Parabeln - Teste dein Wissen!
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- čas přidán 25. 06. 2024
- Parabeln Aufgabe
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne)
wie man eine Funktionsgleichung einer Parabel berechnen kann. Wir ermitteln den Schnittpunkt mit der y-Achse und die Scheitelpunktform. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Parabeln
0:17 Aufgabe a)
5:02 Aufgabe b)
9:30 Aufgabe c)
11:43 Bis zum nächsten Video :)
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Hab mich mit Hilfe deiner Videos für die Offizierseignung bei der Bundeswehr vorbereitet, und es hat super geklappt. Vielen lieben Dank für deine Hilfe liebe Susanne 🤗🫶. LG
Viel Erfolg!
Dankööö
wenn Du dann in FFB bist, bekommst Du die Ausbildung in Etikette, Knigge, Essen und Tanzen - lach nicht drüber, geniesse es und lerne - die Frauen stehen drauf, auch wenn sie es heute nicht mehr zugeben ;)
@@christianhofmann7223 glaub ich kriege dort eh einen Kulturschock🙈. Bin schon 12 Jahre in der Truppe.
Mehr als die Parabel (Geschossflugbahn) brauchst du bei dem Verein auch nicht an Mathematik. Und selbst das wissen die meisten da nicht.
🧡 Keine weiter Fragen. Ein wunderschöner Tag 🌞
Wie immer mathematisch bezaubert 🥰
Würde vermuten, dass die Aufgabe für Klassen vor Einführung der Differentialrechnung gedacht ist. Den Teil b kann man ansonsten auch ganz einfach über die Ableitung bestimmen.
f'(x) = 2x-2, mit f'(x)=0 ergibt sich x = 1, damit haben wir den x-Wert.
x eingesetzt in die normale Funktion ergibt dann den Funktionswert von 2.
Habe mich auch gewundert, warum Susanne nicht die 1. Abl. gleich 0 gesetzt hat...
War auch meine Überlegung.
@@_H__T_ist ne Aufgabe z B in der Realschule.. Da ist nix mit Ableitung
@@hermannkiessling5229 In der Realschule wird nicht abgeleitet? 😯
Da wäre es zumindest logisch und verständlich nachvollziehbar, warum man es so macht und was es bedeutet (Stichwort Steigung, etc.). Die Scheitelpunktform kannte ich bis gerade gar nicht. Ist mir weder auf dem Gymnasium in der Sek I, noch im Mathe LK oder im Informatikstudium begegnet.
Wird die Scheitelpunktform und die quadratische Ergänzung denn im der Realschule hergeleitet oder wird einfach gesagt "Macht das einfach so und vertraut darauf, dass das so ist"?
Sehr gute Aufgabe zur Wiederholung. Hatte ich alles schon mal gelernt und fast vergessen.
dito... nur dass du bei mir das fast weglassen kannst. Auffrischung ist aber gelungen!
Vielen lieben Dank für die Wiederholung und die schönen Erinnerungen. Ich mochte Mathe schon in der Schule. Schöner wäre es gewesen, wenn sich auch damals jemand so herzlich und klar strukturiert an die Erklärung gemacht hätte 🤷🏻♀️
Dafür freue ich mich heute umso mehr! Deine liebe und offene Art macht das Verfolgen zum Vergnügen. Mach bitte noch lange weiter so 👏🏼 🙋🏻♀️
Hallo Suzanne, ich hatte zwar einen super Mathelehrer, aber unter Dir hätte ich bestimmt auch super gelernt.
😍 Nur wäre ich bestimmt viel öfter abgelengt und nicht so ganz bei der Sache.😅
Mach so toll weiter Stimme, Aussehen, Sympathie und Dein Lachen ist einfach "Welt"!🎉
Da können sich einige Lehrer/innen eine Scheibe abschneiden.
