자연수와 정수 중 누가 더 클까?
Vložit
- čas přidán 20. 08. 2021
- 저번주에 업로드 했던 `무한의 개수` 영상에서 오류가 있어 수정 후 재업로드 하였습니다. 오류가 있는 내용을 미처 알지 못했다는데 죄송하며 예전 영상에 달린 여러분들의 댓글이 없어지는 것에 대해서도 사과의 말씀 드리겠습니다.
설명을 쉽게 하려고 나름 증명과정을 해석하여 수정한 내용이 몇몇 있었는데 앞으로는 원문 그대로를 사용하면서 설명법을 더욱 연구하여 내용을 이해하실 수 있도록 영상을 구성하도록 하겠습니다. 그리고 제가 모르는 것, 잘못 알고 있는 것이 있어 앞으로 틀린 내용이 없을 것이라 약속드릴 수는 없습니다. 하지만 이런 일이 생기지 않도록 최대한 미리 점검하고 잘못한 부분이 있다면 이번과 같이 꼭 다시 수정할 것을 약속드리겠습니다. 감사합니다.
- 무한집합은 자기 자신의 진부분집합으로의 단사(1-1)함수가 존재하는 집합으로 정의되어 있습니다. 이 영상에서는 단사함수의 개념보다는 보다 이해하기 쉽게 1-1대응의 개념을 이용해 설명하려 하였습니다.
- 무한의 개수와 기수를 혼용해서 사용하고 있습니다. 개수는 유한집합에서 주로 쓰는 표현이긴하나 직관적인 표현을 위해 개수란 표현을 사용하는 점 죄송합니다.
- 가산집합의 가산 합 또는 곱은 가산입니다. 가산집합과 비가산집합을 가르는 경계는 없으나 비가산 정렬집합은 하한이 존재하므로 그 하한을 S-omega[최소 비가산 정렬집합]이라 합니다.
저의 오류를 찾아주시고 친절하게 설명해주신 DRTN님 외 2분께 정말 감사합니다.
자연수의 개수, 기수, 초한수, 불완정성 정리
#무한 #기수 #초한수
Script - rayc20.tistory.com/102
![[지식in] 허수의 크기](/img/n.gif)
이런 좋은 영상이 한국어라니 ㅋㅋ
3B1Bㅋ
ㄹㅇㅋㅋ
수학 전공자로서 이런 내용을 깔끔하게 정리한 한국 영상이 있어 너무 좋고 흥미롭게 보고가네요 ㅎㅎ
좋은 영상 만들어주셔서 감사합니다
와..막 온몸에 소름돋는데...
올해 배운 개념중 가장 지렸다..
자막 있어서 너무너무 좋아요 ㅠㅠㅎㅎㅎ 자기전에 소리없이 볼수있어서용 감사합니다
브금이랑 설명이랑 너무 듣기 좋아요ㅎㅎ
아는 내용이라고 생각했는데 잘모르고 있었던것같네영 설명 잘 듣고 갑니다!!
집합론 시간에 배웠던 내용을 쉽게 복습할 수 있었어요 좋은 영상 감사합니다!
수학과 집합론에서 배운 내용들이 새록새록 떠오르네요!
오류인 부분 질문드렸었는데 기분 나빠하지 않으시고 겸허하게 인정해주셔서 감사합니다.
게다가 이렇게 수정 영상까지 올려주시다니.....
늘 영상 잘 보고 있습니다.
덕분에 제가 잘못 알고 있다는 사실을 알았습니다. 정말 감사드립니다^^
@@Ray수학 와 진정한 참된 인간의 태도네요
혹시 뭐가 바뀐건지...
그 전 영상은 자연수에서 무리수로만 가는 함수였는데, 자연수에서 실수로 가는 함수로 바뀌고, 그 전 후로 실수와 (0,1)의 농도가 같다는 설명과 간접적으로 무리수가 비가산이라는 부분이 추가 되었습니다.
깨알같이 뒤에 녹음 잘못했던 집합의 기수 부분도 수정했어요
@@Ray수학 늦은 시간인데도 감사합니다
안녕하세요. 자연수와 정수를 막 가르치고 있는 수학 지도자입니다. 학생들을 가르치기 전에 이 영상을 보고 설명해줄 수 있어 행운이었습니다. 감사합니다. 영상에서 다룬 내용이 잘 이해되었습니다. =) 감기 조심하세요!
초한수 재밌죠 진짜 ㅎㅎ 개인적으로 무한이란 개념 진짜 좋아하는데 영상 잘 볼게요 감사합니당~!! :D
요즘 학교에서 배우고 있는건데 이렇게 쉽게 설명해주시다니... 감사합니다
오우~~ 유익한 영상 감사해요❤️❤️
좋은 영상에 감사드립니다.
