Was zum Video noch ergänzt werden sollte, um Missverständnisse zu vermeiden: (1) Die Gefangenen dürfen während des Experiments in keinster Weise kommunizieren, insofern werden auch alle Schubladen stets wieder mit demselben Inhalt geschlossen. (2) Die im Video ermittelte Wahrscheinlichkeit von E_k (Zyklus der Länge k) trifft nur zu, wenn k größer als 50 ist ("böser Zyklus"), denn nur in diesem Fall kann ein zweiter Zyklus derselben Länge ausgeschlossen werden.
Ich scheine in meiner Exceltabelle die nach der Anleitung im Video gemacht habe einen Fehler zu haben da ich in der Summe 0,5496... bekomme, was für P(leben) ca 45% bedeuten würde. Was mache ich denn falsch?
Wenn der 1. Gefangene 49 Türen geöffnet hat und seine Zahl nicht dabei war, sollte er den zweiten weitermachen lassen. Der sollte aber nur 48 Türen öffnen. Hat auch er keinen Erfolg, kommt der dritte an die Reihe mit maximal 47 Türen. Am Ende bleiben dann z.B. 39 Gefangene übrig, die ihre Zahl noch nicht gefunden haben. Dann fängt erstmal derjenige an, der noch die meisten Versuche übrig hat. Natürlich hört er spätestens dann auf, wenn er nur noch einen Versuch übrig hat. Dann kommt irgendwann der Gefängnisaufseher und sagt: Das dauert mir hier alles zu lang. Ich mach jetzt Feierabend. Wenn ihr bis morgen nicht fertig seid, habt ihr auch verloren. In der Nacht versuchen die Gefangenen zu schummeln, aber sie haben kein Licht. Also machen sie ein Feuer aus dem Schrank. Als die Feuerwehr eintrifft um den Brand zu löschen, nutzen die Gefangenen ihre Chance und fliehen. Der Aufseher des Gefängnisses ist sehr sehr wütend und nimmt nächstes Mal einen Schrank aus Plastik.
@@shelnack1 Bei solchen Rätseln leider schon. Im Grunde darf man nichts, außer das was explizit erlaubt wurde. Das ist wie das Rätsel mit 100 Gefangenen und einer Lampe. Da darf man auch nicht die Temperatur nutzen, oder die Lampe zerstören und das Glass, nur an oder aus, das war es. Die Rätsel müssen so stark eingeschränkt werden, weil sonst die Lösungen viel zu einfach wären.
Sehr interessantes Problem. Trotz deiner guten Erklärung habe ich trotzdem etwas gebraucht, das zu verstehen. Folgende Sätze haben mir geholfen: 1.) Da die Schubladenzahl endlich ist und jede Nummer genau einmal vorkommt, ist jede Zahl Teil eines Zyklus. (Beweis: Spätestens in der 100. geöffneten Schublade muss ja die Nummer der ersten geöffneten Schublade sein) 2.) Beginnt man mit Schublade k muss k auch in genau diesem Zyklus auf einem Zettel vorhanden sein. (Beweis: Sonst wäre es kein Zyklus, Widerspruch zu 1.) ) Nicht erklären konnte ich mir aber, warum es bei der Kombinatorik immer um Leben und Tod gehen muss. Warum nicht einmal "100 Kandidaten haben die Gelegenheit gemeinsam 1 Mio € zu gewinnen, wenn sie folgende Aufgabe lösen..."
Die wirkliche Herausforderung als vermutlich einiziger so schlauer Gefangener wäre wohl, die anderen von dem System zu überzeugen. Und nachdem man das dann in jahrelanger Arbeit hinbekommen hat, schlägt dann doch das 69%-Pech zu. Ich bin mir nicht sicher, ob man in dem Fall von verschwendeter Lebenszeit reden kann :)
Man muss noch die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass man jeden überzeugen kann. Gehen wir mal davon aus, dass die Chance pro Kopf bei 50:50 steht ... Ne Scherz, aber wenn es insgesamt 98 wären die danach handeln und 2 nicht, wäre das zumindest mal eine Steigerung. Kann das bitte jemand ausrechnen? 98 nach dem Prinzip, 2 random.
Nach einer kurzen Simulation gehen die Wahrscheinlichkeiten auf 31.16% Überleben und 68.83% Tod zu. 1 Millionen Runden mit 100 Gefangenen geben diese Werte.
@@saschasporrer Monte Carlo Experiment / Simulation. Einfach das Modell definieren (aufstellen, hier besteht wahrscheinlich deine Schwierigkeit) und mehrfach durchlaufen lassen. An sich kannst du das auch mit Excel machen.....
@@saschasporrerDa gibt es Programme für. Kein Mathematiker stellt sich heute noch mit Kreide vor ne Tafel. ;) Die Programme benötigen 'nur' eine Definition der Aufgabe und rechnen dann alles beliebig oft durch. ...mal so einfachst erklärt.
Auf die Idee, so ein Problem zu formulieren, kommt man, wenn man die Zerlegung von Permutationen als Produkt von Zyklen behandelt. Aber der umgekehrte Weg vom Problem zu den Zyklen ist wesentlich schwieriger.
Wenn eine erfolgreich vergebene Tür aus dem Pool der wählbaren Türen ausscheiden würde, hätte ich eine weitere Strategie. Alle Gefangenen öffnen reihum Tür 1. Wenn Tür erfolgreich vergeben wurde öffnen alle übrig gebliebenen Gefangenen reihum Tür 2. usw.usf. Auch hier darf keiner(!) der Gefangenen mehr als 50% der Türen öffnen, i.d.F. nicht mehr als 2 Türen. Ich habe bei 4 Türen und 4 Gefangenen alle Kombinationen durchprobiert: Es waren 16 schlechte Kombinationen und 8 gute. Also eine saubere Erfolgschance von 1/3 ! Bin erstaunt wie nah man an dieses Optimum kommt ohne dem Ausscheiden von Türen. kudos an Laplace und Respekt für das gut erstellte Video.
Nicht schlecht :-) Ich dachte allerdings erst, die Schubladen dürften offen stehen bleiben und alle 99 bzw. Die restlichen dürfen jeweils zugucken. Das würde natürlich die Chancen nochmal erheblich verbessern. Aber ja: die hiesige Lösung mit "echter" Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eigentlich herrlich klar.
Oh Man, wenn ihr das beim Kiffen schaut, kommt das unheimlich gut. Egal, auch wenn ihr es nicht versteht, was zählt ist die Fakulität. Vor allem, wenn es in den Todeszyklus geht.
Ein tolles und knackiges Video. Eine Frage: Ist bekannt, ob es noch eine bessere Überlebensstrategie, also ein Verfahren mit kleinerer Todeswahrscheinlichkeit gibt oder überhaupt geben kann?
Laut Wikipedia: Eugene Curtin und Max Warshauer gaben 2006 einen Beweis für die Optimalität der Zyklusfolgestrategie an. Der Beweis basiert auf der Herstellung einer Äquivalenz zu einem verwandten Problem, bei dem sich alle Gefangenen in dem Raum aufhalten und die Auswahl der Schubladen beobachten dürfen. Diese Äquivalenz beruht auf einer Korrespondenz zwischen der (normalisierten) Zyklenschreibweise und der Tupeldarstellung von Permutationen. In dem zweiten Problem ist die Erfolgswahrscheinlichkeit unabhängig von der gewählten Strategie und gleich der Erfolgswahrscheinlichkeit beim Ausgangsproblem mit der Zyklusfolgestrategie. Nachdem eine beliebige Strategie beim Ausgangsproblem auch in dem zweiten Problem eingesetzt werden kann, dort aber keine höhere Erfolgswahrscheinlichkeit besitzt, muss die Zyklusfolgestrategie optimal sein. Also nein, dies ist die optimale Strategie.
@@culnaurion Muss er doch nicht. Man muss sich nur die Zahl einer einzigen Schublade merken, nämlich die, die man gerade geöffnet hat, um dann die Schublade mit der entsprechenden Nummer zu öffnen.
Wahrscheinlichkeitsrechnung macht am meisten Spass mit Monte-Carlo-Simulationen. Man programmiert das Problem einfach als Spiel nach und lässt es eine Million mal laufen. Da könnte man sich auch noch andere Strategien leicht ausdenken und in Sekunden feststellen wie gut die ist
Ob sich der Gefängnisdirektor auch die Gedanken machte die Zettel nach einem Zyklussystem einzulegen bezweifle ich sehr. Vielleicht war er so gemein und legte diese Wisch einfach nur in eine Hälfte des Schrankes. 😂
@@melonenlord2723 das Grundgerüst ist aber immer dasselbe: Zufallszahlen generieren, dann die Formel anwenden und das Ergebnis speichern, damit man alles z.B. in einem Histogram darstellen kann oder eine einfache Statistik machen kann (wie Durchschnitt oder Standardabweichung).
Naja hier ist es, sofern man die Idee mit den Zyklen hat, einfache Wahrsscheinlichkeitsrechnung. Dafür brauchst du keine Simulation. Möchtest du aber erst einmal das Problem lösen, ist es gut Strategien zu simulieren. Aber spätestens bei der Optimalität der Entscheidungsregel hast du durch die Größe des Entscheidungsraums hier bei n=100 Probleme dies durch Simulation nachzuweisen 😉
@@thebasketno5286 Wenn es nur ineffiziente Methoden gäbe, die die Wahrscheinlichkeit kaum beeinflussen, dann wird es auch schwer hier, weil die Chance ja nahezu 0 war wenn rein zufällig. Da wären auch nach 10 Mio Versuchen höchst wahrscheinlich 0 Treffer gewesen. Also dann hat man mit Simulieren wirklich schlechte Karten
Schönes Rätsel und gut erklärt. Danke! Bei 2:10 fehlt der Hinweis, was mit Gefangenenem #2, #3 usw. ist. Die sollen dann offenbar bei der Schublade 2, 3 usw. anfangen.
Ja genau, nur dann funktioniert das. Sie können sich ja später nicht mehr darüber austauschen, also muss vorher eine Strategie klar sein, wo am Ende eben nicht jeder womöglich mit der 1 anfängt. Also fängt jeder mit seiner Nummer an.
Der wichtige Teil ist nicht, dass jeder mit einer anderen Nummer anfängt. Durch das Starten an der Schublade mit der eigenen Nummer garantiert man (was auch für die Berechenbarkeit später wichtig ist), dass die eigene Nummer auch im Zyklus enthalten ist. Kleines Beispiel: Man einigt sich vorher auf eine gleichmäßige Zufallsverteilung der Startschubladen, sodass jede Schublade genau einmal als Startschublade genommen wird. In Schublade 1 liegt die Zahl 1. Wenn nun der Gefangene 1 mit einer anderen Schublade startet, wird er niemals seine eigene Nummer ziehen können, da er zum öffnen der Schublade 1 ja die Nummer 1 ziehen müsste(welche aber nur in der Schublade 1 liegt). Ebenso kann der Gefangene x (x ungleich 1), der mit Schublade 1 anfängt seine Zahl nicht finden, da er nur von 1 zu 1 gehen würde.
Richtig, jeder Gefangene öffnet zuerst die Schublade mit seiner eigenen Nummer. Die Nummer die da in dieser Schublade liegt, das ist die nächste Schublade, die geöffnet werden soll. Und so immer weiter.
@@jaccaro Doch es wird gesagt, dass jeder mit der eigenen Nummer starten soll. So ist garantiert, dass immer eine andere Nummer als erstes genommen wird.
Super Analyse und ein erstaunlicher Effekt auf die Chance... Habe das Problem gleich mal in Python-Script nachgestellt, und habe das mal eine Zeit lang als Schleife laufen lassen. Nach ein paar Mio Durchgängen bin ich auf ca. 29,5% Überlebenswahrscheinlichkeit gekommen. Warum ich auf einen niedrigeren Wert gekommen bin, verstehe ich noch nicht ganz. Auf ausreichend hohe Entropie des RND-Generators habe ich geachtet.... Trotzdem lustig sich mal nach Jahrzehnten mal wieder mit einem kleinen logischen / mathematischen Problem zu befassen 🙂 Grüße
Am „lustigsten“ fände ich 2 Zyklen von jeweils 50. Dann kämen alle frei, aber der ein oder andere wäre schon an einem Herzinfarkt gestorben, als er bei Schublade 45 oder 48 war.
was ist wenn die wärter einfach, in jedem fach die zahl des nächsten fach packen ? bsp. in fach 1 ist die zahl 2 , in fach 2 ist dann die zahl 3. im letztem fach ist dann die 1. oder hassen die häftlinge diesen trick ?
Bor genial das erinnert mich an der Quiz Show mit den 3 Türen und das ein Wechsel seiner Tür die Chance statistisch erhöht als bei der Tür zu bleiben Interessant ist auch wie bei der Methode hier die 1 zu 100 chance aufgehoben wird das seine Nr im gleichen Kästchen liegt Was ich mich Frage ist wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das eine ungerade Zahl in einem Kästchen mit ungerader Nr liegt ? Von 1 bis 100 gibt es 50 gerade und 50 ungerade zahlen Wenn also alle die eine ungerade Zahl haben nur ungerade Kästchen ziehen und die mit gerader Zahl gerade Kästchen ziehen hat jeder 50% changse?
Genau, jeder hat eine 50%-Chance, was genauso gut oder schlecht ist, wie wenn er ganz zufällig zieht. Es bleibt dann bei einer Überlebenschance von 0,5^100.
Das ist die Theorie... im echten Leben zieht der 2. Gefangene, Günther, 47, direkt einen 77iger Zyklus und das wars für die Truppe. . . Danke, sehr gründlich und gut erklärt, Viele Grüße
Spontan würd ich sagen jeder Gefangene öffnet reihum jeweils eine Schublade. Es besteht ja eine Chance von 1 zu 100 seine Nummer zu finden. Nach einem Durchgang mit 50 x 1 zu 100 geht es genauso reihum weiter. Mit jeder gegundenen Nummer erhöht sich natürlich die Chance.
Das wäre quasi eine Zahlenreihe mit von 1/100 + 1/99 + ...1/51. Die Wahrscheinlichkeit ist dann deutlich höher. Aber die Bedingungen sind andere (jeder Nacheinander, Schubladen mit gefundenen Zettel bleiben offen).