Hättest Du Lust auf ein Mathe-Date?😁🎉🥳
So solche Aufgabe Ich habe viel gesucht und endlich gefunden. Vielen Viele Dank
Hallo Susanne, herzlichen Dank für diese Aufgabe 🙂🙏
Mein Lösungsvorschlag ▶
a) y= x²-2x+c and P(-1,6) wird gegeben, demnach:
f(-1)= 6
6= (-1)²-2*(-1)+c
6= 1+2+c
c= 3
⇒
y= x²-2x+3 ist die Gleichung, oder auch:
a= 1
y=a(x-xs)²+ys ist gleich:
y= x²-2x+3
⇒
x²-2x+3= (x-xs)²+ys
x²-2x+3= x²-2x.xs+xs²+ys
xs= 1
1²+ys= 3
ys= 2
⇒
y= (x-1)²+2 wäre ebenfalls die Gleichung der Scheitelpunktform
y(0)= 0-0+3
y(0)= 3
R= (0,3) der Punkt wo die Graphik die y-Achse schneidet
b) der Scheitelpunkt:
xs= 1
ys= 3 oder:
df(x)/dx= 0
d/dx(x²-2x+3) = 0
2x-2=0
xs= 1
d²y/dx²= 2 > 0 ( Minimum)
f(1)= 1-2+3
f(1)= 2
ys= 2
⇒
S= (1, 2)
c) Hat die Parabel Nullstellen ?
y= x²-2x+3
Δ= 4-4*1+3
Δ= 4-12
Δ= -8 < 0 ❗
keine reele Lösungen vorhanden, somit schneidet die Parabel nicht die x-Achse !
Warum nicht mit der Scheitelpunktsform? (x - 2)² + 2 = 0 --> (x - 2)² = -2 bedeutet, dass es hier nur eine konjugiert komplexe Lösung gibt, vielleicht mit der Ergänzung, dass die Parabel einen
positiven Vorfaktor (a = 1) hat, also nach oben geöffnet und einen Scheitelpunkt (Minimum) oberhalb der x-Achse.
Ich habe xs mit - b/2a berechnet. Ging schneller als mit der quadratischen Ergänzung.
Wieder ein tolles Video und eine schöne Aufgabe. Mein Anschau-Algorithmus ist ja immer der gleiche 😇:
1) Video zu Beginn anhalten und Aufgabe selbstständig lösen 🧠
2) Video anschauen und Lösungsweg von Susanne vergleichen 📺
3) Video liken 👍
4) Video kommentieren 💬
a) gleicher Ansatz
b) Die quadratische Gleichung in die Scheitelform zu transferieren war mir nicht mehr präsent, aber während deines Videos hat es wieder Klick gemacht 😇
c) Ich bin die a-b-c-Formel / Mitternachtsformel gewohnt und hatte eigentlich nie mit der p-q-Formel gearbeitet
Wie immer: viele Wege führen nach Rom 🤗
Hallo Susanne,
mal sehen, ob ich es noch hinbekomme.... 🙂
gegeben: Parabel mit der Gleichung y = x^2 -2x +c, Punkt P(-1|6)
gesucht:
a) 1) Funktionsgleichung der Parabel
2) Koordinaten des Punkt R mit y-Achse --> Schnittpunkt mit y-Achse bedeutet x =0 demnach R(0|...)
b) Berechnung des Scheitelpunkt
c) Nullstellen, sofern vorhanden.
zu a)
1) Wegen P(-1|6) muss gelten: 6 = (-1)^2 - 2 *(-1) + c
6 = (-1)^2 - 2 *(-1) + c |
6 = 1 + 2 + c = 3 + c |-3
3 = c
Die Funktionsgleichung lautet dann y = x^2 -2x + 3
f(x) sei die Funktionsgleichung:
f(x) = x^2 - 2x +3
2) mit f(x) = x^2 - 2x +3 ergibt sich für R
R(x|f(x))
Schnittpunkt mit y-Achse: x = 0
R(0|f(0))
f(0) = 0^2 - 2*0 + 3 = 3
Koordinaten für R: R(0|3)
zu b) (Scheitelform habe ich gerade nicht parat, daher anderer Lösungsweg 🙂)
Scheitelpunkt einer Parabel ist immer der höchste, oder der tiefste Punkt der Parabel
wegen positivem Koeffizient vor x^2 (Koeffizient = 1) ist Parabel nach oben geöffnet -> Scheitelpunkt ist Tiefpunkt
Punkt(e) mit waagrechter Tangente f'(x) = 0 für f(x) x^2 -2x +3
f'(x) = 2x - 2
2x - 2 = 0|+2
2x = 2|:2
x = 1
Bedingung für Tiefpunkt f''(1) > 0
f''(x) = 2
f''(1) > 2 somit Tiefpunkt bestätigt.
T(1|f(1)) =T(1|2)
Der Tiefpunkt T(1|2) ist gleichzeitig der gesuchte Scheitelpunkt
zu c) Nullstellen: f(x) = 0
da der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist, kann es keine Nullstellen geben.