뭔 말인지 하나도 모르겠지만
그냥 멍 하니 보게되는 영상...
집합론 파트중에 제일 좋아하던 파트... 잘 보고 갑니당
오우오우 너무재밌고
고2 학생인데 좋은 영상 만들어주셔서 감사합니다.
이해하지는 못했지만 끝까지는 봤습니다 2편도 기대할께요
보기 전: 뭐가 수정됐을까?
보고나서:뭐가 수정된거지
@@geniusna1885 3년쯤 지나면 내 머리로 이해할수 있길...
@@geniusna1885 N에서 I로 갈 때 I에서 유리수들이 전부 빠졌던걸로 기억합니다
커뮤니티 가보세요
@@user-se9pc1ut6z 아!
오 본인등판
유리수 집합이 정수 집합이랑 대등하다는게 정말 놀랍죠..
똑같이 실수 집합이 복소수 집합과 대등하고..
선생님 정다면체의 종류 영상 만드실생각없으신가요...
외국 영상 봤는데 너무 어렵습니다
1에서 0.(순환마디)9 를 뺏을때 값이 0.000...1이 아닌 이유가 무한의 끝이 없기 때문이라고 생각하는데 비슷한 맥락으로 두 집합이 계속해서 일대일대응이 된다고 두 집합이 일대일대응이 성립한다고 볼 수 있는지, 대응이 끝이 나지 않는데 일대일대응이라 할 수 있을지 궁금합니다!
1:08 여기까진 완벽하게 이해
증명이 안되니 증명할수 없음을 증명하는... 진짜 다른세계구나 ㅋㅋ
'명제' 증명법은 고1에서 배우긴하니..
그걸 써먹는게 대단하지만
@@baboboong 이게 고1교과서에서 나오긴하는데 확실히 다른세계같긴하네
쓰앵님 혹시 무한 시리즈 끝나면 원이랑 구 다뤄주실 수 있으신가요?!?! 원 넓이를 미분하면 둘레가 된다던가,, 구 부피를 미분하면 겉넓이가 된다던가,,
관련된 영상이 너무 많아서 3b1b님 영상 보시면 좋을 것 같아요
@@Ray수학 여기서 3b1b란, 3blue 1brown입니다.
??구 부피를 미분하면 겉넓ㅅ이가 되고 원넓이를 미분하면 둘레가 돼요????
@@user-rp1hw1ls5h 직접 각각의 넓이공식들을 반지름에 대해서 미분 해보시면 되는데 왜 그렇게 되는지가 더 중요해요
@@user-rp1hw1ls5h 둘레를 잘게 쪼개면 작은 선분으로 생각할 수 있는데 그걸 밑변으로, 반지름을 높이로 하는 삼각형을 생각해보세요. 그러면 원은 작고 매우 뾰족한 삼각형들을 붙여논것과 같게 되죠. 이를 수식으로 한번 바꿔보세요
4:13 가정한다=귀류법으로 아님을 증명할것이다
0:57초에서 0은 왜 음의 정수에 들어가는 것인가요??
안녕하세요, 수학을 주제로 유튜브 컨텐츠를 만드는 게 쉽지 않을 것임에도 불구하고 노력하시는 데에 경의를 표합니다.
그와 별개로, 동영상에 나오는 내용 몇몇에 대해 짚고 싶습니다.
1. 연속체 가설의 독립성과 불완전성 정리 그 둘간에는 직접적인 연관이 없습니다. 굳이 집어보자면, 연속체 가설의 독립성이 불완전성 정리의 예시가 된다는 정도일 것 같습니다. 여담으로, 연속체 가설의 독립성은 괴델이 연속체 가설의 무모순성을 증명한 시점에서 얼마 지나지 않아 추측되었다고 압니다.
2. 영상 마지막 부분에 순서공리를 언급하셨는데, 보통 순서공리라는 단어는 전순서 (total order)의 정의 혹은 그와 유사한 정의들을 가리킵니다. 혹시 정렬가능성 원리 (well-ordering principle)을 의도하신 것은 아닌지 질문드리고 싶습니다.
ray님, 혹시 무작위로 고른 수가 소수(소수점X)일 확률에 대해 영상을 올려주실수 있나요?
소수정리는 몇번 다루긴 했는데 제가 지금 작업중인거라 입시시즌이라 조금 오래 걸릴 것 같습니다 T_T
소수와 자연수의 개수도 같을텐데… 범위가 정해져 있는거겠지?