Das ist mir hier alles zu gewalttätig. In der Grundschule musste ich noch ausrechnen, wer wie viele Äpfel bekommt. Jetzt geht es plötzlich um Leben und Tod. 😮
Irgndwoher kenne ich die Strategie mit "öffne das Fach mit deiner Nummer und dann immer das Fach mit der Nummer welche Du zuletzt gefunden hast". Mir fällt aber absolut nicht mehr ein wo ich das mal hatte. Vermutlich Studium?! An die Zyklen und die Berechnungen dazu kann ich mich auch noch erinnern.
Na klar! Das ist ja das Schöne an der Wahrscheinlichkeit! Hier wurde ja auch nur gezeigt, welche die günstigste (!) Strategie zum Überleben ist. Die Chance liegt ja immer noch nicht bei 100%. Oder so: Wenn du nie spielst, liegt die Chance zu gewinnen bei 0. Wenn du aber unendlich mal spielst liegt sie bei 100%. Der Rest ist einfach: Der Lottobetreiber behält 50% der Einnahmen und ist damit statistisch auf der sicheren Seite. Statistische Geheimtips sind also: - unendlich mal spielen - oder soviel Lottoscheine ausfüllen (und bezahlen) wie es Gewinnmöglichkeiten gibt.
Die schubladen (also die wo nicht den zahl der gefangener enthält) werden aber wieder zugemacht, oder? Weil darüber war ja keine rede. Oder habe ich es überhört?
@@miloszforman6270 Naja, also damals in mathe unterricht wenn man etwas vergessen hat bei der lösung, gab es punkteabzug. Die aufgaben waren auch relativ detailreich erklärt.
@@miloszforman6270 klar nicht für den Lehrer, die haben meistens penibel auf die Formulierung geachtet. Sollte der Schüler doch ein Fehler feststellen können, gab es dann einen Pluspunkt für die Wachsamkeit.
Es steht an Anfang nicht fest, dass eine Schublade nicht ihre eigene Nummer enthalten darf. Der Gefängnisleiter scheint übelwollend zu sein; wie viele Möglichkeiten hat er, "tödliche" Verteilungen zu arrangieren?
Beim ersten Fallbeispiel geht es ja schon nicht auf. Hier wird auf zehn Schubladen runtergebrochen, womit der Gefangene auch nur fünf Schubladen in Relation öffnen dürfte. Die „1“ hätte er jedoch erst beim Öffnen der sechsten Schublade erblickt, welche er gar nicht mehr hätte öffnen dürfen.
Ich dachte zuerst, was, wenn der Gefangene einen Zyklus bekommt, der seine Nummer nicht enthält, geht er dann zu einer anderen Nummer? Aber damit es ein Zyklus ist, muss ja der letzte Verweis auf die erste geöffnete Schublade verweisen, die ja genau die ist mit der Nummer des Gefangenen, d.h. die letzte Schublade enthält die Gefangenennummer.
Nicht unbedingt! Sicher enthält die letzte Schublade des Zyklus spätestens die Nummer des Gefangenen. Die Frage bleibt allerdings: Reichen dafür 50 Versuche aus? Siehe K > 50!
@@MusikPiratCH Es ist jedenfalls wohl die Strategie mit der höchsten Erfolgsqoute. Würde jeder zufällig Schubladen öffnen, ist die Niederlage quasi gewiss, da 1/2^100 bzw. in 1 von 1.2676506e+30 Versuchen.
Wow. Jetzt frage ich mich gerade. Sollte der 1.Gefangene, wenn er die ersten 49 Schubladen nach dieser Taktik göffnet hat, bei der Taktik bleiben, oder erhöht er seine Wahrscheinlichkeit, wenn er jetzt zufällig zieht. 🤔Ist mir aber gerade zu hoch um das auszurechen. 😊 Aber Danke für das interessante Video.
Die Wahrscheinlichkeit für einen genau 50 langen Zyklus ist nicht unerheblich, raten führt halt zu extrem niedrigen Wahrscheinlichkeiten bei so einem Problem. Also besser die Taktik beibehalten.
Und sollte sein Zyklus größer als 50 sein, werden die nächsten mind. 50 weiteren auch beim letzten raten müssen, die senkt die Wahrscheinlichkeit extrem, fast wieder gegen 0. Es werden alle dann sterben.
Was ist, aber wenn nach jedem, die Zettel in den Kästen wieder hineingelegt werden in zufälliger Abfolge. Erhört das nicht die Wahrscheinlichkeit, das auch mindestens einer am Ende die Niete zieht? Ab 5:50 ist dann keine zufällige Verteilung, sondern eine gezielte finde ich.
Dann wäre man wieder bei (1/2)^100. Für einen einzelnen Gefangenen ist die Chance, den Zettel mit seiner Nummer zu finden, immer 1/2, was man wie folgt sehen kann. Egal nach welcher Regel der Gefangene Schubladen öffnet, die Nummer auf dem Zettel in der N-ten geöffneten Schublade kann jede der noch nicht vorgekommenen Nummern sein und alle diese Nummern haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Da er die Hälfte der Schubladen öffnen darf, ist die Wahrscheinlichkeit 1/2, dass er dabei seine eigene Nummer findet. Wird nach jedem Gefangenen die Verteilung der Zettel neu und zufällig gewählt, haben alle Gefangene unabhängig voneinander eine Erfolgswahrscheinlichkeit 1/2. Daraus ergibt sich eine totale Erfolgswahrscheinlichkeit (1/2)^100. In der Aufgabenstellung aus dem Video ist der Knackpunkt, dass die Erfolgswahrscheinlichkeiten der einzelnen Gefangenen *nicht* unabhängig sind, sondern positiv korrelieren, d.h. wenn bekannt ist, dass ein Gefangener Erfolg hat, steigt dadurch die Wahrscheinlichkeit für alle anderen, ebenfalls Erfolg zu haben.
Sicher gibt es noch andere Strategien, aber soviel ich weiß keine, die bessere Erflogsaussichten bietet. Siehe auch Wikipedia: "Eugene Curtin und Max Warshauer gaben 2006 einen Beweis für die Optimalität der Zyklusfolgestrategie an."
Der Trick dieser Strategie ist, dass man die konkrete (zufällige) Verteilung der Zahlen in den Auswahlprozess mit einbaut. Du kannst eine Folge aufbauen, um wieviel die Wahrscheinlichkeit mit jedem zusätzlichen (n-ten) Gefangen sinkt. Es gibt sogar einen Grenzwert bei etwa 30% für unendlich viele Gefangene. Fang mit einem Gefangen n=1 an, denn der hat eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 100% (nur ein Fach mit seiner Nummer). n=2 Gefangene haben 50%, denn wenn der erste mit der Strategie falsch zieht (ein Versuch aus zwei Fächer), tut es auch der 2, auf den es dann gar nicht mehr ankommt (ein falscher reicht ja). Zieht der erste richtig, dann auch der zweite. usw.. Die Gefangen sind übrigens gut beraten, die Fächer selbst einfach neu zu nummerieren. Stell dir die Fächer als Schuhkartons vor und der erste Gefangene mischt die geschlossenen Kartons wie ein Kartenspiel. Das nimmt dem Gefängniswärter die Möglichkeit bösartig einen k+1 großen Zyklus in die Kartons zu legen. Damit ist nebenbei gezeigt, dass es mind. n! verschiedene Strategien mit gleicher Überlebenswahrscheinlichkeit gibt. PS: Wenn die ersten x Gefangenen feststellen, dass sie unterschiedlichen Zyklen angehören und die Summe dieser Zyklen 50% der Fächer überschreitet, wissen sie schon, dass sie überleben werden.
Also eins verstehe ich noch nicht. Wenn Nr.1 seine Zahl innerhalb vom öffnen von 50 Fächern findet, wissen denn dann die anderen 99 wo er sie gefunden hat bzw wird sein Fach geleert und/oder aus den Öffnungsmöglichkeiten gestrichen? Wenn Nein, haben dann nicht die anderen folgenden wieder jedesmal aufs neue die gleich hohe möglichkeit nen Zyklus zu erreichen der größer 50 (also51) ist? Womit es jeder bei sich selbst eine Wahrscheinlichkeit 50% hatt mehr als 50 Versuche zu benötigen? Bzw hab ich das richtig verstanden das die lösung von einem Zyklus der kleine 50 ist bei jedem weiteren Gefangenen nur gewährleistet ist wenn sie steht's wissen in welcher Schublade die Nr vom Vorgänger war?
Ein sadistisches Rätsel, wie schön (Ironie!!!). Mann sollte allgemeinverständlich erklären, was "Möglichkeit" und "Wahrscheinlichkeit" bedeuten. Dann verschwinden ungünstige Illusionen und man kommt mit der Realität (?) besser zurecht. Achja, Glück und Pech incl. Schicksal gibt es wirklich.
Es sind tatsächlich nur Zyklen der Länge 51 und größer berücksichtigt, denn nur die sind tödlich. Wichtig dabei (und im Video gar nicht oder zu flüchtig erwähnt) ist, dass jeder Gefangene mit der Schublade anfängt, die seine Nummer trägt. Dann kann er niemals in einem Zyklus landen, der seine Nummer nicht enthält. In deinem Beispiel hätte also jeder Gefangene nach zehn Schubladen seine Nummer gefunden.
Nicht spätestens nach 10 Schubladen, sondern genau dir 10te. der Zettel mit der eigenen Zahl zeigt ja auf die Schublade mit meiner Zahl, bei der ich anfing.
@@Baumscheibenkunst Von 100 Schubladen darf er 50 aufmachen. Seine Nummer kann in der 51. liegen. Im Beispiel mit den 10 Schubladen darf er 5 aufmachen. Wenn in der Schublade 9 jetzt nicht die 1 sondern die 7 liegt ist es schon vorbei.
Ich hatte eigentlich keine Probleme beim Verständnis der Aufgabenstellung, allerdings trotzdem 2 Fragen: 1. Stimmt die (grobe) Zusammenfassung, dass der Vorteil der Anwendung des Systems darin besteht, dass 100 Gefangene gegen die Wahrscheinlichkeit "kämpfen", dass es einen Zyklus von 51 oder höher gibt, anstatt zufällig Kisten zu öffnen? 2. Wie berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, falls das System nicht angewandt wird für einen Gefangenen? Der müsste doch beim ersten Öffnen eine Chance von 1/100 haben. Beim zweiten Mal 1/99, usw. bis 1/50. Wie komme ich da auf 50%? Sorry, für die Bitte um Nachhilfeunterricht, ist schon etwas länger her ...
1) das stimmt und es findet doch eine informationsqeitergabe statt- jeder weiß, dass sein vorgänger die strategie benutzt UND es geschafft hat. das wiederholen der strategie erhöht damit die chance wegen der zyklen. 2) wenn du die chance beim nacheinander öffnen und reinschauen für jedes einzelne ausrechnen willst, ist es etwas komplizierter da die ErfolgsWahrscheinlichkeit nach jedem fehlversuch zunimmt, aber für die Gesamtwahrscheinlichkeit musst du musst dann die vorrigen fehlversuche mit Berücksichtigen - da gibts aber formeln für. Stell dir stattdessen vor, du wählst alle Fächer zuerst aus und öffnest sie dann alle gleichzeitig - dann ist das ergebnis insgesamt gleich, aber du kannst einfach die Anzahl der gewählten Fächer durch die Gesamtzahl rechnen - 50/100=1/2 = 50%
Ja korrekt, nur wenn sie eine Strategie wählen, dass sie jede Zahl mindestens 1x auswählen, haben sie überhaupt eine Chance, zu gewinnen. Aber auch nur dann, wenn ihre Zahl spätestens beim 50. Zug auftaucht. Wählen alle erratisch, ist ihre Wahl vom Zufall nicht zu unterscheiden. Hop oder top. Das geht sehr schnell sehr schief. Sie könnten auch alle eine Münze werfen. In 3 von 4 Fällen ist bereits nach Versuch 2 Schluss, in 15:16 nach 4, und in 1.023:1.024 nach 10 Versuchen.
Wo in der Aufgabenstellung wird gesagt, dass in der Schublade nicht der Zettel mit der Nummer der Schublade liegen kann ? Zufällig verteilt hieß es doch?! Und für den Fall hat der Häftling keine Anweisung gegeben und die Berechnungen würden auch zu Situation nicht mehr passen, weil in dem Moment jeder häftlich zufällig eine nächste Schublade öffnet, da keine Anweisungen?!
Wenn in der Schublade die Nummer der Schublade ist, habe wir eine Reihe von 1. Weil er dann direkt seine Nummer findet. Jeder fängt ja mit der Schublade an, welche Nummer er selber hat.
@@wambo13Berlin Wenn doch aber die Zettel zufällig verteilt sind, kann es doch durchaus passieren, dass z.B. in Schublade 1 auch die Nummer 1 ist, während in Schublade 2 eine eine 35 steht? Würde dies nicht alles hinfällig machen oder wäre es kein Unterschied sondern nur ein anderer Zyklus? Ich bin echt ne Niete in Mathe xD .. daher bitte gerne erklären, wenn ich da was nicht verstanden habe^^
@@Paselja deine Variante 1 ist ja einfach Häftling 1 "gewinnt" direkt. Fall 2 bist du dann in irgend einen Zyklus. Also Häftling 2 öffnet Tür 2 dann tür 35 etc etc. Mit Glück landet er dann innerhalb der 50 Türen bei seiner Nummer.
@@egbertkeler1244 Mahtegym schrieb bei einem anderen Kommentar zur gleichen Frage: Sicher gibt es noch andere Strategien, aber soviel ich weiß keine, die bessere Erflogsaussichten bietet. Siehe auch Wikipedia: "Eugene Curtin und Max Warshauer gaben 2006 einen Beweis für die Optimalität der Zyklusfolgestrategie an."
Wenn im 10er Beispiel die Nummer 1 bei Schublade 1 beginnt und im 5. Schritt seine Nummer in der 8 findet, jedoch im nächsten Schritt der Gefangene 8 dran kommt, findet er keinen Zettel vor. Und dann?
Ich verstehe es noch nicht ganz: Wenn K=1, dann ergibt das eine Wahrscheinlichkeit von 100% für einen Zykel mit Länge 1? Oder von einer Länge mit mindestens 1? Wenn es letzteres ist und ich setze 2 ein, dann habe ich 50% für einen Zykel mit mindestens Länge 2, was im Umkehrschluss bedeutet, dass ich zu 50% nur Zykel kürzer Länge 2 habe. Diese Zahlen ergeben für mich keinen Sinn. Was verstehe ich falsch?
du verstehst nichts falsch. Tatsächlich gilt die Herleitung für E_k nur für k>n/2. Beim Zählen der Permutationen, die einen Zykel der Länge k enthalten nach der vorgestellten Methode zählt man jede Permutation doppelt, die zwei Zykel der Länge k enthält. Der Zähler im Laplace-Bruch wird dann also zu groß. Das kann nicht passieren, wenn k>n/2 ist.
