시리즈 시청: czcams.com/play/PLkoaXOTFHiqjfsanyvicarnZv-YLC8QN-.html&si=Gw4aEabDydvlU74v 미적분학의 본질의 첫 영상을 시청하시고 오신 분들이라면, 미적분학과 기하학이 아주 밀접한 관계를 갖고 있음을 아실 겁니다. 결국 우리가 "미분법"으로 외우는 많은 법칙들 또한 기하학적인 관점에서 유도가 가능합니다! 이번 영상에서는 아주 기본적인 미분법들 중 거듭제곱 법칙(Power Rule)과 사인함수의 도함수를 기하학적으로 다루어보겠습니다. * 영상에서 언급하였듯 "거듭제곱 법칙"은 "Power Rule"의 정식 번역명이 아닙니다. 위키피디아에 "멱의 법칙"이라는 명칭이 존재하나 이 역시 한국 위키피디아의 독자적 번역임을 확인하였으며, 이를 그대로 쓰기에는 Power law "멱법칙"과 혼동할 염려가 있었기에 새로 번역하였습니다. 사실 우리나라 사람들은 이를 "다항함수의 미분법"으로 뭉뚱그려 배우고 있습니다. 그렇기에 대한수학회가 이런 세세한 명칭을 번역할 필요를 느끼지 못 하는 것 같은데, 이렇다보니 많은 영어권의 수학 용어들이 한국어로 들여오기에 좀 불편한 면이 있네요.
1/x，root(x)의 도함수를 구하기엔 어려운 분들께 제가 대신 하겠습니다: i) 1/x 영상에도 나오듯이 넓이가 1인 직사각형이 있습니다. 이때, dx만큼 변한 직사각형이나 이전의 직사각형이나 넓이가 1로 같기에, 서로 겹치지 않은 두 납작한 직사각형: 넓이가 각각 ｜df｜· x 인 것랑 dx · 1/(x+dx)의 넓이가 같아야 합니다. 즉 ｜df｜· x = dx / (x+dx) 이를 df/dx꼴로 정리하면 ｜df｜/dx = 1/x(x+dx), df가 음수이니 절댓값은 마이너스를 붙고 dx->0를 생각하면 식은 -df/ dx = 1/x^2， 즉 df/dx= -1/x^2임을 알수 있습니다. ii)root(x) 영상에서의 직사각형에서 넓이가 x이므로 dx는 곧 넓이의 증분을 뜻합니다. 이때 정사각형에서의 변은 그에 따라 길어지는데, 그 변의 길이증분이 곧 root(x)의 증분인 df겠죠. 아무튼 넓이의 증분(dx)은 x^2일때 처럼 모서리니까 이를 식으로 쓰면: dx= 2 · df · root(x) + df^2 이고 df^2->0이니 df^2은 생각하지 않습니다. 즉 dx= 2· df · root(x) 아무튼 위식을 df/dx꼴로 정리하면 df/dx = 1 / 2 · root(x)임을 알수 있습니다.
@@DemonophobiA 근본적으로 df/dx라는게 변수x가 dx만큼 변함에 따라 함숫값이 df만큼 변한다는 원리이기 때문이예요, 고교수준에서 일종의 비율?이라고 이해하면 될듯 합니다. (물론 이는 엄밀히 틀린내용입니다만, 그건 대학에서만 고려하는 걸로 정신에 좋습니다) dx/df로 안 쓰는 이유는 도함수란 본래 기울기에서 탄생한 이야기이기 때문이고요. (기울기는 y의 증가량/x의 증가량인 건 아실거라 믿습니다(*¯︶¯*) 참고로 넓이,부피가 꼭 분모자리에 있겠다란 편견은 버리는 것이 좋을것 같아요, x^2같은 경우 단지 함숫값이 넓이니 분자에 우연히 있었다는 것 참고 (root x가 대표적인 예외죠, 3b1b님도 이때문에 rootx를 내셨을 거라 생각합니다. )
학교,학원에서 배우는 것보다 여기서 배우는 게 훨신 낫다 ,,, 학교선생들은 그냥 교과서 그대로 읊는 수준,,, 의욕없는게 눈에 보인다. 문제는 그 교과서도 그 이유,원리,현실에 대한 적절한 예시가 안실려있고 대충 개념,공식만 넣어두는 수준;; 솔직히 국가경쟁력에 쓸모도없는 역사교과서를 국가적으로 통합할게 아니라 제대로된 수학교과서를 국가적으로 만들어서 통합시켜야한다,, 수의 진리를 서술하는 수학책이 학교마다 천차만별인게 말이 되나;; 사기업 교과서는 교육과 선생들 대충 모아서 설렁설럿 돈벌려고 만든게 보인다. 괜히 사람들이 사교육받고 문제집위주의 암기교육 하려는 게 아니다. 차라리 교사들 없애고 수업시간에 이 영상같은 유튜브 영상이나 틀어주는 게 훨신 교육적이다.
