9 dimostrazioni del teorema di Pitagora
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- čas přidán 11. 07. 2024
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bellissimo video. Guardare questi video è sempre un piacere, ma soprattutto un allenamento per la mente.
Sempre molto chiaro, interessante e stimolante. Evidenzia anche come si possa arrivare allo stesso risultato per strade molto diverse. Come sempre GRAZIE!
concordo sul fatto che non si tratta di resistere ma è la curiosità di vedere come le cose vengono spiegate in modo semplice e comprensibilissimo. E bravo dr. Valerio!
Mi sono imbattuto in una live nel "deep interplanetarian web" di 2 matematici vulcaniani che avevano lasciato la webcam interna di casa loro accesa mentre connessi alla rete extraplanetaria e connessi a questo canale che si divertivano con birra antareana e ubriachi se la spassavano con i tuoi video...
Purtroppo non vengono valorizzate come visualizzazioni sulla terra altrimenti avresti un numero di visualizzazioni ultra planetarie 😊
Grazie per aver denunciato questa vergogna sulle discriminazioni delle views vesuviane
@@ValerioPattaro non se ne poteva piu, condivido
DefinirLa MITICO è riduttivo....mai pensato ad una pur che minima dimostrazione del teorema di Pitagora .GRAZIE!
Hai un talento per la didattica.
Bellissimo e complimenti, io ne conoscevo solamente il 6°, che è quello che preferisco perché algebrico, e quello di Euclide, che non mi piace perché si rifà ad un altro teorema. Nel 6° mi appare più chiara l'eguaglianza.
Esposizione perfetta come sempre, complimenti
Gran bel video!
Prof., sempre interessanti ed esaurienti i tuoi video. Complimenti.
Grazie
La dimostrazione del teorema di Erone fatto da te sarebbe eccezionale
Molto bello come sempre! A Firenze (la mia città) esiste "il giardino di Archimede", museo della matematica. All'interno c'è un laboratorio interattivo dove si spiega il teorema di Pitagora. E' su Google. Non è molto visitato...
Se vuoi puoi mettere il link nei commenti
Sono tutte belle dimostrazioni, in particolare la n.6 l'ho presentata sempre ai ragazzi di seconda media che l'hanno, spesso, costruita coi pyssla dell'Ikea o con foglietti colorati sulle due facce opposte di un quadrato di cartone; invece la n.4, la dimostrazione classica, si presenta, di solito, a ragazzi liceali (all'inizio della n.4 ho sentito quadrato invece di rettangolo per un tuo lapsus involontario). P.S. Ai miei ragazzi, quando due termini di una equazione si annullano, preferisco dire e far dire che i termini si elidono (o si annullano) e non che si semplificano, riservando quest'ultimo termine alle frazioni che vengono semplificate, ossia quando avvengono delle divisioni, in modo da far evitare loro dei probabili errori, confondendo una sottrazione con una divisione.
Hai ragione, “si elidono” è il termine corretto.
Bellissimo video. Faccio notare che l'ultima dimostrazione è la versione algebrica della 4, ossia quella col teorema di Euclide
Bellissimo video, però quello che mi è venuto in mente è questo: alla fine si arriva sempre alla stessa uguaglianza ( c^2= a^2+b^2), è possibile quindi che esistano infinite dimostrazioni del teorema? Mi spiego meglio: aggiungendo la stessa quantità ad entrambi i membri della equazione e dando un significato geometrico alle stesse non si arriverebbe sempre alla stessa conclusione?
La conclusione (la tesi) è una, le strade per raggiungerla (le dimostrazioni) sono molte. Hai presente Roma?
Si, le dimostrazioni possono essere infinite. In realtà si dà il caso che nel 1927 furono raccolte le dimostrazioni allora note del teorema di Pitagora e si arrivò a 371. Sicuramente oggi ce ne sono molte di più. È in effetti il teorema in assoluto con più dimistrazioni. Il secondo è il teorema di reciprocità quadratica
Sono tutte belle dimostrazioni, in particolare la n.6 l'ho presentata sempre ai ragazzi di seconda media che l'hanno, spesso, costruita coi pyssla dell'Ikea o con foglietti colorati sulle due facce opposte di un quadrato di cartone; invece la n.4, la dimostrazione classica, si presenta, di solito, a ragazzi liceali (all'inizio della n.4 ho sentito quadrato invece di rettangolo per un tuo lapsus involontario). P.S. Ai miei ragazzi, quando due termini di una equazione si annullano, preferisco dire e far dire che i termini si elidono (o si annullano) e non che si semplificano, riservando quest'ultimo termine alle frazioni che vengono semplificate, ossia quando avvengono delle divisioni, in modo da far evitare loro dei probabili errori, confondendo una sottrazione con una divisione.