Die Wahrscheinlichkeit 1 für k=1 ist als Durchschnitt zu verstehen. Es kann sein, dass es keinen Einerzyklus gibt, oder genau einen, oder aber auch mehrere. Egal wie die Zettel verteilt werden, im Durchschnitt gibt es 1 Einerzyklus. Probier das mal mit 2 oder 3 oder 4 Schubladen usw. aus.
Ist der Startpunkt nicht egal? So könnte jeder Gefangene statt seiner eigenen Nummer auch (101 - seine Nummer) nehmen oder jede andere Regel die allen eine aufgrund ihrer Nummer definierte Schublade zuweist.
Die Rechnung kann nicht stimmen. Ich weiß vielleicht nicht wie so, aber wenn man statt 50 versuche deutlich weniger hat, stellt man fest, dass Summe über k von 1/k divergent ist und so Wahrscheinlichkeiten von über 100% möglich sind. Argumentativ würde ich sagen, dass nur was wichtiges fehlt. Nämlich, dass du nur die längsten Zyklen betrachtest von der Wahrscheinlichkeit her. Das ändert bei Zyklen länger als 50% der maximal länge nichts. Jedoch müsste bei weniger als 50% der länge und kürzer ein Korrekturfaktor dazu kommen, der das kompensiert. Ändert hier vielleicht nicht das Ergebnis, aber sehr wichtig für die allgemeingültigkeit
@@A1989012 Jain. Er hat gesagt, warum es hier kein Problem gibt. Aber die Allgemeingültigkeit leidet darunter. Also die Rechnung stimmt schon, ist nur leider ein Spezialfall. Hatte die Stelle nicht gesehen, weil nun, das gerechnet, bekomme ich auch selbst. Wollte nur mir die mühe des denkens sparen
1/k funktioniert erst ab K>50. Es braucht die Mindestzykluslänge von >n/2, denn davor gibt es die Möglichkeit zeitgleich mehrere Zyklen der gesuchten Länge im System zu haben.
Man kann sich das ganz gut mit einem System von n=3 visualisieren. Es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten die Zettel zu verteilen, damit kann man 6 1er Zyklen kreieren. Daher die 1 (6/6) bzw. 100%. Diese 6 Zyklen sind aber nicht unabhängig voneinander und treten z.B bei der Kombi 1-1 2-2 3-3 zusammen auf. Die anderen Zyklen wären: 1-1 2-3 3-2, 1-2 2-1 3-3, 1-2 2-3 3-1, 1-3 2-1 3-2, 1-3 2-2 3-1.
Ich glaube der beste Weg ist das Gegenergebnis zu bestimmen. In diesem Fall gibt es keine Möglichkeit für einen 1er Zyklus bei einem bestehenden 3er Zyklus. P(E3) = ((3 3) * 2! * 0!) / 3! = (1*2*1)/(6) = 0,33 = 2/6. (2 von den 6 möglichen Kombis haben einen 3er Zyklus). Somit ist P(E1)=1-P(E3). Also 0,66. Bei den Beispielen haben wir in 4 von 6 Fällen einen 1er Zyklus. 4/6 = 0,66. Müsste also passen.
Wenn du das als eine Art Durchschnitt verstehst, stimmt es. Wenn das Spiel in 100 Gefängnissen gespielt wird, mit jeweils zufälliger Verteilung, gibt es wahrscheinlich 100 Einerzyklen.
Mensch.. hätt ich das bloß letzte Woche schon gewusst, als man uns in der JVA Hamburg genau diese Aufgabe gegeben hat… Da soll nochmal jemand sagen man bräuchte das, was man in Mathe lernt, später nicht. Schöne Grüße von Petrus.
15:19 wie jetzt? Nach all dem Hokuspokus soll ich jetzt die Lösungsformel mit dem Taschenrechner oder ner Exceltabelle ausrechnen? Das geht jetzt nicht mehr mit Mathematik? Andererseits gibt es ohnehin eine viel einfachere Lösung, denn P(Tod)=100%, das weiß man doch auch ohne Taschenrechner...
Ist es korrekt, dass man bei der Todeswahrscheinlichkeit die Zyklen berücksichtigt, die mehr als 51 Versuche (52-100) benötigten? Ein Zyklus von 52-100 hat die Wahrscheinlichkeit 0, weil immer ab dem 51. Versuch der Test abgebrochen wird und alle Gefangenen getötet werden.
Dem Zyklus ist es egal, ob man ihn bis zum Ende anguckt oder nicht. Er existiert trotzdem mit einer festen Wahrscheinlichkeit. Diese steht schon fest, sobald der Direktor festlegt, dass er die Nummern nach dem Zufallsprinzip verteilen wird.
das Funktioniert nur wenn die Nummern der Gefangenen in der Schublade bleiben, was wäre wenn sie die Zahlen herausnehmen müssten und so der Zyklus unterbrochen wird?
@@xornxenophon3652 sicher? Man hat zwar weniger Auswahlmöglichkeiten, aber das mit den Zyklen funktioniert dann ab Spieler 3 auch nicht mehr wenn sein Zyklus unterbrochen wurde, weil er nicht weiß ob er bei 1 oder 2 weitermachen soll. Wird für die folgenden Spieler erstmal noch schlimmer bevor es dann wieder besser wird, wenn es in Richtung des mittleren Spielers geht.
Was passiert eigentlich, wenn eine Schleife bei der Reihenfolge der Zahlen vorhanden ist? Also z.B. Schublade 3 zeigt auf die 8, 8 zeigt auf 25 und 25 auf die 3.
@@klauskleber6124 Da die gefangenen immer mit der Box anfangen die ihrer Nummer entspricht würden die Boxen 3,8 oder 25 nur von den Gefangenen 3,8, oder 25 begonnen werden. Da diese ja nur aufeinander verweisen ist es nicht möglich das die Nummer nicht innerhalb dieses Loops auftaucht. Sie machen ja immer mit der Nummer entsprechend dem Zettel der letzten geöffneten Box weiter. Problematisch wird es ja nur bei loops die mehr als 50 Züge brauchen, denn erst dann haben sie verloren.
@@ElCaPixloGenau :-) Und was machen der Gefangene mit der Nummer 3, wenn er dann Lade 25 geöffnet hat? Da steht ja dann die 3 drin, welche er bereits geöffnet hat. Mit welcher Lade macht er dann weiter?
@@klauskleber6124 Wenn in Deinem Beispiel der Gefangene 3 die Schublade 25 geöffnet hat, ist er fertig, denn darin liegt ja die 3. Für jeden Gefangenen gilt: Die Schublade, in der seine eigene Nummer "drin liegt", zeigt auf die Schublade, wo seine Nummer "draußen drauf steht" und mit der er deshalb beginnt. Deshalb hat jeder Gefangene die eigene Nummer am Ende vom Zyklus. Die Frage ist nur, ist der Zyklus kurz genug.
Nach diesem Video habe ich für mich beschlossen, dass ich mich einfach an Recht und Ordnung halten, und somit gar nicht erst im Gefängnis landen werde. 😅
Der Gefängnisdirektor hat sich schlau gemacht und die Aufgabe geändert: nun muss jeder Gefangene, der seine Nummer gefunden hat, diese sofort aus der Schublade entnehmen. Was wäre nun die beste Strategie?
Achtung Anfängerfrage :-) Video 1:12 ff "Die Wahrscheinlichkeit Erfolg zu haben, ist 50%." Warum ist das eigentlich so ? Betrachtung des Falls ohne die Strategie und vorherige Absprache der Gefangenen, bei denen diese jeweils einfach irgendwelche Kisten auswählen.. Jeder der 100 Gefangenen darf 50 Kisten öffnen und nachsehen, ob die eigene Nummer darunter ist. Man könnte doch auch denken, dass der Gefangene, der dran ist, bei der ersten Kiste, die er (oder sie) öffnet, eine Wahrscheinlichkeit von 1/100 hat, dass diese seine Nummer enthält. Er im Fall, dass sie es nicht ist, diese Kiste offen lässt, dann die zweite Kiste aus den restlichen 99 auswählt und öffnet, also 1/99 an Wahrscheinlichkeit dazukommt, usw, also 1/100 + 1/99 + 1/98 + ... + 1/51 = ca. 0,688 (und nicht 0,5). Nach dem Gefangenen werden die Kisten wieder alle verschlossen und der nächste Gefangene probiert es, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass es alle 100 Gefangenen auf diese Weise schaffen, bei 0,688^100, also verschwindend gering ist (irgendwas bei 10 hoch -17) Ist die Überlegung falsch und wenn ja warum ? Und macht es einen Unterschied, wenn jeder Gefangene 50 der geschlossenen Kisten in geschlossenem Zustand auswählt und diese bei jedem Gefangenen als Ganzes geöffnet werden, bevor sie dann für den nachfolgenden Gefangenen wieder verschlossen werden ?
Wenn wir deinen Weg zuende gehen würden, würden wir spätestens bei 1/4 + 1/3 + 1/2 > 1 sehen, dass irgendetwas nicht stimmen kann. Was du nicht mit einberechnet hast ist, dass die wahrscheinlichkeit für den zweiten Fall, also die zweite Schublade nicht einfach nur 1/99 ist, sondern 1/99 unter der Voraussetzung, dass die erste Schublade nicht die richtige war, denn nur so kannst du die gesamtwahrscheinlichkeit dieses Ereignisses bestimmen. Das wären dann 1/99 × 99/100 = 1/100 (99/100 da das die wahrscheinlichkeit ist, dass die erste nummer nicht die richtige ist). Das ganze geht für alle zahlen so weiter also für die dritte Schublade 1/98 × 99/100 × (1 - 1/100) (da 1/100 ja die gesamtwahrscheinlichkeit ist, dass in der zweiten Schublade die richtige Nummer ist, ist das gegenereignis die wahrscheinlichkeit für eine falsche nummer). Das wären dann 1.0001/100. Das sind zwar immernoch keine perfekten 1/100 (Frag mich nicht warum), aber nahe dran. Für die 4te 5te und 6te schublade währen es jeweils 1.0003/ bzw. 1.0006/ bzw. 1.001/100, was den "Fehler" etwa (49+48+47...) × 0.0001% macht, also 1225%/10000, also 0,1225%. Ich komm also bei 50 schubladen bei einer gerundeten Wahrscheinlichkeit von 50.1% raus. Theoretisch könnten wir auch am Anfang die wahrscheinlickeit bestimmen und sagen, dass durch die zufällige verteilung jede schublade die wahrscheinlickeit 1/100 hat die gewünste zahl zu haben und dann hätten wir wie im video 50 × 1/100. Ich wollte nur nen cooleren kommentar schreiben, und wollte es rechnerisch zeigen, aber hab wohl selber irgendwas falsch gemacht. Ich hoffe ich konnte trotz unzufriedenstellendem Rechenergebniss hilfreich sein.
Hi @@christinez.9504 Ja, die Gesamtwahrscheinlichkeit darf natürlich nicht über 1 sein, wenn man alle Kisten öffnen dürfte, und ist sie ja auch nicht. Ich habe es mal auf 4 Kisten verkürzt. Dann kann der Gefangene 2 mal eine Kiste auswählen, um seine Rückennummer zu ziehen. Bei der 1. Kiste hat er eine Wahrscheinlichkeit von 1/4 für einen Treffer und 3/4 für eine Niete. Seine Rückennummer muss im Fall einer Niete dann in den 3 noch verschlossenen Kisten sein. Bei der 2. Kiste ergibt sich dann mit Pfadregel 3/4 mal 1/3 für einen Treffer, was wieder 1/4 ist und somit eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 50% bei 2 erlaubten Kistenöffnungen. Das war natürlich in meiner Frage Blödsinn.
Hat mich auch umgehauen wie man mithilfe der Kombinatorik so einen sprung machen kann. Ich frage mich ob es eine andere strategie gibt die eine höhere lebenswahrscheinlichkeit verspricht. In anderen worten: Kann man es beweisen dass 31% die höchste lebenswahrscheinlichkeit ist die man erzielen kann?
Mahtegym schrieb bei einem anderen Kommentar zur gleichen Frage: Sicher gibt es noch andere Strategien, aber soviel ich weiß keine, die bessere Erflogsaussichten bietet. Siehe auch Wikipedia: "Eugene Curtin und Max Warshauer gaben 2006 einen Beweis für die Optimalität der Zyklusfolgestrategie an."
Wenn wir das ganze auf zwei Gefangene kürzen, dann ist die Wahrscheinlichkeit dass die "1" unter den ersten 50 Schubladen ist, doch 50% = 0.5, oder? Dass die "2" dann unter den ersten 50 Schubladen ist, ist minimal wahrscheinlicher 50/99 = 0,51. Da für das Überleben beide positiven Fälle eintreten müssen, ergibt sich das aus 0.5*0.51 = 0.255. Mit jedem weiteren Gefangenen sinkt die Wahrscheinichkeit weiter.
nein, da die Schubladen, die gezogen wurden ja nicht entfernt werden, sondern einfach wieder geschlossen. Deine Rechnung würde stimmen, wenn man die Schubladen entfernen würde. Dann wäre die Überlebenschance massiv höher.
@@sanderiten Nein, meine Wahrscheinlichkeiten beziehen sich auch auf die geschlossenen Schubladen. Sonst wären ja nach zwei Durchgängen alle Schubladen offen und die Wahrscheinlichkeit = 1
Du bist IMMER in einem Zyklus. Länge 1 ist der kürztmögliche,, 100 der längstmögliche. Wenn ein Zyklus länger als 50 ist, haben die Gefangenen keine chance mit der strategie. Wenn der erste Gefangene es aber geschafft hat, dann gibt es ja schon einen Zyklus der kürzer als 50 ist und Gefangen die drinnen sind, haben es automatisch geschafft. Die übrigen haben gleichzeitig eine höhere Chance in einem zyklus kleiner 50 zu landen, weil der erste Zyklus schon von den 100 abgezogen wird denn Keine Zahl kann in zwei zyklen gleichzeitig auftauchen
Du landest immer in einem Zyklus mit Deiner Nummer am Ende. Der Zyklus kann jede Länge zwischen 1 und 100 haben. Wenn kein Zyklus > 50 existiert, gewinnt man und wenn doch, dann nicht.