1/x 아무리 시도해봐도 잘 되지 않네요 ㅠㅠ 처음 시작 식이 dx*{1/x-d(1/x)} = x*d(1/x) 로 나오는데 식 전개가 잘 안되네요.. 근데 dx*d(1/x) 는 이 상태가 정리된 꼴인가요? dx가 엄청 작아질 때 그래프상 d(1/x)도 엄청 작아져야 할 것 같은데 이럴 경우 어떡하죠..
1개월이 지난거지만... 어차피 df/dx를 구하는거니깐 dx로 양변을 나누게 될 거고, 그랬을 때 dx는 한없이 0으로 다가간다고 생각하기 때문에 우변에서 dx가 남아있는 항들은 모두 무시할 수 있습니다. 그래서 처음부터 (dx)^2 가 있으면 다 무시해도 된다고 하는거에요
그냥 직관적 이해를 하시면 될 것 같습니다. 엄밀하게 따지렫,ㄹ면 애초에 저 논리자체가 그닥 좋은 설명은 아닙니다. 이 설명에서 잘못된 점을 한가지만 말씀드리자면, dx라는 것은 태초에 만들어질때 의미는 아주 작은 x증분이엇지만, 이후에 실수체계에서는 dx가 존재할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 즉, dx가 '수'라고 생각하면 안됨니다. 그래서 'df를 dx로 나눈것이 2x이다' 라는 설명은 잘못된 것입니다. dx는 수가 아니기 때문에 df/dx는 분수도 아닙니다. df/dx는 그냥 그 표현이 하나의 기호로서 f를 x로 미분한다는 뜻입니다. 그래서 엄밀하게 따지기 보다는 그냥 그려려니 이해하는게 좋을 듯 합니다.
힌트를 드리자면, f(x) = sqrt(x)의 도함수를 유도해내기 위해선 먼저 넓이가 x인 정사각형(즉, 한 변의 길이가 sqrt(x)인 정사각형)을 그려내신 뒤 넓이의 변화를 dx로, 변의 길이 변화를 df로 놓고 보는 것이 좋을 것입니다. 한 번 유도해보시고, 성공하신다면 댓글 부탁드려요 ^^
네, 그럼 정답을 알려드리겠습니다. dx를 구하는 식은 다음과 같아집니다. dx = 2sqrt(x)df + df² 그러므로 여기서 df²는 아주아주 작아질테니, 무시가 가능합니다. 즉 식이 dx = 2sqrt(x)df 로 정리되는데요, 여기서 우리가 원하는 df/dx를 위해 양변에 1/2sqrt(x)dx를 곱해주면 df/dx = 1/2sqrt(x) 라는 결과가 나오겠네요. 거듭제곱 법칙을 적용한 것과 비교해보자면, sqrt(x) = x^(1/2)와 같으므로 d(sqrt(x))/dx = 1/2 × x^(1/2-1) = 1/2x^(1/2) = 1/2sqrt(x) 즉 저희가 유도한 결괏값이 나오게 됩니다.
