Как найти сумму слагаемых вида 1/[k(k+1)(k+2)], где k изменяется от 1 до n?
Vložit
- čas přidán 26. 08. 2024
- Требуется найти сумму с общим членом вида 1/[k(k+1)(k+2)], в которой k изменяется от 1 до n.
Для нахождения суммы выразим её общий член через сумму простейших дробей, после чего представим исходную сумму в виде разности двух сумм, каждую из которых рассмотрим в отдельности.
Общий член каждой из этих двух сумм представляет собой разность двух простейших дробей. Таким образом, каждая из этих сумм содержит 2n слагаемых, входящих в неё с разными знаками. Среди этих слагаемых имеются пары, совпадающие по модулю, но противоположные по знаку. При сложении они, очевидно, взаимно уничтожают друг друга. В итоге, от одной суммы остаются только четыре слагаемых, а от другой - только два. Остаётся лишь суммировать эти итоговые шесть слагаемых, представив результирующее выражение в виде дробно-рациональной функции от n.
Полученный результат позволяет также найти сумму числового ряда с общим членом 1/[n(n+1)(n+2)] как предел последовательности с общим членом, равным найденной итоговой сумме. Этот ряд сходится, и его предел равен 1/4.
Не очень рациональным образом выполнил последние преобразования. В выражении
1/2(3/2 − 1/(n+1) − 1/(n+2)) − (1/2 − 1/(n+2))
следовало раскрыть скобки и привести подобные члены:
1/4 − 1/2(1/(n+1)) + 1/2(1/(n+2)),
после чего привести 2 последние дроби к общему знаменателю:
1/4 − 1/(2(n+1)(n+2)).
Ну, а далее - всё как в видеоролике.
Интересно, понятно, и главное - полезно! Спасибо!
Вам спасибо за отзыв и за комментарий!
Спасибо, прям молодость вспомнил
Спасибо за просмотр и за комментарий!.
Спасибо! Очень интересное решение, с удовольствием посмотрел.
И Вам спасибо за просмотр и комментарий!
👍
Больше всего мне понравилось пояснение на 00:25
Ну, если просто сказать: "нужно найти сумму", то можно возразить: "а чего её искать, вот она записана на доске". :-) Поэтому я поясняю, что речь идёт о замкнутой форме.
Супер! Подскажите, пожалуйста, как найти выражение для суммы, если k варьируется не до k+2, а до k+1000000000000? Покорно благодарю
Сходу не смогу ответить, к сожалению.
@@FrolovSergei может Вы знаете, есть хотя бы общая формула?
@@ivansakovich7653 Даже не знаю.
@@ivansakovich7653 рекомендую попробовать для начала с k(k+1)(k+2)(k+3) в знаменателе, прежде чем об обобщении говорить :) Я задачу из видео решал по-другому: разложил дробь 1/k(k+1)(k+2) на простые дроби, потом разделил сумму на две так, чтобы почти всё сократилось. Попробуйте для k+3 тоже на простые разложить, авось что получится.
Так, я точно помню, что в этой ветке оставлял комментарий пару-тройку недель назад, но сейчас его почему-то нет. В другой ситуации я бы подумал, что его удалил автор канала, но в данном случае этот вариант не проходит! :-) Получается, это дело рук Ютьюба. Странно!
А написал я тогда примерно следующее обращение к автору треда: "В комментариях к этому ролику пользователь ВДМ приводит информацию, которая, возможно, отвечает на поставленные Вами вопросы. Можете ознакомиться, если есть желание."
nice solution sir thanks
Thanks for watching!
Скорость роста знаменателя замедляется, поэтому ряд сходится долго.
А что считать скоростью роста знаменателя? Если мы рассмотрим полином, стоящий в знаменателе общего члена ряда как функцию вещественного аргумента и найдём его производную, то получим возрастающую функцию. В этом смысле скорость роста знаменателя растёт. И я бы не сказал, что ряд, общий член которого эквивалентен 1/n^3, сходится очень уж медленно. С известным рядом, сходящимся к e, конечно, не сравнить, но знавали мы ряды, сходящиеся и помедленнее. :-)
Я тут, для интереса, вычислил на калькуляторе сумму первых десяти членов ряда и сумму первых ста. Получил ≈0,24621 и ≈0,24995 соответственно. Вроде, неплохо! :-)
@@FrolovSergei отношение последующего знаменателя к предыдущему стремиться к 1, что свидетельствует о замедлении роста знаменателя.
@@user-xi7pp8ri5q Ну, у числового ряда с общим членом 1/n^1000 отношение знаменателей тоже стремится к единице, однако данный ряд сходится очень быстро! А чтобы говорить о скорости роста, нужно, наверно, иметь чёткое математическое определение данного термина.
Ещё можно выразить общий ответ 1/(1×2×3×...×n)+1/(2×3×4×...×(n+1))+...=1/((n-1)!×(n-1))
Я не понял, у Вас в левой части равенства стоит сумма конечного числа слагаемых или числовой ряд?
P.S. К сожалению, Ваш комментарий улетел в "Спам". Я только сейчас это заметил и вытащил его оттуда.
@@FrolovSergei спасибо но там три крапки в конце что значит продолжение следует
@@uni043 Т. е. количество членов бесконечно и это числовой ряд?
@@FrolovSergei да извиняюсь....
@@FrolovSergei но можно получить и это
Тогда последовательная сумма ряда 1/(1×2×...×k)+1/(2×3×...×(k+1))+...+1/(n(n+1)(n+2)×...×(n+k-1))=1/((k-1)!×(k-1))-n!/(k×(n+k)!)
сложно. что нужно знать чтобы выписать первую формулу.
Первую формулу? Ничего особенного знать не нужно. Я её вывожу, пользуясь простейшими тождественными преобразованиями.
Me apareció en recomendados xd
1/(n(n+1)(n+2)) = (n-1)!/(n+2)!
Да, совершенно верно. А Вы это к чему?
@Математический Мирок , просто наблюдение 😊