Genau die Frage habe ich mir auch gestellt, bei 4 Zyklen zu 25 Nummern ist die Überlebenswahrscheinlichkeit trotzdem nur 50% für einen Gefangenen. Geschweige denn für alle Gefangenen. Die 31% bezieht sich ja nur auf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Todeszyklus vorhanden ist. Nicht dass der Gefangene überlebt, dass hängt auch von den 99 anderen ab.
Das lässt sich z.B. wie folgt beweisen: Beginnt man bei der Schublade mit der Nummer des Gefangenen und folgt dann dem Zyklus (aber ohne die Bedingung maximal 50 Schubladen zu öffnen, weil wir den gesamten Zyklus durchlaufen wollen), wird man irgendwann zum ersten Mal eine Schublade das zweite Mal öffnen müssen, weil es nur endlich viele Schubladen gibt. Die Nummer dieser Schublade nennen wir N. Wäre N *nicht* die Nummer des Gefangenen, müsste sowohl direkt vor dem ersten als auch direkt vor dem zweiten Öffnen die Schublade mit dem Zettel mit Nummer N darin geöffnet worden sein, denn es gibt nur eine solche Schublade. Dann wäre Schublade N aber nicht die erste gewesen, die ein zweites Mal geöffnet wird, was ein Widerspruch zur Wahl von N ist. Also muss N die Nummer des Gefangenen sein und die Schublade mit dem Zettel mit der Nummer des Gefangenen wurde einen Schritt vor dem zweiten Öffnen von Schublade N geöffnet. Also ist die besagte Schublade Teil des Zyklus.
Wenn Gefangener Nr. 9 die Schublade 9 öffnet, wird er darin aber keinen Zettel mehr vorfinden, woher weiß er dann, welche Schublade er als nächstes öffnen soll?
Warum sollte er keinen Zettel mehr haben? Gefagene 9 oeffnet Schublade 9 und nimmt den Zettel 9. Er hat gewonnen. Aber insgesamt ist das ein Einer-Zyklus und somit schlecht fuer die anderen und sie werden alle sterben :(
Alle Zettel werden zurück gelegt und die Schubladen geschlossen. Jeder findet das Experiment unverändert vor (ausgenommen der Fingerabdrücke der vorigen Dissidenten auf den bereits geöffneten Schubladen).
@@artieschmidt3039Nein?! Beim Einerzyklus geht das Experiment doch weiter. Und diese sind überhaupt so unwahrscheinlich, dass sie die Wahrscheinlichkeit eines 51-Zyklus nicht erheblich vergrößern dürfte.
Kann mir jemand erklären warum die Strategie funktioniert? Ich verstehe das überhaupt nicht. Mann doch nicht nur weil man das Fach öffnet auf dem die gleiche Nr. wie auf meinem T-Shirt steht?? Das ändert doch nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zahlen?? Ich gewinn ja auch nicht mehr wenn ich ins Casino gehe mit einem T-Shirt auf dem die 23 stgeht und dann spiele ich die 23 und gewinne öfters??
Beim ersten Gefangenen macht es noch keinen Unterschied. Aber wenn er mit der Methode erfolg hat (50:50 chance), erhöht sich die chance für alle anderen, weil die Zettel zufällig für die Methode Günstig verteilt sind (es darf kein Zyklus länger als 50 sein) und die anderen können das ausnutzen. Das geht so weit, dass wenn die ersten 20-30 durch sind, wird der rest es fast 100% auch schaffen.
versteh ich nicht. denn die prämisse wird nie erwähnt das die schublade danach weg ist. oder sogar der zettel entfernt wird. dh alle folgen dem gleichen pfad dh 50 leute werden zu 100 % nicht ihre nummer finden können@@mercilesswombat6872
@@p.alterego3424die schubladen und Zettel werden auch nicht entfernt und die Fächer werden auch unverändert wieder geschlossen. Aber wenn zum beispiel der gefangene 1 zuerst 1 öffnet und darin 6 liegt, dann öffnet er i6 und darin liegt zb. 3, dann öffnet er 3 und darin liegt 1. dann hat er es geschafft. und 3 und 6 werden es 100% auch schaffen, wenn sie auch die Methode verwenden. Weil 3 öffnet 3, darin liegt 1 dann öffnet er 1, darin liegt 6, dann öffnet er 6 und da liegt 3 - der gleiche zyklus wie beim ersten, der inhalt der Fächer ändert sich ja nicht. Wenn der erste es geschafft hat werden ALLE die nummern, die er auf dem weg gefunden hat es auch schaffen, weil die zahlen den gleichen Kreis bilden.
Nur mal ein paar noch unsortierte Gedanken: - Beim Rechnen mit sehr großen Zahlen ist es wegen ihrer Kommutativität irgendwann nicht mehr egal, in welcher Reigenfolge man rechnen (oder hier Lose zieht). Die „Möglichkeiten“ sind nicht alle „gleich wert“. Man kann sogar leicht beweisen, dass z.B. ∞-∞ die Zahl π ergibt; und auch jede beliebige andere Zahl, die man will. - Wenn hier alle vollkommen erratisch wählen, dann werden doch gewisse Zahlen immer häufiger gewählt, als andere. Z.B. suchen Kandidaten Zahlen von 1-30 und 1-12 häufiger, wenn sie nach Geburtstagen wählen oder solche in der Mitte eher, als Gast am Rande. Wenn ich mich jetzt nicht vertan habe, beträgt allein die Wahrscheinlichkeit, dass sich die 12 Monate der Reihe nach auf den Positionen 1-12 befinden, 88! : 100! ≈ 2x10^-24 also praktisch null. Die Strategie taugt also nicht. - Beim erratischen Wählen werden manche Zahlen nie und andere häufig gewählt. Es ist also nichtmal gleich wahrscheinlich, dass jeder dieselbe Chance hat, sich zu finden. Es ist bereits überaus unwahrscheinlich, dass fast 100 Kandidaten überhaupt wählen können, sehr oft dürfte das Experiment bereits nach wenigen Versuchen gescheitert sein. - Die vorgestellte Methode garantiert überhaupt erstmal, dass es gute Chancen gibt, dass fast jede Zahl gleich oft gezogen wird, weil sie entweder allein steht, oder exklusiver Teil eines bestimmten Zyklus ist. Im Video ist es etwas unglücklich dargestellt, dass bereits der erste Zyklus 50 Zahlen umfasst und die 1 dabei sei. Tatsächlich hat bereits der erste Kandidat aber auch die Chance von 1:2 heraus zu fliegen, die Chance #1 hinter Tür 1 zu finden nur 10^-158 aber wenn er erratisch wählte, 1:100. Mathematisch passieren bei großen Zahlen und deren Wahrscheinlichkeiten verrückte Dinge.
Ist doch simpel, es braucht nur 4 Gefangene die jeweils 25 Schubladen öffnen und schon sind alle 100 Schubladen offen, dann kann jeder Gefangene seine Nummer suchen da er ja keine Schubladen mehr öffnen muss. Von lesen oder wieder schließen war nie die Rede.
@@SchlaWiener123 Die Anleitung ist im mathematischen Sinne korrekt. Wenn man mathematische Probleme löst, dann sollte man schon wissen, dass Trivialfälle auszuschließen sind. In einer Matheklausur könntest du sonst auch schreiben "Der Gefängnisleiter darf sowas gar nicht stellen" und fertig ist das Problem. Simpel ist hier nur dein Horizont.
Ich versteh das ganze nicht wirklich. Es ist ja nicht garantiert dass ein Gefangener auch im Zyklus seiner Zahl ist. Beispiel: Er macht die 1 auf, darin ist die 3, darin die 5, darin die 7, darin die 9 und darin wieder die 3. Jetzt ist er in einem anderen geschlossenen Zyklus gelandet, was macht er dann? Oder hab ich da was nicht verstanden? Also was macht denn Gefangener 1 Dann? selbst wenn er jetzt woanders weitermacht in der Hoffnung auf seinen Zyklus zu kommen. Anscheinend stimmt es ja schon, nur die Erklärung hat diese Frage für mich nicht geklärt.
Was zum Video noch ergänzt werden sollte, um Missverständnisse zu vermeiden:
(1) Die Gefangenen dürfen während des Experiments in keinster Weise kommunizieren, insofern werden auch alle Schubladen stets wieder mit demselben Inhalt geschlossen.
(2) Die im Video ermittelte Wahrscheinlichkeit von E_k (Zyklus der Länge k) trifft nur zu, wenn k größer als 50 ist ("böser Zyklus"), denn nur in diesem Fall kann ein zweiter Zyklus derselben Länge ausgeschlossen werden.
Ich scheine in meiner Exceltabelle die nach der Anleitung im Video gemacht habe einen Fehler zu haben da ich in der Summe 0,5496... bekomme, was für P(leben) ca 45% bedeuten würde. Was mache ich denn falsch?
Wenn der 1. Gefangene 49 Türen geöffnet hat und seine Zahl nicht dabei war, sollte er den zweiten weitermachen lassen. Der sollte aber nur 48 Türen öffnen. Hat auch er keinen Erfolg, kommt der dritte an die Reihe mit maximal 47 Türen. Am Ende bleiben dann z.B. 39 Gefangene übrig, die ihre Zahl noch nicht gefunden haben. Dann fängt erstmal derjenige an, der noch die meisten Versuche übrig hat. Natürlich hört er spätestens dann auf, wenn er nur noch einen Versuch übrig hat. Dann kommt irgendwann der Gefängnisaufseher und sagt: Das dauert mir hier alles zu lang. Ich mach jetzt Feierabend. Wenn ihr bis morgen nicht fertig seid, habt ihr auch verloren. In der Nacht versuchen die Gefangenen zu schummeln, aber sie haben kein Licht. Also machen sie ein Feuer aus dem Schrank. Als die Feuerwehr eintrifft um den Brand zu löschen, nutzen die Gefangenen ihre Chance und fliehen. Der Aufseher des Gefängnisses ist sehr sehr wütend und nimmt nächstes Mal einen Schrank aus Plastik.
Es sind keine weiteren Absprachen erlaubt.
Aufhren und einem anderen sagen, dass er weitermachen soll ist eine Absprache.
@@VirtuelleWeltenMitKhan Aber aufhören und zu warten bis jemand die Geduld verliert fällt doch nicht unter Kommunikation oder?
@@shelnack1 Bei solchen Rätseln leider schon.
Im Grunde darf man nichts, außer das was explizit erlaubt wurde.
Das ist wie das Rätsel mit 100 Gefangenen und einer Lampe.
Da darf man auch nicht die Temperatur nutzen, oder die Lampe zerstören und das Glass, nur an oder aus, das war es.
Die Rätsel müssen so stark eingeschränkt werden, weil sonst die Lösungen viel zu einfach wären.
Der brennt aber wahrscheinlich auch 😅
@@VirtuelleWeltenMitKhan Spielverderber 😅 ich finds lustig 😹
Gefängnisdirektoren hassen diesen Trick
Cooles Rätsel und auch sehr gut und logisch erklärt!
Seltsamer Gefängnisleiter... aber eine tolle mathematische Idee!
also ja, mich hat's auch umgehauen! Tolle Sache, vielen Dank!
Sehr interessantes Problem. Trotz deiner guten Erklärung habe ich trotzdem etwas gebraucht, das zu verstehen. Folgende Sätze haben mir geholfen:
1.) Da die Schubladenzahl endlich ist und jede Nummer genau einmal vorkommt, ist jede Zahl Teil eines Zyklus. (Beweis: Spätestens in der 100. geöffneten Schublade muss ja die Nummer der ersten geöffneten Schublade sein)
2.) Beginnt man mit Schublade k muss k auch in genau diesem Zyklus auf einem Zettel vorhanden sein. (Beweis: Sonst wäre es kein Zyklus, Widerspruch zu 1.) )
Nicht erklären konnte ich mir aber, warum es bei der Kombinatorik immer um Leben und Tod gehen muss. Warum nicht einmal "100 Kandidaten haben die Gelegenheit gemeinsam 1 Mio € zu gewinnen, wenn sie folgende Aufgabe lösen..."
Dein Punkt 2 war das was mir fehlte
Danke
@@edwinschulz481o
Ja, man könnte in der Aufgabe vielleicht was mit Klimaschutz unterbringen 🙄
Wir könnten das ja mit russischen Rekruten machen, das wäre näher am Zeitgeschehen☺
"Wollt ihr die gute oder die schlechte Nachricht zuerst?" (Dieser Mann unter den Gefangenen.)
Solange die Regeln nicht klar formuliert sind, ist die Ausführung der Aufgabe ohnehin müßig.
Die wirkliche Herausforderung als vermutlich einiziger so schlauer Gefangener wäre wohl, die anderen von dem System zu überzeugen. Und nachdem man das dann in jahrelanger Arbeit hinbekommen hat, schlägt dann doch das 69%-Pech zu. Ich bin mir nicht sicher, ob man in dem Fall von verschwendeter Lebenszeit reden kann :)
und dann kommen noch die Kommentare mit "Danke für den blöden Plan" kurz vor der hinrichtung ...
Immerhin hat man dann länger gelebt, als bei sofortiger Hinrichtung.
Fun fact:
Der Gefängnisdirektor hat geschummelt und einfach die Nummer eines Gefangenen weggelassen...
Man muss noch die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass man jeden überzeugen kann. Gehen wir mal davon aus, dass die Chance pro Kopf bei 50:50 steht ... Ne Scherz, aber wenn es insgesamt 98 wären die danach handeln und 2 nicht, wäre das zumindest mal eine Steigerung. Kann das bitte jemand ausrechnen? 98 nach dem Prinzip, 2 random.
@@chipandchap100 Die Wahrscheinlichkeit für einen tödlichen Unfall der zwei "Abweichler" ist sehr hoch, würde ich sagen...
Nach einer kurzen Simulation gehen die Wahrscheinlichkeiten auf 31.16% Überleben und 68.83% Tod zu. 1 Millionen Runden mit 100 Gefangenen geben diese Werte.
Wie kann man sowas simulieren?
@@saschasporrer Monte Carlo Experiment / Simulation. Einfach das Modell definieren (aufstellen, hier besteht wahrscheinlich deine Schwierigkeit) und mehrfach durchlaufen lassen. An sich kannst du das auch mit Excel machen.....
@@saschasporrerDa gibt es Programme für. Kein Mathematiker stellt sich heute noch mit Kreide vor ne Tafel. ;)
Die Programme benötigen 'nur' eine Definition der Aufgabe und rechnen dann alles beliebig oft durch. ...mal so einfachst erklärt.
man könnte aber auch auf eine stabile 50% Überlebensrate gehen wenn alle nur die ersten 50 Kisten öffnen.🤔
@@Jay-eben Die Wahrscheinlichkeit das die dann überleben = 0 , Es gibt 100 Gefangene. Mit dem öffnen der ersten 50 immer werden die immer sterben.