와아! 대다나다! 나 중1때 수학 과정중 한가지가 응용이였다. 그때 나? 모눈종이 a4 16절지 전부 사용해서 그냥 내 생각대로 그래프 그렸다. 존나게 쳐맞았다. 숙제에 낙서 해왔다고. 한장으론 표현못해서 여러장 전체적으로 나는 준비했었다. 병신찐따 취급외에 별다른것 없었다. 그냥 묻혔다. 대한민국 현실.
시리즈 시청: czcams.com/play/PLkoaXOTFHiqjfsanyvicarnZv-YLC8QN-.html&si=Gw4aEabDydvlU74v
미적분학의 본질의 첫 영상을 시청하시고 오신 분들이라면, 미적분학과 기하학이 아주 밀접한 관계를 갖고 있음을 아실 겁니다. 결국 우리가 "미분법"으로 외우는 많은 법칙들 또한 기하학적인 관점에서 유도가 가능합니다!
이번 영상에서는 아주 기본적인 미분법들 중 거듭제곱 법칙(Power Rule)과 사인함수의 도함수를 기하학적으로 다루어보겠습니다.
* 영상에서 언급하였듯 "거듭제곱 법칙"은 "Power Rule"의 정식 번역명이 아닙니다. 위키피디아에 "멱의 법칙"이라는 명칭이 존재하나 이 역시 한국 위키피디아의 독자적 번역임을 확인하였으며, 이를 그대로 쓰기에는 Power law "멱법칙"과 혼동할 염려가 있었기에 새로 번역하였습니다.
사실 우리나라 사람들은 이를 "다항함수의 미분법"으로 뭉뚱그려 배우고 있습니다. 그렇기에 대한수학회가 이런 세세한 명칭을 번역할 필요를 느끼지 못 하는 것 같은데, 이렇다보니 많은 영어권의 수학 용어들이 한국어로 들여오기에 좀 불편한 면이 있네요.
1/x，root(x)의 도함수를 구하기엔 어려운 분들께 제가 대신 하겠습니다:
i) 1/x
영상에도 나오듯이 넓이가 1인 직사각형이 있습니다.
이때, dx만큼 변한 직사각형이나 이전의 직사각형이나 넓이가 1로 같기에,
서로 겹치지 않은 두 납작한 직사각형:
넓이가 각각 ｜df｜· x 인 것랑
dx · 1/(x+dx)의 넓이가 같아야 합니다.
즉
｜df｜· x = dx / (x+dx)
이를 df/dx꼴로 정리하면
｜df｜/dx = 1/x(x+dx),
df가 음수이니 절댓값은 마이너스를 붙고 dx->0를 생각하면 식은
-df/ dx = 1/x^2，
즉
df/dx= -1/x^2임을 알수 있습니다.
ii)root(x)
영상에서의 직사각형에서 넓이가 x이므로 dx는 곧 넓이의 증분을 뜻합니다.
이때 정사각형에서의 변은 그에 따라 길어지는데, 그 변의 길이증분이 곧 root(x)의 증분인 df겠죠.
아무튼 넓이의 증분(dx)은 x^2일때 처럼 모서리니까 이를 식으로 쓰면:
dx= 2 · df · root(x) + df^2 이고
df^2->0이니 df^2은 생각하지 않습니다.
즉 dx= 2· df · root(x)
아무튼 위식을 df/dx꼴로 정리하면
df/dx = 1 / 2 · root(x)임을 알수 있습니다.
