Nuova dimostrazione del teorema di Pitagora
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- čas přidán 2. 08. 2024
- In un recente meeting regionale dell'American Mathematical Society, due studentesse di New Orleans, Calcea Johnson and Ne’Kiya Jackson hanno presentato una nuova dimostrazione del teorema di Pitagora, che ha la caratteristica di essere "trigonometrica". In questo video vi presentiamo questo risultato, facendo tantissimi complimenti alle autrici di questa dimostrazione, davvero elegantissima.
Meeting regionale dell'Americal Mathematical Society :
meetings.ams.org/math/spring2...
Articoli di giornale che hanno parlato di questo risultato:
www.theguardian.com/us-news/2...
www.theguardian.com/us-news/2...
afrotech.com/new-orleans-high...
www.livescience.com/high-scho...
Video a cui ci siamo ispirati per ricostruire la dimostrazione:
• How High Schoolers Pro...
• Pythagoras Would Be Pr...
Questo è il riferimento del testo di Elisha Loomis "The Pythagorean Proposition", originariamente del 1927, in cui si diceva che non fosse possibile una prova trigonometrica (Trovate il riferimento a pag 244):
files.eric.ed.gov/fulltext/ED...
Questi sono alcuni riferimenti di altre dimostrazioni trigonometriche del teorema di Pitagora
forumgeom.fau.edu/FG2009volum...
www.cut-the-knot.org/pythagor...
www.cut-the-knot.org/pythagor...
www.cut-the-knot.org/pythagor...
www.cut-the-knot.org/pythagor...
Le gif animate del teorema di Pitagora sono state tratte da: www.mathwarehouse.com/gifs
Immagine del teorema di Pitagora di en:User:Wapcaplet - Transwikied from en:. Originally created by en:User:Michael Hardy, then scaled, with colour and labels being added by en:User:Wapcaplet, transformed in svg format by fr:Utilisateur:Steff, changed colors and font by de:Leo2004, CC BY-SA 3.0, commons.wikimedia.org/w/index...
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Molto bello e molto ben raccontato. Vale la pena di notare che la dimostrazione poggia sul V postulato di Euclide (come deve essere) grazie all'utilizzo dei triangoli simili.
Grazie Alberto del commento come solito utile e preciso. Speriamo possa essere di spunto anche per altri fruitori
bellissimo, bravissimi e bravissime le ragazze con la dimostrazione
Complimenti alle studentesse e a math segnale per l'ottima divulgazione.
Attendiamo il caso del triangolo isoscele.
Like super meritato, as always 😊❤
Grazie Valerio del commento! Siamo sempre onorati di ricevere questi feedback da te!
Bellooooo. Ricordo che io alle scuole medie, giocando con la matematica, sfruttando un sistema di assi cartesiani, il principio dei triangoli simili, e il fatto che una pallina rimbalza formando un angolo di uscita congruente a quello di entrata, avevo calcolato il punto da colpire ( in realtà le coordinate x y) con un palla da biliardo per fargli fare 2 o 3 sponde e giungere dove volevo io( almeno in linea teorica) però considerando che avevo 13 anni circa e che ho fatto tutto da solo senza input da parte di nessuno, mi è venuto in mente, mi sono cimentato e ci sono riuscito, ero molto fiero di me, nel mio piccolo.
Grazie per il commento! Complimenti per il risultato ottenuto e per lo spirito di iniziativa. La soddisfazione nel raggiungere un obiettivo di questo tipo è sempre impagabile!
L'uguaglianza sin(2alfa)=2ab/c^2 può anche essere dedotta calcolando l'area del triangolo isoscele una volta usando 2a come base e b come altezza e una volta usando la formula del semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso (in questo caso usando come lati i due obliqui pari a c e l'angolo compreso sarebbe 2alfa).
Bravissime le due ragazze, e benissimo spiegato il procedimento. Grazie di cuore.
Grazie mille del commento positivo! Ci uniamo ai complimenti
Di trigonometrico c'è solo la legge dei seni ... il resto è questione di similitudini.
Comunque è uno splendido esempio di quello che Feynman chiamava "approccio alla babilonese".
Una gran cosa che sto realizzando adesso.