수학 숙제 할 때 보겠습니다
알고리즘이 나에게 무한을 배우게 하고싶은가보다
9:35 진리이지만 증명될 수 없는 문제가 있다 너도 그렇다
1/2! 같은걸로 감마함수도 다뤄주셨으면 합니다
이미 살짝 다뤘습니다^^
선생님 혹시 '1학년의 꿈(Freshman's dream)'이랑 '2학년의 꿈(Sophomore's dream)'에 대해 다뤄주실 수 있나요 특히 2학년의 꿈은 똑같은 식의 이산적인 무한합이 연속적인 적분값과 같다는게 너무 아름답다고 생각해서요. 이름도 멋있어서 영상 만들기 좋다고 생각합니다
처음보는 내용이라 찾아본 후 다뤄보도록 하겠습니다^^ 적분은 3편에서 살짝 찍먹하는 정도만 다룰 예정입니다.
@@Ray수학 답변 감사합니다!
혹시 1학년의 꿈이 뭔지 궁금한 분들을 위햬: 1학년의 꿈: a^2+b^2=(a+b)^2
@@user-wv5yl6el4v 잉 이게 가능하나요?? 곱셈공식 아닌가요?
@@user-wv5yl6el4v 2ab가 없어요
안녕하세요 Ray수학님 수학을 배우다가 문뜩 궁금한게 있어서 댓글 남깁니다 (x+1)분에 (x+1)(x-1)은 결국 x-1과 같게되고 x는 분모가 0이되면 안되기때문에 x는 -1을 제외한 실수가 되죠 그런데 이렇게 된다면 (x+1)(x+2)...(x+n)분에 (x-1)(x+1)(x+2)...(x+n)라고 두게되면 x는 1~n을 제외한 실수가 되버리죠 그리고 이 범위를 -무한대부터 +무한대까지 늘리게되면 결국 x값은 어떠한 실수도 못갖게되는게 아닌가요? 필자는 현 고등학생 1학년입니다
이 영상의 결론이 답변이 될 것 같습니다. 우선 제외한 값의 개수는 곱한개수이므로 기껏해야 셀 수 있는 무한이지만 실수는 셀 수 없는 무한이므로 모든 점을 제외할 수 없습니다. 그리고 쓰신 식은 자연수만 제외하고 있는 식이라 실수 전체를 없애기에는 무리가 있어보입니다.
오류가 있었던가?
난 모름
사과를 했던가?
하던데
무엇이 잘못되었던가?
난 모름
혹시 Zorn의 정리? 선택정리랑 정렬원리가 그.. 유명한 ZFC공리계(?)에 대한거죠? 너무 기대됩니다. 읽어봐도 이해가 안되었는데...
수학자: 잘 설명했군.
일반인: 완벽히 이해했어!
4:30에서 일대일 대응 함수로 인해 f(1), f(2)에 I안에 있는 모든 실수를 대응 시킬 수 있다는 말이 정확히 어떤 뜻인가요??
f(1)만으로도 I안에 있는 모든 실수를 대응 시킬 수 있지 않나요? 혹은 f(1), f(2), f(3)으로 I 안에 있는 모든 실수를 대응시킬 수 있지 않나요? f(1), f(2)로만 특정지어서 대응가능성을 설명하신 이유가 뭔지 궁금합니다!
(0,1) 사이의 수를 모두 0.xxxxxxxxx---으로 표현할 수 있다는 전 설명에 이어서 이러한 모든 수가 f(1), f(2)값이 될 수 있다는 표현으로 바꾼 재설명에 불가한 것인가요?
뭔가 제가 이해하지 못한 다른 의미가 있는 것 같아서요..
아마 f(1), f(2) 등등... 을 말하시고 싶으셨던 것 같아요
f(n)은 구간 (0,1) 안에 있는 실수 중 한개의 값에 대응되므로 f(1)만으로, f(1)과 f(2)만으로, 혹은 f(1), f(2), f(3)만으로 모든 실수를 대응시킬 수는 없습니다.
오 드디어 아는게 나왔다
와....
수학을 잘 몰라서 문의 드립니다. 대각선 논법으로 실수의 집합이 정수의 집합보다 크다고 한다면, 실수집합의 수에서 정수집합의 수을 빼면 0 보다 큰 수가 나온다고 볼수 있나요? 안된다면 그 이유가 궁금합니다.
무한은 수가 아니라 개념이므로 연산 자체가 불가능합니다.
@@user-vi4dg1hg2g무한도 연산할 수 있습니다(초한기수의 연산).
수학문제 푸는 것만 좋아하는 나에겐 다시 한 번 수학과의 꿈에 대해 회의감이 들게 한다
논리를 쌓아가는 수학과 과목들 특성상 고등학교 수학문제풀이와는 꽤 거리가 있죠... 잘 설정된 문제들 푸는 거 좋아하시면 통계학과나 수교과가 낫지 않을까 싶어요
@@user-se9pc1ut6z 통계학과에서 뭐하는지 알려주실 수 있으신가요...?
