QR Zerlegung (mit Gram Schmidt Orthogonalisierung)
Vložit
- čas přidán 27. 07. 2024
- Die QR-Zerlegung wird vor allem in der linearen Algebra und Numerik benutzt, um ein Matrix in das Produkt zweier anderer Matrizen, Q und R, zu zerlegen. Diese entstehenden Matrizen haben geniale Eigenschaften: Q ist eine orthogonale Matrix und R eine obere Dreiecksmatrix. Wie die QR-Zerlegung aus dem Gram Schmidt Orthogonalisierungsverfahren entsteht, lernst du hier!
KORREKTUR:
8:01 Zur Berechnung der Dreiecksmatrix: rij = vj*qi / qi
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Inhalt:
0:00 Was ist die QR-Zerlegung
0:48 Beispielaufgabe
1:12 Gram Schmidt Orthogonalisierung
5:44 Matrix Q (orthogonale Matrix)
8:01 Matrix R (obere Dreiecksmatrix Matrix)
11:34 Zusammenfassung
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
KORREKTUR:
8:01 Zur Berechnung der Dreiecksmatrix: rij = vj*qi / qi
Was meinst du mit "/ qi"? Eventuell "/ (qi*qi)" ? Dann noch die Frage: Die Hauptdiagonale bleiben aber die Längen, also SQRT(vi*vi)?
Nochmal zu ersten Frage: Oder ist sogar "/ |qi|" gemeint also "/SQRT(vi*vi)" und die korrektur bezieht sich auf den Zähler der division?
7:12 das ist die schönste Wurzel, die die Welt je zu Gesicht bekommen hat.
😂
Peter, ich liebe dich
Deine Videos sind eine echte Bereicherung auf CZcams - Danke!
Danke Peter für den frischen Wind. Mit den anderen "Mathe-CZcamsrn" verbinde ich schon zu viele schlechte Erinnerungen an meine Schulzeit. ;)
Danke dir! Du bist der erste bei dem ich das Zeug verstanden hab! Direkt ein Like da gelassen
Danke, ich find deine Videos echt gut und ich kann mir sicher sein, dass ich danach wenigstens irgendwas gelernt habe :)
du bist einfach genial
Klasse Video, sehr gut erklärt, danke! 😀
Gute Tipps zwischendurch, gut erklärt :)
Dankeschön MathePeter, dank dir habe ich zwei Mathe Module sehr gut bestanden !! Riesen Dank. Du kannst einfach so gut erklären, dank die habe ich Themen verstanden, die ich davor nicht verstanden habe. Bitte mach weiter so, wir Studenten und Schüler schätzen deine Arbeit sehr wert ! Liebe Grüße und vielen dank :)
Vielen lieben Dank und dir herzlichen Glückwunsch zu den bestandenen Mathe Modulen!! 🥰🥳
Du bist meine Rettung und endlich hab ich es verstanden.
Hallo, kann es sein, dass in der Formel für die Einträge von R ein Fehler ist? Sollte das nicht rij = / qi heißen?
Ja das stimmt! Danke für die Korrektur :)
super Video mal wieder!
Sehr gut erklärt, danke^^
Danke für das Video!
Cool, schoenes Video!
Hi Peter! :) Planst du in naher Zukunft den Bereich der Numerik zu erweitern? Also z.B. LR-Zerlegung mit Spaltenpivotwahl, alles zu Permutationsmatrizen und Frobeniusmatrizen etc.. Wäre echt nice, weil es nicht viel dazu gibt auf CZcams. Danke und einen schönen Tag noch! :)
Erst mal hab ich die Themen "Komplexe Analysis", "Lineare Algebra" und "Statistik & Wahrscheinlichkeitsrechnung" im Visir. Numerik wird aber auch noch kommen, dauert aber leider noch etwas.
Achtung, Leute die Formel für die Dreieckmatrix nicht einfach abschreiben! Korrektur in der Videobeschreibung!
hi:) auch von mir ein dickes, fettes Dankeschön. arbeite sehr gern mit Deinen Videos:)
Eine Versätndnisfrage zu der Aufgabe in diesem Video: Wir nutzen bei der Errechnung für q2 für den Koeffizienten des zweiten Vektors, im Nenner des Koeffizienten die Länge von q1 (also -1^2+2^2+2^2). Später nutzen wir erneut die Länge des Vektors, wenn wir die Matrix R entwickeln, für die Hauptdiagonale jeweils Länge-q1, Länge-q2, Länge-q3. Dort nehmen wir dann jedoch Wurzel-9 (also 3) für q1.
