Théorie de Lie, Épisode II : la symphonie des sphères
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- čas přidán 15. 05. 2024
- Deuxième volet d'une trilogie centrée principalement sur la théorie de Lie, mais au cours de laquelle on pourra voir tout un tas de choses en algèbre, en géométrie, en combinatoire et en physique. Le plan général pour cette trilogie est :
- Épisode I : Des racines et des poids ( • Théorie de Lie, Épisod... )
- Épisode II : La symphonie des sphères ( • Théorie de Lie, Épisod... )
- Épisode III : Les diagrammes enfouis ( • Théorie de Lie, Épisod... )
Les notes pour cette vidéo sont accessibles ici :
www.antoinebourget.org/attachm...
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee
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Plan
Introduction
00:00 Début, présentation
08:45 Notion de groupe de Lie et pourquoi c'est important
15:10 Définition formelle et premiers exemples
33:06 Généralités sur les sphères (réelles)
S^0
35:10 La sphère de dimension 0
S^1
39:35 La sphère de dimension 1, rotations et réflexions
45:25 Groupe spécial orthogonal SO(n)
52:26 L'exponentielle transforme les sommes en produits, algèbre de Lie
1:01:50 L'exponentielle ne transforme PAS les sommes en produits
1:12:10 Formule de Baker Campbell Hausdorff
S^2
1:18:40 La sphère de dimension 2 et SO(3)
1:24:20 Algèbre de Lie so(3)=su(2)
1:35:10 Diagramme des racines et représentations
1:43:30 Sphères réelles, complexes et quaternioniques
1:49:50 Le lien entre SO(3) et SU(2)
1:59:00 Description explicite du double recouvrement
2:07:40 Spineurs
2:15:45 La danse du spin et le groupe fondamental
2:22:20 SU(2) comme sphère, plan projectif réel
S^3
2:29:00 La sphère de dimension 3 et SO(4) et son algèbre
2:34:40 Diagramme des racines et décomposition
2:39:15 Réalisation avec les quaternions
2:50:50 Groupes orthogonal, unitaire, symplectique et leurs dimensions
S^4
2:59:40 La sphère de dimension 4, SO(5) et son algèbre
3:03:30 Diagramme des racine, algèbre non simplement lacée
S^5
3:12:40 La sphère de dimension 5, et SO(6)
3:18:25 Conclusion
3:31:45 Références
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Références :
Fulton et Harris, Representation Theory.
Knapp, Lie Groups, Beyond an introduction
Laisse moi te remercier jeune homme .. Grace à tes vidéos et aussi à celles de quelques autres , et au bon Internet ,je comprends enfin des choses que j aurais dû comprendre il y a 30 ans . Car tu sais que la pédagogie est mal récompensée - c est une litote dans notre système scolaire et universitaire ..
Merci ! Concernant la pédagogie, en effet ce n'est pas toujours valorisé dans le milieu de la recherche (par exemple on peut regretter que l'écriture de livres / synthèses ne soit pas vraiment reconnu comme du travail de recherche, alors que c'est extrêmement utile !). Cependant il y a un grand nombre de personnes très pédagogues quand même :)
En tant que simple touriste j'ai trouvé ces deux premières vidéos passionnantes, elles m'ont fait comprendre une partie des mystères des algèbres et groupes de Lie, vraiment merci beaucoup, et je me dirige vers la troisième...
Merci beaucoup! Bon visionnage pour la troisième!
17:25 Merciii ça fait super plaisir ! :)
C’est normal, votre chaîne est super !
D’ailleurs si vous voulez faire un truc ensemble un jour on peut prendre contact et y réfléchir !
@@antoinebrgt Avec grand plaisir ! On a trop de projets en cours juste là mais gardons ça dans un coin de nos têtes ! :)
@@Thomaths Oui pas de problème !
Merci Docteur Antoine Bourget sur cette vidéo, Vraiment c'est une belle chaîne qui donne la science d'une façon très très simple et attractive , BRAVO!
Je suis enseignant aussi, Il m'attire la manière d'explication via l’écran et l'enregistrement on ligne des notes pour chacun vidéo ! SVP, pourriez -vous nous donner quelques détails sur les outils que vous avez apportés pour la présentation telle vidéo ? et MERCI encore MR.
@マシウウ フィンック Merci Antoine pour ta réponse, SVP, L'enregistrement du cours comment vous le faites ?
@マシウウ フィンック désolé ! et Merci de votre réponse quant même !
Je reste sur ma faim, concernant "pourquoi veut-on que l'identité de Jacobi soit vérifiée ?"