@@user-se9pc1ut6z ㄴㄴ 공대가야죠
@@frenchblack3473 공대는 물리 필수 아닌가요...ㅠㅠ
@@frenchblack3473 수학하려면 공대를 가라구요???ㅋㅋㅋㅋㅋ
끝까지 헉인할 수 없는 것은 우기면 된다. 이런 느낌
자연수와 정수의 개수가 다른 증거 - 자연수는 한 쪽 방향 무한으로만 열려있고 정수는 양방향 무한으로 열려있다. 고로 두 집합 원소의 개수는 같을 수 없다.
자연수 혹은 정수의 개수가 유리수의 그것과 다른 증거 - 자연수 혹은 정수 1,2 사이에는 어떠한 다른 수도 없지만 유리수 1,2사이에는 무한한 유리수가 있다. 고로 두 집합 원소의 개수는 같을 수 없다. 왜 이런 문제가 제기 되냐면 무한은 원래 연산과 사고의 대상이 아니기 때문입니다. 이는 300년 전 이미 칸트가 그의 이성비판에서 정리한 것입니다.
'재업이라 이미 봤지만 아직도 무슨 내용인지 모르는 영상'
그간 궁금했던건데 도형의 넓이관련 공식의 증명 영상을 찍어주실 수 있을까요? 구의 표면적은 어째서 4파이r²인지같은거요
그거 원기둥 합으로 적분하면 돼요
적분 배우셨나요?? 원기둥, 구 등등의 넓이는 적분으로 구해지는데, 이걸 고2 2학기 내지는 고3때 배웁니다. 학교마다 배우는 시기는 달라요.
@@peng317 부피는 고등학교 미적분으로 구하기 쉽지만 구의 겉넓이는 어렵습니다. 필연적으로 근사를 써야됨.
@@user-vi6gy6it1o 원기둥으로 구의 부피는 구하겠지만 겉넓이는 못 구합니다. 구의 북극점은 위에서 봤을 때 평탄한데 원기둥은 아무리 촘촘히 쌓아도 위에서 봤을 때 0인지라, 반드시 값이 작게 나옵니다.
혹시 3b1b에서 소개한 원기둥의 옆넓이를 사용한 구 겉넓이 구하는 방법을 말하신 거라면, 그건 옳은 거지요.
구 겉넓이 적분은 간단한 방법이 2가지가 있습니다.
1. 원뿔대로 나눠 적분하기
가로로 썰 때 원기둥으로 하면 곡면에 의한 기울기가 반영되지 않으므로, 기울기를 반영한 원뿔대를 사용해 적분하면 제대로 나옵니다.
2. 원기둥의 옆넓이
구가 쏙 들어가는 크기(높이 2r, 밑면의 반지름이 r)의 원기둥의 옆넓이는 4πr²인데요, 이건 우연이 아닙니다.
자세한 건 3b1b의 영상 참고.
이 유튜버가 내 고등학교때 있어야 했는데
저 혹시... y=a^x인 지수함수처럼 정의역이 실수 전체인 집합, 치역이 0보다 큰 모든 실수인 함수는 어떻게 일대일대응이 되나요. 그러니까 현재 고2인 제가 봤을 때 실수 전체의 집합이 더 큰데 어떻게 다 대응되는가가 궁금합니다.
실수집합은 다 농도가 같습니다. 영상에서 나온 것 처럼 구간(0,1)과 실수 전체의 집합의 농도는 같습니다
한국의 3b1b ㄷㄷ
그러면 자연수랑 짝수도 대응 가능하니깐 밀도가 같은 거고 개수가 같다고 할 수 있으니 자연수 중 짝수를 고를 확률이 1이 되는 겅가요
1까지 자연수 중 짝수를 고를 확률 0
2까지 자연수 중 짝수를 고를 확률 1/2
3까지 자연수 중 짝수를 고를 확률 1/3
4까지 자연수 중 짝수를 고를 활귤 2/4=1/2
...
이런식으로 극한을 취한다면 1/2이 합리적인 확률입니다.
확률은 고전적인 개념에서는 개수로 확률을 정의하지만 현대 수학에서는 좀 더 다양한 방법과 함의를 가지는 확률의 개념을 사용합니다.
5:07 공역에는 포함되지만 치역에는 포함되지 않는 원소가 있다는 설명이 이해가 안가네요...0과 1사이에 있는 수 이므로 공역에는 포함된다는건 알겠는데 치역에 원소가 없다는것은 어떻게 알 수 있는거죠?
