Klausur UNI Mathe - Beweis durch Vollständige Induktion
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- čas přidán 27. 07. 2024
- Beweis durch Vollständige Induktion
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) Schritt für Schritt den Induktionsbeweis der Summenformel der Quadratzahlen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Vollständige Induktion
0:34 Induktionsanfang
2:31 Induktionsvoraussetzung
3:41 Induktionsschritt
6:25 Summe umformen
8:33 Brüche zusammenfassen
13:24 Bis zum nächsten Video :)
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Hübsch sein und Mathe können passt also doch, probs an meine Mathe Lehrerin 😂😂😂
Kannst du mal eine Liste machen die von den Grundlagen zum Profi gehen. Ich war Hauptschüler (Mathe Erweiterungskurs) in NRW, ist aber schon über 20 Jahre her. Dieses Video ist mir zu hoch. Deswegen von den Grundlagen an
Ich habe eine Frage an sie, welchen Programm benutzte sie auf dem pc?
Ich finde es mega, dass du Uni Themen drannimmst, wäre mega schön, wenn demnächst mehr solche Videos kommen!
War bei uns damals Stoff im Mathe-LK (in Bayern), nicht prüfungsrelevant, aber hat mir sehr geholfen das Konzept der Rekursion beim Programmieren zu verstehen.
@@eisikater1584 Bei der Rekursion geht an den Türmen von Hanoi kein Weg vorbei. ;)
@@georgfrank1458 Primzahltest rekursiv ist auch ganz lustig. Die Türme von Hanoi, wer kennt die nicht? Ich muss dazu sagen, Programmieren habe ich auf einem Apple ][e gelernt mit UCSD-Pascal. Rekursion in BASIC, viel Spaß dabei. (Es geht wenn du dir selber einen Stack baust und ausreichend Speicher hast. Mein Experiment hat aber nie richtig funktioniert.)
Vollständige Induktion ist aber auch schon Oberstufenstoff.
@@teejay7578 Ich meine, wir hatten das ansatzweise in der Zehnten, und dann im LK mal richtig. Ob's im Grundkurs auch vorkam, weiß ich nicht. Du musst bedenken, das ist mehr als 30 Jahre her, und ich habe mein Abi in Bayern gemacht, dem Bundesland, das für seine harten Lehrpläne berüchtigt ist. Und weil man damals mit dem Abschluss der 10. Klasse automatisch den Realschulabschluss hatte haben uns einige Leute verlassen. Nur ich Depp habe Mathe/Englisch gewählt, wegen Computer, siehe oben. Informatik als Schulfach gab's noch nicht.
Hab ich heute erst in meiner Mathe für Informatiker Vorlesung behandelt 😂
Gerne mehr Uni Content, würde echt helfen das zu überleben
studiere auch Info. An welcher Uni bist du?
TU Dresden@@alexandrazeh3275
@@alexandrazeh3275 studiere auch informatik, an welcher uni studierst du?
KIT in Karlsruhe :)du?
@@bibharamshrestha8865
🤝🤝
Hab den selben Beweis witzigerweise vor einer halben Stunde auf meinem Übungszettel bearbeiten müssen. Dakommt dieses Video zur Überprüfung natürlich sehr gelegen😂
Was studierst du?
@@estangiertmichperipher62 Informatik im Bachelor
Diese Gleichung ist sehr klassisch. Sie wird sehr oft verwendet
@@shiver3083 hab ich mir fast schon gedacht, trotzdem aber lustig, dass das zeitlich so genau passt mit meinem übungszettel und ihrem Upload
Das ham wer gerne: Von Gauß gelöste Summenformeln als bequeme „Aufgaben“ zu stellen. Liebe Mathelehrer: Darf ich noch nen Liegestuhl dazu stellen? Wo ist der Eigenanteil?
So eine Tutorin hätte mir im Studium damals das Leben echt einfacher gemacht ;) Danke für die tollen Beiträge
Ich habe einen Schrein von dir in meinem Schlafzimmer, zu dem ich jeden Abend bete, dass du mir immerwieder aufs neue bei meinen Mathabgaben hilfst! - LG
Witzigerweise habe ich tatsächlich auch vor, mir einen Schrein von ihr zu bauen. Hast du irgendwie Tipps?
