Олимпиадная задача о периметрах прямоугольников
Vložit
- čas přidán 18. 04. 2022
- Андрюша разделил прямоугольник четырьмя прямыми разрезами на 9 прямоугольничков и в каждой части написал, чему равен её периметр. Получилось 9 чисел, как на картинке. Известно, что ровно в одном прямоугольничке Андрюша ошибся. Найдите этот прямоугольничек. Не забудьте обосновать, почему ошибка находится именно в том прямоугольничке, который вы выбрали, а не в каком-то другом.
(А. Солынин)
│14│16│12│
│18│14│10│
│16│18│14│
Эта задача предлагалась в 2018 году на Санкт-Петербургской олимпиаде по математике для школьников.
Проверяем на корректность каждый из четырёх угловых "блоков", содержащих по четыре прямоугольника. Выясняем, что 2 из них содержат ошибки. Пересечением этих блоков являются 2 прямоугольника, один из них "отсеиваем", т. к. его изменение приведёт к тому, что два "корректных" блока будут содержать ошибки. Оставшийся прямоугольник и будет прямоугольником, содержащим неверный периметр.
Задача о рыцарях и лжецах: • Олимпиадная задача о р...
![Как найти сумму слагаемых вида 1/[k(k+1)(k+2)], где k изменяется от 1 до n?](http://i.ytimg.com/vi/zK4QIQy2H5c/mqdefault.jpg)
![Как найти сумму слагаемых вида 1/[k(k+1)(k+2)], где k изменяется от 1 до n?](/img/tr.png)
Спасибо за вашу работу!
Давно искала такие выпуски!
Превыше всех ожиданий!
Чтобы поддерживать себя в форме 👏🏻👏🏻👏🏻
Вам большое спасибо за просмотр и за добрые слова!
Сумма периметров 3-х прямоугольников находящихся в разных столбцах и разных строках равна периметру всего (большого) прямоугольника. Всего таких троек 6, в 4-х из них сумма 42, в двух 48. Последние 2 тройки имеют одно общее слагаемое 18, его и надо исправить.
Да, точно! Можно и так решать!
Я без вычислений решал, просто рассуждал. Среди всех ячеек в каждой строке есть самая широкая, средняя и самая узкая, сравниваем их, а на высоты не смотрим, высоты в каждой строке постоянные. Находим для каждой строки соотношения, где самая широкая, где самая узкая ячейка, для каждой строки соотношения должны быть одинаковыми. Первая строка: самая широкая - средняя, самая узкая - правая, первая ячейка средних размеров. Вторая строка: самая широкая почему-то левая? самая узкая - правая, средних размеров - средняя, уже есть противоречие с первой строкой. Третья строка: самая широкая - средняя, самая узкая - правая, средних размеров - левая, соотношения ячеек по ширине совпадают с первой строкой, со второй - противоречие.
Тоже самое сравнение проводим по столбцам, ширина каждого столбца - постоянная, а высоты сравниваем и находим самую высокую ячейку, самую низенькую и среднюю, соотношения для всех столбцов должны быть одинаковыми по размерам. Первый столбец: самая высокая - средняя ячейка, самая маленькая - верхняя, самая нижняя - средних размеров. Второй столбец: самая высокая - нижняя ячейка, самая мелкая - средняя, верхняя - средних размеров, есть противоречие с первым столбцом. Третий столбец: самая высокая ячейка - нижняя, самая мелкая - средняя, верхняя - средних размеров, есть совпадение со вторым столбцом.
Итого: расстановка ячеек по размерам совпадает во втором и третьем столбцах и в первой и третьей строке. Ошибка в первом столбце и в средней строке - мы нашли ячейку с ошибкой - 18 это ошибочный периметр.
Вот такое решение вообще без вычислений. На вопрос задачи где ошибка - ответ дан, но с вычислениями оценка будет ещё выше.
Идея понятна! Но я бы не сказал, что это решение без вычислений. Ведь сравнение можно рассматривать как частный случай вычисления. :-) А у Вас сравнений очень много!
Рассуждал также как Вы, но было лень описывать, как я нашёл ответ. Спасибо, что сделали это за меня ))
задачка оказалась легче чем казалось!
сначала узнаем строку с непохожими изменениями периметра, то есть - 14, 16, 12 - это 0, 4, -2, как и в третьей строке, а вот во второй строке 0, -4, -8
потом находим ряд по такому же принципу 14 -18 = -4, 16-14= 2, 12-10=2, то есть неправильная первая ячейка во второй строке и значение ее = 14-х=2, х=12
Авторское решение очень понравилось! Однако решил по-другому:
Р=10 получается в двух случаях: либо 4×1, либо 3×2. Любой вариант предусматривает однозначное соответствие длин сторон остальных прямоугольников. Проверка легко выявляет «дефективный» прямоугольник с Р=18 (вместо правильных 12).