Rechnerischer Nachweis:
x^2 - 2x + 3 = 0 |pq-Formel
-p/2: -(-2/1) = 1, q: 3
x1 = 1 + sqrt(1^2 - 3) = 1 + sqrt(-2) keine Lösung in R
x2 = 1 - sqrt(1^2 - 3) = 1 - sqrt(-2) keine Lösung in R
LG aus dem Schwabenland.
Daumen hoch für diese schöne Aufgabe.
Sehr schönes Video!
Den letzten Schritt kann man mit Hilfe der Scheitelpunktform (die man ja eh ausrechnen musste) noch abkürzen:
Ich nenne meinen Schülern immer die Eselsbrücke, dass eine Parabel mit einem positiven Faktor vor der Klammer ein "fröhlicher" Smiley ist und eine mit negativem Faktor ein "trauriger".
Dann kann man bezüglich der Nullstellen entweder einfach argumentieren, dass eine "fröhliche" Parabel, deren Scheitelpunkt über der x-Achse liegt, natürlich keine Nullstellen haben kann, oder man versucht,
0=(x-1)^2+2
zu rechnen. Dann merkt man sofort, dass man die Wurzel aus -2 rechnen müsste.
LG Philip
Tolles Video 🙋
Dankeschön 🤗
Lösungen:
(a)
Man setzt einfach x und y des Punktes in die Gleichung ein und kann c berechnen:
y = x² - 2x + c
6 = (-1)² - 2(-1) + c
6 = 1 + 2 + c |-3
c = 3
Daher ist die Funktionsgleichung:
f(x) = x² - 2x + 3
Der Schnittpunkt mit der y-Achse wird einfach berechnet, indem man x = 0 setzt:
f(0) = (0)² - 2(0) + 3
f(0) = 3
Daher ist R = (0|3)
(b)
Der Scheitelpunkt ist die Stelle, an der die erste Ableitung = 0 ist:
f'(x) = 2x - 2
0 = 2x - 2 |+2
2x = 2 |:2
x = 1
Einsetzen in f(x):
f(1) = 1² - 2*1 + 3
f(1) = 1 - 2 + 3
f(1) = 2
Daher liegt der Scheitelpunkt bei S = (1|2)
(c)
Für Nullstellen, setzt man f(x) = 0:
f(x) = x² - 2x + 3
0 = x² - 2x + 3
pq-Formel:
x = -(-2)/2 ± √((-2/2)² - 3)
x = 1 ± √((-1)² - 3)
x = 1 ± √(1 -3)
x = 1 ± √(-2)
Da √(-2) in den reellen Zahlen keine Lösung hat, hat die Parabel keine Nullstellen.
Dies ist auch anhand des Scheitelpunkts erkennbar, da dieser über der x-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist.
>>> Da √(-2) in den reellen Zahlen keine Lösung hat, hat die Parabel keine Nullstellen.
Die Aussage, die Parabel habe keine Nullstellen, ist irreführend. Richtig ist: die Parabel hat Nullstellen, sie sind aber echt komplex, also nicht reell.
@@adrianlautenschlaeger8578 Die Aussage "die Parabel hat keine Nullstellen" ist korrekt.
Die Parabel ist die grafische Darstellung der Funktionswerte (y) der quadratischen Funktion für reelle Eingabewerte (x) im kartesischen Koordinatensystem. Die beiden Lösungen der Gleichung für y=0 sind aber nicht reell und liegen daher "außerhalb" der Parabel in der komplexen Ebene.
🙂👻
@@roland3et Diese Aussage ist unpräzise. Korrekt wäre: "Die Parabel hat keine reellen Nullstellen."
Ich würde bei c gar nicht die (bei meinen Schülern verhasste) p/q-Formel anwenden, sondern gleich die Scheitelpunktform Null setzen. Dann sieht man ganz schnell, dass es kein Ergebnis gibt.
Warum verhasst? Ist ihnen der Satz von Vieta oder die Mitternachtsformel lieber? Und warum?
Ich stimme dir zu. Es ist nicht relevant, dass man p/q-Formel verwendet, wenn man die quadratische Ergänzung hat.
Hab deine Videos in dauerschleife geguckt und hoffe es wird eine gute Note im Test. Mathematik ist nicht so meine Stärke.
Vielen Dank 🙏
Kannst du bitte ein paar Aufgaben von Wahrscheinlich 10. Klasse mitbringen.Ich habe nächste Woche Prüfung.
Bei C müsste es reelen Nullstellen heissen, denn über einem geeigneten Körper hat eine quadratische Funktion immer 2 Nullstellen.