@@EinWildesTim Natürlich hab ich ein paar Tipps für dich! Den Kern des Schreins würde ich aus Mahagoni Holz empfehlen, da riecht immer so fabulös. Die äußere Schicht würde ich aus hautfarbenden Latex machen, das simuliert das Gefühl einer echten Haut am besten! Außerdem kostet eine Echthaarparücke gar nicht so viel. Hoffe das hilft. LG
@@SirTeilzeitNoob Hättest du eventuell eine Amazon-Liste, dann muss ich das nicht selber zusammen suchen! Brauche das leider unbedingt.
Ich würde mich freuen, wenn noch mehr Uni Themen rankommen. Du bist die einzige auf CZcams, die alles perfekt erklärt. Ohne dich wäre ich verloren
Für die Puristen, die noch gerne 2n^2+7n+6 faktorisieren möchten:
Wenn man den Faktor (n+2) schon kennt, geht das mit der Polynomdivision (2n^2+7n+6):(n+2) sehr einfach und schnell.
Dank dir auch habe ich die höhere Mathematik 1 und 2 für Ingenieure mit 1,0 und 1,3 bestanden.
❤
Super, Sie haben mich viel Geholfen!!!
Schöner Flashback ins erste Mathesemester 🙈
Aber top erklärt für alle, die es gerade erst lernen bzw. überhaupt mal gehört haben 🤗
Vielen Dank für das Video. Das hat mal wieder richtig Spaß gemacht eine solche Aufgabe zu rechnen.
Danke dass du wieder schwierigenlange videos machst, deine videos werden wieder immer besser 🎉
…. Endlich mal ein richtiges Mathe Video. Bitte weiter so. Vorschlag: „Laplace Transformation“🤔
Ich liebe deine Videos! Schritt für Schritt erklärt, dass es auch dumme Menschen, wie ich verstehen :) Habe mir schon so viele Videos angeschaut, weil der Prof es schon nicht erklären kann... aber alle so: ja, das ist dann so und so und jetzt macht ihr das so und so und dann seid ihr fertig und ich hab immer noch nix gerafft :( Deine Videos sind genial! Jetzt habe ich doch noch Hoffnung, die Prüfung wenigstens zu bestehen. Ganz lieben Dank! Weiter so! :)
Danke schön für dieses Video!😊Jeder Schritt war sehr gut nachvollziehbar!
Brauch genau das grad für die Uni, vielen Dank gerne mehr Uni - Sachen
Was ein Zufall, hatte erst vor 2 Wochen genau das Thema Induktion in meinem Studium 😅
Bin gerade im ersten Semester und habe vorher eine Ausbildung + Fachabitur absolviert. Thema gestern angefangen und noch nie davon gehört. Ein Tag später dieses Video. Vielen Dank. Es hat mir sehr geholfen.
danke, ich hatte nur noch so eine Ahnung, jetzt ist es wieder das….schön😊😊
Hätte ich dieses Video damals im Studium gehabt, hätte ich die vollständige Induktion besser verstanden. 😮 aber schön erklärt. Jetzt ist mir einiges klarer
Habe gerade mit der Uni angefangen ich danke dir schon mal
sehr geil ich brauch das echt dringend für Mathematik für wirtschaftswissenschaften. unser prof ist nicht der beste im erklären ^^ bitte mehr was alles mit uni mathe zu tun hat
Danke für das Video!
Voll cool , danke für die Erklärung ❤
Ich finde deine Videos immer sehr hilfreich. :)
Ich bin in der Oberstufe und im Mathe Lk. Leider rechnet unser Lehrer uns nie etwas vor, weshalb ich deine Videos zu Oberstufenthemen, wo du alles Schritt für Schritt rechnest, sehr wertschätze.
Könntest du vielleicht auch ein Video über Stochastik machen? Z.B zur Bernoulli-Experimente bzw Binomialverteilung, Problemlösen mit der Binomialverteilung, Erwartungswert, Standartabweichung, etc... Wie gesagt danke nochmal für deine Videos. :D
Wir hatten das damals in der 11. Klasse im Mathe LK. Habe bis zur 13. gemacht und das 11. Jahr hat der Lehrer für so welche Themen wie Vollständige Induktion benutzt was ich sehr interessant fand und auch cool, dass es so möglich war uns noch für andere Dinge außerhalb vom Abi zu interessieren.