제가 혼자 생각해봤는데 제가 이해한게 맞는지 봐주세요
1. bn 까지의 b의 숫자들과 f(n) 까지의 원소들을 비교해보면 b는 n까지의 f(n)중에 최소 한자리 이상 다르므로 f(n) 과 겹치는 경우가 없다
2. b가 f(n+1) 이상의 함수와 대응되는 경우를 가정해보자, tan 함수는 증가함수이므로 f(n+1) > f(n), 하지만 bn 값은 1혹은 2 이므로 f(n) > bn 인 b값이 무조건 존재
3. 그러므로 bn 은 f(n+1) 이상의 함수와 대응되지 않는다
@@user-br4rs9og9f2번에서 f(n)은 모든 자연수 n에 대응하는 수인데 그 어떤 자연수와도 대응하지 않는 수 b가 등장했습니다. 그러므로 첫 가정인 f는 일대일대응이라는 전제가 잘못된 것입니다.
정수랑 자연수가 개수에서 같을 수는 없을것 같은데 상식을 벗어나는 ㄷㄷ
3편에서 측도론 다뤄주시나요? 길이 뭐시기 보니까 측도가 생각나는데
네 3편이 측도입니다^^
수학 최강자들의 대화인가..
레이 사셨나요 요즘 떡상하는데
새..생존신고..
제가 잘 몰라서 그런데 자연수의 집합과 정수 집합이 왜 일대일 대응인지 이해가 너무 안됩니다. 자연수집합의 모든 원소를 정수집합에 대응 시키면 0과 음의 정수가 대응이 안되니까 일대일 대응이 아니지 않나요? 레이님 말씀대로 대응시킨다 해도 무조건 정수 쪽에서 남는게 생길 것 같습니다. 그 논리라면 정수 집합이 유리수 집합이랑 일대일 대응된다는 말씀아닌가요?
일대일 대응함수를 단 하나라도 만들 수 있다면 농도가 같다라고 생각하시면 됩니다. 마찬가지로 정수집합과 유리수집합사이에 일대일 대응 관계를 만들 수 있기에 농도가 같습니다.
조금 더 쉽게(?) 생각해 보았는데, 맞는지는 모르겠습니다만 설명드려보겠습니다. 일단 자연수랑 정수는 농도가 같습니다. 왜냐하면 자연수도 무한개, 정수도 무한개이기 때문에 계속 대응시켜도 무조건 자신의 짝을 찾을 수 있습니다. 다시 말해서, 임의의 정수 x 에 대해서 대응되는 자연수 n을 항상 찾을 수 있습니다. 함수 꼴은 다음과 같겠네요 f: Z -> N where f(0) = 1, f(x) where x < 0 = -2x, f(x) where x > 0 = 2x + 1 이렇게, 자연수와 정수 사이에는 일대일 대응인 함수를 만들 수 있습니다. 여기서 자연수에 대응되지 않는 정수점이 없습니다. 그 다음 정수로 좌표평면을 그려서 정수점들을 표시해서 세어나가면 양/음의 유리수, 0 까지 모두 대응이 가능할 것 같네요. 그러면 |자연수| = |정수|이고, |정수| = |유리수|니까 |자연수| = |유리수|겠죠?
@@pizzapineapple2425 맞는것 같습니다. 그렇게 생각하는 방식이 합리적인것 같아요 감사합니다.
@@Ray수학 음 감사합니다 오류가 집힌 부분을 확실히 집혀주셔서 이해가 되네요
선생님 지인이랑 적분문제로 갈등생겼는데
Sum x⁴/x³-1dx=1/2ln(x²+x+1)-루트3
tan^-1(2x+1/루트3)+C or x²/2-1/6log(x²+x+1)+1/3log(1-x)+tan^-1(2x+1/루트3)/루트3으로 갈렸습니다 누가 옳을까요??
www.wolframalpha.com/input/?i=x%E2%81%B4%2F%28x%C2%B3-1%29dx
적분 하도 안해서 정확한 답이 안될까봐 울프람 알파의 답을 첨부합니다.
그런데 저 두 풀이 모두 정확한 풀이라면 두 함수가 같은 함수일 수 있습니다. 보통 적분방법이 다르면 원시함수가 조금 다른모양으로 생기는데 테일러 전개나 그래프의 개형을 비교해 보면 같은 함수인게 심심치 않게 보입니다.
@@Ray수학 친절한 설명에 감사드립니다.
더높은곳으로 직진하셨음 좋겠네요
안그래도 유튜브에 수학관련 컨텐츠가 인기가 많은거같으니 가속도 붙으셨음 좋겠네요 ㅎㅎ
4:50 뭔 소린가 하고 한참을 생각했네
6:13 수학과 가겠습니다
우왕
소수의 개수는 어떻게 표현 가능한가요?