Auf die Idee, so ein Problem zu formulieren, kommt man, wenn man die Zerlegung von Permutationen als Produkt von Zyklen behandelt. Aber der umgekehrte Weg vom Problem zu den Zyklen ist wesentlich schwieriger.
Wenn eine erfolgreich vergebene Tür aus dem Pool der wählbaren Türen ausscheiden würde, hätte ich eine weitere Strategie.
Alle Gefangenen öffnen reihum Tür 1. Wenn Tür erfolgreich vergeben wurde öffnen alle übrig gebliebenen Gefangenen reihum Tür 2. usw.usf.
Auch hier darf keiner(!) der Gefangenen mehr als 50% der Türen öffnen, i.d.F. nicht mehr als 2 Türen.
Ich habe bei 4 Türen und 4 Gefangenen alle Kombinationen durchprobiert:
Es waren 16 schlechte Kombinationen und 8 gute. Also eine saubere Erfolgschance von 1/3 !
Bin erstaunt wie nah man an dieses Optimum kommt ohne dem Ausscheiden von Türen. kudos an Laplace und Respekt für das gut erstellte Video.
Nicht schlecht :-)
Ich dachte allerdings erst, die Schubladen dürften offen stehen bleiben und alle 99 bzw. Die restlichen dürfen jeweils zugucken. Das würde natürlich die Chancen nochmal erheblich verbessern. Aber ja: die hiesige Lösung mit "echter" Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eigentlich herrlich klar.
Hat Spaß gemacht und war informativ!
Oh Man,
wenn ihr das beim Kiffen schaut, kommt das unheimlich gut.
Egal, auch wenn ihr es nicht versteht, was zählt ist die Fakulität.
Vor allem, wenn es in den Todeszyklus geht.
Was für ein Ding?🤭
Bruder 😂
Mich verwirrt das mit dem Zyklus. Waren da auch Frauen unter den Gefangenen?
Geil😂😂😂, So hat Lauterbach bei Corona gerechnet
Ein tolles und knackiges Video. Eine Frage: Ist bekannt, ob es noch eine bessere Überlebensstrategie, also ein Verfahren mit kleinerer Todeswahrscheinlichkeit gibt oder überhaupt geben kann?
Genau das würde mich auch interessieren
Laut Wikipedia: Eugene Curtin und Max Warshauer gaben 2006 einen Beweis für die Optimalität der Zyklusfolgestrategie an. Der Beweis basiert auf der Herstellung einer Äquivalenz zu einem verwandten Problem, bei dem sich alle Gefangenen in dem Raum aufhalten und die Auswahl der Schubladen beobachten dürfen. Diese Äquivalenz beruht auf einer Korrespondenz zwischen der (normalisierten) Zyklenschreibweise und der Tupeldarstellung von Permutationen. In dem zweiten Problem ist die Erfolgswahrscheinlichkeit unabhängig von der gewählten Strategie und gleich der Erfolgswahrscheinlichkeit beim Ausgangsproblem mit der Zyklusfolgestrategie. Nachdem eine beliebige Strategie beim Ausgangsproblem auch in dem zweiten Problem eingesetzt werden kann, dort aber keine höhere Erfolgswahrscheinlichkeit besitzt, muss die Zyklusfolgestrategie optimal sein.
Also nein, dies ist die optimale Strategie.
@@doppelplusungutmensch1141 Danke für den Hinweis
@@doppelplusungutmensch1141 Es würde bereits daran scheitern, dass sich niemand so viele Schubladen samt Inhalt merken könnte 😅
@@culnaurion Muss er doch nicht. Man muss sich nur die Zahl einer einzigen Schublade merken, nämlich die, die man gerade geöffnet hat, um dann die Schublade mit der entsprechenden Nummer zu öffnen.
Wahrscheinlichkeitsrechnung macht am meisten Spass mit Monte-Carlo-Simulationen. Man programmiert das Problem einfach als Spiel nach und lässt es eine Million mal laufen. Da könnte man sich auch noch andere Strategien leicht ausdenken und in Sekunden feststellen wie gut die ist
Ja, auch wenn man das Problem erst noch in Code übersetzen muss, das dauert etwas mehr als wenige Sekunden ^^
Ob sich der Gefängnisdirektor auch die Gedanken machte die Zettel nach einem Zyklussystem einzulegen bezweifle ich sehr.
Vielleicht war er so gemein und legte diese Wisch einfach nur in eine Hälfte des Schrankes. 😂
@@melonenlord2723 das Grundgerüst ist aber immer dasselbe: Zufallszahlen generieren, dann die Formel anwenden und das Ergebnis speichern, damit man alles z.B. in einem Histogram darstellen kann oder eine einfache Statistik machen kann (wie Durchschnitt oder Standardabweichung).
Naja hier ist es, sofern man die Idee mit den Zyklen hat, einfache Wahrsscheinlichkeitsrechnung. Dafür brauchst du keine Simulation. Möchtest du aber erst einmal das Problem lösen, ist es gut Strategien zu simulieren.
Aber spätestens bei der Optimalität der Entscheidungsregel hast du durch die Größe des Entscheidungsraums hier bei n=100 Probleme dies durch Simulation nachzuweisen 😉
@@thebasketno5286 Wenn es nur ineffiziente Methoden gäbe, die die Wahrscheinlichkeit kaum beeinflussen, dann wird es auch schwer hier, weil die Chance ja nahezu 0 war wenn rein zufällig. Da wären auch nach 10 Mio Versuchen höchst wahrscheinlich 0 Treffer gewesen. Also dann hat man mit Simulieren wirklich schlechte Karten
Mathe is' schon geil 💪
Schönes Rätsel und gut erklärt. Danke!
Bei 2:10 fehlt der Hinweis, was mit Gefangenenem #2, #3 usw. ist.
Die sollen dann offenbar bei der Schublade 2, 3 usw. anfangen.
Ja genau, nur dann funktioniert das. Sie können sich ja später nicht mehr darüber austauschen, also muss vorher eine Strategie klar sein, wo am Ende eben nicht jeder womöglich mit der 1 anfängt. Also fängt jeder mit seiner Nummer an.
Der wichtige Teil ist nicht, dass jeder mit einer anderen Nummer anfängt. Durch das Starten an der Schublade mit der eigenen Nummer garantiert man (was auch für die Berechenbarkeit später wichtig ist), dass die eigene Nummer auch im Zyklus enthalten ist.
Kleines Beispiel: Man einigt sich vorher auf eine gleichmäßige Zufallsverteilung der Startschubladen, sodass jede Schublade genau einmal als Startschublade genommen wird. In Schublade 1 liegt die Zahl 1. Wenn nun der Gefangene 1 mit einer anderen Schublade startet, wird er niemals seine eigene Nummer ziehen können, da er zum öffnen der Schublade 1 ja die Nummer 1 ziehen müsste(welche aber nur in der Schublade 1 liegt). Ebenso kann der Gefangene x (x ungleich 1), der mit Schublade 1 anfängt seine Zahl nicht finden, da er nur von 1 zu 1 gehen würde.
Richtig, jeder Gefangene öffnet zuerst die Schublade mit seiner eigenen Nummer. Die Nummer die da in dieser Schublade liegt, das ist die nächste Schublade, die geöffnet werden soll. Und so immer weiter.
Genau, das ist der wichtigste Punkt der Im Video nicht angesprochen wurde 😜
@@jaccaro Doch es wird gesagt, dass jeder mit der eigenen Nummer starten soll.
So ist garantiert, dass immer eine andere Nummer als erstes genommen wird.
Toll gerechnet!
Aber welche Schublade muss der erste denn nun öffnen? Was muss er konkret machen um das errechnete umzusetzen?
Die Schublade mit seiner Nummer.
Gefangener Nr. 1 öffnet Schublade 1.
Super Analyse und ein erstaunlicher Effekt auf die Chance...
Habe das Problem gleich mal in Python-Script nachgestellt, und habe das mal eine Zeit lang als Schleife laufen lassen.
Nach ein paar Mio Durchgängen bin ich auf ca. 29,5% Überlebenswahrscheinlichkeit gekommen.
Warum ich auf einen niedrigeren Wert gekommen bin, verstehe ich noch nicht ganz.
Auf ausreichend hohe Entropie des RND-Generators habe ich geachtet....
Trotzdem lustig sich mal nach Jahrzehnten mal wieder mit einem kleinen logischen / mathematischen Problem zu befassen 🙂
Grüße
Ich habe das in Java geschrieben mit 1 000 000 Durchläufen und komme immer auf ~31,1...% bzw. ~31,2...%
Sehr interessant!
Am „lustigsten“ fände ich 2 Zyklen von jeweils 50. Dann kämen alle frei, aber der ein oder andere wäre schon an einem Herzinfarkt gestorben, als er bei Schublade 45 oder 48 war.
Sind einem Permutationen und vor allem deren Zyklen bekannt, erleichtert das das Verständnis dieser kleinen Lektion ungemein.
Mega. Dankeschön
Eine geniale Wahrscheinlichkeitsberechnung!!!
was ist wenn die wärter einfach, in jedem fach die zahl des nächsten fach packen ? bsp. in fach 1 ist die zahl 2 , in fach 2 ist dann die zahl 3. im letztem fach ist dann die 1. oder hassen die häftlinge diesen trick ?
Bor genial das erinnert mich an der Quiz Show mit den 3 Türen und das ein Wechsel seiner Tür die Chance statistisch erhöht als bei der Tür zu bleiben
Interessant ist auch wie bei der Methode hier die 1 zu 100 chance aufgehoben wird das seine Nr im gleichen Kästchen liegt
Was ich mich Frage ist wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das eine ungerade Zahl in einem Kästchen mit ungerader Nr liegt ?
Von 1 bis 100 gibt es 50 gerade und 50 ungerade zahlen
Wenn also alle die eine ungerade Zahl haben nur ungerade Kästchen ziehen und
die mit gerader Zahl gerade Kästchen ziehen hat jeder 50% changse?
Genau, jeder hat eine 50%-Chance, was genauso gut oder schlecht ist, wie wenn er ganz zufällig zieht. Es bleibt dann bei einer Überlebenschance von 0,5^100.
@@Mukkefuck1990
Achso vielen Dank für deine Antwort da ist die andere Variante um Vielfaches besser mit 30% für die Gruppe
Das ist die Theorie... im echten Leben zieht der 2. Gefangene, Günther, 47, direkt einen 77iger Zyklus und das wars für die Truppe.
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Danke, sehr gründlich und gut erklärt, Viele Grüße
Im echten Leben gibt es keine Kästen mit den Nummern aller Gefangenen, die diese öffnen sollen.
Günther halt.....
Musste hart lachen
cool !
Spontan würd ich sagen jeder Gefangene öffnet reihum jeweils eine Schublade.
Es besteht ja eine Chance von 1 zu 100 seine Nummer zu finden.
Nach einem Durchgang mit 50 x 1 zu 100 geht es genauso reihum weiter. Mit jeder gegundenen Nummer erhöht sich natürlich die Chance.
Das wäre quasi eine Zahlenreihe mit von 1/100 + 1/99 + ...1/51. Die Wahrscheinlichkeit ist dann deutlich höher. Aber die Bedingungen sind andere (jeder Nacheinander, Schubladen mit gefundenen Zettel bleiben offen).
Das ist mir hier alles zu gewalttätig. In der Grundschule musste ich noch ausrechnen, wer wie viele Äpfel bekommt. Jetzt geht es plötzlich um Leben und Tod. 😮
Cool
Irgndwoher kenne ich die Strategie mit "öffne das Fach mit deiner Nummer und dann immer das Fach mit der Nummer welche Du zuletzt gefunden hast".
Mir fällt aber absolut nicht mehr ein wo ich das mal hatte. Vermutlich Studium?!
An die Zyklen und die Berechnungen dazu kann ich mich auch noch erinnern.
also ich kenne das von einem Veritasium video
1:48 Nein, das ist der reine Hohn!
Rainer Hohn ist mein Homie👍
ist das auf Glücksspiel übertragbar? (zum eigenen Vorteil?)
Na klar! Das ist ja das Schöne an der Wahrscheinlichkeit! Hier wurde ja auch nur gezeigt, welche die günstigste (!) Strategie zum Überleben ist. Die Chance liegt ja immer noch nicht bei 100%.
Oder so: Wenn du nie spielst, liegt die Chance zu gewinnen bei 0. Wenn du aber unendlich mal spielst liegt sie bei 100%. Der Rest ist einfach: Der Lottobetreiber behält 50% der Einnahmen und ist damit statistisch auf der sicheren Seite.
Statistische Geheimtips sind also:
- unendlich mal spielen
- oder soviel Lottoscheine ausfüllen (und bezahlen) wie es Gewinnmöglichkeiten gibt.
Wenn Du Familienplanung als Glücksspiel betrachtest, dann schon. Denn da gibt es (im Unterschied zu Lotto und Roulette) auch Zyklen ...
@@thendamosob der Geldbeutel von einem selbst da mit macht…😂🤔
@@dyorre5241 Naja, liegt ja an der Füllmenge...
Nein.
Sonst würden Casinos nicht so viel Geld verdienen.
Einzig als Kartenzähler beim Blackjack hat man eine kleine Chance die Bank auszunehmen.
Der unrealistische Teil ist der an dem irgendein Knastbruder das überhaupt wusste und kurz mal in Kopf durchgerechnet hat. 😂
Wieso, auch Mathematiker, Informatiker oder gern auch Physiker sitzen im Knast.
Nur, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daß Mathematiker da im Knast sitzt?
Die schubladen (also die wo nicht den zahl der gefangener enthält) werden aber wieder zugemacht, oder? Weil darüber war ja keine rede. Oder habe ich es überhört?
@@miloszforman6270
Naja, also damals in mathe unterricht wenn man etwas vergessen hat bei der lösung, gab es punkteabzug.
Die aufgaben waren auch relativ detailreich erklärt.
@@miloszforman6270 klar nicht für den Lehrer, die haben meistens penibel auf die Formulierung geachtet.
Sollte der Schüler doch ein Fehler feststellen können, gab es dann einen Pluspunkt für die Wachsamkeit.
Es steht an Anfang nicht fest, dass eine Schublade nicht ihre eigene Nummer enthalten darf. Der Gefängnisleiter scheint übelwollend zu sein; wie viele Möglichkeiten hat er, "tödliche" Verteilungen zu arrangieren?