Ottimo prof.Valerio;
Lei ,come sempre, è molto bravo e chiarissimo.
Colgo occasione tuttavia per invitarmi al suo cenacolo di aspiranti amanti matematici ,per segnalarle alcune osservazioni che mj paiono opportune e necessarie.
A)
la 3^dimostrazione ,al minuto 3:52 circa ,del defunto 20^ Presidente USA è un clamoroso Plagio perché si è attribuita nientemeno che la Proposizione 47 del libro Primo degli elementi di Euclide.
A quel tempo poteva farla franca ma oggi è quasi impossibile sfuggire agli occhi del WEB dove si trova di tutto.
B)
tutte le 9 dimostrazioni che ho visionato, presumono la conoscenza, a priori, delle figure geometriche ,in particolare del triangolo retto ,che invece a mio avviso , non dovrebbe essere esaminato se non dopo averne scoperto le sue proprietà algebriche perché il Numero precede la figura geometrica.
Si tramanda ,oralmente ,che Pitagora, o chi l'ha preceduto, abbia scoperto la"Tesi" della somma di quadrati partendo da una ipotesi sulle proprietà dei Numeri naturali ma non ancora sul triangolo retto.
Una di queste proprietà venne esaminata osservando che esisteva ed esiste una piccola serie di numeri contigui [n+(n+1)+(n+2)+(n+3)] ,la cui somma dei medi è uguale alla somma degli esterni, ovvero >>
∑ [n+(n+3)=(n+1)+(n+2)] ;ovvero>> 2n+3=5;
Elevò all'esponente (^2) ambo i membri ed ottenne>> 4n^2+12n=25-9=16;
ed ecco che il Maestro comprese che aveva trovato una dimostrazione che stava cercando per dimostrare che il Numero costruisce il mondo geometrico ,quindi anche il triangolo inscritto nella circonferenza di diametro uguale ad ( c=5).
Il Maestro considerò quella relazione algebrica che doveva essere dimostrata geometricamente con riga e compasso.
Tracciò un semicerchio che divise in 5 unità con il teorema di Talete ,che era stato il suo Maestro, poi tracciò due archi di raggio di 3 e 4 unità ,dagli estremi del diametro ,che s'intersecano nel punto P che unito agli estremi di esso materializzò il triangolo retto la cui evidente proprietà è un angolo che è 1/4 dell'angolo giro ovvero 1/2 l'angolo opposto piatto di 180° o di 𝝿 (che è un angolo).
Di tutta evidenza si comprende che ogni osservazione stimolava al tre conseguenze.
Intanto ,egli riscrisse la formula della formula che indicava una proprietà mai osservata prima:
(c^2-a^2=b^2) che riscrisse sottraendo ad ambo i membri b^2 e la formula diventa: c^2-(a^2+b^2)=0
Come si può verificare con la curiosità dei moderni esiste anche una relazione implica che riguarda l'ellisse che sarà scoperta nel seguito come dimostrano le piante di alcuni manufatti (anfiteatri greci di forma semiellittica); infatti i fuochi dell'ellisse con semi assi ; a=4 e b=3 sono legati dalla relazione
c^2= a^2-b^2 >> 4^2-9^2=7 da cui c=√7.
La proprietà invariantiva aveva fatto emergere lo zero(0) una cifra il cui significato filosofico e algebrico doveva ancora essere indagato;
Non venne rivelata la scoperta perché la comunità scientifica del tempo non era pronta per accogliere lo zero.
Riscrisse allora la formula nella forma che conosciamo da duemila anni circa.(a^2+b^2=c^2)
Ritorniamo al primo membro della espressione algebrica che avevamo lasciato in sospeso all'indagine.
(4n^2+12n=16); come interpretarla?
Sottrasse il 16 ad ambo i membri ed ecco che ricompare lo zero al secondo membro; semplificò >> e scrisse[ n^2+3n-4=0] ; che riconosciamo noi moderni ma immaginate cosa ne potesse pensare il maestro. Verosimilmente non la rivelò perché esisteva lo stesso problema che abbiamo visto per il teorema di Pitagora.