Wir alle lieben Mathematrick
Deine Videos>>>Vorlesung
Herzlichen Dank!
Wir machen gerade genau das ich danke dir von herzen
wow dieses video hat mir so unglaublich viel geholfen (:
Das freut mich sehr! 🥰
Kannst du mehr so uni Mathe Themen behandeln 👍🏻
Wäre super
OMG ich liebe dich sooo sehr! Hab echt viel Mathe Trauma hinter mir und 2014 im Abi nur 3 Punkte geschrieben. Jetzt hab ich Mathe in der Uni und du machst mir so Hoffnung!
Hat nichts zu bedeuten. Das Schulfach ist Rechnen, das Studienfach ist Mathematik. Zwei Paar Schuhe. ;-)
Oha, mit 3 Punkten im Matheabitur kann man heutzutage etwas studieren, bei dem das Fach Mathe wieder dabei ist...da wird mir einiges klarer, was den Zustand dieses Landes angeht
@@udoc.7528 ich wünsche dir, dass dich mal jemand so lieb hat, dass du nicht mehr im Internet rumstänkern musst ❤️
@@udoc.7528 wenn ein Studienfach nicht zulassungsbeschränkt ist, kann man sich da immatrikulieren; egal, was für Noten man im Abitur hatte. Das war schon immer so. Ironischerweise ist gerade das Mathematikstudium häufig nicht zulassungsbeschränkt. Das heißt, man hat mit 0 Punkten im Mathe-Abi bessere Chancen auf einen Studienplatz in Mathematik als bspw. in Jura oder Medizin. LOL
@@udoc.7528 Spar dir die Gehässigkeit. Wenn sie/er das Studium packt reichen die Mathe Kenntnisse für den Job. Urteile nicht wenn du die Hintergründe nicht kennst.
Größten Endgegner "vollständige Induktion" endlich besiegt.
Danke!
Mehr uni mathe bitte !
Du hast eine sehr schöne Schrift :-)
Ich liebe dich 😭❤
Sehr schön! 🙂👻
👍
mathematische beweise - der perfekte grusel-kram für halloween😈
Haha 😅
Gern mehr davon!
Spannend, das hatte ich in der 11. Klasse in der Schule. Wenn das Ergebnis für "n" und für "n+1" gilt, so gilt es auch für alle anderen.(nach Gauss)
Beweis durch Vollständige Induktion. Dieser Satz erinnert mich an meine Schul- und Studium- Zeit.
Dass in einer Summe eine Gleichung steht kannte ich bisher nicht. Wieder was gelernt.....
@friedemannhenke228
HÄ? Gleichung in der Summe? Das würde doch gar nicht gehen. Die Aussage ist doch
(SUM k^2) = n*(n+1)*(2n+1)/6, wobei ich hier SUM für die Summation über k=1 bis k=n schreibe.
Endlich verstanden
Was mich immer gewundert hat beim Beweis durch vollständige Induktion ist, dass man mit der Induktionsvoraussetzung (die ja Teil des Beweises beim Induktionsschritt ist) schon die zu beweisende Gleichung als wahr voraussetzt.
Denn die beim Beweis benutzte Induktionsvoraussetzung ist ja die eigentlich zu beweisende Gleichung.
I never got it............................but could accept it....................^^
Bei Physikexperimenten mit anschließender mathematischer Auswertung hatten wir früher immer die Methode der "vollständigen Intuition" benutzt. Hat auch irgendwie stets zum Ziel geführt. 😄
13 min mir ein Thema nahe gebracht, welches ich 6 Semester nicht verstanden habe, danke
Kann mich noch blass daran erinnern, dass ich Induktion im 1. Semester richtig anstrengend fand. Dafür sah's bei dir jetzt total leicht aus :D
Das ganze Video is mal für mich ne Stufe zu Hoch. Was ich mich frage, für was braucht man solche Rechnungen ? so im Alltag ( Für was 😂 ) Gruss
Schönes Thema und schöner Beweis! 👍🏻
Die Induktionsvorraussetzung würde ich aber nicht als gleichberechtigten Schritt neben Induktionsverankerung und Induktionsschritt sehen, sondern sie enger mit dem Induktionsschritt verknüpfen und dabei auch die Aussage "es existiert ein n, für das die genannte Formel gilt" weniger betonen. Vielmehr würde ich die Wörter "wenn" und "dann" in folgender Aussage möglichst stark betonen: "WENN man ein n hat, für das die angegebene Formel gilt, DANN gilt die angegebene Formel auch für (n+1)." (Das ist ja auch genau das, was die Rechnung gezeigt hat.) Zusammen mit der Induktionsverankerung liefert diese Aussage den gesamten Beweis.
