Orthogonale Matrizen | Definition & Eigenschaften
Vložit
- čas přidán 27. 07. 2024
- Orthogonale Matrizen beschreiben im euklidischen Raum Drehungen, Spiegelungen oder Drehspiegelungen. Wie eine orthogonale Matrix definiert ist und welche Eigenschaften sie besitzt, erklär ich dir in diesem Video!
✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄
Wenn du dich auf eine Mathe Prüfung vorbereiten musst, dann schau dich auf meiner eigenen Online Plattform um: champcademy.com. Dort findest du Kurse, individuellen Support und alles, was du benötigst um deine Prüfung zu bestehen.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ONLINE KURSE 🤓
25% Rabatt auf alle meine Kurse. Gutscheincode "2023"
Statistik- und Wahrscheinlichkeitsrechnung
champcademy.teachable.com/p/s...
Komplexe Zahlen
champcademy.teachable.com/p/k...
Folgen, Reihen und Differenzengleichungen
champcademy.teachable.com/p/f...
Differentialrechnung
champcademy.teachable.com/p/d...
Grenzwerte von Funktionen
champcademy.teachable.com/p/g...
Integralrechnung
champcademy.teachable.com/p/i...
Mehrdimensionale Integralrechnung
champcademy.teachable.com/p/m...
Funktionen mit mehreren Variablen
champcademy.teachable.com/p/f...
Extremwertrechnung
champcademy.teachable.com/p/e...
INDIVIDUELLE KURSE
Mathe 1 Crashkurs (angepasst an HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/m...
Mathe 2 LIVE Crash Kurs (für HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/m...
Statistik 1 LIVE Crash Kurs (für HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/s...
Analysis 2 LIVE Crash Kurs (für TU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/a...
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SOCIAL MEDIA
linktr.ee/mathepeter
/ mathepeter.tv
/ discord
LIVESTREAM-KALENDER
kalender.digital/831bcc564b24...
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
AFFILIATE LINKS
Für jeden Kauf bekomme ich eine kleine Provision. Für dich bleibt der Preis gleich:
Mein Taschenrechner
amzn.to/2RbhKKj
Mein Tafelwerk
amzn.to/2WdVUtd
♥♥♥ ♜♞♝♛♚♝♞♜ ♥♥♥
♟♟♟♟♟♟♟♟
---------------------------------------------------------------------
Möchtest du mich unterstützen?
Patreon: / mathepeter
PayPal: paypal.me/peterlehe1?locale.x...
---------------------------------------------------------------------
♙♙♙♙♙♙♙♙
♥♥♥ ♖♘♗♕♔♗♘♖ ♥♥♥
✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄
Inhalt:
0:00 Was sind orthogonale Matrizen?
0:20 Definition einer orthogonalen Matrix
1:10 Alternative Definition
2:20 LGS mit orthogonalen Matrizen lösen
3:15 Eigenschaften orthogonaler Matrizen
5:36 #WERBUNG
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Du bist maßgeblich für den Erfolg tausender Studenten verantwortlich, auch für meinen! Danke!
Servus Peter, wollte dir nur kurz danken, du hast mir letztes Semester mit HM2 ziemlich den Arsch gerettet :D ich hoffe, dass dich die Aufrufzahlen nicht runterziehen, das wird schon und mach einfach weiter so! LG David
Danke dir!! Motiviert mich zu hören, dass ich helfen konnte! :)
Ich bleibe dran, versprochen!
Du erklärst das einfach super! Mit diesen Videos hilfst du mir nicht nur in Mathe, sondern auch in anderen Fächern wie Theoretische Chemie und Quantenmechanik. Mach weiter so!
Deine Videos sind wirklich hilfreich. Nicht zu lange und nicht zu kurz.
ich weiss nicht was ich ohne daniel und dich machen würde. danke für deine Arbeit
Das tollste an diesen Videos ist dass alles vom Grund auf erklärt und vorgeführt wird. Schritt für Schritt. Soweit die beste LinA Serie die ich je gesehen habe
Super Video! Ich habe dich gerade entdeckt und du kannst super erklären! Ich studiere gerade Mathematik und du hast mir wirklich geholfen. Werde dich auf jeden Fall, bei meinem Freunden weiterempfehlen!