*Спасибо за разминку мозга!*
А у прямоугольника 2,(3)*2,(6) периметр 9,(9)?
А если 2,4*2,6 или 2,01*2,99 и ещё куча подобных?
Ни в условии, ни в логике задачи целочисленность
сторон (в единицах измерения) не имеет значения.
@@AC-we9oq Да, по поводу целочисленности Вы, наверное, правы, но в этом случае периметр будет не совпадать у более, чем одного прямоугольника.
Я получил ответ иначе за 10 сек. Я проверил построчно 1, 2 и 3 строки. Для них только в 1 и 3 строке числа сначала увеличиваются а потом уменьшаются и только во 2 строке это правило нарушено. Значит 2 строка содержит неверную клетку. Аналогично по столбцам. Во 2 и 3 столбце числа сначала уменьшаются а потом увеличиваются и только столбец 1 ведет себя иначе. Значит неверная клетка в столбце 1. Пересечение неверной строки 2 и неверного столбца 1 дает неверную клетку с числом 18....
Ну и если надо отредактировать неверную клетку то это просто тоже. Берем 2 строку (или 1 столбец). Справа налево 10 увеличено на 4 до 14, а потом должно быть уменьшено на вдвое меньшее число - то есть на 2. Значит неверная клетка должна содержать число 12
Отличное решение!
Отмечу только, что на олимпиаде, думаю, потребовалось бы обосновать утверждения об уменьшениях и увеличениях чисел в столбцах и строках. Для нас с Вами они очевидны, но жюри могло бы придраться в случае отсутствия объяснений.
И, в качестве наблюдения, замечу, что, если бы в клетке с ошибкой вместо 18 стояло бы число, скажем, 10 (что тоже неверно), то Ваш подход по выявлению ошибки уже не сработал бы.
Ну хорошо. Сейчас я дам обоснование. Если бы все 9 периметров были бы указаны правильно, то попарные разности соседних ячеек были бы вне зависимости от строки одинаковы. В частности мы имеем попарные разности:
2, -4 в строке 1 (16-14 и 12-16)
-4, -4 в строке 2 (14-18 и 10-14)
2, -4 в строке 3 (18-16 и 14-18)
Что мы видим? В строках 1 и 3 эти разности одинаковы - значит в них все периметры указаны верно. А вот в строке 2 мы видим отличие этих разностей: имеем -4, -4 вместо ожидаемых 2,-4 . Обозначим их как д1 и д2. А теперь даже не рассматривая ситуацию по столбцам, мы сразу можем сказать в какой ячейке ошибка. Исходим из простого рассуждения. Если неисправен периметр в левом столбце то изменится только д1 (это кстати наш случай). Если неисправен периметр в правом столбце, то изменится только д2. Если неисправен периметр в среднем столбце, то изменится и д1 и д2 одновременно. В нашем случае сразу видно что неисправен периметр в левом столбце: д1 вместо ожидаемого 2 равен -4, при этом д2 не изменился...
Ну и наконец почему попарные разности не зависят от строки. Обозначим стороны ячеек г1 г2 г3 по горизонтали и в1 в2 в3 по вертикали. Возьмем к примеру левую верхнюю ячейку. В ней периметр равен г1+г1+в1+в1. В следующей парной ячейке справа имеем периметр г2+г2+в1+в1. Получаем разность (г2+г2+в1+в1)-(г1+г1+в1+в1)=2*г2-2*г1
Как видим эта разность не зависит от высоты в1. А это значит, что в любой строке эта разность одинакова
То есть алгоритм простой. Находим д1 и д2 в каждой строке. Выбираем строки где они одинаковы - это верные строки. В неверной строке находим неверную ячейку по ситуации сравнивая д1 и д2 с правильными значениями из правильных строк. Если изменился только д1 - значит левая ячейка неверна, если изменились д1 и д2 одновременно - значит неверна средняя ячейка и наконец если изменился только д2 - значит неверна правая ячейка. Неверную ячейку корректируем по соседней через верное приращение д
@@Evgeny-Kuryanovich Я с Вами полностью согласен! Для меня Ваша правота была очевидна с самого начала. Я писал исключительно о возможных придирках со стороны жюри. Спасибо за развёрнутый ответ!