Bis zum umformen verstehe ich alles aber danach kann ich gar nicht mehr folgen (10:14). Was muss ich da nachholen, es klingt nämlich alles so selbstverständlich
Hi ich habe ein paar Probleme mit X , NG, AG und KG bedeuten es würde mir sehr helfen wenn du die erklären könntest:)
Funfact: Die Formel stimmt auch für n = 0. Da ist dann die linke Seite 0 wegen leere Summe und die rechte Seite wegen des Faktors n. Damit schafft man den Induktionsanfang quasi ganz ohne zu rechnen. Die Bedingung "n > 0" steht nur da, um der leeren Summe aus dem Weg zu gehen. Aus demselben Grund stimmt sie sogar auch noch für n = -1.
wenn n=0 möglich wäre müsste die Summe mit k=0 beginnen, dieser Fall wäre vermutlich für den Induktionsanfang nicht ausreichend
@teejay7578 Das mit den leeren Summen ist doch eher was für Experten. (Die mit n=0 geht noch, aber mit n=-1 als Induktionsverankerung wird es leicht unsinnig, weil dann der Induktionschritt auch ab n=-1 zu machen ist.)
Dann lieber die Summen bei k=0 anfangen lassen, wenn der Fall n=0 unbedingt dabei sein soll.
Abgesehen davon besteht ja auch so schon die Gefahr, dass viele Zuschauer allein durch das Summenzeichen abgeschreckt oder abgehängt werden. (Und die Akrobatik mit dem Aufteilen in zwei Summen ist vielleicht auch nicht ganz automatisch, wenn man sie zum ersten Mal sieht.) Eine Schreibweise wie
1 + 4 + 9 + ... + (n-1)^2 + n^2
wäre für viele vermutlich verständlicher.
@@mathannexvienna3548 Nein, muss sie nicht. Summen mit Obergrenze < Untergrenze sind sehr wohl definiert und haben den Wert 0, weil sie keine Summanden enthalten. Daher heißen sie auch "leere Summen". Analog dazu gibt es die "leeren Produkte" mit dem Wert 1.
@user-gd9vc3wq2h Das habe ich doch selbst gesagt, dass die Bedingung "n > 0" dazu dient, der leeren Summe auszuweichen. Stattdessen die Summe bei 0 zu starten würde hier gehen, aber nur, weil man damit nur eine 0 addieren würde. Da man beim Induktionsschritt an keiner Stelle benutzt hat, dass n positiv sein soll, sehe ich nicht, was sich daran ändern sollte, wenn man den Induktionsanfang für 0 oder -1 statt 1 macht. Im Gegenteil müsste das bereits den Rückschluss zulassen, dass die Gleichung für keine andere negative ganze Zahl stimmen kann, nachdem sie für n = -2 nicht mehr stimmt (lässt sich leicht verifizieren, da die rechte Seite offenbar keine weiteren ganzzahligen Nullstellen hat).
Bzgl. der Schreibweise magst du Recht haben. Die weit verbreiteten Verständnisprobleme bzgl. der leeren Summe rühren vermutlich auch daher, dass man z. B. eine "Summe über k² von k = 1 bis 0" nicht als "1 + 4 + 9 + ... + 0" darstellen kann, weil die 1 bereits zuviel wäre. Wahrscheinlich ist genau das der Grund, warum sich da viele nichts drunter vorstellen können und meinen, eine solche Summe wäre nicht definiert oder die Definition wäre in Rechnungen nicht benutzbar.
Hallo Susanne, könnten Sie vielleicht die Fourier-Reihen erklären. Vielen Dank
hier steig ich aus....^^....trotzdem coole vids👍
Wenn n in einer Potenz steht gilt die Induktion nur für 0 und 1 oder? Irgendwo hab ich da einen Verständnisskonflikt.