Da er das System nicht kennt, bzw. Nicht weiß ob die Gefangenen es Anwenden keine. Sie könnten immer riesen Glück haben.
Naja, aber wenn in der Schublade 70 die 70 ist, ist es doch optimal. Denn diese öffnet ja nur der Gefangene Nr. 70.
Beim ersten Fallbeispiel geht es ja schon nicht auf. Hier wird auf zehn Schubladen runtergebrochen, womit der Gefangene auch nur fünf Schubladen in Relation öffnen dürfte. Die „1“ hätte er jedoch erst beim Öffnen der sechsten Schublade erblickt, welche er gar nicht mehr hätte öffnen dürfen.
Die Reihenfolge der geöffneten Schubladen ist doch 1 -> 8 -> 3 -> 5 -> 9. Genau hier in der fünften Schublade findet er seine Nummer 1.
wieso? Dir ist doch in der fünften geöffneten Schublade drin.
@@piabackhaus3281
Und wenn dort statt der 1 die 7 liegt?
Ich dachte zuerst, was, wenn der Gefangene einen Zyklus bekommt, der seine Nummer nicht enthält, geht er dann zu einer anderen Nummer? Aber damit es ein Zyklus ist, muss ja der letzte Verweis auf die erste geöffnete Schublade verweisen, die ja genau die ist mit der Nummer des Gefangenen, d.h. die letzte Schublade enthält die Gefangenennummer.
Nicht unbedingt! Sicher enthält die letzte Schublade des Zyklus spätestens die Nummer des Gefangenen. Die Frage bleibt allerdings: Reichen dafür 50 Versuche aus? Siehe K > 50!
@@MusikPiratCH Es ist jedenfalls wohl die Strategie mit der höchsten Erfolgsqoute. Würde jeder zufällig Schubladen öffnen, ist die Niederlage quasi gewiss, da 1/2^100 bzw. in 1 von 1.2676506e+30 Versuchen.
Sehr nice!
Wo bekommt man bitte solch ein riesiges Rasterpapier her? ^^ Tolles Video
Ach, das ist ein Whiteboard! Überraschend
@@verluxath ja, es hat sich ne Menge getan seit 1920.
@@orangmakan 😂🙂
Ich glaube, der gezeigte Mathematiker ist nur außergewöhnlich klein und er schreibt auf ein normal großes DIN-A4-Blatt.
@@09Lenja Das lässt sich besser nachvollziehen, als so ein großes Blatt. 👍
Wow. Jetzt frage ich mich gerade. Sollte der 1.Gefangene, wenn er die ersten 49 Schubladen nach dieser Taktik göffnet hat, bei der Taktik bleiben, oder erhöht er seine Wahrscheinlichkeit, wenn er jetzt zufällig zieht. 🤔Ist mir aber gerade zu hoch um das auszurechen. 😊 Aber Danke für das interessante Video.
Die Wahrscheinlichkeit für einen genau 50 langen Zyklus ist nicht unerheblich, raten führt halt zu extrem niedrigen Wahrscheinlichkeiten bei so einem Problem. Also besser die Taktik beibehalten.
Und sollte sein Zyklus größer als 50 sein, werden die nächsten mind. 50 weiteren auch beim letzten raten müssen, die senkt die Wahrscheinlichkeit extrem, fast wieder gegen 0. Es werden alle dann sterben.
Naja, wenn der erste verkackt, muss gar niemand mehr ziehen. Somit stellt sich dieses Problem nur, wenn es einen Zyklus von mehr als 50 Zahlen gibt.
Sehr interessant.
Die Wahrscheinlichkeit, dass 100 Gefangene einer Idee eines einzelnen Folgen, die sie selbst nicht kapieren, ist ziemlich gering.
Berechnung der Wertes mit Java:
double p=1d;
for(int i =51; i
Mit qalc (Kommandozeilenversion von Qalculate!) geht das so:
Eingabe:
qalc "1-sum(1/x;51;100"
Auagabe:
1 − sum(1 / x; 51; 100) ≈ 0,3118278207
bash script wäre gut, dann müsste man nicht extra Java installieren ;)
Oder in PowerShell zum direkten Kopieren (für Windows):
$sum=0; for ($i = 51; $i -le 100; $i++) {$sum += 1 / $i}; 1-$sum
Was ist, aber wenn nach jedem, die Zettel in den Kästen wieder hineingelegt werden in zufälliger Abfolge.
Erhört das nicht die Wahrscheinlichkeit, das auch mindestens einer am Ende die Niete zieht?
Ab 5:50 ist dann keine zufällige Verteilung, sondern eine gezielte finde ich.
Dann wäre man wieder bei (1/2)^100.
Für einen einzelnen Gefangenen ist die Chance, den Zettel mit seiner Nummer zu finden, immer 1/2, was man wie folgt sehen kann. Egal nach welcher Regel der Gefangene Schubladen öffnet, die Nummer auf dem Zettel in der N-ten geöffneten Schublade kann jede der noch nicht vorgekommenen Nummern sein und alle diese Nummern haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Da er die Hälfte der Schubladen öffnen darf, ist die Wahrscheinlichkeit 1/2, dass er dabei seine eigene Nummer findet.
Wird nach jedem Gefangenen die Verteilung der Zettel neu und zufällig gewählt, haben alle Gefangene unabhängig voneinander eine Erfolgswahrscheinlichkeit 1/2. Daraus ergibt sich eine totale Erfolgswahrscheinlichkeit (1/2)^100.
In der Aufgabenstellung aus dem Video ist der Knackpunkt, dass die Erfolgswahrscheinlichkeiten der einzelnen Gefangenen *nicht* unabhängig sind, sondern positiv korrelieren, d.h. wenn bekannt ist, dass ein Gefangener Erfolg hat, steigt dadurch die Wahrscheinlichkeit für alle anderen, ebenfalls Erfolg zu haben.
Nur weil man es nicht versteht, muß es nicht falsch sein.
Gibt es noch anderen Strategien? Oder ist nur wichtig das alle nach einem festen Schema arbeiten?
Sicher gibt es noch andere Strategien, aber soviel ich weiß keine, die bessere Erflogsaussichten bietet. Siehe auch Wikipedia: "Eugene Curtin und Max Warshauer gaben 2006 einen Beweis für die Optimalität der Zyklusfolgestrategie an."
Der Trick dieser Strategie ist, dass man die konkrete (zufällige) Verteilung der Zahlen in den Auswahlprozess mit einbaut. Du kannst eine Folge aufbauen, um wieviel die Wahrscheinlichkeit mit jedem zusätzlichen (n-ten) Gefangen sinkt. Es gibt sogar einen Grenzwert bei etwa 30% für unendlich viele Gefangene. Fang mit einem Gefangen n=1 an, denn der hat eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 100% (nur ein Fach mit seiner Nummer). n=2 Gefangene haben 50%, denn wenn der erste mit der Strategie falsch zieht (ein Versuch aus zwei Fächer), tut es auch der 2, auf den es dann gar nicht mehr ankommt (ein falscher reicht ja). Zieht der erste richtig, dann auch der zweite. usw..
Die Gefangen sind übrigens gut beraten, die Fächer selbst einfach neu zu nummerieren. Stell dir die Fächer als Schuhkartons vor und der erste Gefangene mischt die geschlossenen Kartons wie ein Kartenspiel. Das nimmt dem Gefängniswärter die Möglichkeit bösartig einen k+1 großen Zyklus in die Kartons zu legen.
Damit ist nebenbei gezeigt, dass es mind. n! verschiedene Strategien mit gleicher Überlebenswahrscheinlichkeit gibt.
PS: Wenn die ersten x Gefangenen feststellen, dass sie unterschiedlichen Zyklen angehören und die Summe dieser Zyklen 50% der Fächer überschreitet, wissen sie schon, dass sie überleben werden.
Danke, hab's gefunden! @@Mathegym
Wenn es einen Zyklus >50 Elementen gibt, dann gibt es keinen Weg, den Erfolg zu garantieren.
Also eins verstehe ich noch nicht.
Wenn Nr.1 seine Zahl innerhalb vom öffnen von 50 Fächern findet, wissen denn dann die anderen 99 wo er sie gefunden hat bzw wird sein Fach geleert und/oder aus den Öffnungsmöglichkeiten gestrichen? Wenn Nein, haben dann nicht die anderen folgenden wieder jedesmal aufs neue die gleich hohe möglichkeit nen Zyklus zu erreichen der größer 50 (also51) ist? Womit es jeder bei sich selbst eine Wahrscheinlichkeit 50% hatt mehr als 50 Versuche zu benötigen? Bzw hab ich das richtig verstanden das die lösung von einem Zyklus der kleine 50 ist bei jedem weiteren Gefangenen nur gewährleistet ist wenn sie steht's wissen in welcher Schublade die Nr vom Vorgänger war?
Ein sadistisches Rätsel, wie schön (Ironie!!!).
Mann sollte allgemeinverständlich erklären, was "Möglichkeit" und "Wahrscheinlichkeit" bedeuten. Dann verschwinden ungünstige Illusionen und man kommt mit der Realität (?) besser zurecht.
Achja, Glück und Pech incl. Schicksal gibt es wirklich.
Wenn es nun 10 mal nen 10er zyklus gibt, ist das in der rechnung berücksichtigt? Mir kommts vor als ob nur 51 aufwärts berücksichtigt ist.
Es sind tatsächlich nur Zyklen der Länge 51 und größer berücksichtigt, denn nur die sind tödlich. Wichtig dabei (und im Video gar nicht oder zu flüchtig erwähnt) ist, dass jeder Gefangene mit der Schublade anfängt, die seine Nummer trägt. Dann kann er niemals in einem Zyklus landen, der seine Nummer nicht enthält. In deinem Beispiel hätte also jeder Gefangene nach zehn Schubladen seine Nummer gefunden.
Nicht spätestens nach 10 Schubladen, sondern genau dir 10te. der Zettel mit der eigenen Zahl zeigt ja auf die Schublade mit meiner Zahl, bei der ich anfing.
@@qwox3lias stimmt, danke!
@@Baumscheibenkunst
Von 100 Schubladen darf er 50 aufmachen.
Seine Nummer kann in der 51. liegen.
Im Beispiel mit den 10 Schubladen darf er 5 aufmachen.
Wenn in der Schublade 9 jetzt nicht die 1 sondern die 7 liegt ist es schon vorbei.
@@user-uz5yw9mt9z die Frage war doch, was bei hundert Schubladen passiert, die zehn Zyklen der Länge zehn bilden?
Ich hatte eigentlich keine Probleme beim Verständnis der Aufgabenstellung, allerdings trotzdem 2 Fragen:
1. Stimmt die (grobe) Zusammenfassung, dass der Vorteil der Anwendung des Systems darin besteht, dass 100 Gefangene gegen die Wahrscheinlichkeit "kämpfen", dass es einen Zyklus von 51 oder höher gibt, anstatt zufällig Kisten zu öffnen?
2. Wie berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, falls das System nicht angewandt wird für einen Gefangenen? Der müsste doch beim ersten Öffnen eine Chance von 1/100 haben. Beim zweiten Mal 1/99, usw. bis 1/50. Wie komme ich da auf 50%? Sorry, für die Bitte um Nachhilfeunterricht, ist schon etwas länger her ...
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!
1) das stimmt und es findet doch eine informationsqeitergabe statt- jeder weiß, dass sein vorgänger die strategie benutzt UND es geschafft hat. das wiederholen der strategie erhöht damit die chance wegen der zyklen.
2) wenn du die chance beim nacheinander öffnen und reinschauen für jedes einzelne ausrechnen willst, ist es etwas komplizierter da die ErfolgsWahrscheinlichkeit nach jedem fehlversuch zunimmt, aber für die Gesamtwahrscheinlichkeit musst du musst dann die vorrigen fehlversuche mit Berücksichtigen - da gibts aber formeln für. Stell dir stattdessen vor, du wählst alle Fächer zuerst aus und öffnest sie dann alle gleichzeitig - dann ist das ergebnis insgesamt gleich, aber du kannst einfach die Anzahl der gewählten Fächer durch die Gesamtzahl rechnen - 50/100=1/2 = 50%
Ja korrekt, nur wenn sie eine Strategie wählen, dass sie jede Zahl mindestens 1x auswählen, haben sie überhaupt eine Chance, zu gewinnen. Aber auch nur dann, wenn ihre Zahl spätestens beim 50. Zug auftaucht.
Wählen alle erratisch, ist ihre Wahl vom Zufall nicht zu unterscheiden. Hop oder top. Das geht sehr schnell sehr schief. Sie könnten auch alle eine Münze werfen.
In 3 von 4 Fällen ist bereits nach Versuch 2 Schluss, in 15:16 nach 4, und in 1.023:1.024 nach 10 Versuchen.
Je größer die Anzahl an Gefangenen ist, desto näher kommt man an 1-ln(2)=30,685...%, was ja auch noch akzeptabel wäre.
Das mit ln(2) habe ich doch schon vor ein paar Tagen irgendwo gehört…bei der Subtraktion von ∞ -en oder so …🤔⁉️
Wo in der Aufgabenstellung wird gesagt, dass in der Schublade nicht der Zettel mit der Nummer der Schublade liegen kann ? Zufällig verteilt hieß es doch?! Und für den Fall hat der Häftling keine Anweisung gegeben und die Berechnungen würden auch zu Situation nicht mehr passen, weil in dem Moment jeder häftlich zufällig eine nächste Schublade öffnet, da keine Anweisungen?!
Wenn in der Schublade die Nummer der Schublade ist, habe wir eine Reihe von 1.
Weil er dann direkt seine Nummer findet.
Jeder fängt ja mit der Schublade an, welche Nummer er selber hat.
Du hast gewonnen, wenn du deine Nummer gefunden hast, welche Anweisung, soll dir dann der Häftling geben, außer Freu dich!^^
@@wambo13Berlin Wenn doch aber die Zettel zufällig verteilt sind, kann es doch durchaus passieren, dass z.B. in Schublade 1 auch die Nummer 1 ist, während in Schublade 2 eine eine 35 steht?
Würde dies nicht alles hinfällig machen oder wäre es kein Unterschied sondern nur ein anderer Zyklus?
Ich bin echt ne Niete in Mathe xD .. daher bitte gerne erklären, wenn ich da was nicht verstanden habe^^
@@Paselja deine Variante 1 ist ja einfach Häftling 1 "gewinnt" direkt.
Fall 2 bist du dann in irgend einen Zyklus.