De plus je ne comprends pas comment tu calcules H.X.v
Pourquoi H.(X.v) n'est pas égal à (HX).v ou alors à [H,X].v comme dans une représentation de groupe ?
Mais en tout cas, tu fais un sacré travail, de rendre accessible des choses complexes et de donner les grandes lignes de ce qu'on doit savoir. Bravo pour ton travail.
cool, ça démystifie un peu les su, les so, les liens avec les quaternions...
Dans le wiki, j'avais lu (mais je retrouve pas) que l'on peut se raccrocher au bi-quaternions pour parler des particules élémentaires (tout comme les octonions sur leur page wiki), j'imagine que tu vas en toucher 2mots... Pourrais-tu aussi dire deux-trois trucs sur les split, co (et autres?) quaternions et leur éventuel rapport avec la physique?
Bon, je crois que je vais revoir quelques-unes de tes vidéos (et des bouquins, y en a-t-il un qui cause de tout ça sans que ce soit imbitable, genre niveau licence-master? je suis hors cursus universitaire, donc va falloir que ce soit pédagogique avec des morceaux historiques, graphiques, explicatifs etc... dedans), je ne me souviens pas y expliques-tu comment l'inventeur des quarks a pu utiliser/construire ces outils? je veux dire, la théorie c'est bien, mais savoir comment elle a été établie, c'est pas mal aussi!
sinon, en voyant i dans le plan tangent dans tes figures, j'y vois un lien avec la dérivée (dans les équations de la quantique). Mais j'ai un peu de mal à y voir des variations sous forme de rotation (si ce n'est que l'on peut voir des vecteurs vitesse en les vecteurs de la base complexe). En fait i dessine avec 1 le plan dans lequel on effectuera une rotation theta, finalement, i est un vecteur courbe, comme l'on représenterait l'angle i.theta par la flèche courbe qui dessine l'angle theta. Après tout il y a des vecteurs unité pour les translations, il en fallait une pour les rotations (et la géométrie euclidienne dans laquelle on dessine les vecteurs 1 et i est bonne à jeter à la poubelle, d'ailleurs le vecteur (1, i) y aurait une longueur nulle). Est-ce qu'il y a un rapport avec la représentation à la fin de la vidéo où les angles sont représentés à plat? Est-ce ainsi que l'on introduit "l'espace des phases"?
Excellente vidéo comme toujours!
Merci!!
J'aime beaucoup les livres de Knapp aussi, en particulier "advanced algebra" est excellent. Celui que tu mentionnes est il accessible pour un mathematicien qui ne connais pas le sujet mais qui souhaite l'aborder serieusement, ou suppose t il un prerequis de connaissances de base sur les groupes de Lie ? Feras tu une esquisse de la cohomologie, pour au moins donner une intuition du sujet dans le dernier chapitre ?
Désolé je me rends compte que je ne t’avais pas répondu, oui je trouve le livre de Knapp assez lisible ! Pour la cohomologie j’ai fait une vidéo depuis, peut-être que tu l’as vue. Mais elle ne traite pas des groupes de Lie malheureusement ...
Je n’ai toujours pas compris la différence entre un groupe de Lie et ses représentations.
Dans le cas d’un groupe discret ça me parait clair. Le groupe est une structure algorithmique (par exemple les permutations cycliques de 3 éléments) et ses représentations sont des structures géométriques par exemple un triangle équilatéral munis d’une rotation de 120 degré.
Mais dans les groupes de Lie je suis perdu. Si je comprends bien on part d’un objet géometrique par exemple la sphere S2, on cherche les transformation géométriques connexes qui la laisse invariante (les rotations dans R3). On passe dans l’algebre de Lie et la, paf, on se retrouve avec une multitude de représentations, des rotations dans des espaces complexes a 2 dimensions, des espaces de spin, et au final les rotation de R3 semblent moins fondamentales que les rotation dans C2 car la moitié des représentation des rotation de R3 seulement sont en correspondance avec les rotation de R3
Lorsque on écrit SO(3) parle t-on du groupe ou d’une représentation ? est ce que il est juste de dire que le groupe est une structure algorithmique et la représentation est une structure géométrique ? Est-ce que SU(2) est une représentation de SO(3) ? est ce que SO(3) est une representation de SU(2) ? help !
oui SO(3) peut être défini comme le groupe (abstrait) des rotations de l'espace R^3, et ensuite on en trouve diverses représentations (linéaires), c'est-à-dire des espaces (vectoriels) sur lesquels ce groupe agit. Un exemple de telle représentation est la représentation triviale (disons R, ou C, sur lequel le groupe n'agit pas), un autre exemple est R^3 où il agit par rotation.