Nö, muss es nicht.
Die Parabel ist der Graph der Funktion im kartesischen Koordinatensystem für reelle x.
Die beiden Lösungen der Gleichung
f(x) = x²-2x+3 = 0
sind aber nicht reell (2+i×sqrt(2) und 2-i×sqrt(2) mit i²=-1) und liegen nicht auf der Parabel. Diese Parabel hat daher keine Nullstellen (sieht man ja auch, wenn man sie korrekt skizziert).
🙂👻
@@roland3et Hör endlich auf Falschinformationen zu verbreiten! Es heißt auch Parabel wenn man komplexe Zahlen einsetzen darf!
Hätte man auch genau so gut mit der 1. Ableitung bestimmen können, das es sich um einen TP handelt?
Ja, das funktioniert. Quadratische Gleichungen also Parabeln sind aber idR Stoff in der Mittelstufe, da hat man idR keine Integral- oder Differrentialrechnung. Da ist es Usus per Scheitelpunktform.
Was wenn vor dem x^2 noch nh Zahl ist? Wie rechnet man das dann
Zur Scheitelpunktdarstellung habe ich mal gelernt, dass der konstante Teil auf die Seite zum y gebracht und zusammen mit dem y eingeklammert wird. Dann sorgt man noch dafür, dass in beiden Klammern auch wirklich ein Minuszeichen steht. Damit steht da (y - Sy) = (x - Sx)² und der Scheitelpunkt hat die Koordinaten (Sx | Sy). Man braucht sich dann auch nicht merken, dass bei der x-Koordinate ein Minuszeichen stehen muss und bei der y-Koordinate nicht. Wenn die Gleichung die obige Form hat, steht einfach IMMER nach dem Minuszeichen die zur jeweiligen Variablen gehörige Scheitelpunktkoordinate. Also im Beispiel (y - 2) = (x - 1)² woraus folgt S (1 | 2).
Und mit dieser korrekten Scheitelpunktdarstellung ist es jetzt auch mit den Nullstellen super easy. Man setzt y = 0, dann steht da - 2 = (x - 1)². Wenn man jetzt versuchen würde, die Wurzel zu ziehen, um die x-Werte für die Nullstellen zu berechnen, dann sieht man gleich, dass das im Reellen wegen der Wurzel aus -2 nicht geht und somit ist rechnerisch und völlig ohne "p-q-Formel" nachgewiesen, dass diese Parabel keine Nullstellen hat.
Kann man das nicht sogar noch einfacher hier lösen? Man weiß, dass x² graphisch ein U darstellt. Durch den Scheitelpunkt weiß man, dass der tiefste Punkt bei S (1 | 2) liegt. Nullstellen kann es dann schon rein logisch nicht geben, da man dazu ja die x-Achse schneiden muss, was bei einer U-Form des Graphen und einem Scheitelpunkt mit x > 0 ja gar nicht möglich ist. Andererseits... das klappt auch nur mit x² - Gleichungen, oder?
Mein Fehler... habe das "beweise rechnerisch" überlesen.
Ich kann diese Berechnungen überhaupt nicht brauchen. Dennoch schaue ich mir die Erläuterungen dazu immer gerne von A bis O an. Danke!
da der Scheitelpunkt doch eh im *positiven* Bereich liegt, wandert diese Parabel nie in den negativen Bereich "südlich" der x-Achse.
es ging mehr um den rechnerischen Beweis :)
Yes! Bis auf die pq-Formel hab ich noch alles im Griff. Und das nach 35 Jahren Abstinenz! HEHE!
Bei c) gleich mit der Scheitelpunktform weiter zu rechnen zeigt einem schneller den Widerspruch.
you look sooooo pretty 🥰
Auch wenn ich jetzt flexe, aber ich bin erstaunt, welches mathem. Schulwisen ich mit meine 60 Jahren immer noch abrufen kann. Muss mir doch iwie Spass gemacht haben,
Aber wir Alten sagen doch nicht "flexen", wir benutzen doch immernoch das gute alte "angeben" 😮
@@udoc.7528 Ich wollte mich nur ein wenig jünger fühlen 🙂
Es ist beim Scheitelpunkt einfacher, die parabel abzuleiten und die ableitung null zu setzen
Wenn es möglich wäre, würde ich 100 👍 geben!
👍👌
Hätte ich den Scheitelpunkt auch einfach über die erste Ableitung finden können?