Also Häftling 2 öffnet Tür 2 dann tür 35 etc etc.
Mit Glück landet er dann innerhalb der 50 Türen bei seiner Nummer.
Das ist der Hammer! Kann man zeigen, dass es keine bessere Strategie gibt?
Ja, siehe einer der ersten Kommentare.
@@Mathegym Ich habe mir die gleiche Frage gestellt, aber in den Kommentaren die ANtwort nicht gefunden.
@@egbertkeler1244 Mahtegym schrieb bei einem anderen Kommentar zur gleichen Frage:
Sicher gibt es noch andere Strategien, aber soviel ich weiß keine, die bessere Erflogsaussichten bietet. Siehe auch Wikipedia: "Eugene Curtin und Max Warshauer gaben 2006 einen Beweis für die Optimalität der Zyklusfolgestrategie an."
Coole Sache.
Eigentlich schade, dass so ein schlauer Mensch im Knast sitzt.... ;-)
Wenn im 10er Beispiel die Nummer 1 bei Schublade 1 beginnt und im 5. Schritt seine Nummer in der 8 findet, jedoch im nächsten Schritt der Gefangene 8 dran kommt, findet er keinen Zettel vor. Und dann?
Sein Beispiel geht auch davon aus das der erste seine Nummer in der 8 findet. Wenn nicht ist es beim ersten Durchlauf schon vorbei.
@@user-uz5yw9mt9z ja klar
Ich verstehe es noch nicht ganz: Wenn K=1, dann ergibt das eine Wahrscheinlichkeit von 100% für einen Zykel mit Länge 1? Oder von einer Länge mit mindestens 1? Wenn es letzteres ist und ich setze 2 ein, dann habe ich 50% für einen Zykel mit mindestens Länge 2, was im Umkehrschluss bedeutet, dass ich zu 50% nur Zykel kürzer Länge 2 habe. Diese Zahlen ergeben für mich keinen Sinn. Was verstehe ich falsch?
ja same, das ist irgendwie weird.
Das funktioniert nur für Zyklen der Länge K=51 und größer, denn nur dann ist sichergestellt, dass es nicht mehrere Zyklen der Länge K gibt.
Die Wahrscheinlichkeit 1/K für einen Zyklus der Länge K gilt nur für K > N/2.
du verstehst nichts falsch. Tatsächlich gilt die Herleitung für E_k nur für k>n/2. Beim Zählen der Permutationen, die einen Zykel der Länge k enthalten nach der vorgestellten Methode zählt man jede Permutation doppelt, die zwei Zykel der Länge k enthält. Der Zähler im Laplace-Bruch wird dann also zu groß. Das kann nicht passieren, wenn k>n/2 ist.
Die Wahrscheinlichkeit 1 für k=1 ist als Durchschnitt zu verstehen. Es kann sein, dass es keinen Einerzyklus gibt, oder genau einen, oder aber auch mehrere. Egal wie die Zettel verteilt werden, im Durchschnitt gibt es 1 Einerzyklus. Probier das mal mit 2 oder 3 oder 4 Schubladen usw. aus.
OK stimmt.War voreilig,werde besser überlegen.
Der Gefangene trägt die Nummer nicht auf dem Hemd, sondern auf der Mütze....
Gute Idee für unsere Gefängnisse 😜
Ist der Startpunkt nicht egal? So könnte jeder Gefangene statt seiner eigenen Nummer auch (101 - seine Nummer) nehmen oder jede andere Regel die allen eine aufgrund ihrer Nummer definierte Schublade zuweist.
Nein, sonst könnte es ja sein, dass seine Nummer in diesem Zyklus garnicht vorkommt.
Hab ich die Erklärung überhört, WIESO es zu dieser Wahrscheinlichkeitserhöhung kommt?
Die Rechnung kann nicht stimmen. Ich weiß vielleicht nicht wie so, aber wenn man statt 50 versuche deutlich weniger hat, stellt man fest, dass Summe über k von 1/k divergent ist und so Wahrscheinlichkeiten von über 100% möglich sind. Argumentativ würde ich sagen, dass nur was wichtiges fehlt. Nämlich, dass du nur die längsten Zyklen betrachtest von der Wahrscheinlichkeit her. Das ändert bei Zyklen länger als 50% der maximal länge nichts. Jedoch müsste bei weniger als 50% der länge und kürzer ein Korrekturfaktor dazu kommen, der das kompensiert.
Ändert hier vielleicht nicht das Ergebnis, aber sehr wichtig für die allgemeingültigkeit
das hat er erklärt, siehe 14:10
@@A1989012 Jain. Er hat gesagt, warum es hier kein Problem gibt. Aber die Allgemeingültigkeit leidet darunter.
Also die Rechnung stimmt schon, ist nur leider ein Spezialfall.
Hatte die Stelle nicht gesehen, weil nun, das gerechnet, bekomme ich auch selbst. Wollte nur mir die mühe des denkens sparen
Coole Aufgabe und schöne Erklärung.
Aber ich hoffe doch das alle 100 Gefangenen mit Todesstrafe nicht frei kommen. XD
Die Wahrscheinlichkeit für einen Zyklus der länge 1 ist also P(E₁) = 1/1 = 100%
Irgendwas stimmt da nicht oder übersehe ich etwas?
1/k funktioniert erst ab K>50. Es braucht die Mindestzykluslänge von >n/2, denn davor gibt es die Möglichkeit zeitgleich mehrere Zyklen der gesuchten Länge im System zu haben.
Man kann sich das ganz gut mit einem System von n=3 visualisieren. Es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten die Zettel zu verteilen, damit kann man 6 1er Zyklen kreieren. Daher die 1 (6/6) bzw. 100%. Diese 6 Zyklen sind aber nicht unabhängig voneinander und treten z.B bei der Kombi 1-1 2-2 3-3 zusammen auf. Die anderen Zyklen wären: 1-1 2-3 3-2, 1-2 2-1 3-3, 1-2 2-3 3-1, 1-3 2-1 3-2, 1-3 2-2 3-1.
Ich glaube der beste Weg ist das Gegenergebnis zu bestimmen. In diesem Fall gibt es keine Möglichkeit für einen 1er Zyklus bei einem bestehenden 3er Zyklus. P(E3) = ((3 3) * 2! * 0!) / 3! = (1*2*1)/(6) = 0,33 = 2/6. (2 von den 6 möglichen Kombis haben einen 3er Zyklus). Somit ist P(E1)=1-P(E3). Also 0,66. Bei den Beispielen haben wir in 4 von 6 Fällen einen 1er Zyklus. 4/6 = 0,66. Müsste also passen.
Wenn du das als eine Art Durchschnitt verstehst, stimmt es. Wenn das Spiel in 100 Gefängnissen gespielt wird, mit jeweils zufälliger Verteilung, gibt es wahrscheinlich 100 Einerzyklen.
Mensch.. hätt ich das bloß letzte Woche schon gewusst, als man uns in der JVA Hamburg genau diese Aufgabe gegeben hat…
Da soll nochmal jemand sagen man bräuchte das, was man in Mathe lernt, später nicht.
Schöne Grüße von Petrus.
Ich denke es liegt daran, dass man nach einer bestimmten Strategie vorgeht und die Schubladen dadurch nicht zufällig ausgesucht werden.
LOVE is the ANSWER
bussX an alle(S)
15:19 wie jetzt? Nach all dem Hokuspokus soll ich jetzt die Lösungsformel mit dem Taschenrechner oder ner Exceltabelle ausrechnen? Das geht jetzt nicht mehr mit Mathematik?
Andererseits gibt es ohnehin eine viel einfachere Lösung, denn P(Tod)=100%, das weiß man doch auch ohne Taschenrechner...
Bist du irgendwie dumm?
Du kannst die Lösungsformel auch auf Papier lösen. Dauert nur eben etwas länger.
Ist es korrekt, dass man bei der Todeswahrscheinlichkeit die Zyklen berücksichtigt, die mehr als 51 Versuche (52-100) benötigten? Ein Zyklus von 52-100 hat die Wahrscheinlichkeit 0, weil immer ab dem 51. Versuch der Test abgebrochen wird und alle Gefangenen getötet werden.
Dem Zyklus ist es egal, ob man ihn bis zum Ende anguckt oder nicht. Er existiert trotzdem mit einer festen Wahrscheinlichkeit. Diese steht schon fest, sobald der Direktor festlegt, dass er die Nummern nach dem Zufallsprinzip verteilen wird.
Seit wann ist die Kombinatorik denn Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Das wäre ja was für's "Squid Game"! ;-) Oder gab es das schon da?
das Funktioniert nur wenn die Nummern der Gefangenen in der Schublade bleiben, was wäre wenn sie die Zahlen herausnehmen müssten und so der Zyklus unterbrochen wird?
Dann gibt es immer weniger Möglichkeiten und das Ganze geht noch viel schneller. Die Überlebenschancen steigen also tendenziell.
Nicht wenn die Schubladen wieder geschlossen werden
dann gäbe es das rätsel nicht
@@xornxenophon3652 sicher? Man hat zwar weniger Auswahlmöglichkeiten, aber das mit den Zyklen funktioniert dann ab Spieler 3 auch nicht mehr wenn sein Zyklus unterbrochen wurde, weil er nicht weiß ob er bei 1 oder 2 weitermachen soll. Wird für die folgenden Spieler erstmal noch schlimmer bevor es dann wieder besser wird, wenn es in Richtung des mittleren Spielers geht.
@@janstarkiller1752 wird glaube ich auch so schon schwierig genug, wenn man die Zyklen nicht mehr nachvollziehen kann
Was passiert eigentlich, wenn eine Schleife bei der Reihenfolge der Zahlen vorhanden ist? Also z.B. Schublade 3 zeigt auf die 8, 8 zeigt auf 25 und 25 auf die 3.
Das wäre ein 3er Zyklus. Wenn also einer der Gefangenen 8,3 oder 25 ihre Schubladen öffnen hätten sie ihren Zettel nach 3 Zügen gefunden.
@@ElCaPixloUnd was wenn diese drei Ziffern nicht zum Gefangenen gehören? Er kann ja noch 47 weitere Schubladen öffnen. Mit welcher macht er weiter?
@@klauskleber6124 Da die gefangenen immer mit der Box anfangen die ihrer Nummer entspricht würden die Boxen 3,8 oder 25 nur von den Gefangenen 3,8, oder 25 begonnen werden. Da diese ja nur aufeinander verweisen ist es nicht möglich das die Nummer nicht innerhalb dieses Loops auftaucht. Sie machen ja immer mit der Nummer entsprechend dem Zettel der letzten geöffneten Box weiter. Problematisch wird es ja nur bei loops die mehr als 50 Züge brauchen, denn erst dann haben sie verloren.
@@ElCaPixloGenau :-) Und was machen der Gefangene mit der Nummer 3, wenn er dann Lade 25 geöffnet hat? Da steht ja dann die 3 drin, welche er bereits geöffnet hat. Mit welcher Lade macht er dann weiter?
@@klauskleber6124 Wenn in Deinem Beispiel der Gefangene 3 die Schublade 25 geöffnet hat, ist er fertig, denn darin liegt ja die 3.
Für jeden Gefangenen gilt: Die Schublade, in der seine eigene Nummer "drin liegt", zeigt auf die Schublade, wo seine Nummer "draußen drauf steht" und mit der er deshalb beginnt. Deshalb hat jeder Gefangene die eigene Nummer am Ende vom Zyklus. Die Frage ist nur, ist der Zyklus kurz genug.
Nach diesem Video habe ich für mich beschlossen, dass ich mich einfach an Recht und Ordnung halten, und somit gar nicht erst im Gefängnis landen werde. 😅
Also ist die Todeswahrscheinlichkeit "Summe aller 1/k für alle k aus N von 51 bis 100"?
Ist bekannt, ob diese Strategie die bestmögliche ist?
Der Gefängnisdirektor hat sich schlau gemacht und die Aufgabe geändert: nun muss jeder Gefangene, der seine Nummer gefunden hat, diese sofort aus der Schublade entnehmen. Was wäre nun die beste Strategie?
Achtung Anfängerfrage :-)
Video 1:12 ff "Die Wahrscheinlichkeit Erfolg zu haben, ist 50%." Warum ist das eigentlich so ?
Betrachtung des Falls ohne die Strategie und vorherige Absprache der Gefangenen, bei denen diese jeweils einfach irgendwelche Kisten auswählen..
Jeder der 100 Gefangenen darf 50 Kisten öffnen und nachsehen, ob die eigene Nummer darunter ist.
Man könnte doch auch denken, dass der Gefangene, der dran ist, bei der ersten Kiste, die er (oder sie) öffnet, eine Wahrscheinlichkeit von 1/100 hat, dass diese seine Nummer enthält. Er im Fall, dass sie es nicht ist, diese Kiste offen lässt, dann die zweite Kiste aus den restlichen 99 auswählt und öffnet, also 1/99 an Wahrscheinlichkeit dazukommt, usw, also 1/100 + 1/99 + 1/98 + ... + 1/51 = ca. 0,688 (und nicht 0,5).
Nach dem Gefangenen werden die Kisten wieder alle verschlossen und der nächste Gefangene probiert es, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass es alle 100 Gefangenen auf diese Weise schaffen, bei 0,688^100, also verschwindend gering ist (irgendwas bei 10 hoch -17)
Ist die Überlegung falsch und wenn ja warum ?
Und macht es einen Unterschied, wenn jeder Gefangene 50 der geschlossenen Kisten in geschlossenem Zustand auswählt und diese bei jedem Gefangenen als Ganzes geöffnet werden, bevor sie dann für den nachfolgenden Gefangenen wieder verschlossen werden ?
Wenn wir deinen Weg zuende gehen würden, würden wir spätestens bei 1/4 + 1/3 + 1/2 > 1 sehen, dass irgendetwas nicht stimmen kann. Was du nicht mit einberechnet hast ist, dass die wahrscheinlichkeit für den zweiten Fall, also die zweite Schublade nicht einfach nur 1/99 ist, sondern 1/99 unter der Voraussetzung, dass die erste Schublade nicht die richtige war, denn nur so kannst du die gesamtwahrscheinlichkeit dieses Ereignisses bestimmen. Das wären dann 1/99 × 99/100 = 1/100 (99/100 da das die wahrscheinlichkeit ist, dass die erste nummer nicht die richtige ist). Das ganze geht für alle zahlen so weiter also für die dritte Schublade 1/98 × 99/100 × (1 - 1/100) (da 1/100 ja die gesamtwahrscheinlichkeit ist, dass in der zweiten Schublade die richtige Nummer ist, ist das gegenereignis die wahrscheinlichkeit für eine falsche nummer). Das wären dann 1.0001/100. Das sind zwar immernoch keine perfekten 1/100 (Frag mich nicht warum), aber nahe dran. Für die 4te 5te und 6te schublade währen es jeweils 1.0003/ bzw. 1.0006/ bzw. 1.001/100, was den "Fehler" etwa (49+48+47...) × 0.0001% macht, also 1225%/10000, also 0,1225%. Ich komm also bei 50 schubladen bei einer gerundeten Wahrscheinlichkeit von 50.1% raus.