SU(2) est juste un autre groupe, qui est relié à SO(3) comme expliqué dans la vidéo, mais ce n'est certainement pas une représentation de SO(3) (déjà ce n'est pas un espace vectoriel !).
Ce qui cause peut-être la confusion est que quand on écrit SO(3) on choisit en effet souvent une représentation pour écrire des matrices explicites. Quand on fait ça on choisit la représentation R^3, et c'est pour ça que cette représentation est parfois appelée la "représentation de définition".
@@antoinebrgt Merci beaucoup pour ta réponse. C'est plus clair pour moi maintenant, (après revisionnage des video). Si j'ai bien compris, les relations fondamentales "algorithmique" sont les relation de commutation entre les H, X, Y. apriori les H,X,Y pourraient etre n'importe quel objets, mais on peut toujours les representer par des matrice carrée, qui peuvent donc etre vue comme des endomorphisme d'un espace vectoriel V. Un ensemble de H, X, Y qui vérifie les relations de commutation de l'algèbre (/groupe) et l'espace vectoriel sur lequel il agit sont une representation de l'algèbre (/groupe). Les representations ont tout plein de propriétés intéressantes justement grace au relations de commutation.
Magnifique ❤
Franchement tu expliques tellement bien que tu devrais faire que des videos sur les maths. Personnellement c'est la où je pêche 🍑 et ca pénalise pour la physique évidement...
Merci ! Par contre pourquoi le fait que j'explique bien devrait me cantonner aux maths ? :D Il faut aussi expliquer la physique!
@@antoinebrgt c'est juste que je trouve que les barrières à la compréhension de la physique viennent d'une mauvaise compréhension des maths...
Si les maths vont bien ça roule pour la physique...
Super vidéo ! Quel logiciel utilisez-vous ? Merci.
Merci ! J'utilise Gimp.
Super intéressant :) un octonion est de dimension 8 comme SU(3), est-ce aussi lié haha ? En tout cas, j'attends impatiemment la 3ème partie !
Haha non pas à ma connaissance ! Mais ob verra comment apparaissent les octonions la prochaine fois :)
3x3-1 et 2^3, faut plutôt demander aux spécialistes de la théorie des nombres. Mais comme les octonions ne sont pas associatifs, ça ne peut pas être un groupe. Il y a des groupes de Lie exceptionnels, G2, F4 etc. liés aux octonions. Voir John Baez.
@@clmasse Oui ce sera le sujet de la suite !
Pour l'utilisation de b3 pour su(2) (vers 2:25:30) y a cette vidéo qui est bien : czcams.com/video/ACZC_XEyg9U/video.html
Merci pour ces belles vidéos ! Quel logiciel utilises-tu pour écrire ? Merci.
Réponse donnée à la vidéo précédente : une tablette graphique et the Gimp
Je suis bluffé : comment rendre compréhensible, quelque chose de complexe. Je pense que votre méthode d'apprentissage est aussi une symphonie
Merci beaucoup !
Bonjour
Pour faire joujou avec les matrices sur mon PC j'utilise la représentation matricielle 2*2 des coefficients, donc je me fiche de savoir si les coefficients sont réels ou complexes.
C'est comme ça que travaillent les professionnels avec les matrices?
Pour certaines manipulations algébriques en effet ça ne change pas grand chose que les coefficients soient réels ou complexes, mais dans d'autres situations c'est important, donc ça dépend des cas !
@@antoinebrgt merci
pour calculer le déterminant au delà de 3 bonjour les dégâts mdr
@@bullmarket3424 pour les déterminants la seule chose importante c'est que l'algèbre soit commutative donc réels ou complexes ça donnera pareil en effet !
@@antoinebrgt merci
je pense y arriver pour les déterminants
Mon ambition est de faire calculer par mon PC les valeurs propres des matrices.
J'y arrive avec les coefficients réels en utilisant des itérations (pas toujours très précises d'ailleurs M=p*D*pinverse)
Si j'y arrivais avec les coefficients quelconques je pourrais résoudre n'importe quelle équation à coefficients réels (ax2+bx+c=0 et au dessus mdr) en supposant que je sois capable de construire la matrice dont le polynôme caractéristique est l'équation en question.
Sur internet j'ai cru comprendre que ce serait possible
du coup je me prépare aux zoctonions en matant les vidéos de Cohl Furey. Si c'est possible d'avoir 1ou2commentaires sur CL6, est-ce que sa façon de présenter les choses est nouvelle, commune, utilisée...