Ja:
Ableitung bilden, gleich Null setzen, nach x umstellen, gefundene x-Koordinate in Ausgangsgleichung einsetzen, um y-Koordinate zu finden.
Aber ob das einfacher ist, als z. B. die x-Koordinate direkt aus der Funktionsgleichung abzulesen:
xs = -b/2a = -(-2)/(2×1)=1
🤔🙂👻
@@roland3et Ne ist es wahrscheinlich nicht, war als Absicherung, weil ich gerade mit Ableitungen arbeite. Danke für die Hilfe :)
@@l3olpl3olp58 Über die Ableitung ist es aber universeller, denn damit kannst du nicht nur den Tief/Hochpunkt einer Parabel finden, sondern auch von anderen Funktionen.
Bring doch mal: Wie ermittle ich die Parabelgleichung aus drei Stützpunkten.
Die Parabel: Immer wieder sehr beliebt bei Lehrern und Schülern, oder 😜?
So würde ich es lösen:
a)
gegebenen Punkt einsetzen und c ausrechnen
6 = (-1)² - 2(-1) + c
6 = 1 + 2 + c
c = 3
=> y=f(x)=x²-2x+3
=> f(0)=3
=> R(0, 3)
Die Parabel schneidet die y-Achse bei y=f(0)=3
b)
Den Scheitelpunkt S _jeder_ Parabel kann man _immer_ direkt aus der allgemeinen Funktionsgleichung der Parabel ablesen:
Wenn f(x)=ax²+bx+c
dann gilt
S(x, y) = (-b/2a, c-(b²/4a))
hier also
-b/2a = -(-2)/(2×1) =1
c-(b²/4a)) = 3-4/4 = 2
S(1, 2)
Tip: es genügt, sich -b/2a für die x-Koordinate von S zu merken und die y-Koordinate dann durch einsetzen in f(x) zu berechnen. Eine Umwandlung in die "Scheitelpunktform" ist jedenfalls nur erforderlich, wenn der Lehrer es ausdrücklich verlangt 😉.
c)
Die beiden Lösungen der Funktionsgleichung
y = f(x) = x² - 2x + 3 = 0
sind
x = 1 ± sqrt(-2)
x1 = 1 + i × sqrt(2)
x2 = 1 - i × sqrt(2)
(mit i²=-1)
Das bedeutet, die Funktionsgleichung hat keine reellen Lösungen und somit hat die Parabel keine Nullstellen.
🙂👻
Hallo 😊
c) Ja, die Parabel hat zwei Nullstellen! Nämlich konjugiert komplexe Nullstellen! Es steht ja nirgends in der Angabe, dass nur Lösungen im Reellen gesucht sind!
Nein, die in Frage stehende Parabel hat keine Nullstellen.
Die Funktionsgleichung
y=f(x)=x²-2x+3
hat - wie jedes Polynom 2. Ordnung - zwei Nullstellen, hier 1+i×sqrt(2) und 1-i×sqrt(2). Diese sind also komplex (mit i²=-1) und liegen nicht auf dieser Parabel.
🙂👻
@@roland3et Wie oft denn noch? Die Parabel im Video hat Nullstellen, aber keine reellen! Nur weil man es Parabel nennt, heißt das nicht, dass sich das nur auf die reellen Zahlen beschränkt.
Bei dieser Aufgabe bin ich die Nullstelle. Dann lieber eine Parabel von Kafka.
72ter*innen
zu a): Du hast jetzt nicht wirklich x = 0 Schritt für Schritt eingesetzt anstatt einfach zu erklären, dass dann alle x-Terme wegfallen und nur die 3 am Ende stehen bleibt?
zu b): Die aus meiner Sicht verständlichere Erklärung: Die x-Koordinate von S ist die Nullstelle des quadratischen Ausdrucks, und als y-Koordinate bleibt dann nur die Zahl dahinter stehen.
zu c): Eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse kann keine Nullstelle haben. Klar wollen die Aufgabensteller, dass man sich wie du mit der p-q-Formel rumschlägt, aber da man den Scheitelpunkt in Teil b) berechnet hat, ist das streng genommen auch ein rechnerischer Beweis, oder? Was aber auf jeden Fall ein rechnerischer Beweis ist, ist die mathematische Darstellung dieser Erklärung: y = (x - 1)² + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x ∈ ℝ, da der quadratische Ausdruck für kein reelles x negativ werden kann. ✅
Obwohl eine Parabel durchaus symmetrisch und damit ausgewogen sein kann,
fand ich Diskussionen mit ihr doch eher einseitig.
DANKE