Theoretisch könnten wir auch am Anfang die wahrscheinlickeit bestimmen und sagen, dass durch die zufällige verteilung jede schublade die wahrscheinlickeit 1/100 hat die gewünste zahl zu haben und dann hätten wir wie im video 50 × 1/100.
Ich wollte nur nen cooleren kommentar schreiben, und wollte es rechnerisch zeigen, aber hab wohl selber irgendwas falsch gemacht. Ich hoffe ich konnte trotz unzufriedenstellendem Rechenergebniss hilfreich sein.
Hi @@christinez.9504
Ja, die Gesamtwahrscheinlichkeit darf natürlich nicht über 1 sein, wenn man alle Kisten öffnen dürfte, und ist sie ja auch nicht.
Ich habe es mal auf 4 Kisten verkürzt. Dann kann der Gefangene 2 mal eine Kiste auswählen, um seine Rückennummer zu ziehen.
Bei der 1. Kiste hat er eine Wahrscheinlichkeit von 1/4 für einen Treffer und 3/4 für eine Niete. Seine Rückennummer muss im Fall einer Niete dann in den 3 noch verschlossenen Kisten sein.
Bei der 2. Kiste ergibt sich dann mit Pfadregel 3/4 mal 1/3 für einen Treffer, was wieder 1/4 ist und somit eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 50% bei 2 erlaubten Kistenöffnungen.
Das war natürlich in meiner Frage Blödsinn.
Hat mich auch umgehauen wie man mithilfe der Kombinatorik so einen sprung machen kann.
Ich frage mich ob es eine andere strategie gibt die eine höhere lebenswahrscheinlichkeit verspricht.
In anderen worten: Kann man es beweisen dass 31% die höchste lebenswahrscheinlichkeit ist die man erzielen kann?
Mahtegym schrieb bei einem anderen Kommentar zur gleichen Frage:
Sicher gibt es noch andere Strategien, aber soviel ich weiß keine, die bessere Erflogsaussichten bietet. Siehe auch Wikipedia: "Eugene Curtin und Max Warshauer gaben 2006 einen Beweis für die Optimalität der Zyklusfolgestrategie an."
Wenn wir das ganze auf zwei Gefangene kürzen, dann ist die Wahrscheinlichkeit dass die "1" unter den ersten 50 Schubladen ist, doch 50% = 0.5, oder? Dass die "2" dann unter den ersten 50 Schubladen ist, ist minimal wahrscheinlicher 50/99 = 0,51. Da für das Überleben beide positiven Fälle eintreten müssen, ergibt sich das aus 0.5*0.51 = 0.255. Mit jedem weiteren Gefangenen sinkt die Wahrscheinichkeit weiter.
nein, da die Schubladen, die gezogen wurden ja nicht entfernt werden, sondern einfach wieder geschlossen. Deine Rechnung würde stimmen, wenn man die Schubladen entfernen würde. Dann wäre die Überlebenschance massiv höher.
@@sanderiten Nein, meine Wahrscheinlichkeiten beziehen sich auch auf die geschlossenen Schubladen. Sonst wären ja nach zwei Durchgängen alle Schubladen offen und die Wahrscheinlichkeit = 1
@@klauskleber6124 einfach nein.
@@TauroiDanke für die ausführliche und nachvollziehbare Antwort.
Schön von Veritasium kooperiert
Was ist denn, wenn ich nach der ersten Box in einen Zyklus gerate?
Du bist IMMER in einem Zyklus. Länge 1 ist der kürztmögliche,, 100 der längstmögliche. Wenn ein Zyklus länger als 50 ist, haben die Gefangenen keine chance mit der strategie. Wenn der erste Gefangene es aber geschafft hat, dann gibt es ja schon einen Zyklus der kürzer als 50 ist und Gefangen die drinnen sind, haben es automatisch geschafft. Die übrigen haben gleichzeitig eine höhere Chance in einem zyklus kleiner 50 zu landen, weil der erste Zyklus schon von den 100 abgezogen wird denn Keine Zahl kann in zwei zyklen gleichzeitig auftauchen
Du landest immer in einem Zyklus mit Deiner Nummer am Ende. Der Zyklus kann jede Länge zwischen 1 und 100 haben. Wenn kein Zyklus > 50 existiert, gewinnt man und wenn doch, dann nicht.
Woher habe ich die Garantie, dass wenn ein Gefangener die Schublade seiner eigenen Zahl zuerst öffnet, seine Zahl in diesem Zyklus ist?
Genau die Frage habe ich mir auch gestellt, bei 4 Zyklen zu 25 Nummern ist die Überlebenswahrscheinlichkeit trotzdem nur 50% für einen Gefangenen. Geschweige denn für alle Gefangenen.
Die 31% bezieht sich ja nur auf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Todeszyklus vorhanden ist. Nicht dass der Gefangene überlebt, dass hängt auch von den 99 anderen ab.
Das lässt sich z.B. wie folgt beweisen: Beginnt man bei der Schublade mit der Nummer des Gefangenen und folgt dann dem Zyklus (aber ohne die Bedingung maximal 50 Schubladen zu öffnen, weil wir den gesamten Zyklus durchlaufen wollen), wird man irgendwann zum ersten Mal eine Schublade das zweite Mal öffnen müssen, weil es nur endlich viele Schubladen gibt. Die Nummer dieser Schublade nennen wir N. Wäre N *nicht* die Nummer des Gefangenen, müsste sowohl direkt vor dem ersten als auch direkt vor dem zweiten Öffnen die Schublade mit dem Zettel mit Nummer N darin geöffnet worden sein, denn es gibt nur eine solche Schublade. Dann wäre Schublade N aber nicht die erste gewesen, die ein zweites Mal geöffnet wird, was ein Widerspruch zur Wahl von N ist. Also muss N die Nummer des Gefangenen sein und die Schublade mit dem Zettel mit der Nummer des Gefangenen wurde einen Schritt vor dem zweiten Öffnen von Schublade N geöffnet. Also ist die besagte Schublade Teil des Zyklus.
Warum geht es immer um Eingesperrte?
Das muss aber ein schlauer Gefangener gewesen sein, der diesen Ausweg erkannte😀
Wenn Gefangener Nr. 9 die Schublade 9 öffnet, wird er darin aber keinen Zettel mehr vorfinden, woher weiß er dann, welche Schublade er als nächstes öffnen soll?
Warum sollte er keinen Zettel mehr haben? Gefagene 9 oeffnet Schublade 9 und nimmt den Zettel 9. Er hat gewonnen. Aber insgesamt ist das ein Einer-Zyklus und somit schlecht fuer die anderen und sie werden alle sterben :(
Wenn Gefangener Nummer 9 eine Schublade mit der Nummer 9 findet, hat er es geachafft. Er muss dann nicht erneut die Schublade 9 öffnen.
Alle Zettel werden zurück gelegt und die Schubladen geschlossen. Jeder findet das Experiment unverändert vor (ausgenommen der Fingerabdrücke der vorigen Dissidenten auf den bereits geöffneten Schubladen).
@@artieschmidt3039Nein?! Beim Einerzyklus geht das Experiment doch weiter. Und diese sind überhaupt so unwahrscheinlich, dass sie die Wahrscheinlichkeit eines 51-Zyklus nicht erheblich vergrößern dürfte.
Außerdem ist die Frage, ob die gefunden Nummern rausfallen, dann wird es ja einfacher mit der Zeit.
german veritasium goes hard.
So ein Stuss...😢
was jetzt noch fehlt ist die anschauliche Erklärung, warum die Situation anders ist als beim zufälligen Öffnen.
Weil aus unabhängigen Ereignissen ein abhängiges gemacht wurde.
Lassen wir also die ersten 50 Kisten frei und lachen über die Mathematiker...
Krass, Mathematik, die Alltag nützlich ist
Das ist ja nur die Wahrscheinlichkeit, dass es keinen Kreis länger k gibt. Das heißt ja aber nicht, das meine Zahl in dem Kreis mit k=50 liegt.
Das ist wie Flavius Josephus, nur das alle überleben sollen und nicht nur einer.
Kann mir jemand erklären warum die Strategie funktioniert? Ich verstehe das überhaupt nicht. Mann doch nicht nur weil man das Fach öffnet auf dem die gleiche Nr. wie auf meinem T-Shirt steht?? Das ändert doch nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zahlen?? Ich gewinn ja auch nicht mehr wenn ich ins Casino gehe mit einem T-Shirt auf dem die 23 stgeht und dann spiele ich die 23 und gewinne öfters??
Beim ersten Gefangenen macht es noch keinen Unterschied. Aber wenn er mit der Methode erfolg hat (50:50 chance), erhöht sich die chance für alle anderen, weil die Zettel zufällig für die Methode Günstig verteilt sind (es darf kein Zyklus länger als 50 sein) und die anderen können das ausnutzen. Das geht so weit, dass wenn die ersten 20-30 durch sind, wird der rest es fast 100% auch schaffen.
versteh ich nicht. denn die prämisse wird nie erwähnt das die schublade danach weg ist. oder sogar der zettel entfernt wird.
dh alle folgen dem gleichen pfad dh 50 leute werden zu 100 % nicht ihre nummer finden können@@mercilesswombat6872
@@p.alterego3424die schubladen und Zettel werden auch nicht entfernt und die Fächer werden auch unverändert wieder geschlossen. Aber wenn zum beispiel der gefangene 1 zuerst 1 öffnet und darin 6 liegt, dann öffnet er i6 und darin liegt zb. 3, dann öffnet er 3 und darin liegt 1. dann hat er es geschafft. und 3 und 6 werden es 100% auch schaffen, wenn sie auch die Methode verwenden. Weil 3 öffnet 3, darin liegt 1 dann öffnet er 1, darin liegt 6, dann öffnet er 6 und da liegt 3 - der gleiche zyklus wie beim ersten, der inhalt der Fächer ändert sich ja nicht. Wenn der erste es geschafft hat werden ALLE die nummern, die er auf dem weg gefunden hat es auch schaffen, weil die zahlen den gleichen Kreis bilden.
Nur mal ein paar noch unsortierte Gedanken:
- Beim Rechnen mit sehr großen Zahlen ist es wegen ihrer Kommutativität irgendwann nicht mehr egal, in welcher Reigenfolge man rechnen (oder hier Lose zieht). Die „Möglichkeiten“ sind nicht alle „gleich wert“. Man kann sogar leicht beweisen, dass z.B. ∞-∞ die Zahl π ergibt; und auch jede beliebige andere Zahl, die man will.
- Wenn hier alle vollkommen erratisch wählen, dann werden doch gewisse Zahlen immer häufiger gewählt, als andere. Z.B. suchen Kandidaten Zahlen von 1-30 und 1-12 häufiger, wenn sie nach Geburtstagen wählen oder solche in der Mitte eher, als Gast am Rande.
Wenn ich mich jetzt nicht vertan habe, beträgt allein die Wahrscheinlichkeit, dass sich die 12 Monate der Reihe nach auf den Positionen 1-12 befinden, 88! : 100! ≈ 2x10^-24 also praktisch null. Die Strategie taugt also nicht.
- Beim erratischen Wählen werden manche Zahlen nie und andere häufig gewählt. Es ist also nichtmal gleich wahrscheinlich, dass jeder dieselbe Chance hat, sich zu finden. Es ist bereits überaus unwahrscheinlich, dass fast 100 Kandidaten überhaupt wählen können, sehr oft dürfte das Experiment bereits nach wenigen Versuchen gescheitert sein.
- Die vorgestellte Methode garantiert überhaupt erstmal, dass es gute Chancen gibt, dass fast jede Zahl gleich oft gezogen wird, weil sie entweder allein steht, oder exklusiver Teil eines bestimmten Zyklus ist.
Im Video ist es etwas unglücklich dargestellt, dass bereits der erste Zyklus 50 Zahlen umfasst und die 1 dabei sei.
Tatsächlich hat bereits der erste Kandidat aber auch die Chance von 1:2 heraus zu fliegen, die Chance #1 hinter Tür 1 zu finden nur 10^-158 aber wenn er erratisch wählte, 1:100.
Mathematisch passieren bei großen Zahlen und deren Wahrscheinlichkeiten verrückte Dinge.
Ist doch simpel, es braucht nur 4 Gefangene die jeweils 25 Schubladen öffnen und schon sind alle 100 Schubladen offen, dann kann jeder Gefangene seine Nummer suchen da er ja keine Schubladen mehr öffnen muss. Von lesen oder wieder schließen war nie die Rede.
🤦🏻♂️
Du hast es leider nicht verstanden.
@@pitzi-ki1jz dann ist die Anleitung nicht verständlich genug 😛
Kobayashi-Maru 🙂
@@ArnoldLayne-he9qq Nur Captain Kirk hat geregelt Suche eine alternativen Lösung
@@SchlaWiener123 Die Anleitung ist im mathematischen Sinne korrekt. Wenn man mathematische Probleme löst, dann sollte man schon wissen, dass Trivialfälle auszuschließen sind. In einer Matheklausur könntest du sonst auch schreiben "Der Gefängnisleiter darf sowas gar nicht stellen" und fertig ist das Problem.
Simpel ist hier nur dein Horizont.
Ich versteh das ganze nicht wirklich. Es ist ja nicht garantiert dass ein Gefangener auch im Zyklus seiner Zahl ist. Beispiel: Er macht die 1 auf, darin ist die 3, darin die 5, darin die 7, darin die 9 und darin wieder die 3.
Jetzt ist er in einem anderen geschlossenen Zyklus gelandet, was macht er dann? Oder hab ich da was nicht verstanden? Also was macht denn Gefangener 1 Dann? selbst wenn er jetzt woanders weitermacht in der Hoffnung auf seinen Zyklus zu kommen. Anscheinend stimmt es ja schon, nur die Erklärung hat diese Frage für mich nicht geklärt.
Dann wäre die 3 in zwei Schubladen drin, es kommt aber jede zahl nur in einer Schublade vor