dx/df가 아니라 왜 df/dx 인지 아시나요
넓이증분 / root(x)의 증분이 맞지 않나... 왜 여기선 반대지
@@DemonophobiA
근본적으로 df/dx라는게 변수x가 dx만큼 변함에 따라 함숫값이 df만큼 변한다는 원리이기 때문이예요, 고교수준에서 일종의 비율?이라고 이해하면 될듯 합니다. (물론 이는 엄밀히 틀린내용입니다만, 그건 대학에서만 고려하는 걸로 정신에 좋습니다)
dx/df로 안 쓰는 이유는 도함수란 본래 기울기에서 탄생한 이야기이기 때문이고요. (기울기는 y의 증가량/x의 증가량인 건 아실거라 믿습니다(*¯︶¯*)
참고로 넓이,부피가 꼭 분모자리에 있겠다란 편견은 버리는 것이 좋을것 같아요, x^2같은 경우 단지 함숫값이 넓이니 분자에 우연히 있었다는 것 참고
(root x가 대표적인 예외죠, 3b1b님도 이때문에 rootx를 내셨을 거라 생각합니다. )
@@DemonophobiA 도움이 되셨으면 좋겠네요
dx의 제곱부터는 0으로 생각한다는게 넓이에서 선의 넓이를 생각하지않고 선에서는 점의 길이가 없다는 기하학적의미가 들어가있는거같네요 영상정말 감사합니다!!!수학을좋아해서 3brown1blue영상에서 자막키고보고있었는데 보고 듣기힘들어서 포기할려하다가 덕분에 듣도있어여
번역해주신 덕분에 모자람없이 배울 수 있었습니다. 염치 없지만.. 앞으로도 부탁드려요:)
학교,학원에서 배우는 것보다 여기서 배우는 게 훨신 낫다 ,,, 학교선생들은 그냥 교과서 그대로 읊는 수준,,, 의욕없는게 눈에 보인다. 문제는 그 교과서도 그 이유,원리,현실에 대한 적절한 예시가 안실려있고 대충 개념,공식만 넣어두는 수준;; 솔직히 국가경쟁력에 쓸모도없는 역사교과서를 국가적으로 통합할게 아니라 제대로된 수학교과서를 국가적으로 만들어서 통합시켜야한다,, 수의 진리를 서술하는 수학책이 학교마다 천차만별인게 말이 되나;; 사기업 교과서는 교육과 선생들 대충 모아서 설렁설럿 돈벌려고 만든게 보인다. 괜히 사람들이 사교육받고 문제집위주의 암기교육 하려는 게 아니다. 차라리 교사들 없애고 수업시간에 이 영상같은 유튜브 영상이나 틀어주는 게 훨신 교육적이다.
워워, 교사 없애는 건 무리지만 수학 교과서 국정화 정도면 나쁘지 않네요.
교과 내용을 확대했으면 더 좋겠지만.... (그렇다고 교육부를 욕하진 말고 차라리 이렇게 직접 찾아서 공부하는 게 낫다고 봐요)(문제시 삭제하겠습니다)
@@phrmir 안그래도 시험때매 빡센데 수학을 더 늘리몀 수포자가 너무 많아질껄....
공교육보다 사교육이 나은 이유죠. 근데 그건 어쩔 수가 없어요. 모든 선생이 3b1b 채널의 운영자처럼 수학자가 아니기 때문에.. 그럼에도 한국의 공교육은 그다지 나쁜 편은 아니라고 생각합니다. 왜냐면, 수능이란게 매우 한정된 범위의 시험이라..
@@user-zf7sk8pc7n ?? 현재 수능에서 발생하는 문제가 범위는 극도로 제한하면서 거기서 상대평가하려니까 발생하는 문제가 대부분이에요.
이 분 채널 구독해놓고 매번 영상 보는데 최근에 올라오는 영상은 자막이 안달려서 아쉬웠는데 한국어 채널이 나와서 굉장히 좋네요 !
정말 고맙습니다 ㅠ 미적분학 1, 2 이후로 cc 자막이 없길래 놀랐는데 채널이 따로 있군요
수2 공부하고 오면 진짜 개꿀재ㅁ임ㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅇㅈ 지금 예비고3인데
깨봉수학보고 이거 보았는데 둘다 재미있고 이해가 잘되요 감사합니다
루트x에 대한 도함수를 기하학적으로 확인하는 부분에서 정사각형의 넓이가 1이아닌 x가 되어야 할듯.
번역해주셔서 정말감사합니다..ㅠㅠ 다음편도 부탁드릴게요 감사합니다
의미를 생각하면서 영상을 보니깐 참 재미있네요😊 수포자도 즐길수있는 수학이라닛!!!