2 Fragen also: A) Wie errechnet sich die Länge eines Vektors? Über Formel1: sqrt(x1^2+x2^2+x3^2) ODER Formel 2: (x1^2+x2^2+x3^2) und B) Warum nutzen wir in dieser Aufgabe für die Länge der Vektoren (also Betrag q1, Betrag q2, Betrag q3) bei der Entiwcklung von Q die Formel 1, und bei der Entwicklung von R die Formel 2 für die Länge der Vektoren (also also Betrag q1, Betrag q2, Betrag q3) ?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen!
Besten Dank und viele Grüße :)
Zur 1. Frage: In der Matrix R stehen die Längen, also mit Wurzel. Bei der Berechnung von q2 steht im Nenner Länge^2, darum fällt die Wurzel weg.
Zur 2. Frage: Länge eines Vektors mit Satz des Pythagoras, also mit Wurzel: czcams.com/video/5GU-eElpHRo/video.html
Zur 3. Frage: Einmal nutzen wir die Länge des Vektors sqrt(x1^2+x2^2+x3^2) und einmal nutzen wir Länge^2, also x1^2+x2^2+x3^2.
Hi, ich finde deine Videos mit Abstand am hilfreichsten und würde mich sehr freuen, wenn du auch die QR Zerlegung mithilfe des Householder Algorithmus erklären könntest!😁
Vielen Dank! Steht schon auf meiner Liste :)
Hey hey, deine Videos sind super. Wenn du Lust hast gerne noch was zur Singulärwertzerlegung. :)
Peter du verdammter Ehrenmann!
Absolut cursed...Habe richtig Bock auf meine Klausur.
Aber ein super Video
danke!
perfekt
Stark
oah nice! kommt bei mir gerade in Numerische Methoden der Dynamik dran :D
passt doch!
Muss man bei R durch die Länge von q oder einfach durch q teilen?
Hey Peter. Vielen dank für das Video! Hat mir geholfen :)
Jetzt hab ich aber mal ne Frage.
Wie machen Leute die Aufgaben stellen das eigentlich, dass am Ende immer so geile Zahlen raus kommen und alles passt? :D
Viele Grüße ^^
Viel Probieren und "schlaues Raten" haha
Super-Video, aber muss bei r_ij der Index von v nicht j sein?
Ja das stimmt, gut aufgepasst. Ist mir auch erst danach aufgefallen 😅
Habs in der Videobeschreibung als Korrektur aufgeführt.
Hey MathePeter, könntest du auch ein Video zur Polarzerlegung einer invertierbaren Matrix machen? :) Würde mich freuen! Liebe Grüße
Ich schreibs mir mit auf die Liste, gibt aber noch sehr viele Videos, die ich machen muss. Kann dir nicht versprechen, dass es demnächst erscheint.
Hallo Peter, der Betrag eines Vektors ist doch die Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst. weil beim Normieren hast du das weg gelassen:)
P.S. Danke für deine Arbeit bist der beste im Game
Durch das Quadrat fällt die Wurzel wieder weg :)
Kann es sein das in der Formel für x_ij die Indizes für das V^T unkorrekt sind?
Müsste es nicht heißen: x_ij=(v_j^Tq_i)/|q_i|
Ob du es n oder j nennst, ist ja egal :)
Wichtig nur, dass bei mir das n nicht die Gesamtzahl der Vektoren meint, sondern den aktuellen n-ten Vektor von insgesamt N. Vielleicht hat das zur Verwirrung geführt?
@@MathePeter Nicht ganz. Im Video 9:42 sieht es so aus als hätten alle Komponenten des Skalarprodukts den Index i. Dabei müsste doch V transponiert den Index j und nur q den Index i haben, um die einzelnen Elemente für R auszurechnen.
Ach jetzt weiß ich, was du meinst! Ja in der Formel für die Einträge der Dreiecksmatrix muss wirklich vj stehen, danke! :)
@@19BSG46 Danke! An der Stelle hatte ich auch gerade Zweifel
Hi Peter.
weiß ich nicht ob ich richtig verstanden habe bei 2:42 Rechnung von zweiter Vektoren
4-2 *2= 0 ist richtig ???
Genau, Weil 4 - 2*2 = 4 - 4 = 0.