La scoperta venne tramandata oralmente ed arrivò a Menecmo e Apollonio che la riesaminarono poi riapparve in Europa ad opera dei matematici del 1500 e 1600 fino ad arrivare a Descartes che la sistemò nel suo sistema di assi cartesiani.
Ritorno un attimo alla formula ( a^2+b^2-c^2=0) per evidenziare che quello zero ha significato di cos90°=0
ed allora si comprende che Pitagora non potesse o volesse aprire la strada per un'altra branca della matematica: la Trigonometria.
Prof. Valerio; mi sono un po' allargato ma era necessario che confidassi a intelligenze aperte ciò che da secoli non si conosceva o si teneva occultato.
Cordialità.
li, 14/6/22
(joseph11)
grazie del suo cenno di approvazione: cordialità
li, 19-6-22
Anche gauss era “esperto“ di questi numeri, che credo si chiamino triangolari
La terza dimostrazione, molto elegante 😊
Complimenti per la chiarezza e tutti gli spunti interessanti! Nell'ultima dimostrazione si potrebbe riconoscere una versione algebrica e più completa della dimostrazione basata sul primo teorema di Euclide...condividi?
Sì, i due teoremi di euclide possono essere dimostrati partendo da quelle similitudini
Molto chiaro. Dove posso trovare una dimostrazione, penso algebrica, della validità del t. di Pitagora per qualsiasi poligono regolare costruito sui lati, compresa la semicirconferenza?
Grazie in anticipo
@@rarisio per i semicerchi costruiti sui cateti "a" e "b" e sull'ipotenusa "c" si può moltiplicare ciascun membro della relazione a^2 + b^2 = c^2 per pi greco fratto 8, così si ottiene l'equivalenza delle aree dei semicerchi
complimenti per i tuoi video e il canale ... segnalo al secondo 8 la piccola imprecisione. "... è uguale alla somme delle aree DEI QUADRATI COSTRUITI sui cateti... " ... non so se è facilmente possibile rimediare ... un saluto
Per vedere se siete attenti 😂😂.
Purtroppo non si può modificare
@@ValerioPattaro un saluto e grazie, ottimo canale
Anni indimenticabili...
E poi ci stava l'incognita che non era mai l'ipotenusa...
7:25 ... del rettangolo :)
Per vedere se eri attento 😉
incredibile poi, con l'avanzare degli studi scientifici, accorgersi di come il T.d.P. sia ricorrente
Avrei "resistito" per altri 9... molto volentieri
pensaci
simpaticamente interessanti sia questa/e dimostrazione/i che gli altri video . . . però i cateti quadrati . . .
Nella seconda dimostrazione non basta sapere che α+β=90° ma anche che i lati sono tutti congruenti se no non è un quadrato bensì un rettangolo.
Però in questo caso sono ipotenuse dei triangoli rettangoli congruenti quindi è realizzabile.
È scritto nelle ipotesi che i quattro triangoli rettangoli, le cui ipotenuse costituiscono i lati del quadrato, sono congruenti.
Il video è bellissimo. Manca però la risposta ad una domanda che mi sono sempre fatto: qual è la dimostrazione che diede Pitagora?
Non si sa. Pitagora era un esoterico, trasmetteva il sapere a una cerchia ristretta di adepti.
@@ValerioPattaro Nessuno ha mai fatto delle ipotesi anche se puramente speculative? Potremmo per esempio escludere tutte quelle che prevedono l'uso dell'algebra e quelle che mettono come ipotesi i teoremi di Euclide che sono venuti ben più tadri.
Non sono sicuro che tutti lo conoscano! Il teorema di Pitagora! 🤣🤣🤣
Ma si può anche dimostrare il Teorema con un esagono, per esempio, invece che con un quadrato?
Vale per tutte le figure
@@ValerioPattaro potrebbe fare un video? Mi piacerebbe capire meglio...
Resistito fino in fondo?
Avrei voluto altre 9 dimostrazioni.... altroché!!!
La sesta dimostrazione non è la stessa di Airy?
Non direi, sono costruzioni geometriche diverse.
Ricordo che da ragazza mi interessai ad un teorema o postulato, ma non ricordo più di quale autore. Non era quello di Euclide né quello di Pitagora, mi aiutate a ricordare di quale teorema (o postulato) si tratta?
Ci dai pochi indizi
@@ValerioPattaro forse era la formula di Erone... l'hanno citata tra i commenti...Ma non sono sicura.
Lo ho siegato nell' intervallo in prima media dopo 10 minuti che lo aveva fatto la prof.......
