발산과 회전: 맥스웰 방정식, 유체 흐름, 그 이상을 설명하다
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- čas přidán 13. 07. 2024
- "Divergence and curl: The language of Maxwell's equations, fluid flow, and more" 번역, 원본 영상 주소: • Divergence and curl: ...
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다차원 미분 연산의 기본인 발산과 회전을 2차원 상에서 이해해봅니다.
0:00 벡터장과 유체 흐름
2:15 발산(다이버전스)
4:31 회전(컬)
5:47 맥스웰 방정식
7:36 비공간적 동역학계
10:37 미분연산자와 발산, 회전
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#수학 #미적 #미적분 #선형대수학 #선대 #3blue1brown #3b1b_한글 #3b1b_한국어
[0] 3:24 오타입니다. 흘러나가는 것보다 들어오는 것이 많은 경우입니다
[1] '벡터장'이란 입력과 출력이 모두 벡터인 함수입니다(0:06, 3:33).
'스칼라장'은 입력이 벡터지만 출력은 스칼라인 함수입니다.
e.g. 발산은 스칼라장입니다(3:44). 회전은 벡터장이지만 영상에서는 스칼라장처럼 왜곡하여 표현합니다(5:19).
[2] 4:12부터 나오는 '비압축성'이라는 용어는 힘을 받아도 부피가 거의 줄어들지 않는다는 뜻입니다. 물이나 기름이 대표적인 비압축성 유체입니다.
[3] 7:01에서 말하는 '자기홀극'은 극이 하나뿐인 자석이며, 실험적으로 관측된 적이 없습니다. 폴 디랙은 양자역학으로 자기홀극의 존재를 예견했습니다.
[4] 7:37부터 다루는 미분방정식은 로트카-볼테라 방정식(Lotka-Volterra equation)이라는 이름이 따로 있으며, 최초의 수학적 생물 모형입니다.
[5] 10:38부터 등장하는 연산자 ∇는 '나블라' 혹은 '델'이라 합니다. 벡터 미적분학에서 필수적인 연산자로, 이를 벡터로 취급하면 스칼라장의 기울기(∇f), 벡터장의 발산과 회전(∇·F, ∇×F)을 나타낼 수 있습니다.
흥미롭게 보고 있어요!!
잘보겠습니다. 감사합니다!
아니 옛날 수학자와 물리학자들은 얼마나 천재이기에, 계산기나 시각화 프로그램없이, 2차원이나 3차원상 움직임의 크기변화와 방향변화에 대해 수식으로 나타낼 수 있었을까?
제대로된 그래프나 시각화자료 없이 이런 현상을 수식으로 단순화시킨다는 건, 나같은 일반인의 뇌에서는 불가능한 일인데, 그들의 뇌는 공감각적인 정보의 변화를 시뮬레이션할 수 있는 부분이 따로 있는건가??
오 저도 항상 궁금했었어요👍🏻
탈인간급 작업기억능력😂
아 진짜 오늘 하루종일 이거 없나 찾아보고있었는데 감사합니다ㅠㅠ😂😂
구독과 좋아요는 사랑입니다❤❤❤
방금 시가변전자계 공부하다왔는데 타이밍 ㅁㅊㄷㅁㅊㅇ
맥스웰 방정식을 보니 수학을 전혀 배운적이 없음에도 전자기장의 발산과 회전의 원리를 논리적으로 이해하고 정리한 페러데이가 새삼 대단하게 느껴지네
기 습 숭 배
@@3Blue1BrownKR주인장 참지 못했네 ㄷㄷ
근데 진짜 어캐했냐고 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
드디어 이게 한국어로 나왔구나
ㄹㅇㅋㅋ
홍종분학 공부하다가 이걸 보니 속이 뻥~~~
선형대수 8장 나올때까지 숨 참음!
ㅋㅋ 전기전자과인데 열번은 봐야겠다 ㅜㅜ
다이버전스와 컬은 모두 멕스웰이 전기와 자기에 관한 수식으로 나타내는 과정에서 만든 용어라고 알고 있는데 그걸 알고부터 벡터해석학은 결국 전기와 자기를 위한 학문이라는 것을 깨달았습니다. ㅋㅋ ;;
마참내!!
영어 듣기 연습하기 좋네
4:51 부터, 시계방향 반시계방향 번역이 반대 아닌가요?
드디어 수능이 끝났네요! 잘 보겠습니다.
전자기 공부를 다시 하면서 든 생각인데, 가령 dy/dx는 미분 연산자 d/dx에 y가 곱해진 것이라 봐도 무방한가요? 델 연산자를 처음 공부할 때부터 든 생각이지만 나중에 기회가 되면 물어볼 생각이었습니다. d/dx가 행렬로서 표현될 수 있음을 알기에 궁금해져서 작성합니다
음.. 제 지식의 깊이가 깊지 않아.. 고등학교 교과과정과 3b1b 미적분학의 본질 시리즈 6장에서도 등장하는 "음함수의 미분" 예시로 dy/dx d/dx * y 로 해석하지는 않는 듯하다는 것을 생각하면 어렵다고 생각하는 것이 제 의견입니다.
x^2 + y^2 = 5 라는 음함수가 주어졌다고 하고, dy/dx를 구하는 과정은 다음과 같게 됩니다.
x^2 의 도함수는 2x고, 5는 상수이므로 도함수는 0입니다.
y^2는 x^2 함수의 x에 자리에 y 라는 함수를 대입한 합성함수이므로, 연쇄 법칙으로 도함수를 구합니다.
y^2의 도함수는 2y * (dy/dx) 가 됩니다.