Ich habe noch nie eine bessere Erklärung bekommen. Danke für deine ganzen Videos! Ich werde dich allen Kommilitonen weiterempfehlen! Mach weiter so :)
Danke muss micht echt mal bedanken, machst das wirklich immer großartig und bist ne riesen hilfe im studium
Hi, Deine Videos sind Top !! Keine Ahnung warum die Aufrufe so niedrig sind im Vergleich zur gebotenen Qualität. Ich mach mal Werbung :)
stabiler Bart, Peter.
Hey Peter! Vielen Dank für das/die Video/s! Ich muss mich auf keine Prüfung vorbereiten, sondern selber eine Präsentation zu Text Mining geben und arbeite mich dafür gerade in die Mathematik der komplizierteren Verfahren ein (Word Embeddings
Lebensretter, Ehrenmann, perfekter Lehrer, was kann ich sagen
Einfach nur DANKE
Hammer Erklärung, DANKE! :D
Bro du bist mein retter in Not. Einfach n upgradeder daniel jung.
Vielen Dank Peter. 🥰
Super! Hat mir sehr geholfen!
die eingeblendeten Beweise sind echt hilfreich
Viel motivierter und strukturierter als Daniel Jung. Der ist zwar auch gut aber - oho. Daumen hoch für MathePeter!
Ich hab es endlich verstanden, danke 😊
ich bin eigentlich Maschinenbau Student im ersten Semester, aber unser Mathe Prof will, dass wir sowas können
Sehr gutes Video, danke
Gutes Video, danke!
Hey, vielen Dank für die Videos! Mit Abstand der beste deutsche channel, um für Prüfungen zu lernen.
Eine kleine Sache: Ich find nice, dass du immer die Beweise dazu einblendest. Blöderweise kann man sie nicht lesen, weil youtube beim Pausieren die progressbar drüberlegt. Man kann es theoretisch zwar mit einem tampermonkey skript abdrehen, aber das ist aufwändig und funktioniert nicht immer. Ein klein bisschen höher einblenden würde das Problem lösen :)
Vielen Dank! Werde in Zukunft drauf achten die Schrift besser einzublenden :)
@@MathePeter super, danke :)
Genial einfach nur genial!
Super! Du fässt zusammen und verknüpfst die Theorie ohne weitere Umschweife mit der Praxis und erklärst die Zusammenhänge.
Perfekt für Studenten, die noch nicht ganz den Überblick haben, aber sich schon eingelesen haben.
Hätte gerne noch konstruktive Kritik angebracht, aber es fällt mir nichts ein :)
Schau aber gerne nochmals nach vollenden der Serie ob mir was auffällt.
Was/Wo hast du eigentlich studiert? Warum gefällt dir Mathe?
Vielen Dank!! Ich hab an der TU Cottbus angefangen BWL zu studieren. Die Mathematik für die WiWis ist dort auf einem vergleichsweise höheren Niveau. Hat zwar jede Woche sehr viel Zeit gekostet die Hausaufgaben zu lösen, aber es hat auch Spaß gemacht mit den Leuten. Und wenn man viel Zeit investiert und es am Ende funktioniert, machts selbst Spaß die Mathe HA anzugehen :)
Hab am Ende die Mathe Module mit 1,0 abgeschlossen und weil ich mich mit unserem Übungsleiter richtig gut verstanden hab, bin ich ihm aus Spaß bisschen überheblich gekommen von wegen: "ich würd selbst die Module der richtigen Mathematiker packen". Er meinte ich soll mich mal nächstes Semester in eine VL Analysis 1 setzen, dann würd ich sehen, was richtige Mathematik ist. Hab ich dann auch gemacht und die Professorin fands witzig einen BWLer bei sich zu haben haha. Hat mir sogar angeboten, dass ich die Prüfung mitschreiben kann. Wenns nix wird, dann wars ein lustiges Experiment. Aber ich hab mich voll reingekniet, alles hinterfragt und die Mathematik von Grund auf verstanden und gelernt. Am Ende dann sogar mit 1,7 abgeschlossen. Da hab ich den Entschluss gefasst neben BWL auch noch Mathe zu studieren.