И я так же поступил
Ура! Я умный по меркам шестиклассника ))))))))))
Приведено сложное объяснение. Я поступил так. Верхнее число слева берём за базу. Тогда второй столбец 1 строка будет больше на 2 , третий столбец 1 строка меньше на 2. Такое же соотношение по столбцам присуще 3 строке. Вторая строка выбивается из правила числом 18. Поскольку ошибка ТОЛЬКО одна, то вместо 18 должно быть число 12. Этого достаточно.
Я понял ход Вашей мысли. Проблема в том, что Вы в своём решении никак не объясняете, почему во всех строках должны быть одинаковые "соотношения" (как Вы их называете) между элементами. Без такого объяснения решение, скорее всего, не будет засчитано. Насчёт сложности моего объяснения... Скорее, не соглашусь. Я просто стараюсь объяснять максимально подробно, но зато моё объяснение, как мне представляется, весьма исчерпывающе.
@@FrolovSergei Может быть Вы и правы. Но хочу отметить бОльшую универсальность моего подхода. Есть задачи без привязки к периметрам по нахождению единственного числа, не вписывающегося в общий порядок. Мой подход позволяет решать и такие головоломки. А на придирку въедливого учителя можно ответить вполне в духе задачи "Потому что все лимоны, а это затесался апельсин".
@@br0nduljak Насколько я понимаю, Вы говорите о задачах (в частности, головоломках), которые нельзя назвать математическими в строгом смысле этого слова. При этом данные задачи, разумеется, могут быть весьма занимательны, интересны и полезны. Но обсуждаемая нами сейчас задача - чисто математическая. И решение её, конечно же, должно быть строгим с точки зрения математики.
@@FrolovSergei Здесь интересен вопрос - где проходит граница знания - незнания? Ведь эдак решая задачу типа "Сколько будет 2Х2" можно дойти до самого Евклида нашего Александрийского, до пифагорейцев, до Джорджа Буля создателя булевской алгебры. На мой взгляд не всегда надо начинать от печки - можно и от стенки, а то и коридора. Шутка!
👍👍👍👍👍
Еще хочу!
Поскольеу в задаче не сказано, что нужно найти верный периметр, не понимаю, зачем так сложно. Можно проще: поскольку это периметры, модно поделить на 2 все числа. Тогда, обозначив столбцы как x1, y1, z1, а строки как x2, y2, z2, можно понять, что различные суммы этих букв будут равны прямоугольникам в их пересечении. Сравнивая последовательно каждую пару в двух соседних строках, затем в двух других строках, а после также сделать со столбцами, поймём, что все пары чисел должны иметь равные знаки неравенства при таком последовательном сравнении: либо числа в одной строке все больше, чем числа в другой, либо меньше. Выделяется только число 18, которое при всех таких последовательных сравнениях выделяется
Прямоугольники в столбцах имеют одинаковые высоты, значит они должны пропорциями относиться друг к другу во всех столбцах как-то похоже, также со строками, средние прямоугольники в каждом столбце наименьшие, кроме первого, и средние в каждой строке наибольшие, кроме второй, то есть 18 в первом столбце второй строке написано неправильно, число в нём должно быть меньше 14 и больше 10
Наверное это 12
Несчастные шестиклассники...
Если в 1 ошибка то это или 12 или 10, и.к. Остальные пересмотры повторяются.
Термин разрез есть только в стереометрии! и хирургии А прямоугольнички, носочки, платочки, ручки и все оканчивающиеся на -чки это чисто женское! !8 сразу в глаза при делении на 2 нечетное!
18 не верен, я быстро посмотрел примерную разницу между ними, 18 выделяется, решил за 10 секунд
В ряде прямоугольников высота одна, следовательно отношения периметров в ряде будет для всех рядов одинакова
Как плохо объясняет, у меня соседский мальчик пятикласник решил в уме за тридцать секунд
Спасибо за мнение. И рад за Вашего соседского мальчика. Но жаль, что Вы не уточнили, что именно плохо в моём объяснении. А я этим роликом очень доволен! Он один из самых успешных на канале.
@@FrolovSergei Вы не уверенно говорите, как то спокойно....., тяжело слушать..
@@ElenaAlenka135 Я говорю неуверенно и, одновременно, спокойно? Неожиданно! Просто неуверенность и спокойствие как-то очень слабо сочетаются...
@@FrolovSergei извините опять за Т9 не проверила не спокойно, а сумбурно,
@@ElenaAlenka135 Принято! Спасибо.