Je ne connais pas les vidéos de Cohl Furey, je vais y jeter un oeil ! Qu'est-ce que CL6 ?
@@antoinebrgt ok, il y a une série de 14petites vidéos czcams.com/video/3BZyds_KFWM/video.html
CL espace de Clifford, apparemment, ça sert à permettre de l'associativité dans les octonions.
dsl si j'interfère avec ta prochaine vidéo, j'aurais du attendre!
@@bouhschnou Merci pour le lien, ça a l'air cool en effet !
Pour les algèbres de Clifford en effet c'est assez central pour tout ce qui est spineurs, et ça a un lien avec les systèmes de nombres aussi, j'en parlerai sans doute un jour (mais probablement pas dans la prochaine vidéo, ça nécessite une vidéo à part entière je pense).
Est ce que tu fais de la photographie ?
Pas spécialement, pourquoi ?
@@antoinebrgt Je voulais connaître le comportement d'une personne intelligente capable de comprendre et de maîtriser la physique des particules. Je révise les cours de physique du lycée (j'avais fait un bac L, j'ai donc un peu de retard...), mon but étant d'être capable par l'intermédiaire de livres et de chaînes CZcams comme la tienne, d'acquérir un niveau universitaire. J'ai parlé de photographie, mais ça aurait pu être n'importe quelle passion chronophage qui empêche l'acquisition d'un tel savoir. En d'autres termes, à l'image d'un sportif de haut niveau, faut il consacrer toutes ses heures disponibles pour arriver à une telle maîtrise de la physique ?
@@Alexandre-ed6oj clairement oui ça prend du temps, la comparaison avec un sportif est sans doute bonne, en d'autres termes c'est un métier ! Et en effet c'est un métier vraiment à plein temps, disons que je dois passer au bas mot 50h par semaine à faire des maths /physique de près ou de loin :)
@@antoinebrgt Il est vrai que la charge de travail d'un sportif ou d'un musicien est assez bien diffusée dans les médias mais pas forcément celle d'un théoricien en physique. Merci pour ta réponse, ça me permet d'avoir une bonne idée des sacrifices nécessaires (passionné par la photographie) si je veux atteindre mes objectifs.
😊
@@Alexandre-ed6oj oui je pense que c'est assez similaire à tous les "arts", si on veut être très bon il faut y passer beaucoup de temps :)
pourquoi il n'y a rien entre les complexes et les quaternions?
réels dans R complexes dans R2 quaternions dans R4 rien pour R3
pourquoi pas: a puis a+ib puis a+ib+jc puis a +ib+jc+kd etc ..
Bonne question ! Le problème c'est que si tu ne prends que i et j, que vaut le produit ij ?
@@antoinebrgt à toi de nous le dire.
Est ce que les matrices de Pauli seraient quelque chose qui y ressemble?
Ces matrices agissent dans R3.
une des trois représenterait j d'où le produit ij avec les représentations matricielles comme pour les complexes et les quaterniions
@@bullmarket3424 C'est un petit calcul à faire :) Mais tu verras que tu tombes sur une absurdité si tu essayes de te limiter à la dimension 3.
Pour les matrices de Pauli j'en parle dans la vidéo, ça correspond aux quaternions imaginaires (i, j, k).
@@antoinebrgt merci tu es formidable
@@bullmarket3424 Haha merci :D
Salut, as-tu entendu parlé des nombres complexes bleu, vert et rouge ?
czcams.com/video/lqH4BLHGsFw/video.html
Non je ne crois pas, ou alors ce sont les quaternions peut être ?
nous somme d'accord que matrice inversible = matrice non singulière ou c'est autre chose ?
Une matrice est inversible ssi son déterminant est non nul, est-ce que c'est ce que tu veux dire par non singulière?
@@antoinebrgt Oui, vous avez raison. Lorsque je mentionne qu'une matrice est inversible, cela signifie que son déterminant est non nul, ce qui est équivalent à dire qu'elle est non singulière. Les termes "inversible" et "non singulière" sont souvent utilisés de manière interchangeable pour décrire la même propriété d'une matrice carrée. Une matrice est dite inversible si et seulement si elle est non singulière, c'est-à-dire si son déterminant est différent de zéro. merci pour votre réponse sinon je trouve que vos cours sont bien expliqué continuez comme ça !
Ça change des émissions de variétés
Je pensais pendant un moment que tu parlais des émissions sur les variétés algébriques !