Vielen Dank für das Video, hast echt gut erklärt aber ich glaube in der zweiten Formel für Matrix R steckt ein Fehler: als Zähler sollte man das Kreuzprodukt von vj und qi statt vi und qi berechnen sonst hat man in einer Zeile immer die gleiche Zahl
Ja genau, das hab ich auch noch mal in der Beschreibung im Video stehen. Sehr aufmerksam :)
Hey MathePeter, ich soll zur Zeit eine Iwasawa Zerlegung (=QR) Zerlegung in dem Format A = Q*D*R zerlegen, wobei R eine unipotente obere Dreiecksmatrix ist und D eine Diagonale Matrix mit reellen Eigenwerten sprich Diagonaleinträgen. Wie genau komme ich auf die Gestalt von D?
Die Diagonalelemente von D sind die Eigenwerte der Matrix A, alle anderen Einträge sind Nullen. Zieh auf der Hauptdiagonale von A einfach überall Lambda ab, berechne die Determinante und bestimme alle Lambda, bei denen diese Determinante (=charakteristisches Polynom) Null wird. Eine (nxn)-Matrix A hat genau n Eigenwerte.
@@MathePeter Vielen Dank für die schnelle Antwort, das ist ja einfach! :D
Ist denn der Rest von Q und R analog, so wie du es im Video gezeigt hast? Liebe Grüße
Ich kann dir grad spontan nicht sagen, was der beste Algorithmus für so eine Iwasawa Zerlegung ist, aber du kannst folgendes machen: Zuerst mach eine QR-Zerlegung, wie im Video. Wenn du unbedingt eine Diagonalmatrix D mit reellen Eigenwerten haben willst, dann zerlege einfach die Matrix R in das Produkt D*R'. Um auf R' zu kommen, musst du nur die erste Zeile von R durch den ersten Eigenwert teilen, die zweite Zeile von R durch den zweiten Eigenwert, etc. Die Eigenwerte müssen dann aber in genau dieser Reihenfolge auf der Diagonale von D stehen. Schon hast du A zerlegt in Q*D*R' mit den gewünschten Eigenschaften :)
Hallo MAthepeter
ja also ich habe da so einen Test gehabt wo so ein beispiel kam
ich hab es so gemacht wie hier
Aber kann es sein dass man bei diesen brüchen unter den skalarprodukten die wurzel ziehen muss?`
Weil ich habe keine wurzel gezogen sondern einfach skalarprodukt/"länge ohne wurzel" - eh wie du hier - gerechnet
und am ende dann erst normiert, aber da war dann das skalarprodukt nicht mehr null zwischen den vektoren .
Klappt schon so wie im Video, vielleicht hast du dich verrechnet? Schick gern mal das Beispiel, dann gehen wir das zusammen durch.
@@MathePeter
Alles klar danke, geht im Moment nicht weil ich den Test ja erst zurück kriege.
Ich melde mich dann nochmal
aber danke schonmal.
vermutlich einfach ein rechenfehler
Kannst du mal ein Video zu Grenzwertrechnungen mit n machen also zum Beispiel lim->n und so weiter
danke für den Vorschlag! ich packe es mit auf die Liste
0:08 😂
ist das Verfahren auch für nicht reguläre Matrizen anwendbar?
Nein, weil du sonst nicht genügend orthogonale Vektoren zusammen bekommst.
Hallo, kannst du bitte ein Video Zu Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen machen? Durchstöbere seit Stunden das Internet verstehe das dargebotene aber einfach nicht :(
Ja kann ich machen, meine Liste wird länger und länger haha
@@MathePeter bitte, wenn das einer erklären kann, dann du :)
Kleiner fehler bei der angabe der matrix R. r_i,j = < v_j , q_i > / |q_i| und nicht r_i,j = < v_i , q_i > / |q_i|
Ja ich weiß, steht auch als Korrektur unter dem Video.
Wenn canelo mathe lehrer wird
ich giess meine rosen am montag
auch ein einfach Weg wäre: R=QT x A ;)
Wo ist das freshe Intro :(
Vielleicht gibts bald wieder eins, erst mal ist wichtig euch safe durch die Prüfungen zu bringen!
Kleiner Tipp fehler im Thumbnail
Danke dir, ist jetzt behoben :)
empfehle dich eh schon weiter, ende wäre gar nicht nötig :D
Eigtl würde ich sagen dass du der bessere Daniel Jung bist aber korrekterweise ist Daniel Jung der schlechtere Mathepeter
Muss man bei R durch die Länge von q oder einfach durch q teilen?
Muss man bei R durch die Länge von q oder einfach durch q teilen?
Muss man bei R durch die Länge von q oder einfach durch q teilen?
Die Länge von q. Weil q ist ja ein Vektor und wir können nicht durch einen Vektor teilen.