예비중3인데 너무 재밌네요 재밌게 공부할게요 감사드립니다 (_ _)
너무 좋네요 고등학교 때 삼각함수는 단순 암기 였는데
이런 뜻이 있었군요 ㄷㄷ
감사합니다.
영어로만 보다가 한국어로 번역해서 보니까 정말 편하네요 ㅎㅎ
감사합니다 ㅎㅎ 덕분에 큰 힘이 되네요.
앞으로도 열심히 더 많은 영상들 번역해서 올려드리겠습니다
3:56 여기서 dx의 차수가 1이 넘어가면 무시해도 된다고 했는데 2xdx는 무시하지 않는 이유가 무엇인가요?
그리고 2xdx = dx + dx = dx로 쓰면 안되는 이유가 뭔가요?
Dx으로 양쪽변을 나눴을때 dx의 차수가 1이 아닌것들은 결국 dx가 또 남을것이고 그러면 dx->0에 의해 사라질것이기 때문입니다
Dx+Dx=Dx로 쓰면 안되는이유는 양쪽에서 dx를 빼면
Dx=0 이 되는데 이는 dx->0과 모순되기 때문입니다
1/x 아무리 시도해봐도 잘 되지 않네요 ㅠㅠ 처음 시작 식이 dx*{1/x-d(1/x)} = x*d(1/x) 로 나오는데 식 전개가 잘 안되네요.. 근데 dx*d(1/x) 는 이 상태가 정리된 꼴인가요? dx가 엄청 작아질 때 그래프상 d(1/x)도 엄청 작아져야 할 것 같은데 이럴 경우 어떡하죠..
어지저찌 식을 정리하다 보니 d(1/x)/dx = 1/x^2 - d(1/x)/x 까지 도달했는데 여기서 d(1/x)가 엄청 작다고 해도 1/x^2가 나오는데 부호가 틀렸네요 ㅠㅠ 답이 뭘까요?
감사합니다 재밌게 보고있습니다
죄송합니다만, 12:30 에서 넓이=1 이 아닌 넓이=x인 것 같습니다..
편집 중 실수가 있었던 것 같네요... 앞으로는 세심하게 검토하겠습니다.
굿
12분28초 경의 루트 x 미분 구할때, 도형 넓이는 1이 아니라 x 가 되어야 될거 같습니다
수능끝나고 보니까 너무 재밌어요...ㅠㅠ
ㄹㅇ 저도
수능 치고 나니까 미적분 씹호감 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
안녕하세요. 번역해주신 영상덕분에 편하게 공부하고 있습니다. 한가지 안풀리는게 있어서 질문드립니다.
f(x) = x^2 일때는 df를 변화량으로 두었는데 f(x) = sqrt(x)일때는 dx를 변화량으로 두어서 헷갈립니다.
구하는 방법은 x^2일 때와 완전히 동일하다고 생각하시면 됩니다. 즉 x^2에서 dx가 하는 역할을 sqrt(x)에서 df가 하게 됩니다.
끝에는 df/dx로 적절히 변형해주시면 돼요
ㅋㅋㅋ 장기하 쳤는데 이거 나옴
장기하학 ㅋㅋㅋㅋ
짱이에ㅕ
감소량으로도 도함수를 정의할 수 있을지 궁금하네요
깨봉수학 조교수님이 이렇게 배우신듯
4:07 무시 가능하다는걸 엄밀하게 알 수 있을까요?
0/0 꼴에서 분자가 크니까 0으로 보는것 같습니다
1개월이 지난거지만... 어차피 df/dx를 구하는거니깐 dx로 양변을 나누게 될 거고, 그랬을 때 dx는 한없이 0으로 다가간다고 생각하기 때문에 우변에서 dx가 남아있는 항들은 모두 무시할 수 있습니다. 그래서 처음부터 (dx)^2 가 있으면 다 무시해도 된다고 하는거에요
5:58
그런 걸 엄밀히 알려면 해석학을 공부해야한다고 얼핏 들었던 것 같기도...