Gut erklärt, mir fehlt jedoch als Einleitung warum und wann mit welchem Sinn man überhaupt eine Induktion machen sollte 🤔
Nun, der letzte Schritt war bei uns damals im LK Mathe von unserem Lehrer schon gefordert. Ist aber auch nicht besonders aufwendig, wenn man die Klammer einfach durch (n+2) dividiert.
Die Aufgabe hatten wir auf einem Übungsblatt in LA1.
Danke für das schöne Video. Aber eine Frage: für n=0 würde das Ergebnis doch genauso stimmen passen, es gibt ja keine Division durch Null in der Formel, so dass 0*0 = 0*1*1/6 da stehen würde, was ja korrekt wäre. Was übersehe ich da, warum wird die Null ausgenommen?
Man müsste die Summe natürlich grundsätzlich bei k=0 beginnen, damit auch der Fall n=0 berücksichtigt werden kann, aber ansonsten würde mir auch kein Grund einfallen, diesen Fall auszuschließen.
@@unknownidentity2846 Vermutlich hat man es in der Aufgabenstellung "weggelassen", damit die Prüflinge sich um die 0 nicht gesondert Gedanken machen müssen und Zeit sparen können. Den Fall n=0 müsste man denke ich extra aufführen, der Induktionsanfang ist ja trotzdem erst mit n=1 aussagekräftig.
@@reinhardholler7149 Vielleicht müsste man dazu mal einen Mathematiker fragen. Und ja, der Fall n=0 ist jetzt vielleicht nicht so sonderlich spannend, aber warum sollte dieser Fall kein aussagekräftiger Induktionsanfang sein? Für n=0 bekäme man:
Linke Seite: ∑(k = 0, n = 0) k² = 0² = 0
Rechte Seite: n(n+1)(2n+1)/6 = 0*1*1/6 = 0
Wenn dann aus der Gültigkeit der Gleichung für ein beliebiges n die Gültigkeit für n+1 gezeigt wurde, dann muss aus der Gültigkeit für n=0 auch die Gültigkeit für n=1 folgen.
Ja, funktioniert genauso auch ohne die Einschränkung n>0. Hat @teejay... hier schon in seinem Kommentar als "funfact" gut beschrieben 👍. Die Laufvariable k muss man dafür nicht verändern.
🙂👻
Der Dauerbrenner, wenn dem Uni-Dozenten (oder Mathelehrer 12. Klasse in meinem Fall) nichts Kreatives einfällt. Als Ingenieur greife ich tagtäglich auf das Erlernte zurück. Die Vollständige Induktion ist eines der wenigen Beispiele für "einmal erlernt und nie wieder gebraucht".
Danke, daß Du Dich diesem Thema annimmst und der gequälten Generation Lösungswege aufzeigst. ❤
Wenn du eine Brücke bauen musst eventuell. Man sollte es jedenfalls mal verstanden haben. Für mich heute nur Spaß.
Das Thumbnail sieht schonmal wild aus! 😂
Mein Kopf macht aua. Ich habe zwar Ingenieursstudium abgeschlossen, aber ich checke nicht ganz wozu man das braucht ^^
Mega gut erklärt. Trotzdem bin ich zu beschränkt dafür, um das zu verstehen.
Sehr gut erklärt, junge Frau. Und da sag noch mal einer, daß Mathe nicht fabelhaft wäre.
Die Vollständige Induktion als fundamentale Beweismethode didaktisch einwandfrei erklärt. Danke Dir für diese Erinnerung an mein Vordiplomstudium. Und so fällt mir eine alte Frage wieder ein:
Warum versagt die vollständige Induktion beim Beweis der Riemannschen Vermutung ? (Zur Erinnerung: Riemann vermutete: "alle nicht trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta - Funktion haben den Realanteil 1/2").
Man kann leicht zeigen, das dies für die ersten Nullstellen gilt, aber eben nicht für alle. Warum scheitert die Induktion hier?
Danke für Deine Prognose, warum es nicht nicht klappen kann. Herzliche Grüße, G.