Fai prima media e l'hai spiegato ai tuoi compagni?
@@ValerioPattaro e sono passati tanti anni ,mi piaceva la matematica e non solo ....ciao
Je suis heureux d’avoir trouvé une solution non montrée et enseignée dans les écoles techniques !
« LES TRIPLETS PYTHAGORICIENS »
Triangle rectangle : a ; b ; c
Connu : a
Trouver : b et c
b = a^2 - 1 / 2
c = a^2 + 1 / 2
Démonstration : a^2 + b^2 = c^2
a^2 + (a^2-1/2)^2 = (a^2+1/2)^2
a^2+(a^4-2a^2+1)/4 = (4a^2+a^4-2a^2+1)/4
= (a^4 + 2a^2+1)/4 = a^2 + b^2
c^2=(a^2+1/2)^2=(a^4+2a^2+1)/4=a^2+b^2
Impair : a = 3 5 7 9 11 15
b = 4 12 24 40 60. 112
c = 5 13. 25 41. 61. 113
Pair : a = 2 4. 6. 8. 10. 12.
b = 1,5. 7,5. 17,5. 31,5. 49,5. 71,5
c = 2,5. 8,5. 18,5. 32,5. 50,5. 72,5
EXTRAORDINAIRE : il existe une infinité de
« TRIPLETS PYTHAGORICIENS »
Je m’adresse humblement aux mathématiciens.
Pour avoir de l’aide sur un problème qu’on appelle « Les triplets Pythagoriciens »
Est-il possible de tout calculer dans un triangle rectangle en ne connaissant que la longueur de son plus petit côté ?
Triangle rectangle :
a - b - c
(a)2 + (b)2 = (c)2 ( Pythagore )
a = 3-5-7-9-11-13-15-17-19…infini !
b = 4
c = 5
j’ai trouvé que : b = (a)2 - 1 / 2
Et que : c = (a)2 + 1 / 2
On trouve les solutions suivantes :
3- 5- 7- 9- 11- 13…
4- 12-24-40- 60- 84
5- 13-25-41- 61- 85
(3)2 + (4)2 = (5)2
(5)2 + (12)2 = (13)2
(7)2 + (24)2 = (25)2
(9)2 + (40)2 = (41)2
(11)2 + (60)2 = (61)2
(13)2 + (84)2 = (85)2
(15)2 + (112)2 = (113)2
Pourquoi alors si le côté a : on lui donne la valeur : 33 on trouve non pas une solution
mais 4 solutions ?
Les solutions :
1 - (33)2 + (44)2 = (55)2
2- (33)2 + (56)2 = (65)2
3- (33)2 + (180)2 = (183)2
4- (33)2 + (544)2 = (545)2
-Pourquoi il y a quatre solutions ?
-Comment retrouve-t-on ces solutions ?
-Y a-t-il d’autres valeurs que : 33 pour trouver
D’autres solutions ?
-Est-il possible de calculer combien existe-t-il
de triplets pythagoriciens de 3 à 100.000 par exemple ?
-idem avec le côté : a ; mais avec des nombres paires : 4-6-8-10-12-14-
Exemple : 88^2 + 105^2 = 137^2
7744 + 11025 = 18769
Dans les arcanes des triplets pythagoriciens
La géométrie des triangles rectangles a entraîné l’arithmétique des triplets pythagoriciens, connus depuis au moins deux millénaires. Ces triplets suscitent de nombreuses questions, qui ne sont pas toutes résolues.
JEAN-PAUL DELAHAYE| 20 juillet 2020| POUR LA SCIENCE N° 514| 31MN
Article réservé aux abonnés
En 2015, Luis Teia Gomes a découvert une intéressante et astucieuse disposition en spirale des triangles rectangles associés aux triplets de la série de Pythagore. On part de quatre triangles associés au premier triplet
de la série (3, 4, 5). On les dispose selon le schéma (a). Le petit carré central a pour côté 1, car il est le résultat de la soustraction 4 - 3. Le carré en (b) a un côté dont la longueur est la somme des longueurs des deux petits côtés du premier triangle, soit 7 = 3 + 4. On prolonge par le nombre impair 5, (c), et cela donne en (d) le triangle associé au second triplet de la série (5, 12, 13). On recommence les mêmes opérations (e, f, g, h, i) avec les nombres impairs suivants 7, puis 9, etc. Pour montrer que cette construction fonctionne indéfiniment, on raisonne par récurrence en supposant qu’on est arrivé au triangle donné par : (a, b, c) = (2n + 1, 2n2 + 2n, 2n2 + 2n + 1). Le petit côté du triangle suivant est le nombre impair 2n + 3, et le second côté de ce triangle, par construction, a pour longueur la somme des deux côtés du triangle précédent et de 2n + 3, soit : (2n + 1) + ( 2n2 + 2n) + (2n + 3) = 2n2 + 6n + 4 = 2(n + 1)2 + 2(n + 1). C’est ce qu’il nous fallait pour le triangle suivant, associé au triplet : (2n + 3, 2(n + 1)2 + 2(n + 1), 2(n + 1)2 + 2(n + 1) + 1).