영상 만드실 때 쓰는 프로그램이 뭐에요?......ppt는 아닌 거 같고요..
fcpx 사용합니다^^
5학년인데 이해할 수 있을정도로 쉽게 설명해주시네요
혹시 대학교 5학년인가요
칸토어가 괜히 정신병원에 갇힌 게 아닙니다 여러분
와 위대한 학문이다.....근데 나는 멍청해서 이걸 이해하지못하는게 너무 슬프다.....이해할수있었더라면 더 재미있었을텐데...
동가능성에 대해서 알려주실 수 있나요? 교육청영재수업에서 배웠는데 배우고 나니까 이때까지 선행한게 잘못된건가? 싶어서요..
동가능성이 뭔지 처음들어서.. 어떤개념인지 알려주실 수 있나요?
@@Ray수학 그게… A랑 B랑 대결을 하고, 3점내기인데 현재 스코어가 2:1이라 하면. 그 다음은 A가 이기거나 B가 이기고 A가 이기거나 B가 이기고 또 B가 이기거나, 해서 전체 경우의수 3개중에 A가 이기는 경우의 수가 2개니까 최종적으로 A가 이길 확률이 2/3이 일반적인 건데, 이거는 동가능성에 위반되서 동가능성으로 문제를 풀면 가능성이 (AA, BA, AB, BB) 4개 이고 A가 이기는게 3가지라서 A가 이길 확률이 3/4라는ㄷ…요?
네 아래 풀이가 맞습니다. 조금 다르게 풀어본다면, A가 승리를 하기위해서는 3경기를 이기거나(+) 3경기를지고(x)4경기를 이기는 2가지로 나뉩니다. 따라서 3경기를 이길확률 1/2 + 3경기를 지고 4경기를 이길확률 1/2 *1/2 = 3/4 입니다. 반대로 B가 승리하려면 3경기도 이기고(x)4경기도 이겨야하므로 1/2*1/2=1/4입니다. 이렇게 본다면 조금 더 직관적이신가요?
@@Ray수학 네 감사합니다! 근데 보통 문제집이나 교과서에서는 동가능성의 원리를 적용시키지 않던데… 유ㅐ그런건가요?
고1까지 교과서는 일어날 가능성이 동등한 상황만(!) 다루고 있습니다. 오히려 일어날 가능성이 다른 것이 있다면 교육과정상 오류입니다.
저,,,, 죄송하지만, 1:00 자연수와 정수의 개수가 같다는 증명이 이해가 가지 않는데, 설명해 주실 수 있을까요...?
자연수 1 2 3 4 5...와
정수 ...-3 -2 -1 0 1 2 3 ....을 비교하고 있습니다.
여기서 정수를 3부분으로 나누어 줍니다.
1. 0
2. 음의 정수 (-1 -2 -3 ...)
3. 양의 정수 (1 2 3 ...)
그리고 자연수도 3부분으로 나누어 줍니다.
1. 1
2. 1이 아닌 홀수 (3, 5, 7...)
3. 짝수 (2 4 6...)
이 때 정수의 0과 자연수의 1을 대응시키고
정수중 음의 정수와 자연수의 1이아닌홀수를 대응시키고
정수중 양의 정수와 자연수의 짝수를 대응시켜주면
자연수와 정수가 일대일대응임을 러프하게나마 이해할 수 있습니다.
고딩이라 저도 정확하진 않아요ㅠ
8:00에 card((P(X)) 이거 오타 아닌가요?
괄호가 하나 더 있었네용 ㅠㅠ
@Ray 수학 형 이거 나 학교에서 발표할 주제인데 설명이 아주 좋았어요 제가 잘 발표할수있도록 자료같은거 어디서 찾았는지 알려줄 수 있어요
전공서적에 있는 내용을 설명한거라 기본적인 내용은 다 수식으로 있을거예요. 초한수, 농도(cardinality) 검색해보세요.
1:00 왜 1을 0에 대응시키고
짝수는 절반으로 나눠서 음수에 대응시키는건가요?
어떻게든 일대일 대응함수만 만들면 되서 그냥 막 한거임
5:09
왜 b는 f(N)에 포함이 안되나요? f(N)이 I를 나타내지 않나요...?
b는 f(n)에 있는 어떤수와 비교하더라도 최소 한자리 이상 다르므로 f(N)에 포함되지 않습니다.
f가 일대일 대응이면 f(N)=I이지만 b의 존재때문에 f(N)이 I와 같을 수 없으므로, 일대일 대응함수가 존재할 수 없습니다.
@@Ray수학 ❤🥰😍♥️
A:(유튜브를 연다.)
B:무한이 궁금하지 않나요?
A:음.. 설명해주세요.
B:무한을 비교할수 있다는게 궁금하지 않나요?
A:음.. 설명해주세요.
B:그럼 무한을 비교할수 있지만 사실 비교할수 없다는게 궁금하지 않나요?