@user-xt3to3ih8f Die Riemannsche Vermutung und die Diskussion der möglichen Beweisstrategien ist vielleicht doch etwas außerhalb des Themenbereichs dieses Kanals. Aber Sie können ja gerne dazu recherchieren und Ihre Ergebnisse dann hier in kurzer Zusammenfassung mitteilen.
@@user-gd9vc3wq2h Kein Mensch erwartet hier die Lösung eines 150 Jahre alten ungelösten Problems der Mathematik, für das es immer noch 1 Million US$ vom Clay Mathematics Institute aus den USA gibt. Die Frage an die Matheprofis (ich bin Laie) ist nicht die Lösung, sondern vielmehr lediglich, warum die Induktion scheitert, obwohl sie sich hier doch anbietet. Recherchen dazu bleiben wohl eher den den Profis (z.B. den Diplommathematikern) vorbehalten. Die 10A's (alle anfallenden Arbeiten auf andere abschieben, anschließend anschwärzen, aber anständig) helfen hier nicht wirklich weiter, oder?
Vollständige Induktion "scheitert" bei dieser Thematik nicht, sie ist schlicht und ergreifend nicht anwendbar, weil man gar keine Vorschrift für den Schritt von Nullstelle i zu Nullstelle i+1 angeben kann. Wenn man einen solchen hätte, wäre die gesamte Vermutung eine Trivialität.
@@NoSpeechForTheDumb Gute Antwort, Danke! Ich habe mich auf meinen ersten Blick hin in die Irre leiten lassen, weil die trivialen Nullstellen der Zeta - Funktion äquidistant erscheinen (-2, -4, -6, -8, ), die nicht trivialen Nullstellen jedoch im Imaginäranteil nicht (i1 = 14,134..., i2 =21,022..., i3=25,010..., i4=30,424, etc.) und damit die Induktion keine Anwendung finden kann. Danke nochmals fürs Mittdenken und diesen Hinweis mit Substanz. Herzliche Grüße, G.
Das ist genau die Formel für ein Problem mit Quadraten:
Ein Quadrat besteht aus n*n kleinen Quadraten. Wieviele Quadrate lassen sich insgesamt finden?
Also nachvollziehen kann ich das Video, aber wenn ich alleine die Aufgabe angehen sollte, stünde ich wie ein Ochse vorm Berg!
Wow, einfach mal zum Spaß angeklickt, aber nicht so viel verstanden. 1. Habe ich nicht verstanden was überhaupt gemacht wurde und 2. bei 10:11 habe ich nicht verstanden wie das n+1 ausgeklammert wurde.
Das soll jetzt keine Kritik sein, aber ich frage mich schon warum (Grund)Schülern eine Aufgabe gestellt wurde, die ich selber nur mit fast höherer Mathematik lösen konnte.
Die Mutter (und der Vater) fragten mich ernsthaft ob ich das lösen könnte. Klar, war ja nur eine Rechenaufgabe. Nach einer halben Stunde kam ich ungefähr auf die erwartete Lösung.
Der Beweis durch vollständige Induktion ist eine der wichtigsten „Techniken“ in der Mathematik, wenn es um „Folgen und Reihen“ geht. Und das Verständnis darum ist eine gute Voraussetzung, um in die Infinitesimalmathematik einzusteigen.
Daher bin ich etwas verwundert, dass dies hier „Uni-Thema“ ist. Dieses Verständnis sollte bereits in der 11. Klasse entwickelt werden (gerne nur im LK), da man hier vieles darauf aufbauen kann.
Es ist auch schon Oberstufenstoff.
@@teejay7578 aufgrund einiger Kommentare hier bin ich davon ausgegangen, dass es nicht mehr Teil des Mathematikunterrichts in der Schule sei.
Spielt aber keine große Rolle ob es im LK drankommt oder nicht... Der Titel des Videos IST korrekt, es ist nunmal Unistoff. Es gibt Leute ohne Mathe LK oder auch FH-Reife, für die ist es neu und in der Uni kommt es eben gerade in MINT Studiengängen auf jeden Fall dran.
ohne dich hätte ich mich bestimmt schon aus Physik exmatrikuliert 😂😵💫
12:36 unser Professor erwartet da jetzt noch eine Polynomdivision
Ich konnte sehr gut folgen. Geholfen hat es mir aber nicht, weil ich es nicht benötige. Höchstens um mein Gehirn etwas zu beschäftigen. 😁
Boesartige Zungen behaupten, (reine) Mathematik sei so etwas wie "intellektuelle Onanie" ...