La duplicazione iniziale del triangolo e la relativa applicazione del terorema dei seni, porta alla
sin(2a) = 2tg(a)/[1 + tg(a)^2]
senza passare dall'iderntità fondamentale.
Se fosse una dimostrazione circolare avremmo un modo nuovo per circoscrivere un triangolo.
Gran bel video!
Grazie del commento positivo ❤️
Giorni fa cercavo la dimostrazione delle due ragazze, ma non trovavo nulla. Grazie mille, davvero!
PS: la butto lì, ma dei video-pillole riguardo le ultime novità nel campo della matematica? Che ne dite, sarebbero fattibili?
Grazie per il commento. Sicuramente sarebbe un format interessante ma non siamo sicuri di poter avere il tempo e le risorse necessarie per seguire un tale progetto. Grazie dello spunto, comunque. Quando posisbile ci proviamo (come con l'assegnazione delle Fields o gli anni scorsi con altri ragazzi segnalati per risultati originali)
Molto interessante! Se posso, vorrei fare una domanda, perché sono piuttosto confuso. Il dubbio riguarda il triangolo rettangolo costruito al minuto 9:15, all'interno del quale viene poi costruita la successione di triangoli simili utilizzata nella dimostrazione. Il fatto che la lunghezza p del cateto (e avrei la domanda analoga anche per la lunghezza q dell'ipotenusa) sia la somma della serie delle lunghezze delle "piccole ipotenuse" dei triangoli rettangoli simili è un fatto ovvio? Non c'è bisogno di dimostrare nulla?
per costruzione p e q sono quelle somme direi. Una cosa che sarebbe da dimostrare è che quella costruzione porti effettivamente a un triangolo, ma puoi passare "al limite delle aree" e credo venga abbastanza subito
Possibile idea per concludere la dimostrazione nel caso isoscele (spero di non stare barando) senza nessuno sforzo in più: abbiamo come nell'altro caso che sin(2alfa)=2a²/c², e alfa è 45°, quindi basta "dimostrare" che sin(90°)=1, e in realtà deve essere definito a parte (rispetto alla definizione data) uguale a 1 per far funzionare il teorema dei seni (la definizione data funziona solo per gli angoli minori di 90°? Nel caso il teorema dei seni lo abbiamo per i triangoli acutangoli, ma possiamo estenderlo ai triangoli rettangoli con sin(90)=1 e funziona tutto per definizione)
Volendo si può passare dalla stessa similitudine, nel senso che sdoppiando il triangolo, si genera un nuovo triangolo che è simile al precedente, di ipotenusa 2a, per cui per similitudine si ah che 2a:c=c=a cioè c^2=2a^2=a^2+b^2 dato che il triangolo è isoscele in tal caso. Grazie per il commento con uno spunto interessante
SE qualcuno ancora non ci crede ... c'è la ruota con l' acqua e le figure geometriche 🙂
Molto bella... Ovviamente non è una vera dimostrazione perché mostra una prova pratica in un singolo contesto ma è davvero molto molto ben pensata
prof.
✍ la dimostrazione è una esercitazione mista di trigonometria e algebra e sembra non aggiungere nulla al lavoro intellettuale dei pitagorici.
Inoltre non è stata una scoperta del Teorema della tripla pitagorica perché nella fattispecie concreta si conosce a priori già tutta la geometria dei triangoli.
Mi sarei atteso un ragionamento sulle proprietà dei numeri naturali che convergono sulla loro rappresentazione geometrica nel piano orizzontale( non chiamo in causa nemmeno il piano euclideo semplicemente perché Euclide era ancora stato generato).
Le propongo ,se vorrà esaminare un'altra ipotesi come si pervenne alla formula di bronzo della trigonometria passando per la scoperta della tripla pitagorica di cui si tramandano oralmente alcune versioni algebriche .
Immagini di essere coevo dei matematici mesopotamici che hanno lasciato traccia, nelle misure delle loro costruzioni edili e monumentali ,della conoscenza delle funzioni trigonometriche.