Pour disposer d’un angle droit, on prend une feuille de papier au bord bien rectiligne et on replie le bord sur lui-même, ce qui produit un pli orthogonal au bord et crée donc un angle droit parfait. Mais comment s’y prendre si, à la place d’une feuille, on n’a sous la main qu’une corde ? La solution, aussi connue que merveilleuse, associe arithmétique et géométrie et illustre la profondeur magique des mathématiques. La solution, dont on ignore qui l’imagina en premier, procède en quatre étapes (schéma ci-dessous) :
- En faisant des nœuds ou à l’aide d’un crayon, on marque sur la corde deux points dont l’écart fixera l’unité de longueur.
- En tendant la corde et en la repliant, on crée 11 autres marques sur la corde, distantes deux à deux d’une unité.
- En utilisant ces 13 marques, on repère alors quatre points A, B, C et D séparés de 3 unités, puis de 4, puis de 5.
- On fait coïncider A et D et on tend la corde, ce qui donne un triangle rectangle en B (on va voir pourquoi) et donc un angle droit.
Cette corde est dénommée « corde à treize nœuds » ou « corde des druides ». On peut avec la même corde obtenir un triangle équilatéral en prenant cette fois des points A, B’, C’ et D de façon qu’il y ait 4 unités de longueur entre A et B’, entre B’ et C’ et entre C’ et D. On fait coïncider A et D, on tend la corde et, bien évidemment, le triangle ABC est équilatéral, ce qui donne des angles de 60°.
Ce type de manipulations était vraisemblablement utilisé au Moyen Âge par les bâtisseurs des cathédrales. On prétend parfois que les Égyptiens ont utilisé la corde à treize nœuds, mais, selon les historiens spécialistes comme Eli Maor, rien ne l’atteste avec certitude.
Le plus vieux théorème ?
La méthode de la corde repose sur ce qui est peut-être le plus ancien et fameux théorème, le théorème de Pythagore :
« Le carré de la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. »
Plus précisément, la méthode de la corde à treize nœuds utilise la réciproque du théorème : « si le carré de la longueur d’un côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est le plus grand côté. »
Pour le premier triangle, on a 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52, ce qui justifie la méthode, mathématiquement aussi parfaite que la méthode de la feuille repliée. Notons que la corde sera plus pratique que la feuille pour dessiner des motifs géométriques dans un jardin, sur un champ ou pour contrôler la géométrie d’un édifice dont on veut que les murs et le plan des pièces soient parfaitement carrés ou rectangulaires.
On dit que les trois nombres 3, 4 et 5 forment un « triplet pythagoricien », et plus généralement, c’est le nom donné à tous les triplets d'entiers positifs a, b, c tels que a2 + b2 = c2.
Toute idée mathématique ouvre un territoire infini de questions auxquelles on ne répond jamais entièrement ; aujourd’hui encore, on mène des recherches sur ces triplets pythagoriciens, on formule de nouvelles conjectures qui exigent l’utilisation de puissants ordinateurs pour en venir à bout... ou qui restent sans solution. On présentera ici quelques résultats classiques et merveilleux sur les triplets pythagoriciens, puis de plus récents comme la bijection de l’arbre de Berggren, pour terminer par des conjectures liées aux coloriages pythagoriciens.
Il en existe une infinité
Existe-t-il d’autres triplets pythagoriciens que (3, 4, 5) ? Oui, évidemment : en doublant (3, 4, 5), ce qui donne (6, 8, 10), on a bien :
(6)2+ (8)2= (10)2 ( 36 + 64 = 100)
Plus généralement, si (a, b, c) est un triplet pythagoricien et si d est un entier quelconque, alors (ad, bd, cd) est un autre triplet pythagoricien. Pour connaître tous les triplets pythagoriciens, on pourra…