2x + 2y(dy/dx) = 0
2y(dy/dx) = - 2x
dy/dx = -2x/2y
dy/dx = -x/y
작성자의 의견 처럼 dy/dx가 d/dx * y 가 참이라면 y^2의 도함수가 2y^2 * (d/dx)로 풀이를 전개할 수 있게 되나,
풀이에서 볼 수 있듯, dy에 붙어있는 y와 2y는 다른 변수인것 처럼 취급하여 계산하는 것에서 볼 수 있듯, d/dx * y 라고 보기는 어렵다는 게 제 의견입니다.
교과서중 일부에서는 dy/dx라는 표기를 안쓰고 2y * y' 으로 표기하여서 혼동할 여지를 차단하기도 합니다.
dy/dx는 미분 "연산자" 보다는 "표기법"이라고 하는 게 맞지 않을까 생각합니다.
f'(x) - 프라임
Δd/Δx - 델타
˙y - 뉴턴 표기법
dy/dx - 라이프니츠 표기법
모두 같은 의미를 지니지만, 표기만 달리 한 것들인 것 퍼럼 말이죠.
그 아래에 d/dx가 행렬로써 표현 될 수 있다고 하신건 어떤 맥락으로 적으신 것인지 해석하거나 이해하기에는 제 지식이 부족해서.. 여기에서 끝내겠습니다.
[추가] : 후에 떠오른게 있는데.. 고등학교 과정에서는 교육학적 편의를 위해 소박한 집합론만 가르치는 것을 생각하면 딱히 교과과정에 등장하므로 참으로 간주하는 의미를 내포한 제 반증(?)이 올바른 논증이라고 하기도 어렵군요.. ( 러셀의 역설을 생각하면.. )
@@sys10n 그렇다면 div를 어떻게 설명하나요? div(F) 의 경우 편미분 연산자 3개를 성분으로 갖는 델과 F를 내적한 것이라고 공부했습니다. d/dx*Fx=dFx/dx로 여기지 않는다면 div(F)는 내적의 정의 자체를 무시하는 것 아닌가요?
물론 서술하신 것처럼 dy/dx=y*d/dx로 여길 시 d/dx = -x/y^2으로서 d/dx가 새롭게 정의되는 것처럼 보여 저도 이상해 보이긴 합니다. 그렇지만 내적의 결과가 각 성분 별로 곱한 값이라는 점에서 이것을 부정하는 것도 이상해 보이네요. 친절한 답변에 감사합니당~~
수능보신분.. 맞으시죠.?
@@user-qe8ci4mh5u
궁금한 건 이겁니다.
내적은 각 성분별 곱의 합으로 정의된다고 알고 있습니다.
del=d/dx i + d/dy j + d/dz k
F= Fx i + Fy j + Fz k
라 할때
divF= del • F
= dFx/dx + dFy/dy + dFz/dz
이죠?
x 성분인 d/dx와 Fx가 ‘곱해졌는데’ d/dx 기호의 함수칸에 Fx가 들어가져서 궁금한 겁니다.
델의 경우는 좀 특별한 건지 궁금하네요.
물론 그냥 그런가보다 하고 넘길 수도 있겠죠. 저도 여태 dy/dx를 y*d/dx로 써서 계산한 적은 없습니다. 수능에선 이런 사고가 불필요하니까요.
저도 그냥 궁금해서 여쭤본 건데... 좀 속상하네요. 수능 일주일 지난 고3이라 아직 뭐 잘 모르는구나 생각해주세요ㅎㅎ
말씀하신 것처럼 d/dx는 행렬로 표현될 수 있고 이를 선형대수학의 본질 16장에서 다룰 예정입니다. 그리고 d/dx가 행렬로 표현될 수 있다는 것은 d/dx가 일종의 선형변환(함수)이라는 것임을 아실 겁니다.
즉 d/dx는 함수의 일종입니다. 두 변수의 곱처럼 d/dx × y인 것이 아니라, 어떤 함수 d/dx에 대해 d/dx(y) = dy/dx로 표기되는 것입니다. 또한 div F는 벡터장 F의 각 성분 Fx, Fy, Fz에 대해 미분 연산자가 적용되어 합해지는 것일 뿐입니다.
질문해주셔서 감사합니다! 도움 되셨길 바랍니다. ☺️
11:00
와...저건 어케 생각한거냐
응열에 나오는 맥스웰도 이건가??
수메르의 쐐기구만
소리도 알면 재밌는데
표기만 응용한 것은 한계가 있거던
∇😆👍👍👍
이게 한국어로 나오네..ㄷㄷ
딱 기말범위네 ㄷㄷ