Exponentialgleichung lösen mit Logarithmen. Exponentialgleichung Aufgabe. Mathe einfach verstehen.
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- čas přidán 2. 05. 2024
- Exponentialgleichung lösen zu können gehört zu einer wichtigen Fähigkeit um die Mathematik zu verstehen. In diesem Mathevideo lösen wir gemeinsam eine Exponentialgleichung mit Hilfe des Logarithmus. Gleichungen lösen ist sowohl in der Schule als auch im Abitur sowie im Studium einen wichtige Grundlage. Man nennt es eine Exponentialgleichung wenn mindestens eine Variable im Exponenten auftritt. Falls Ihr noch mehr Exponentialgleichung benötigt dann schreibt es mir bitte in die Kommentare.
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Jetzt mal was kniffligeres. Es sind die Parameter a und b von der Exponentialfunktion f(x)=a(e^bx - 1), die durch 2 Stützpunkte P1(x1;y1) und P2(x2;y2) gegeben ist, zu berechnen. Für die einfachere Variante f(x)=ae^bx gilt:
b=ln(y1/y2) / (x1-x2)
a=y1/(e^x1b)
Also ich habe raus (für die schwierigere Variante): b= (ln(y_2/y_1))/x_2-x_1
a=y_1/(e^(bx_1-1))
@@timostruning5129 Der Parameter a ist richtig, aber der Paramter b ist falsch. Hast du die Probe gemacht?
@@karlbesser1696 Also, ich habe es nochmal nachgerechnet und komme dann auf das, was du oben angegeben hast, also b=ln(y_1/y_2)/(x1-x2). Ich habe erst später gemerkt, dass du ja schon das Ergebnis für die Aufgabe mit Stützpunkten dahin geschrieben hast (du hast ja die x_1,x_2, y_1 und y_2 in deinem Ergebnis). Deswegen bin ich gerade etwas verwirrt, weil du meintest, die angegebenen Lösungen seien für die einfachere Variante, also f(x)=ae^bx.
@@timostruning5129 Die Lösungen, die ich für f(x)=ae^bx gefunden habe, stimmen auch nur für diese Funktion, aber nicht für f(x)=a*(e^(b*x)-1). Diese Funktion ist auch mehr praxisrelevant, da der Graph durch den Ursprung geht.
Man kann hier nur numerisch die Lösung finden.
Die Nullstellengleichung für b lautet:
ln((y1+y1/(e^(bx1)-1))/(y2+y1/(e^b(bx1)-1)))/(x1-x2)-b=0
@@timostruning5129 Der Lösungsweg ist folgender: Du findest a=y1/(e^(bx1)-1)
dann setzt du a in folgende Gleichg. ein 0=ln((y1+a)/(y2+a))/(x1-x2)-b
Das ist die Nullstellengleichung, die noch implizit abzuleiten ist.
Den Parameter b findest du mit der Newton-Nullstellensuche in einer WHILE-DO-Schleife.
Interessant ist noch. Es gibt nur Parameterpärchen von a und b, die die Gleichung erfüllen.
Ich würde sagen: potenzen mit gleicher Basis sind gleich, wenn die Exponenten gleich sind.Deswegen versucht man eine gemeinsame Basis zu finden.So wird der Logarithmus nicht benötigt
Die Begründung dafür ist, dass der Logarithmus streng monoton und damit bijektiv ist. Also wird der Logarithmus schon benötigt, nur muss nicht unbedingt genannt werden. Im Video wollte ichs aber ausführlich machen.
@@MathePeter im Prinzip löst man Wxp. Gleichungen in derSchule zunächst durch geeigneten Vgl.von Basen.Das dies aber kur in speziellen Fällen geht benötugt man eine neue Rechenart.Der Logarithmus wurd häufig auch als Hochzahlsucher bezeichnet.Macht Sinn gut gües Verständnis
@@herbertklumpp2969 ja ich erinnere mich, dass wir das in der Schule auch so gemacht haben. Mit meiner jetzigen mathematischen Ausbildung fehlt mir da aber die Begründung, warum es nicht verschiedene Exponenten geben kann zur selben Basis. Sie Frage beantwortet der Logarithmus ganz nebenbei.