette fonction vérifie une EDO d'ordre 2. Si on ajoute cette condition, on a un parallèle exact entre fonctions réelles et holomorphes.
L'analycité découle de cela, que les solutions d'une EDO réelle pas trop pathologique sont forcément analytiques. Une fonction holomorphe vérifie une EDP (Cauchy-Riemann) + conditions de frontière donne existence et unicité de la solution + analycité.
Tout ça grosso merdo, bien sûr.
Est-ce que j'ai oublié de préciser quelque chose dans la vidéo ? Si oui, pouvez-vous me donner le moment exact, le cas échéant je peux ajouter une correction.
@@antoinebrgt : rien à dire sur votre présentation!!
C'est juste qu'à 1:43:36 vous dites que les valeurs sur le cercle déterminent les valeurs à l'intérieur du disque. Et qu'il s'agit d'un comportement très différent de celui des fonctions réelles. C'est vrai!
Par contre il peut être utile d'ajouter que ce comportement n'est pas si surprenant que ça. C'est vrai que les valeurs sur un cercle d'une fonction C infini ne déterminent pas les valeurs dans le disque, ce problème a une infinité de solutions.
Mais si on demande que ces fonctions vérifient une EDP (dans le cas de R-->R, une EDO d'ordre 2 avec des conditions de frontières em a et b) alors soudainement on retrouve le même comportement que l'holomorphie : une fonction C^2 devient analytique. La différence entre le cas réel et le cas complexe est que dans le cas de la dérivée complexe, ces EDP sont inhérentes à la notion de dérivée. En fait, la dérivée réelle relève d'une propriété infinitésimale alors que pour la dérivée complexe, c'est une notion purement locale (sur un voisinage).
C'est trés rarement mentionné dans les ouvrages classiques (en tout cas jamais au début, lorsque la dérivée complexe est définie et même lorsque l'on introduit Cauchy-Riemann).
En fait, si on peut construire une fonction C^2 qui ne satisfait Cauchy-Riemann qu'en un point... Ce qui est bien défini formellement... un peu comme une EDO qui n'est vérifiée qu'en un point.
Je diverge. Ce n'était pas une critique ni une correction... juste une observation. En général les auteurs (des livres de référence Ahlfors, Cartan, Dolbeaut etc etc) "oublient" ce "détail". Il va de soi que les EDO que l'on étudie en analyse réelle on souvent un sens si on remplace par des dérivées complexes.
Tout ça cache que les parties réelles et imaginaires d'une fonction holomorphe sont des fonctions harmoniques. Ce que vous mentionnez peut-être plus tard dans votre vidéo...
@@sardanapale2302 d'accord, en effet c'est un bon point de vue à garder en tête ! Voir les fonctions holomorphes comme des solutions de certaines EDP permet de comprendre leur rigidité !
Une surface a 3 dimensions n'a pas de sens : de IC dans IC mais plutôt deux dans IR
Je ne comprends pas, je n'ai pas parlé de surface à 3 dimensions, toutes les surfaces mentionnées dans la vidéo sont bien à 2 dimensions (réelles).
comment prendre z et zbare comme axe puisque dans C il n'y a pas de notion d'ordre?
Il y a une notion d'ordre, l'ordre lexicographique, donc tu compares la première composante, puis si elles sont identiques, la seconde, etc.
Que demeurerait pouvoir venir à représenter la Particule du Diable Z = p.x + i.(1+/-p).y publiée le 20 janvier 2019 ?
Tu peux imaginer que c'est une "sorte de rotation", entre le repère (x,y) et le repère (z,zbarre). La seule subtilité c'est que c'est une "rotation d'angle complexe" en quelque sorte, car il y a un i dans la transformation linéaire.
@@antoinebrgt rotation il y a de l’idée quand pour autant cette particule demeure bien plus que cela…
On veut étudier certaines fonctions de C dans C, mais tant qu'on n'a pas clarifié la notion d'holomorphe, on peut voir C comme R^2. Si on prend la différentielle d'une fonction C infini de C = R^2 dans C = R^2 en un point, on va obtenir une fonction R-linéaire de C = R^2 dans C = R^2. On peut la décrire par une matrice réelle 2 x 2, soit 4 coefficients réels. Une R-base pour ces fonctions R-linéaires est donnée par : ( Re, i Re, Im, i Im ), où Re et Im sont la partie réelle et imaginaire, qui sont des formes R-linéaires sur C (à valeurs dans C). On les notera plutôt x = Re et y = Im. Donc notre R-base est ( x, ix, y, iy ). Mais si on voit l'espace d'arrivée comme C, notre espace de formes R-linéaires est aussi un C-espace vectoriel, avec une base de dimension 2 donnée par ( x, y ). On peut changer de base, en utilisant z = 1/2 (x + iy) et z barre = 1/2 (x - iy). Les deux sont des formes R-linéaires à valeurs dans C ; en revanche, seule la première est C-linéaire, l'autre est semi-linéaire (si on multiplie l'entrée par un scalaire, la sortie est multipliée par le scalaire conjugué).
Au niveau des formes différentielles C infini à valeurs dans C, on a donc une C-base donnée par dx, dy ; et une autre donnée par dz = dx + i dy et d z barre = dx - i dy. Si on écrit f = (df/dx) dx + (df/dy) dy = (df/dz) dz + (df/dz barre) dz barre, on trouve facilement que d/dz = 1/2 ( d/dx - i d/dy ) et d/dz barre = 1/2( d/dx + i d/dy). La fonction f est holomorphe ssi sa différentielle est C-linéaire en tout point, ssi df/dy = i df/dx, ssi df / dz barre = 0. La forme dz est holomorphe, tandis que dz barre est anti-holomorphe.
Pour essayer de résumer la confusion qui semblait persister dans le chat : une fonction holomorphe a une une différentielle C-linéaire en tout point ; or une fonction C-linéaire de C dans C est en effet caractérisée par un seul nombre complexe, qui est la valeur de la dérivée. Par contre, si on prend une fonction C infini pas forcément holomorphe, la différentielle va se décomposer en une partie C-linéaire et une partie semi-linéaire par rapport à la conjugaison complexe : il faut donc bien deux nombres complexes en chaque point pour la décrire, soit df/dz et df/dz barre.