Essi ragionando su alcune proprietà della serie dei numeri naturali ,che non consideravano ancora come elementi di un Insieme numerico, esaminarono le proprietà aritmetiche rispetto alla somma e differenza ed elevazione a potenza di una terzina di serie numerica data da
S→a+(a+1)+(a+2).→( dove a=1)
Di tutta evidenza si poteva scriverla nella forma; [a=(a+2) - (a+1)]→ovvero elevando al quadrato ambo i membri si ha →[a^2 =(a+2+a+1)(a+2-a-1)]. →→[ a^2=2a+3] ;tale espressione ai nostri occhi moderni ci dice che :
al primo membro abbiamo una potenza che è una curva ed al secondo membro l'equazione di una retta.
Descartes nel suo Saggio Geometrie scrive che si possono sommare ed uguagliare a zero sicché abbiamo
[a^2-2a-3=0] che è l'equazione della parabola completa le cui soluzioni sono a‛=(-1) ed a=(+3)
Se costruisci il grafico vedi che fra la radice x=(-1) e l'asse di simmetria della parabola X=(+1) hanno i punti in comune; uno è secante e l'altro è tangente all'asse di simmetria.
Traccia la circonferenza di raggio unitario nel centro assi cartesiani ed osservi che si materializza il cerchio trigonometrico dove si dimostra che il cos 𝞪 varia da (+1 a -1 ) e il sen𝞪 da (0 a +1) dove si comprende che Pitagora ci ha messo il suo teorema che vale anche per seni e coseni.
Nel nostro caso la tangente trigonometrica passa per x=1 e si sovrappone sull'asse di simmetria di coordinate (+1;0).
Cordialità🧶
li, 13/5/23
PS) è di tutta evidenza che se si sostituisce la radice x= (-1) nella eguaglianza di partenza →
a^2=(a+2)^2-(a+1)^2 si ottiene che 1=1+0 dove 0=cos^2 𝞪 e di conseguenza 𝞪=90° o 𝝿/2→
ed allora sen^2𝞪=r^2-cos^2→ ed ordinando essendo r^1=1 si ha →(sen^2𝞪+cos2𝞪=1) ed ecco che
abbiamo la versione trigonometrica pitagorica del buon Pitagora nel cerchio di raggio unitario.
Aggiungo che se invece sostituiamo la seconda radice a=3 si ottiene che →3^2= (3+2)^2- (3+1)^2 da cui
9=(25-16). che dimostra che la prima versione del teorema pitagorico era imperniato della differenza di quadrati come emerge anche in un'altra dimostrazione incardinata sulla serie di 4 termini consecutivi.
Joseph😌😇
lio, 13/5/23
La dimostrazione si basa implicitamente anche sul fatto che 2a = b, altrimenti non si forma un triangolo al minuto 9:06. la dimostrazione vale quindi solo in quel caso.
il triangolo che ruota e porta sotto è riscalato, infatti dopo calcola anche il fattore con cui è riscalato
Scusa, ma ... trigonometricamente, il Pitagora è il caso particolare del teorema di Carnot :
per un triangolo rettangolo, l’applicazione del teorema di Carnot all’ ipotenusa ci dà per valore in formula il coseno di 90° = 0.
Quindi, in che senso non si conosceva una dimostrazione trigonometrica ?
Cmq purtroppo, a scuola, di dimostrazioni ne insegnano solo una "a dogma" precludendo tutto il resto... il contrario della mentalità matematica !
Carnot si dimostra tramite sin²(x)+cos²(x)=1, che è chiaramente equivalente a Pitagora, ed è quello che non vogliamo appunto utilizzare
Ma la legge dei seni richiede in maniera indiretta la prima relazione goniometrica fondamentale
Ciao e grazie del commento. La legge dei seni può essere dimostrata grazie al Teorema della corda ed al fatto che ogni triangolo risulta inscrivibile in una circonferenza. Il Teorema della corda può essere dimostrato usando unicamente che l'angolo alla circonferenza sia la metà del corrispondente angolo al centro e le definizioni di seno e coseno per i triangoli rettangoli (si può discutere sul caso in cui l'angolo sia ottuso in cui si usa che sin(pi - a)=sin(a) ma non è parte della dimostrazione del video per cui alla peggio ci si può restringere al caso acuto). Probabilmente ci sono altre strade per dimostrarla, ma quelle qui indicate non usano l'identità fondamentale.
@@MATHsegnale la vedo molto difficile; comunque, la dimostrazione completa non mi pare sia stata diffusa, il che lascia abbastanza dubbi