그냥 직관적 이해를 하시면 될 것 같습니다. 엄밀하게 따지렫,ㄹ면 애초에 저 논리자체가 그닥 좋은 설명은 아닙니다. 이 설명에서 잘못된 점을 한가지만 말씀드리자면, dx라는 것은 태초에 만들어질때 의미는 아주 작은 x증분이엇지만, 이후에 실수체계에서는 dx가 존재할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 즉, dx가 '수'라고 생각하면 안됨니다. 그래서 'df를 dx로 나눈것이 2x이다' 라는 설명은 잘못된 것입니다. dx는 수가 아니기 때문에 df/dx는 분수도 아닙니다. df/dx는 그냥 그 표현이 하나의 기호로서 f를 x로 미분한다는 뜻입니다. 그래서 엄밀하게 따지기 보다는 그냥 그려려니 이해하는게 좋을 듯 합니다.
Que facilazo
6:47 3x^{2}인데 x가 없네요
(dx)^2가 왜 dx^2가 되는거에요??
잘생겼다...
와 ㄹㅈㄷ
12:20
x d(1/x) + 1/x d(x) = 0
d(1/x) + 1/x제곱 d(x) = 0
d(1/x) = - 1/x제곱 d(x)
d(1/x)/d(x) = - 1/x제곱
결과는 같은데 이렇게 하는게 맞는지...
도저히 sqrt(x)의 도함수를 기하학적으로 시각화하기가 쉽지 않아요 ㅠㅠ
힌트를 드리자면, f(x) = sqrt(x)의 도함수를 유도해내기 위해선
먼저 넓이가 x인 정사각형(즉, 한 변의 길이가 sqrt(x)인 정사각형)을 그려내신 뒤
넓이의 변화를 dx로, 변의 길이 변화를 df로 놓고 보는 것이 좋을 것입니다.
한 번 유도해보시고, 성공하신다면 댓글 부탁드려요 ^^
@@3Blue1BrownKR 됐어요! 2x 분의 sqrt(x) 같아요
(중간에 dx=2*sqrt(x)+df에서 df항은 무시하면 되는 건가요?)
정답과 거의 가까워지셨는데... 아쉽습니다
혹시 정답을 원하시면 댓글로 알려드릴게요
@@3Blue1BrownKR 정답 알려주세요
네, 그럼 정답을 알려드리겠습니다.
dx를 구하는 식은 다음과 같아집니다.
dx = 2sqrt(x)df + df²
그러므로 여기서 df²는 아주아주 작아질테니, 무시가 가능합니다. 즉 식이
dx = 2sqrt(x)df
로 정리되는데요, 여기서 우리가 원하는 df/dx를 위해 양변에 1/2sqrt(x)dx를 곱해주면
df/dx = 1/2sqrt(x)
라는 결과가 나오겠네요.
거듭제곱 법칙을 적용한 것과 비교해보자면, sqrt(x) = x^(1/2)와 같으므로
d(sqrt(x))/dx
= 1/2 × x^(1/2-1)
= 1/2x^(1/2)
= 1/2sqrt(x)
즉 저희가 유도한 결괏값이 나오게 됩니다.
sprt(x) 미분한거 맞는지 확인 부탁드려요
d*sprt(x)×sprt(x)+d*sprt(x)×sprt(x)=df
2dx=d*sprt(x)
2=d*sprt(x)/dx
뒷북이지만, sqrt(x)입니다! square root의 준말이거든요
12:04
12:30
깨봉이랑 같은원리네
나이들어 수학공부할 일이 없어 편하게 보니 별거 아니구만..... 학생때는 외웠었는데...;
와아! 대다나다!
나 중1때 수학 과정중 한가지가 응용이였다.
그때 나? 모눈종이 a4 16절지 전부 사용해서 그냥 내 생각대로 그래프 그렸다.
존나게 쳐맞았다.
숙제에 낙서 해왔다고.
한장으론 표현못해서 여러장 전체적으로
나는 준비했었다.
병신찐따 취급외에 별다른것 없었다.
그냥 묻혔다.
대한민국 현실.
나이들고 그 그래프 기억만으로 그렸던게 기하학이였다.