Die Repraesentanten der "reinen Mahematik" und der "angewandten Mathematik" laestern gern im Schherz uebereinander. Die einen sagen "Wir sind die reinen Mathematiker, das anderen sind die unreinen Mathematiker", die anderen sagen "Wir sind die angewandten Mathematiker, die anderen sind die abgewandten Mathematiker".
@@juergenilse3259 du meinst "geistige Masturbation". . . ?
Herzlichen Dank für diese Frage aus dem Bereich: "Analysis-I" 🙏
Mein Lösungsvorschlag ist:
⇒
I) für n= 1, ∑ von k=1 bis k= 1
= k²
= 1²
= 1
= n*(n+1)(2n+1)/6
= 1*2*3/6
= 6/6
= 1
Somit stimmt die Gleichung, Kiterium I ✔
II) ∃ n ∈ ℕ: ∑ k=1 bis k= n, k² = n*(n+1)(2n+1)/6
III) Induktionsschritt: n → (n+1) :
∑ k= 1 bis k= (n+1)= [(n+1)*(n+1+1)*(2*(n+1)+1)]/6
= (n+1)*(n+2)*(2n+3)/6
(∑ k= 1 bis k= n) + (n+1)²
= n*(n+1)(2n+1)/6 *(n+1)²
= [n(n+1)*(2n+1)+ 6(n+1)²]/6
⇒
(n+1)*(n+2)*(2n+3)/6 =? [n(n+1)*(2n+1)+ 6(n+1)²]/6
⇒
(n+1)(n+2)(2n+3) = ? (n+1)[n(2n+1)+6*(n+1)]
(n+2)(2n+3) = ? n(2n+1)+6(n+1)
2n²+3n+4n+6 = ? 2n²+n+6n+6
2n²+7n+6 = 2n²+7n+6 ✔
⇒
Demnach
(n+1)*(n+2)*(2n+3)/6 = [n(n+1)*(2n+1)+ 6(n+1)²]/6 wurde gezeigt !
Ich würde mich weiterhin auf die Fragen aus der Analysis freuen, sowie Integralrechnungen (auch Mehrfach Integral) sowie Differentialgleichungen 🤗👏👌
Was ich mich immer frage ist, warum man die Induktionsvorraussetzung im Induktionsschritt einsetzen darf, obwohl man diese nur für einen Fall (hier n=1) gezeigt hat. Die Allgemeingültigkeit ist hier ja noch nicht bewiesen.
Das ist ja gerade der Trick. Zunächst wird die Richtigkeit der Gleichung für den kleinsten Wert von n (hier n=1) durch explizites Einsetzen und Ausrechnen gezeigt. Anschließend zeigt man allgemein: Wenn die Gleichung für den Fall n korrekt ist, dann stimmt sie auch für n+1. Nun weiß ich: Die Gleichung gilt für n=1 und sie gilt für n+1, wenn sie für n gilt. Damit folgt aus der Gültigkeit für n=1 automatisch die Gültigkeit für n=1+1=2. Daraus wiederum folgt die Gültigkeit für n=3, dann für n=4 usw. und damit dann am Ende für alle natürlichen Zahlen.
@@unknownidentity2846 Ok, jetzt habe ich es verstanden. Dankesehr
@@maxi5703 Vielen Dank für deine Rückmeldung. Es ist immer schön zu sehen, dass man weiterhelfen konnte.
Ssoo!!
Uni Aachen lässt grüßen
Über der Summe sollte nicht "n+1" sondern "1+1" oder "2" stehen. So ist es mindestens verwirrend...
Komisch, der Begriff Induktion hat in der Elektrotechnik eine ganz andere Bedeutung.
Susanne hat mal wieder alle Fragen beantwortet, von denen ich 15 min vorher noch hoffte, sie seit der Schulzeit erfolgreich verdrängt zu haben.
Ich werd nun Mathe studieren.
Selbst schuld.
Ich schließe immer von mir auf die gesamte Menschheit - dabei geht die Induktion meist daneben.
Wofür braucht das ein NORMALER MENSCH im normalen Alltag. Nicht jeder hat auch einen Induktionsherd zuhause.