A:?
어쩌다 알레프란걸 알게되었는데 뭔가 알거같으면서 모르겠네요 ㅋㅋ
저는 무한은 철학적인 의미로 정리하는게 맞고 무한은 가상의 수라고 생각함 무한이 성립될려면 무언가 끝임없이 생겨나야 합니다 쿠키로 예를 들면 쿠키의 작은 부수러기를 1로 놓고 세면 언젠가 세지겠죠 하지만 쿠키가 만들어져 구워지고 있다면 내가 작은 부수러기로 쿠키를 세고 있을때 쿠키가 구워지기 시작한 순간부터 구워지기전까지 쿠키는 무한이지만 구워지고 난뒤로 부터 쿠키는 무한이 아니게 되죠 그런 관점으로 본다면 무한적인 존재는 현재 우주말고 없으며 우주가 팽창을 멈추게 되면 무한은 완전한 가상의 수 현실에 존재하지 않는 환상의 수라고 생각함
수학은 추상적인 학문입니다. 무한은 현실 세계에서는 절대로 존재할 수 없죠. 그러나 우리는 이를 수학적으로 정의하고 증명했습니다. 무한이 환상의 수임에는 동의하지만 그렇다고 해서 수학적으로 가치가 없지는 않은 것 같습니다. 애초에 무한이라른 것이 수가 아닌 개념이기도 하고요.
루트는 대표적인 정수라고 하는데요? 나는 수학을 잘 모르니? 처음부터 같이 만들어 졌답니다.
칸토어는 무슨짓을 한 것인가...
학교 세특 자료에 활용해도 될까요??
네😊
본인이 11월 모고를 보는 고3이면 개추 ㅋㅋ
좆! 됐! 다!
"수능 90일의 기적"
자~ 드가자~
일단 나부터ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
@@user-ci4vf1tx5e "수능 6일의 기적"
재업좌..
선구자는 언제나 욕을 먹지... 당대에 미친놈, 질병 소리를 들었던 칸토어는 지금 하늘에서 무슨 생각을 하고 있을까?
복소수 집합의 농도도 비교할 수 있나요
복소수는 실수x실수로 비가산이며, 실수의 농도와 같습니다.
자연수와 정수의 집합은 일대일 대응관계가 성립되지 않습니다. 일대일 대응은 끝이 마무리되는 유한집합에서 가능한 것입니다. 끝 간 곳을 모르는 정수와 자연수 집합이 어떻게 일대일 대응이 된다는 것인지요? 그 이전에 칸토어의 집합 개념은 그 자체로 수학적 결함을 안고 있습니다. 이러한 그의 수학적 결함은 러셀과 괴델에 의해 입증됩니다.
아재는 y=x가 일대일 대응이 아니라는겨? 세상을 거슬러가는게 참 멋지구마잉 ㅋㅋ
자연수의 개수와 유리수의 개수는 같지 않다.
임의의 자연수를 n이라 하고 n의 자릿수를 c(n)이라고 했을 때,
모든 자연수는 n/10^c(n)에 대응한다.
그리고 n/10^c(n)은 0보다 크고 1보다 작은 범위에 들어오며,
n/10^c(n)는 유한소수이고 n/10^c(n)의 소숫점 이하 부분이 순환하는 순환소수를 더하면 유리수의 개수는 두 배로 커지며, 여기에 소숫점 이하 전체가 순환하지 않는 순환소수까지 더하면 자연수의 개수보다 0~1 사이의 유리수의 개수가 압도적으로 크다.
그리고 이들은 1~2, 2~3, 3~4의 범위에 0~1 사이의 개수의 두 배, 세 배, 네 배 ... 만큼 개수가 들어온다.
그러므로 자연수보다 유리수가 압도적으로 크고, 음의 유리수까지 범위를 확장하면 자연수의 개수보다 유리수의 개수가 월등히 크다는 것은 직관으로 알 수 있다.
수학은 생각보다 인간의 직관에 위배되는 경우가 많습니다. 작성자님의 말처럼 직관에 따르면 유리수가 자연수의 집합보다 월등히 큰 것처럼 느껴집니다. 하지만 수학에서는 두 무한집합이 일대일대응을 이룬다면 두 집합은 같은 기수로 취급합니다. 위 영상에서 말한 것처럼 자연수와 유리수는 일대일대응을 이룬다는 것이 증명되므로 둘의 크기는 같습니다.
딴건모르겠고 자연수와 홀수가 둘다 끝이 없으니 둘다 우위없는 무한이다라는걸 수학도둑에서 봤음
오
재업이 됐지만 뭐가 바뀌였는지 모르겠ㄷ...