Mathematik ist kein Mysterium, sie basiert auf grundlegenden Regeln. Weder kompliziert noch einfach. Mathematik ist ohne Wertung, sie ist einfach. Mathematik basiert auf purer Logik, die absolut jeder nachvollziehen kann, der sich nur die Zeit nimmt in Ruhe zu denken. Mathematik ist die Sprache der Natur. Sie erzählt wundervolle Geschichten, wenn man sie einmal lesen gelernt hat. Und für mich ist Mathematik auch Kunst. Ich kenne ehrlich gesagt nichts auf der Welt, das mehr Kreativität erfordert.
@@MathePeter Krass geile Story :D
Schön das du diesen Elan über deine Videos weitergibst! Mathe ist in den grundzügen wirklich nicht so schwierig, einfach Zeitintensiv. Da haben viele Leute einen Hang zur Dramatik. :P
Haha ja, ist wirklich wie ne Fremdsprache lernen und das kostet Zeit. Nur mit dieser Sprache sieht man die Welt mit anderen Augen :)
@@MathePeter wo kann man arbeiten nach dem mathe Studium. Ausser Lehramt
Weiter so!
Legenden besagen der Stift fliegt immer noch
Ein lehrer der stark ist wie ein löwe
Top Videos bisher, immer schnell zur relevanten Information. Mal schauen ob sich das bei mir zu nächsten Prüfung ausgeht. 😂
Wird schon! Zur Not frag jeder Zeit nach! :)
ich liebe dich einfach nur
Neuer Mathe Crush nach daniel jung
Ich könnt mich selber schlagen! Wieso fange ich erst einen Abend vor der Klausur damit an, nach solch hilfreichen Videos zu suchen🤦♂️
Toll erklärt und gute Tipps, Danke!
Trotzdem viel Erfolg!! :)
Deine Videos haben mir schon ziemlich gut geholfen, danke dafür :)
Könntest du mal ein Video zu Koordinatentransformationen zwischen kartesischen, zylindrischen und sphärischen Koordinaten machen? Ich habe damit starke Verständnisprobleme, mit diesen Einheitsvektoren und was wann in was umgerechnet werden muss xD
Meinst du vielleicht ein Video, in dem ich erkläre, was es mit Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten auf sich hat? Schau mal rein, ob das hier meinst: czcams.com/video/3XvsMTXfM50/video.html
Oh, das hatte ich noch gar nicht gesehen 😅 Das hilft schon mal weiter, aber ich meinte, wie man z.b. ein Vektor-Feld in kartesische Koordinaten in Kugelkoordinaten umrechnen kann mit den Einheitsvektoren und co.. das fällt mir ziemlich schwer :D
Das stimmt, dazu hab ich noch nichts. Das ist aber auch wirklich unangenehm haha. Ich mach mir mal Gedanken zu, wie man es einfach erklären kann :)
Vielen Dank, hat mir sehr weiter geholfen! (PS: nebenbei auch sehr erfreulich, dich einmal von Angesicht zu sehen, bin ja nicht nur völlig sapiosexuell ;) )
Vielen Dank ;)
Ich küss doch dein herz
Geiler Bart *neid* 😂
Bitte mehr mit Beispielen, Koordinatensystemen arbeiten. Ansonsten Top👍
Hi, deine Videos sind einfach die Besten. Gute Erklärungen mit Beispielen und gute Zusammenfassungen, nur leider zu wenige :(
Könntest du evtl. auch etwas zu Fixpunkten (z.B. Banachscher FP-Satz) oder Fehlerschätzungen machen? Schreibe demnächst eine Klausur 😭
Vielen Dank! :)
Denke dazu schaff ich in nächster Zeit nichts, gebe grad wieder Klausurvorbereitungskurse an ein paar Unis, da bin ich leider zeitlich sehr gebunden. Aber zukünftig erscheinen noch mehrere! :)
Hey! Super Video! Ich habe nur eine Frage: Sind alle linearen Abbildungen winkeltreu? Kann eine Projektion auch nicht winkeltreu sein? Danke schon mal.
Es gibt lineare Abbildungen, die nicht winkeltreu sind. Überleg dir z.B. eine Abbildung, die ein Dreieck in ein anderes, nicht kongruentes, Dreieck überführt.