Man geht halt auch nicht auf die Uni, um besser im Alltag zurecht zu kommen.
Dieser Aufgabentyp scheint immer aufzugehen. Dann fragt man sich, wo der Witz ist. Zeig uns doch mal ein Beispiel, das erst im Induktionsschritt auf einen Widerspruch läuft.
mein Horror-Thema...
Ich vermisse Deine typische Frisur.... :-)
Soll das wirklich ein UNI (!) - Thema sein? Das war früher eine Aufgabe im LK Mathe in der 11. Klasse! (OK: 70er Jahre und Obersekunda…)
Wenn so etwas heutzutage wirklich erst Stoff für die Universität sein sollte, dann ist es kein Wunder, dass das Bildungsniveau auch bei „Akademikern“ immer weiter sinkt!
Diese Aufgaben sind auf den ersten Übungszetteln, dann wird es hart. Die Profs. nehmen keine Rücksicht, das man heute im Abi im Mathe LK kaum etwas lernt. Mein Prof. sagte mir, dass die Leute in den 70ern mehr Wissen mitbrachten und das setzt er auch heute voraus. Er habe keine Zeit in der Vorlesung unsere großen Lücken zu füllen, das müssen wir selbst tun. Bei uns haben 90% das Mathestudium nicht geschafft‼
Du weißt noch genau welche Aufgabe vor 50 Jahren bei dir in der Oberstufe dran kam?
In jedem MINT-Studeingang werden im ersten Semester Themen aus dem Mathe-Abi behandelt und vertieft, logischerweise. Das ist nichts Neues und der Induktionsbeweis ist eigentlich nur für Mathematiker relevant.
Ich verstehe überhaupt nicht wofür das zu gebrauchen ist.
Hab zwar vor Ewigkeiten mal mein Fachabi gemacht, aber noch nie was davon gehört.
In welchen lebenspraktischen Bereichen findet das eine Anwendung?
Oder ist das nur ein Beweis für eine mathematische Rechnung? Hmmm... 🤔
Ja, es ist ein mathematisches Beweisverfahren.
@merle664: Was zu gebrauchen - die bewiesene Formel oder die vollständige Induktion?
a. Die bewiesene Formel kann z.B. nützlich sein, wenn Du in einer Quiz-Show damit ne Million gewinnen kannst oder wenn Du aus irgendeinem anderen Grund aufeinanderfgende Quadratzahlen addieren musst.
b. Die vollständige Induktion dient dazu, unendlich viele (gleichartige) Behauptungen in einem Aufwasch zu beweisen. Jede davon einzeln zu beweisen würde zu lange dauern.
@@user-gd9vc3wq2h Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Ich merke aber gerade, dass meine Vorstellungskraft da an eine Grenze stößt. Vielleicht müsste ich mich mehr damit beschäftigen... wird aber nicht passieren, weil mir das sinnlos erscheint.
Ich bin eher Handwerkerin, ich muss das sehen und anfassen können, was ich mache😁
@@merle6694 Dann bau (oder stell Dir vor) Pyramiden aus kleinen Kugeln, jede Schicht als ein quadratisches Gitter angeordnet und die Kugeln jeder Schicht immer in der Mitte zwischen 4 Kugeln der Schicht darunter, bis ganz oben eine einzige Kugel sitzt. Wenn Du jetzt so ein Ding mit einer Anzahl n an Schichten hast, wieviele Kugeln sind da drin?
@@user-gd9vc3wq2h ich glaube ziemlich viele... aber das wird nicht die gewünschte Antwort sein.
Da müsste ich dann wohl so eine Gleichung aufstellen...
Da mir dafür aber das Vorstellungsvermögen im Moment noch fehlt, kann ich es nicht beantworten. Aber ich werde daran arbeiten!
Die Pyramide kann ich mir vorstellen.
Und wenn ich nun noch wüsste wie viele Schichten die hat, kann ich raus bekommen wieviele Kugeln das sind.
Kannst du dazu auch ein Video machen? :)
Division mit Rest: Man zeige durch Induktion, dass fu ̈r all a,b ∈ Z mit b > 0 gibt es eindeutig bestimmte q, r ∈ Z mit
a=qb+r mit 0≤r