(대충 좋아, 전부 이해했어 짤)
완전 유식해지는 느낌 ㅎㅎ
2:50 초에 h(m,n) 식이 왜 저렇게 나오는건가요? ㅠㅠ
h(m,n)은 (m,n) 좌표의 점의 자연수 번호를 의미하는 식입니다. (m,n) 좌표를 지나는 기울기 -1의 대각선 안쪽에 있는 점들을 먼저 번호를 매긴 뒤 대각선의 가장 왼쪽 점부터 번호를 매기니 식이 저렇게 됩니다.
무한은 소수 인가요?
뭔소린진 모르겠지만 박수
(⊼⌔⊼ )(⊼⌔⊼ )(⊼⌔⊼ )
선생님 자연수집합의 부분집합의 개수가 왜 실수집합의 크기와 같나요
댓글로 설명하기 조금 어렵네요.. 영상 말미에 있듯 같을 수도 그렇지 않다해도 상관없습니다. 그래도 부분집합의 개수와 왜 같을까? 생각을 해보면 증명과정 중 대각선 논법에서 숫자가 1과 같으면 2로, 1이 아니면 1로 보내는 방법을 사용하는데요. 우리가 부분집합을 구할 때 각 원소를 포함하냐 그렇지 않냐로 개수를 유도하는 과정과 유사하기에 그렇지 않나 추측해봅니다.
@@Ray수학 자연수의 Power set에서 binary sequence로 일대일 대응을 간단히 만들 수 있고, (0,1)의 binary expansion을 통해 injection을 만들고 cantor schroder Bernstein 정리로 쉽게 증명할 수 있지 않나요
직접 bijectjon을 만들려면 0.0111...하고 0.1000...등의 하나의 숫자가 두개의 binary expansion을 가지고 있을 수도 있는 문제로 골치가 살짝 아파지지만...
5분 5초 장면에서 b수는 n이 무한하면 f(n)이 무한하기 때문에 영원히 완성되지 못하는 수이다. 또 b가 공역인 실수에 속하지만 치역 f(n)에 속하지 않는다고 결론내릴 수 없다. f(n)역시 영원히 완성되지 못하는 함수이다. b를 실제 수로나타내면 b=0.211111111111.... 이 될 것이다. 이 b라는 수가 무한히 1로 계속되므로 순환하는 무한소수로 유리수가 되므로 공역인 실수에 포함되는 것은 맞다. 하지만 치역인 f(n)이 영원히 완성되지 못하는 함수이므로 f(n)에 b가 포함되지 못한다고 결론내릴 수 없다. 새로운 f(n)이 생성되면 더 길어진 수 b가 존재하지만 이 b는 1을 계속하는 수로 예상할 수 있으므로 0.21111111.....이라는 무한소수로서 f(n)이라는 치역에 포함될 수 있음을 예상할 수 있다.
그 수 b가 f(n) 중 어느 값이라고 가정해 봅시다. b의 n번째 소숫점 아래 수가 1이라면 b의 조건에 의해 그 수는 2가 되어야 할 것입니다. 반대로 그 수가 1이 아니라면 1이 되어야 할 것이고요. 고로 b가 f(n)에 대응된다는 가정은 모순이 되므로 b는 치역에 포함되지 못합니다.
분명히 한국어인데 내가 이해한시간은 5분도안되는거같다..
근데 N하고 Z의 원소의 개수 같고 N이 Z의 부분집합이니까 두 집합은 같은거아닌가요?
무한에서 셀 수 있다, 없다는 우리 기존의 상식대로 해석하면 곤란합니다...
음!완벽히 이해했어!(이해못함)
5:07 여기서 왜 b가 치역에 없는 수인지 이해가 안가서 그런데 설명해 주실 분 있나요
임의의 자연수 n에 대해 f(n)(치역)의 소수점 아래 n번째 수와 b의 소수점 아래 n번째 수를 다르게 b를 설정했다고 보시면 될듯.
b가 치역에 포함되어 있다면 어떤 자연수 n에 대해 f(n)=b일 것입니다. 이때 b의 소숫점 아래 n번째 수가 1이라고 가정해 봅시다.
b의 정의에 의해 n번째 자리 수가 1이라면 2가 되어야 합니다. 여기서 모순이 생기죠.
반대로 n번째 자리 수가 1이 아니라고 해도 b의 정의에 의해 1이 되어야 합니다.
b의 n번째 자리 수는 1이어도, 1이 아니어도 모순이 생기므로 b는 치역에 포함되지 않는다는 결론이 나옵니다.
홀수 집합도 무한 집합인가요?
홀수 역시 자연수를 n이라고 하면 2n - 1로 나타내어 일대일대응이 되기 때문에 자연수와 같은 가산집합입니다.
무한의 갯수는 모르겠지만,
무한도전 횟수가 563회라는 건 알고 있지.