Hallo Peter
Hätte eine Frage die ich per mail schicken möchte bitte um adresse
Macht es einen Unterschied wenn S^(-1)AS anstelle von SAS^(-1) steht?
Ja macht es, da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist! D=S^(-1)*A*S ist eine Diagonalmatrix.
Hey Mathepeter, ist zwar nicht passend zum Video aber ich habe dringend eine Frage zum Thema komplexe zahlen. Wahrscheinlich kannst du mir da schnell helfen.
Problem: in der Aufgabe sollen wir einen Bruch aus den komplexen zahlen berechnen bzw. den Realteil und imaginärteil des Bruches . Da nimmt man ja ganz normal den Bruch und multipliziert den Bruch mit mit einem Bruch der aus dem komplex konjugierten Nenner des zuberechnenden Bruches ist. Das ist ja kein Thema. Nur heißt es in der nächststehenden Aufgabe dass ich z mal z quer berechnen muss also den Bruch halt eben mit der komplex konjugierten des bruches. Das verstehe ich nicht ganz. Muss ich einfach den Bruch Mal den gleichen Bruch nehmen nur dass halt Zähler und Nenner komplex konjugiert sind? Also dass wenn im Zähler ein + steht im neuen Bruch ein Minus und wenn im Nenner ein Minus steht dann im nenner des neuen Bruches ein Plus machen.
Danke im Voraus und sorry für die Unannehmlichkeit^^
Immer wenn z mit seiner komplex konjugierten z quer multipliziert wird, kommt als Ergebnis raus: Realteil^2+Imaginärteil^2 (wichtig: das i gehört NICHT zum Imaginärteil).
Wenn du vorher einen Bruch hattest, gehst du genauso vor, wie du es beschrieben hast: Mit dem komplex konjugierten des Nenners erweitern. Dann hast du unten im Nenner übrigens das selbe Prinzip wie eben beschrieben: Realteil^2+Imaginärteil^2 (jetzt erst mal nur im Nenner). Damit gibts unten im Nenner automatisch kein i mehr und der Bruch lässt sich aufteilen in Realteil+i*Imaginärteil und du kannst so vorgehen wie eben beschrieben.
@@MathePeter danke für deine Antwort! aber...
Ich dachte ich muss einfach den Bruch Mal den komplex konjugierten des Bruches nehmen also wenn der Zähler beispielsweise 2+5i ist dann ist der Zähler des komplex konjugierten Bruches 2-5i und wenn der Nenner 2-4i ist dann muss der Nenner des komplex konjugierten 2+4i sein oder dann habe ich quasi am ende
2+5i/2-5i * 2-4i/2+4i oder habe ich das falsch verstanden ? Nur wenn ich ein Bruch habe von dem ich den real-und imaginärteil berechnen muss dann muss ich nur den Nenner komplex konjugierten aber bei z * z quer muss ich Nenner und Zähler komplex konjugierten wie ich es oben aufgeschrieben habe oder ?
Wenn du im Nenner eines Bruches ein i drin hast, musst du einzig und allein im Zähler und im Nenner mit dem komplex konjugierten des Nenners erweitern. Niemals anders! Beispiel:
2+5i (2+5i)*(2+4i) -16 + 18i -16 18
----------- =-------------------- = ---------------- = ------ + ---- i
2-4i (2-4i)*(2+4i) 2^2 + 4^2 20 20
Der Realteil des Bruches ist -16/20 = -4/5 und der Imaginärteil des Bruches ist 18/20 = 9/10. Im Nenner siehst du übrigens was ich meine mit z * zquer = Realteil^2+Imaginärteil^2.
Q muss nicht zwingend quadratisch sein würde dann nicht gelten QQ^T ungleich E (Q^TQ = E gilt jedoch immernoch) ?
Eine orthogonale Matrix ist per Definition immer quadratisch. Das ist wichtige Grundvoraussetzung, auch wenn du mit Q*Q^T auch etwas quadratisches erzeugen kannst.
3:48 warum ist unten beim Beweis det(Q^T) * det(Q) = det(Q) * det(Q), also warum ist det(Q^T) = det(Q)?
det(Q^T) = det(Q) gilt, weil du nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln kannst.
Hm, verstehs bei dir leider nicht so gut wie anderswo....